高中数学选修4-4坐标系与参数方程完整教案(精选.)

选修4-4教案
教案1平面直角坐标系（1课时）
教案2平面直角坐标系中的伸缩变换（1课时）
教案3极坐标系的的概念（1课时）
教案4极坐标与直角坐标的互化（1课时）
教案5圆的极坐标方程（2课时）
教案6直线的极坐标方程（2课时）
教案7球坐标系与柱坐标系（2课时）
教案8参数方程的概念（1课时）
教案9圆的参数方程及应（2课时）
教案10圆锥曲线的参数方程（1课时）
教案11圆锥曲线参数方程的应用（1课时）
教案12直线的参数方程（2课时）
教案13参数方程与普通方程互化（2课时）
教案14圆的渐开线与摆线（1课时）
















word.

课题：1、平面直角坐标系
教学目的：
知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法
能力与与方法：体会坐标系的作用
情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
教学重点：体会直角坐标系的作用
教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题
授课类型：新授课
教学模式：互动五步教学法
教 具：多媒体、实物投影仪
复习及预习提纲：
1平面直角坐标系中刻画点的位置的方法
2坐标系的作用
————教 学 过 程————
复 习 回 顾 和 预 习 检 查
1平面直角坐标系中刻画点的位置的方法
2坐标系的作用
创设情境，设置疑问

情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安
全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位
置机器运动的轨迹。 < br>情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看
台上座位排 列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景
图案，需要缺点不同的画布所在的位置 。
问题1：如何刻画一个几何图形的位置？
问题2：如何创建坐标系？
分组讨论

刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系
1、数轴 它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定
2、平面直角坐标系
在平面上，当取定两 条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条
直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它 使平面上任一点P都可以由惟一的实数对
（x,y）确定
3、空间直角坐标系
在 空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，
并确定了度量单位和这 三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P
都可以由惟一的实数对（x,y,z）确 定


1、建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足：
任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置
2、确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标
word.

例1 选择适当的平面直角坐标系，表示边长为1的正六边形的顶点。

*变式训练
如何通过它们到点O的距离以及它们相对于点O的方位来刻画,即用” 距离和方向”
确定点的位置？


例2 已知B村位于A村的正西方1公里 处,原计划经过B村沿着北偏东60
0
的方向设一
条地下管线m.但在A村的西北方向 400米出,发现一古代文物遗址W.根据初步勘探的结
果,文物管理部门将遗址W周围100米范围划 为禁区.试问:埋设地下管线m的计划需要
修改吗?
落实目标
*变式训练
1．一炮弹在某处爆炸,在A处听到爆炸的时间比在B处晚2s,已知A、B两地相距
800米，并且 此时的声速为340ms,求曲线的方程
1
2．在面积为1的
?PMN
中，
tan?PMN?,tan?MNP??2
，建立适当的坐标系，
2
求以M， N为焦点并过点P的椭圆方程
例3 已知Q（a,b）,分别按下列条件求出P 的坐标
（1）P是点Q 关于点M（m,n）的对称点
（2）P是点Q 关于直线l:x-y+4=0的对称点（Q不在直线1上）
*变式训练
用两种以上的方法证明：三角形的三条高线交于一点。
思考：
(x?1)
2
(y?1)
2
??1
变为中心在原点的单位圆，通过平面变换可以把曲线请 求出该复合
94
变换？
小 结：本节课学习了以下内容：
1．如何建立直角坐标系；
2．建标法的基本步骤；
3．什么时候需要建标。
课后延伸
书面作业
：

必做题：课本P14页 1，2，3，4
教学反思：
建标法，学生学习有印象，但没有主动建标的意识，说明学生数学学习缺乏
系统性，需要加强训练。







课题：2、平面直角坐标系中的伸缩变换
word.

教学目标：
知识与技能：平面直角坐标系中的坐标变换
过程与方法：体会坐标变换的作用
情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识
教学重点：理解平面直角坐标系中的坐标变换、伸缩变换
教学难点：会用坐标变换、伸缩变换解决实际问题
授课类型：新授课
教学方法：互动五步教学法
.
复习及预习提纲：
平面直角坐标系中的坐标变换
————教 学 过 程————
复 习 回 顾 和 预 习 检 查
平面直角坐标系中的坐标变换

创设情境，设置疑问 < br>问题探究1：怎样由正弦曲线
y?sinx
得到曲线
y?sin2x
？

思考：“保持纵坐标不变横坐标缩为原来的一半”的实质是什么？

问题 探究2：怎样由正弦曲线
y?sinx
得到曲线
y?3sinx
？

思考：“保持横坐标不变纵坐标缩为原来的3倍”的实质是什么？

问题探究3：怎 样由正弦曲线
y?sinx
得到曲线
y?3sin2x
？
分组讨论

定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换

(
?
?0)
?
x'?
?
x

?
:
?
(
?
?0)

?
y'?< br>?
y
的作用下，点P(x,y)对应P’(x’,y’).称为平面直角坐标系中的伸缩 变换
?

?0,
?
?0
注 （1）
（2）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到；
（3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。
?
x
'
?2x
例1、在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换
?
'
后的图形。
?
y?3y
（1）2x+3y=0; (2)
x
2
?y
2
?1

?
x
?
?3x,
例2、在同一平面坐标系中，经过伸缩变换
?
后，曲线C变为曲线
x
?
2
?9y
?
2
?9
，
?
y< br>?
?y
?
求曲线C的方程并画出图象。
落实目标
word.

1、已知
f
1
( x)?sinx,f
2
(x)?sin
?
x
（
?
? 0)
f
2
(x)
的图象可以看作把
f
1
(x)的图象在其所
1
在的坐标系中的横坐标压缩到原来的倍（纵坐标不变）而得到的，则
?
为（ ）
3
1
1
A． B .2 C.3 D.
3
2
?
x
?
?5x
2、 在同一直角坐标系中，经过伸缩变换
?
后，曲线C变为曲线
2x
?
2
?8y
?
2
?1,
则
?
y
?
?3 y
曲线C的方程为（ ）
28
A．
25x
2
?36y
2
?1
B.
9x
2
?100y
2
?1
C．
10x
2< br>?24y
2
?1
D.
x
2
?y
2
?1

259
?
?
1
?
x?
2
x
3、在平面直角坐标系中，求下列方程所对 应的图形经过伸缩变换
?
后的图形。
1
?
y
?
? y
3
?
（1）
5x?2y?0;

（2）
x
2
?y
2
?1
。
知识归纳：设点P（x,y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换
?
x
?
?
?
?x,(
?
?0),
的作用下，点P(x,y)对应 到点
P
?
(x
?
,y
?
)
，称
?
为平面直角坐标系
?
:
?
?
y
?
?
?
?y,(
?
?0),
中的坐标伸缩变换
课后延伸
书面作业
：

?
?
1
x?x
?
?
4
必做题：1、抛物线
y
2
?4x
经过伸缩变换
?
后得到
?
y
?
?
1
y
?
3
?
y
?
2
22
2
?1
的伸缩变换为 2、把圆
x?y?16
变 成椭圆
x
?
?
16
3、在同一坐标系中将直线
3x?2y? 1
变成直线
2x
'
?y
'
?2
的伸缩变换为
?
?
1
?
x?x
4、把曲线
y?3sin2x的图象经过伸缩变换
?
2
得到的图象所对应的方程为 ?
?
y
?
?4y
?
x
?
?2x
?
5、在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换
?
曲线C变为
x
?
2
?16y
?
2
?4x
?
?0
，
1
后，
y
?
?y
?
?2
则曲线C的方程
教学反思：伸缩变换

课题：
3极坐标系的的概念

教学目的：理解极坐标的概念
word.

教学重点：理解极坐标的意义
教学难点：能够在极坐标系中用极坐标确定点位置
授课类型：新授课
教学模式：互动五步教学法
.教 具：多媒体、实物投影仪
复习及预习提纲：
1坐标的概念
2极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别.
————教 学 过 程————
复 习 回 顾 和 预 习 检 查
1坐标的概念
2极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别.
创设情境，设置疑问
情境1：军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定它们的位置以便将它们引
爆？
情境2：如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。
（1）他向东偏60°方向走120M后到达什么位置？该位
置惟一确定吗？
（2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描
述？
问题1：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎
样的坐标系呢？
问题2：如何刻画这些点的位置？
这一思考，能让学生结合自己熟悉的背景，体会在某些情况 下用距离与角度来刻画
点的位置的方便性，为引入极坐标提供思维基础．
从情镜2中探索出： 在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用
方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就 是极坐标的基本思想。
1、极坐标系的建立：
在平面上取一个定点O，自点O引一条射线O X，同时确定一个单位长度和计算角度
的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐 标系。
（其中O称为极点，射线OX称为极轴。）
2、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点M，用 ? 表示线段OM的长度，
用 ? 表示从OX到OM 的角度，? 叫做点M的极径， ?
叫做点M的极角，有序数对（?，?）就叫做M的极坐标。 特别强调：由极径的意义可知?≥0;当极角?的取值范围
是[0,2
?
)时,平 面上的点(除去极点)就与极坐标（?，?）建立
一一对应的关系 .们约定,极点的极坐标是极径?=0,极角是任意角.
3、负极径的规定
在极坐标系中，极径?允许取负值，极角?也可以去任意的正角或负角
当?＜0时，点M （?，?）位于极角终边的反向延长线上，且OM=
?
。
M （?，?）也可以表示 为
(
?
,
?
?2k
?
)或(?
?
,
?
?(2k?1)
?
)

(k?z)

word.

4、数学应用
例1 写出下图中各点的极坐标（见教材14页）
A（4，0）B（2 ）C（ ）
D（ ）E（ ）F（ ）
G（ ）
① 平面上一点的极坐标是否唯一？
② 若不唯一，那有多少种表示方法？
③坐标不唯一是由谁引起的？
③ 不同的极坐标是否可以写出统一表达式
约定：极点的极坐标是
?
=0，
?
可以取任意角。

5
?
?
例2 在极坐标系中，(1)已知两点P（5，），Q
(1, )
，
4
4
求线段PQ的长度；
?
(2)已知M的极坐标为 （?，?）且?=，?
?R
，说明满足上述条件的点M 的位置。
3
落实目标
1知Q（?，?），分别按下列条件求出点P 的极坐标。
（1） P是点Q关于极点O的对称点；
（2） P是点Q关于直线
?
?
的对称点；
2
（3） P是点Q关于极轴的对称点。
2极坐标系中,与点
(?8,)
关于极点对称的点的一个坐标是 ( )
6
?
5
?
5
??
A(8,),B(8,?),C( ?8,),D(?8,?)

6666
?
5
3极坐标系中，如果等边
?ABC
的两个顶点是
A(2,),B(2,),
求第三个顶点C的坐标。
44
4小 结：
本节课学习了以下内容：1．如何建立极坐标系。 2．极坐标系的基本要素是：极点、
极轴、极角和度单位。3．极坐标中的点与坐标的对应关系。
?
?
课后延伸
书面作业
：

必做题：导练相应练习
选做题：
预习提纲

课后反思：本节学习 内容对学生来说是全新的，因而学生学习的兴趣很浓，课堂气氛很
好。部分学生还未能转换思维，感到有 点吃力。后续教学还要加强基础训练。


课题：
4极坐标与直角坐标的互化
教学目的：
知识目标：掌握极坐标和直角坐标的互化关系式
word.

能力目标：会实现极坐标和直角坐标之间的互化
德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
教学重点：对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解
教学难点：互化关系式的掌握
授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学.
教 具：多媒体、实物投影仪
复习及预习提纲：
极坐标和直角坐标的互化关系式
————教 学 过 程————
复 习 回 顾 和 预 习 检 查
极坐标和直角坐标的互化关系式
创设情境，设置疑问
情境1：若点作平移变动时，则点的位置采用直角坐标系描述比较方便;
情境2：若点作旋转变动时，则点的位置采用极坐标系描述比较方便
问题1：如何进行极坐标与直角坐标的互化？
问题2：平面内的一个点的直角坐标是
(1,3)
，这个点如何用极坐标表示？
学生回顾
理解极坐标的建立及极径和极角的几何意义
正确画出点的位置，标出极径和极角，借助几何意义归结到三角形中求解
直角坐标系的原点O 为极点，
x
轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度
单位。平面内任意一点P 的指教坐标与极坐标分别为
(x,y)
和
(
?
,
?
)
，则由三角函数的定
义可以得到如下两组公式：
2
?
?x
2
?y
2
x?
?
cos
?
{ {
y
y?
?
sin
?
tan
?
?
x
说明1上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式
2通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取
?
≥
0，
0
≤
?
≤
2
?
。
3互化公式的三个前提条件
1. 极点与直角坐标系的原点重合;
2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合;
3. 两种坐标系的单位长度相同.
分组讨论
2
?
)
化成直角坐标
3
（2）把点P的直角坐标
(6,?2)
化成极坐标
变式训练
例1．（1）把点M 的极坐标
(8,
在极坐标系中,已知
A(2,),B( 2,?),
求A,B两点的距离
66

word.
??

例2.若以极点为原点,极轴为
x
轴正半轴,建立直角坐标系.
5
?
(1)已知A的极坐标
(4,),
求它的直角坐标,
3
(2)已知点B和点C的直角坐标为
(2,?2)和(0,?15)
求它们的极坐标.
(
?
＞0,0≤
?
＜2
?
)
变式训练
把下列个点的直角坐标化为极坐标(限定
?
＞0,0≤
?
＜
2
?
)
A(?1,1),B(0,?2),C(3,4),D(?3,?4)


?
2
?
例3.在极坐标系中,已知两点
A(6,),B(6,)
.
63
求A,B中点的极坐标.

变式训练
在极坐标系中,已知三 点
M(2,?),N(2,0),P(23,)
.判断
M,N,P
三点是否在 一条直线
36
上.
??
落实目标
本节课学习了以下内容：
1．极坐标与直角坐标互换的前提条件；
2．互换的公式；
3．互换的基本方法。
课后延伸
书面作业
：

必做题：导练相应练习
选做题：
预习提纲

课后反思：在教师的 引导下，学生能积极应对互化的原因、方法，也能较好地模仿操作，
但让学生独立自主完成新的问题的解 答，明显有困难，需要教师的点拨引导。这点可采
取的措施是：小组讨论，共同寻找解决问题的方法，很 有效。但教学时间不足。










课 题: 5圆的极坐标方程
教学目标：
1、掌握极坐标方程的意义
2、能在极坐标中给出简单图形的极坐标方程
word.

教学重点、极坐标方程的意义
教学难点：极坐标方程的意义
教学方法：启发诱导，讲练结合。
教 具：多媒体、实物投影仪
复习及预习提纲：
1、直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置？
2、曲线的方程和方程的曲线（直角坐标系中）定义
3、求曲线方程的步骤
4、极坐标与直角坐标的互化关系式:

————教 学 过 程————
复 习 回 顾 和 预 习 检 查
1、直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置？
2、曲线的方程和方程的曲线（直角坐标系中）定义
3、求曲线方程的步骤
4、极坐标与直角坐标的互化关系式:
创设情境，设置疑问
问题情境
1、直角坐标系建立可以描述点的位置极坐标也有同样作用？
2、直角坐标系的建立可以求曲线的方程
极坐标系的建立是否可以求曲线方程？
1、引例．如图，在极坐标系下半径为a的圆的圆心坐标为
(a,0)(a>0)，你能用一个等式表示圆上任意一点，
的极坐标(?,?)满足的条件？
解：设M (?,?)是圆上O、A以外的任意一点，连接AM，
则有：OM=OAcosθ，即：ρ＝2acosθ ①，
2、提问：曲线上的点的坐标都满足这个方程吗？
可以验证点O(0,π2)、A(2a,0)满足①式.
等式①就是圆上任意一点的极坐标满足的条件.
反之，适合等式①的点都在这个圆上. 3、定义：一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程
f(
?
,< br>?
)?0
的点
在曲线上，那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程，这条曲线称 为这个
极坐标方程的曲线。
例1、已知圆O的半径为r，建立怎样的坐标系，
可以使圆的极坐标方程更简单？
①建系；
②设点；M（ρ，θ）
③列式；OM＝r， 即：ρ＝r
④证明或说明.
变式练习：求下列圆的极坐标方程
(１)中心在Ｃ(a,0)，半径为a；
(２)中心在(a,
?
2)，半径为a；
word.

(３)中心在Ｃ(a
?
)，半径为a
,
０
答案：(1)?＝2acos ? (2) ?＝2asin ? (3)
?
＝２acos(
?
?
?
0
)
< br>例2．（1）化在直角坐标方程
x
2
?y
2
?8y?0
为极坐标方程，
（2）化极坐标方程
?
?6cos(
?
?
?
3
)
为直角坐标方程。
分组讨论

1.以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是 (C)
?
??
???
A.
?
?2cos
?
?
?
?
B.
?
?2sin
?
?
?
?
4
?
4
?

??
C.
?
?2cos
?
?
?1
?
D.
?
?2sin
?
?
?1?
2.极坐标方程分别是ρ＝cosθ和ρ＝sinθ的两个圆的圆心距是多少？
3．说明下列极坐标方程表示什么曲线
(1)
?
＝２cos(
?
-
2

2
?
4
(3)
?
＝3sin
?
　　 (4)
?
＝６
) (2)
?
＝cos(
?
3
-
?
)

4．填空：
　(1)直角坐标方程x
2
?y
2
?2x?3y?0的 　极坐标方程为＿＿＿＿＿＿＿
(2)直角坐标方程2x－y＋１?0的极坐标方程为＿＿＿＿＿＿＿< br>(3)直角坐标方程x
2
?y
2
?９的极坐标方程为＿＿＿＿＿
(4)直角坐标方程x?３的极坐标方程为＿＿＿＿＿＿＿

落实目标
1．曲线的极坐标方程的概念．
2．求曲线的极坐标方程的一般步骤．
课后延伸
书面作业
：

必做题：教材
P
28
1，2 < br>选做题：1．在极坐标系中，已知圆
C
的圆心
C(3,)
，半径
r?3
，
6
（1）求圆
C
的极坐标方程。
（2）若< br>Q
点在圆
C
上运动，
P
在
OQ
的延长线上， 且
OQ:OP?3:2
，求动点
P
的
轨迹方程。
教学反思：理解还不很到位，加强理解

?


课题：6直线的极坐标方程
教学目标：
知识与技能：掌握直线的极坐标方程
过程与方法：会求直线的极坐标方程及与直角坐标之间的互化
word.

情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
教学重点：理解直线的极坐标方程，直角坐标方程与极坐标方程的互化
教学难点：直线的极坐标方程的掌握
授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学.
教学过程：
一、探究新知：
阅读教材P13-P14
l
?
探究1、直线
l
经过极点， 从极轴到直线
l
的角是，如何用极坐标方程表示直线

l

4

?


4
思考：用极坐标表示直线时方程是否唯一？
x
O


探究2、 如何表示过点
A(a,0)(a?0)
，且垂直于极轴的直线
l
的极坐标方程 ，化为直角坐
标方程是什么？过点
A(a,0)(a?0)
，平行于极轴的直线
l
的极坐标方程呢？



二、知识应用：
?
例1、已知点P的极坐标为
(2,
?
)
，直线
l
过点P且 与极轴所成的角为，求直线
l
的极
3
坐标方程。



例2、把下列极坐标方程化成直角坐标方程
5
?
?
（1）
?
?(
?
?R)
（2）
?
(2cos
?
?5sin
?
)?4?0
（3）
?
sin(
?
?)?4

43


?
2
例3、判断直线
?
sin(
?
?)?
与圆
?
?2cos
?
?4sin
?
的位置关系。
42



三、巩固与提升：
P15第1，2，3，4题


四、知识归纳：
1、直线的极坐标方程
2、直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化
3、直线与圆的简单综合问题
word.

五、作业布置：
1、在直角坐标系中，过点
(1,0)
，与极轴垂直的直线的极坐标方程是（ ）
A
?
sin
?
?1
B
?
?sin
?
C
?
cos
?
?1
D
?
?cos
?

2、与方程
?
?
A
?
?
?
4
(
?
?0)
表示同一曲线的是 （ ）
5
?
5
?
?
(
?
?0)
C
?
?(
?
?R)
D
?
?(
?
?0)

444
?
4
(
?
?R)
B
??
3、在极坐标系中，过点
A(2,?)
且与极轴平行的直线
l
的极坐标方程是
2
4、在极坐标系中，过圆
?
? 4cos
?
的圆心，且垂直于极轴的直线方程是
3
?
5、在极坐标系中，过点
A(2,)
且垂直于极轴的直线
l
的极 坐标方程是
4
?
2
7
?
6、已 知直线的极坐标方程为
?
sin(
?
?)?
，求点
A(2, )
到这条直线的距离。
42
4


7、在极坐标系中，由 三条直线
?
?0,
?
?
?
?
3
,
?
cos
?
?
?
sin
?
?1
围成图形的 面积。



六、反思：


















课题7球坐标系与柱坐标系
教学目的：
知识目标：了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法
能力目标：了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式。
德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
word.

教学重点：体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系
教学难点：利用它们进行简单的数学应用
授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学.
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
情境：我们用三个数据来确定卫星的位置，即卫星到地球中心的距离、经度、纬度。
问题：如何在空间里确定点的位置？有哪些方法？
学生回顾
在空间直角坐标系中刻画点的位置的方法
极坐标的意义以及极坐标与直角坐标的互化原理

二、讲解新课：
1、球坐标系
设P是空间任意一点，在oxy平面的射影为Q，连接OP，记| OP |=
r
，O P与OZ
轴正向所夹的角为
?
，P在oxy平面的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转 到OQ时所转
过的最小正角为
?
，点P的位置可以用有序数组
(r,
?
,
?
)
表示，我们把建立上述对应关
系的坐标系叫球坐标系(或空 间极坐标系)
有序数组
(r,
?
,
?
)
叫做点P 的球坐标，其中
r
≥0，0≤
?
≤
?
，0≤
?＜2
?
。
空间点P的直角坐标
(x,y,z)
与球坐标
(r,
?
,
?
)
之间的变换关系为：
?
x2
?y
2
?z
2
?r
2
?
?
x?rsin
?
cos
?

?
?
y?rsin?
sin
?
?
?
z?rcos
?
2、柱坐标系
设P是空间任意一点，在oxy平面的射影为Q，用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示
点在
平面oxy上的极坐标，点P的位置可用有序数组(ρ,θ,Z)表示把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系
有序数组(ρ,θ,Z)叫点P的柱坐标，其中ρ≥0, 0≤θ<2π, z∈R
空间点P的直角坐标(x, y, z)与柱坐标(ρ,θ,Z)之间的变换关系为：

?
x?
?
cos
?
?

?
y?
?
sin
?

?
z?z
?
3、数学应用

例1建立适当的球坐标系,表示棱长为1的正方体的顶点.


变式训练
建立适当的柱坐标系, 表示棱长为1的正方体的顶点.
word.

例2.将点M的球坐标
(8,
?
5?
3
,
6
)
化为直角坐标.

变式训练
1.将点M的直角坐标
(?1,?1,2)
化为球坐标.
3
3.在直角坐标系中点
(a,a,a)(a
＞0)的球坐标是什么?
2.将点M 的柱坐标
(4,
?
,8)
化为直角坐标.

例3.球坐标满足方程r=3的点所构成的图形是什么?并将此方程化为直角坐标方程.


变式训练
标满足方程
?
=2的点所构成的图形是什么?


例4.已知点M的柱坐标为
(2,


思考:
?
?
?
?
在球坐标系中,集合
M?
?
(r ,
?
,
?
)2?r?6,0?
?
?,0?
?
?2
?
?
表示的图形的体
2
?
?
?
积为 多少?


三、巩固与练习
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．球坐标系的作用与规则；
2．柱坐标系的作用与规则。
五、课后作业：教材P15页12，13，14，15，16
六、课后反思：本节内容与平面 直角坐标和极坐标结合起来，学生容易理解。但以后少
用，可能会遗忘很快。需要定期调回学生的记忆。




第二章 参数方程
?
4
,3 ),
点N的球坐标为
(2,
??
,),
求线段MN的长度.
42
【课标要求】
1、了解抛物运动轨迹的参数方程及参数的意义。
word.

2、理解直线的参数方程及其应用；理解圆和椭圆（椭 圆的中心在原点）的参数方
程及其简单应用。
3、会进行曲线的参数方程与普通方程的互化。
8参数方程的概念
一、教学目标：
1．通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的 关系，写出抛物运动轨迹的参数方
程，体会参数的意义。
2．分析曲线的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。
二、教学重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。
教学难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。
三、教学方法：启发诱导，探究归纳
四、教学过程
（一）．参数方程的概念 1.问题提出：铅球运动员投掷铅球，在出手的一刹那，铅球的速度为
角，如何来刻画铅球运动的轨 迹呢？
2．分析探究理解：
（1）、斜抛运动：
y
v=v
0

?
0
，与地面成
?
?
x?v
0
cos
?
?t
?

?
1
2
(t为参数）
y?v
0
sin
?
?t?gt
?< br>2
?
?

O
x
（2）、抽象概括：参数方程的概念。说明：（1）一般来说，参数的变化范围是有限制的。
（2）参数是联系变量x，y的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。
（3）平抛运动：
y
500
v=100ms
A
?
x?100t
?

?
1
2
(t为参数）
y?500?gt
?
2
?
（4）思考交流：把引例中求出的铅球运动 的轨迹
O
x
的参数方程消去参数t后，再将所得方程与原方程进行比较，体会参数方程的作用。
（二）、应用举例：
word.

?
x?3t
例1、已知曲线
C
的参数方程是
?
(t为参数)（1）判断点
M
1
(0,1),
2
?
y?2 t?1
（2）已知点
M
(6,
a
)在曲线
C
上，求
a
的值。
M
2
(5,4)与曲线
C
的位置关系；
3
分析：只要把参数方程中的t消去化成关于x,y的方程问题易于解决。学生练习。
反思归纳：给定参数方程要研究问题可化为关于x,y的方程问题求解。
?
例2、设 质点沿以原点为圆心，半径为2的圆做匀速（角速度）运动，角速度为
60

rads,试以时间t为参数，建立质点运动轨迹的参数方程。
解析：如图，运动开始时质点 位于A点处，此时t=0，设动点M（x,y）对应时刻t,由图
可知
{
x?2cos
?
y?2sin
?
又
?
?
?
60
t
，得参数方程为
{
?
tx?2cos
60
?
ty ?2sin
60
3000
Y
(t?0)
。
2500
2000
1500
1000
M
500
X
A
-40 00-3000-22000
-500
-1000
c
1
-1500< br>-2000
-2500
-3000

反思归纳：求曲线的参数方程的一般步骤。
（三）、课堂练习：
（四）、小结：1 ．本节学习的数学知识；2、本节学习的数学方法。学生自我反思、教
师引导，抓住重点知识和方法共同 小结归纳、进一步深化理解。
（五）、作业：
补充：设飞机以匀速v=150ms作 水平飞行，若在飞行高度h=588m处投弹（设投弹
的初速度等于飞机的速度，且不计空气阻力）。（ 1）求炸弹离开飞机后的轨迹方程；（2）
试问飞机在离目标多远（水平距离）处投弹才能命中目标。简 解：（1）
word.

?
x?150t
?
2
?
y?588?4.9t
（2）1643m。
(t为参数)
。
五、教学反思：






















9 圆的参数方程及应用
一、教学目标：
知识与技能：分析圆的几何性质，选择适当的参数写出 它的参数方程。利用圆的几
何性质求最值（数形结合）
word.

过程与方法：能选取适当的参数，求圆的参数方程
情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
二、重难点：教学重点：能选取适当的参数，求圆的参数方程
教学难点：选择圆的参数方程求最值问题.
三、教学方法：启发、诱导发现教学.
四、教学过程：
（一）、圆的参数方程探求
1、根据图形求出圆的参数方程，教师准对问题讲评。
y
M
r


?
O
x
M
0
x

?
x?rcos
?
?
?
y?rsin
?
(
?
为参数)
这就是圆心在原点、半径为r的圆的参数方程。
说明：（1）参数θ的几 何意义是OM与x轴正方向的夹角。（2）随着选取的参数不同，
参数方程形式也有不同，但表示的曲线 是相同的。（3）在建立曲线的参数方程时，要注
明参数及参数的取值范围。

< br>?
x?2cos
?
?5
2、指出参数方程(
?
为参数 )所表示圆的圆心坐标、半径，并化为普通方程。
?
?
y?3?2sin
?< br>8
6
4
P
2
A
-10-5
C
510
-2
c
1
-4
-6
-8
3、若如图取解决。
结论：参数取的不同，可以得到圆的不同形式的参数方程。
4，反思归纳：求参数方程的方法步骤。
（二）、应用举例
例1、已知两条曲线的参数方程
word.

c
1
:
?
x?5cos
?
y?5sin
?
(
?
为参数）和
c
2
:
?
x?4?tcos
45
0
(t为参数）

y?3?tsin
45
0
（1）、判断 这两条曲线的形状；（2）、求这两条曲线的交点坐标。学生练习，教师准对
问题讲评。
（三）、最值问题：利用圆的几何性质和圆的参数方程求最值（数形结合）
例2、1、已知点 P（x，y）是圆
x
2
?y
2
?6x?4y?12?0
上动 点，求（1）
x
2
?y
2
的最
值，
（2）x+y的最值，
（3）P到直线x+y- 1=0的距离d的最值。
解：圆
x
2
?y
2
?6x?4y?12?0
即
(x ?3)
2
?(y?2)
2
?1
，用参数方程表示为
{
由于点P在圆上，所以可设P（3+cosθ，2+sinθ），
（1）
x
2?y
2
?(3?cos
?
)
2
?(2?sin
?
)
2
?14?4sin
?
?6cos
?
?14? 213sin(
?
?
?
)

(其中tan
?
=
3
) ∴
x
2
?y
2
的最大值为14+2
13
，最小值为14- 2
13
。
2
x?3?cos
?

y?2?sin
?
?
(2) x+y= 3+cosθ+ 2+sinθ=5+
2
sin（ θ +
4
）∴ x+y的最大值为5+
2
，
最小值为5 -
2
。
(3)
d?
3?cos
?
?2?sin
?
?1< br>2
4?2sin(
?
?
?
2
?
4
)

?
显然当sin（ θ+
4
）=
?
1时，d取最大值，最小值，分别为
1?22
，
1?22
.
2、 过点(2,1)的直线中,被圆x
2
+y
2
-2x+4y=0截得的弦：为最长的直线方程是_________；
为最短的直线方程 是__________；
3、若实数x,y满足x+y-2x+4y=0，则x-2y的最大值为 。
（三）、课堂练习：学生练习：1、2
（四）、小结：1、本课我们分析圆的几何性质， 选择适当的参数求出圆的参数方程。2、
word.
22

参数取的不同，可以得到圆的不同形式的参数方程。从中体会参数的意义。3、利用参
数方程求最值。要 求大家掌握方法和步骤。
（五）、作业：
1、方程
x
2
?y< br>2
?4tx?2ty?5t
2
?4?0
(t为参数)所表示的一族圆的 圆心轨迹是（D）
A．一个定点 B．一个椭圆 C．一条抛物线 D．一条直线
2、已知
?
?
x?2?cos
?
(
?
为参数)
，则
(x?5)
2
?(y?4)
2
?< br>y?sin
?
的最大值是6。
8．曲线
x
2
?y< br>2
?2y
的一个参数方程为
?
五、教学反思：
















?
x?cos
?
(
?
为参数)

y?1?sin
?
?
10圆锥曲线的参数方程
一、教学目标：
知识与技能：了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义
word.

过程与方法：能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程
情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
二、重难点：教学重点：圆锥曲线参数方程的定义及方法
教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程.
三、教学方法：启发、诱导发现教学.
四、教学过程：
（一）、复习引入：
1．写出圆方程的标准式和对应的参数方程。
?
x?rcos
?
(1)圆< br>x?y?r
参数方程
?
（
?
为参数）
y? rsin
?
?
222
?
x?x
0
?rcos
?
222
(x?x)?(yy)?r
（2）圆参数方程为：
?
（
?
为参数）
00
y?y?rsin
?
0
?2．写出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程。
3．能模仿圆参数方程的推导，写出圆锥曲线的参数方程吗？
（二）、讲解新课： < br>?
x?acos
?
x
2
y
2
1.椭圆的参数 方程推导：椭圆
2
?
2
?1
参数方程
?
（< br>?
为参数）,参
ab
y?bsin
?
?
数
?
的几何意义是以a为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与X轴正半轴的夹角。
6
5
4
3
A
2
1
M
-8-6-4-2
-1O
L
1
2
N
46810
-2
-3
-4
-5
-6
-7

?
x?asec
?
x2
y
2
2.双曲线的参数方程的推导：双曲线
2
?
2< br>?1
参数方程
?
（
?
为参数）
ab
?
y?btan
?
word.

2500
2000
Q
P
1500
B
1000
5 00
A
-4000-3000-220003000
M
40005000-500
-1000
-1500
-2000
-2500
-300 0
-3500

参数
?
几何意义为以a为半径所作圆上一点和椭圆中 心的连线与X轴正半轴的夹
角。
?
x?2Pt
2
3.抛物线的参数 方程：抛物线
y?2Px
参数方程
?
（t为参数）,t为以抛物
y ?2Pt
?
2
线上一点（X,Y）与其顶点连线斜率的倒数。
（1）、关于参数几点说明：
A.参数方程中参数可以是有物理意义，几何意义，也可以没有明显意义。
B.同一曲线选取的参数不同，曲线的参数方程形式也不一样
C.在实际问题中要确定参数的取值范围
(2)、参数方程的意义：
参数方程是曲 线点的位置的另一种表示形式，它借助于中间变量把曲线上的动点的
两个坐标间接地联系起来，参数方程 与变通方程同等地描述，了解曲线，参数方程实际
上是一个方程组，其中
x
，
y
分别为曲线上点M的横坐标和纵坐标。
（3）、参数方程求法：（A）建立直角坐标系，设 曲线上任一点P坐标为
(x,y)
；（B）
选取适当的参数；（C）根据已知条件和图 形的几何性质，物理意义，建立点P坐标与参
数的函数式；（D）证明这个参数方程就是所由于的曲线的 方程
(4)、关于参数方程中参数的选取：选取参数的原则是曲线上任一点坐标当参数的
关系 比较明显关系相对简单。与运动有关的问题选取时间
t
做参数；与旋转的有关问题
选取 角
?
做参数；或选取有向线段的数量、长度、直线的倾斜斜角、斜率等。
word.

?
x?acos
?
x
2
y
2
4、椭圆的参数方程常见形式：（1）、椭圆
2
?
2
?1
参数方程
?
（
?
为
ab
y?bsin
?< br>?
x
?
y
?1(b?a?0)
参数）；椭圆
2
的参数方程是
2
ba
2
2
?
x?bcos
?y?asin
?
(
?
为参数，且0?
?
?2?）.
（2）、以
(
x
0
,
y
)
为中心焦 点的连线平行于x 轴的椭圆的参数方程是
0
x
0
?acos
??
x?acos
?
{
y?
y
?bsin
?(
?
为参数）
。 （3）在利用
?
研究椭圆问题时，椭圆上的点 的
y?bsin
?
0
?
x?
坐标可记作（acos
?
,bsin
?
）。
（三）、巩固训练
1
?
x ?t?
?
t
(t为参数)
22
x?y?4
。 1、曲线?
的普通方程为
1
?
y?t?
t
?
2、曲线< br>?
1
2
?
x?cos
?
?
y?sin
?
(
?
为参数)
上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（D）
A． B．
2
C．1 D．
2

2
?
x?3cos
?
?
3、已知椭圆
?
(
?
为参数)求 （1）
?
?
时对应的点P的坐标
6
?
y?2sin
?
（2）直线OP的倾斜角
（四 ）、小结：本课要求大家了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义，能选取适当的参
数，求简单曲线的参数 方程，通过推到椭圆及双曲线的参数方程，体会求曲线的参数方
程方法和步骤，对椭圆的参数方程常见形 式要理解和掌握。
（五）、作业：
五、教学反思：





word.

11 圆锥曲线参数方程的应用
一、教学目标：
知识与技能：利用圆锥曲线的参数方程来确定最值，解决有关点的轨迹问题
过程与方法：选择适当的参数方程求最值。
情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
二、重难点：教学重点：选择适当的参数方程求最值。
教学难点：正确使用参数式来求解最值问题
三、教学模式：讲练结合，探析归纳
四、教学过程：
（一）、复习引入：
通过参数
?
简明地表示曲线 上任一点坐标将解析几何中以计算问题化为三角问题，
从而运用三角性质及变换公式帮助求解诸如最值， 参数取值范围等问题。
（二）、讲解新课：
例1、双曲线
{
x?2 3tan
?
y?6sec
?
(
?
为参数）
的两焦点坐标是 。
答案：（0，-4
3
），（0，4
3
）。学生练习。
ee
例2、方程
{
y?
t
?
?t
ee
x??< br>2
2
t?t
（t为参数）的图形是 双曲线右支 。
学生练习，教师准对问题讲评。反思归纳：判断曲线形状的方法。
x
?
y< br>?1
例3、设P是椭圆
36
在第一象限部分的弧AB上的一点，求使四边形OA PB
4
的面积最大的点P的坐标。
分析：本题所求的最值可以有几个转化方向，即转 化为求
s
?POA?
s
?poB,
S
OAPB
的< br>最大值或者求点P到AB的最大距离，或者求四边形OAPB的最大值。
?
学生练习， 教师准对问题讲评。【
?
=
4
时四边形OAPB的最大值=6
2，此时点P
为（3
2
，2）。】
（三）、巩固训练
word.

1、直线
?
A．或
?
6
?
x?tcos
?
?
x?4?2cos
?
(< br>?
为参数)
与圆
?
(
?
为参数)
相切，那么 直线的倾斜角为（A）
y?tsin
?
y?2sin
?
??
5
?
6
B．
??
?
5
?
3
?
2
?
或 C．或 D．
?
或
?

4366
43
x
2
y
2
2、椭圆
2?
2
?1
（
a?b?0
）与
x
轴正向交于点A ，若这个椭圆上存在点P，使OP
ab
⊥AP，（O为原点），求离心率
e
的 范围。
3、抛物线
y
2
?4x
的内接三角形的一个顶点在原点，其 重心恰是抛物线的焦点，求内接
三角形的周长。
4、设P为等轴双曲线
x
2
?y
2
?1
上的一点，
F
1
，
F
2
为两个焦点，证明
F
1
P?F
2
P?OP
5、求直线
?
?
x?1?t
?
y?1?t
2
与 圆
x
2
?y
2
?4
的交点坐标。
(t为参数）< br>解：把直线的参数方程代入圆的方程，得(1+t)
2
+(1-t)
2
=4,得t=±1,分别代入直线
方程,得交点为（0，2）和（2，0）。
（三）、小结： 本节课我们利用圆锥曲线的参数方程来确定最值，解决有关点的轨迹问
题，选择适当的参数方程正确使用 参数式来求解最值问题，要求理解和掌握求解方法。
（四）、作业：
练习：在抛物 线
y
2
?4ax
(a?0)
的顶点，引两互相垂直的两条弦OA，O B，求顶
点O在AB上射影H的轨迹方程。
五、教学反思：










word.

12 直线的参数方程
一、教学目标：
知识与技能：了解直线参数方程的条件及参数的意义
过程与方法：能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义
情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
二重难点：教学重点：曲线参数方程的定义及方法
教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程.
三、教学方法：启发、诱导发现教学.
四、教学过程
（一）、复习引入：
1．写出圆方程的标准式和对应的参数方程。
?
x?rcos
?
圆
x
2
?y
2
?r
2
参数方程
?
（
?
为参数）
y?rsin
?
?
?
x?x
0
?rcos
?
（2）圆
(x?x
0
)?(yy
0
)?r
参数方程为：
?
（
?
为参数）
y?y?rsin
?
0
?
222
2．写出椭圆参数方程.
3．复习方向向量的概念.提出问题:已知直线的一个点和倾斜角,如何表示直线的参
数方程?
（二）、讲解新课：
1、问题的提出：一条直线L的倾斜角是
30
， 并且经过点P（2，3），如何描述直
线L上任意点的位置呢？
如果已知直线L经过两个
定点Q（1，1），P（4，3），
那么又如何描述直线L上任意点的
位置呢？
2、教师引导学生推导直线的参数方程：
（1）过定点
P(x
0
, y
0
)
倾斜角为
?
的直线的
参数方程
word.
0
Y L
M
P Q


A
O B C X

?
x?x
0
?tcos
?

?
（
t
为参数）
?
y?y
0
?t sin
?
【辨析直线的参数方程】：设M(x,y)为直线上的任意一点，参数t的几何意义是 指
从点P到点M的位移，可以用有向线段
PM
数量来表示。带符号.
（2） 、经过两个定点Q
(
x
1
,
y
)
，P
(< br>x
2
,
y
)
(其中
12
x
?
x
12
)的直线的参数方程为
Y
L
P
M N

Q A B



O X

{
x?
x
1?
?
X
2
1?
?
y?
?
y
y?
1
1?
?
2
(
?
为参数，
?
??1)
。其中点M(X,Y)为直线上的任意一点。这里
参数
?
的几何意义与参数方程（1）中的t显然不同，它所反映的是动点M分有向线段
QP
的数量比
QM
MP
。当
?
?o
时，M为内分 点；当
?
?o
且
?
??1
时，M为外分点；当
?< br>?o
时，
点M与Q重合。
（三）、直线的参数方程应用，强化理解。
1、例题：
学生练习，教师准对问题讲评。反思归纳：1、求直线参数方程的方法；2、利 用直线参
数方程求交点。
2、巩固导练：
word.

补充：1、直线
?
为（A）
A．或
?
6
5
?
6
?
x?tcos
?
?
x?4?2cos
?< br>(
?
为参数)
与圆
?
(
?
为参数)
相切，那么直线的倾斜角
y?tsin
?
y?2sin
?
??
B．
??
?
5
?
3
?
2
?
或 C．或 D．
?
或
?

4366
43?
x?1?2t,
2、(2009广东理)（坐标系与参数方程选做题）若直线
l
1
:
?
(t为参数)
与直线
y?2?kt.
??
x?s,
（
s
为参数）垂直，则
k?
．
l
2
:
?
?
y?1?2s.

?x?1?2t,
k
解：直线
l
1
:
?
(t为参 数)
化为普通方程是
y?2??(x?1)
，
2
?
y?2?kt.
k
该直线的斜率为
?
，
2
?
x?s,
直线
l
2
:?
（
s
为参数）化为普通方程是
y??2x?1
，
?
y?1?2s.
该直线的斜率为
?2
，
?
k< br>?
则由两直线垂直的充要条件，得
?
?
?
?
?
?2
?
??1
，
k??1
。
?
2
?
（四）、小结：（1）直线参数方程求法；（2）直线参数方程的特点；（3）根据已知条件
和图形的几何性质，注意参数的意义。
（五）、作业：
?
x?1?t
补充： (2009天津理)设直线
l
1
的参 数方程为
?
（t为参数），直线
l
2
的
y?1?3t
?
方程为y=3x+4则
l
1
与
l
2
的距离为_ ______ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
【考点定位】本小题考查参数方程化为普通方程、两条平行线间的距离，基础题。
|4?2| 310
解析：由题直线
l
1
的普通方程为
3x?y?2?0
，故它与与
l
2
的距离为。
?
5
10
五、教学反思：






word.

13 参数方程与普通方程互化
一、教学目标：
知识与技能：掌握参数方程化为普通方程几种基本方法
过程与方法：选取适当的参数化普通方程为参数方程
情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
二、重难点：教学重点：参数方程与普通方程的互化
教学难点：参数方程与普通方程的等价性
三、教学方法：启发、诱导发现教学.
四、教学过程：
（一）、复习引入：
（1）、圆的参数方程；
（2）、椭圆的参数方程；
（3）、直线的参数方程；
（4）、双曲线的参数方程。
（二）、新课探究：
1、参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种：
（1） 代入法：利用解方程的技巧求出参数t，然后代入消去参数
（2） 三角法：利用三角恒等式消去参数
（3） 整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去。
化参数方程为普通方程 为
F(x,y)?0
：在消参过程中注意变量
x
、
y
取值范 围的一
致性，必须根据参数的取值范围，确定
f(t)
和
g(t)
值 域得
x
、
y
的取值范围。
2、探析常见曲线的参数方程化为普通方程的方法，体会互化过程，归纳方法。
?
x ?rcos
?
（1）圆
x
2
?y
2
?r
2
参数方程
?
（
?
为参数）
?
y?rsi n
?
?
x?x
0
?rcos
?
（2）圆
( x?x
0
)
2
?(yy
0
)
2
?r
2
参数方程为：
?
（
?
为参数）
?
y? y
0
?rsin
?
?
x?acos
?
x
2
y
2
（3）椭圆
2
?
2
?1
参数方程
?
（
?
为参数）
ab
?
y?bsin
?
word.

?
x?asec
?
x
2
y
2
（4）双曲线2
?
2
?1
参数方程
?
（
?
为参数）
ab
y?btan
?
?
?
x?2Pt
2
（5）抛物线
y?2Px
参数方程
?
（t为参数）
?
y?2Pt
2
（6）过定点
P(x
0,y
0
)
倾斜角为
?
的直线的参数方程
?
x?x
0
?tcos
?

?
（
t
为参数）
?
y?y
0
?t sin
?
3、理解参数方程与普通方程的区别于联系及互化要求。
（二）、例题探析
例1、将下列参数方程化为普通方程
2
?
?
x?sin
?
?cos
?
?
x?t?2t
（1）
?
（2）
?
2
?
?
y?sin2
?
?
y? t?2
2
1
t?1
?
?
?
x?
x?2(t ?)
x?
2
?
?
?
???
t
t?21?t
（3）
?
（4）
?
（5）
?

1
2t2t
?
y?
?
y?
?
y?3(t< br>2
?)
?
?
?
t?2
t
2
1?t< br>2
?
?
?
学生练习，教师准对问题讲评，反思归纳方法。
例2化下列曲线的参数方程为普通方程，并指出它是什么曲线。
?
x?2cos
?
?
x?1?2t
（1）
?
（t是参数） （2） （
?
是参数）
y?co s2
?
?
?
y?3?4t
t
1?2t
2
（ 3） （t是参数）
1?2t
2
y?
1?2t
2
x?
学生练习，教师准对问题讲评，反思归纳方法。
例3、已知圆O半径为1，P是圆上动点 ，Q（4，0）是
x
轴上的定点，M是PQ的中点，
当点P绕O作匀速圆周运动时，求 点M的轨迹的参数方程。
学生练习，教师准对问题讲评，反思归纳方法。
（三）、巩固导练：
word.

1
?
?
x?t?
1、（1）方程
?
。
t
表示的曲线（ ）
?
?
y?2
A、一条直线 B、两条射线
C、一条线段 D、抛物线的一部分
（2）下列方程中，当方程
y
2
?x
表示同一曲线的点
2
?
?
x?t
?
x?sint
A、
?
B、
?

2
?
?
y?t
?
y?si nt
1?xos2t
?
?
x?1?1
x?
?
C、< br>?
D、
?
1?cos2t
< br>?
y?t
?
?
y?tant
?
x?4sin
?
2、P是双曲线
?
（t是参数）上任一点，
F
1
，
F
2
是该焦点：
y?3tan
?
?
求△F
1
F
2
的重心G的轨迹的 普通方程。
3、 已知
P(x,y)
为圆
(x?1)
2
? (y?1)
2
?4
上任意一点，求
x?y
的最大值和最小值。 （四）、小结：本节课学习了以下内容：熟练理解和掌握把参数方程化为普通方程的几
种方法。抓住 重点题目反思归纳方法，进一步深化理解。
（五）、作业：
五、教学反思：











word.

14 圆的渐开线与摆线
一、教学目标：
知识与技能：了解圆的渐开线的参数方程, 了解摆线的生成过程及它的参数方程.
过程与方法：学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤
情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
二、重难点：教学重点： 圆的渐开线的参数方程，摆线的参数方程
教学难点： 用向量知识推导运动轨迹曲线的方法
三、教学方法：讲练结合，启发、诱导发现教学.
四、教学过程：
（一）、复习引入：复习：圆的参数方程
（二）、新课探析：
1、以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立平面直角坐标系，可得圆渐开线的
?
x?r(cos
?
?
?
sin
?
)
参数方程为?
（
?
为参数）
y?r(sin
?
?
?
cos
?
)
?
6
5
4
3
D
2
j
C
1
x
-10-8-6-4-2
O
-1B
2
O'
468
-2
-3
-4
-5
- 6

2、在研究平摆线的参数方程中，取定直线为
x
轴，定点M滚动时落在直 线上的一个
位置为原点，建立直角坐标系，设圆的半径为r，可得摆线的参数方程为。
?
x?r(
?
?sin
?
)
（
?
为参数）
?
y?r(1?cos
?
)
?

word.

（三）、例题与训练题：
例1 求半径为4的圆的渐开线参数方程
?
x?cos
?
?
?
sin
?
变式训练1 当
?
?
，
?
时，求圆渐开线
?
上对应点A、B 坐标并
2
y?sin
?
?
?
cos
?
?< br>?
求出A、B间的距离。
?
?
?
x?2(cost?tsint)
变式训练2 求圆的渐开线
?
上当
t?
对应的点的直角坐标。
4
?
?
y?2(sint?tcost)
例2 求半径为2的圆的摆线的参数方程
?
x?t?sint
变式训练3： 求摆线
?

0?t?2
?
与直线
y?1
的交点的直角坐标
?
y?1?cost
例3、设圆的半径为8，沿
x
轴正向滚动，开始时圆与
x< br>轴相切于原点O，记圆上动点为
M它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M点的轨迹方程， 画出相应曲线，求此
曲线上纵坐标
y
的最大值，说明该曲线的对称轴。
（四）、小结：本节课学习了以下内容：
1． 观察发现圆的渐开线及圆的摆线的形成过程；
2．探析圆的渐开线的参数方程，摆线的参数方程
3．会运用圆的渐开线的参数方程，摆线的参数方程求解简单问题。
（五）、作业：
五、教学反思：






word.

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word.