2017-2018学年高中数学矩阵的简单应用教学案苏教版选修4-2

，
?
?
3－－1
b
＝，
?
4
解得
?
3＋3×－1
c
＝
4
?
3＋3×－1
d
＝.
?
?
4
nn
n
＋1
nn
3< br>a
＝
n
＋1
＋－1
4
n
n
＋1，

n
n

?
?
因此
A
＝< br>?
3
?
n
3
n
＋1
＋－1
4
n
3－－1

4
n
＋1
n
n
＋1
＋3×－1
4
3＋3×－1

4
n
?
?
.
?
?


矩阵的实际应用

[例3] 某人进行股票投资，获利与亏损的规律为：如果某年投 资获利，则第二年投资
21
亏损的概率为；如果某年投资亏损，则第二年投资获利的概率为，假 设2013年他获利的
32
3
概率为.
4
(1)求他2014年投资获利的概率；
(2)问他2014年与2015年哪一年投资获利机会大？
[思路点拨] 列出数组之间的矩阵表达式，转化为矩阵问题求解．
3
??
4
31
??
表[精解详析] (1)2013年他获 利的概率为，则投资亏损的概率为，它可以用
W
＝
44
?
1
?
?
4
?
示.2014年他获利与亏损的概率为
W
2014
??????
??

??
＝
??
，所以2014年获利的概率为
3
. ＝
8
?
2

1
??
1
??
5?
?
32
??
4
??
8
?
11

32
3
4
3
8
(2)2015年获利与亏损的概率为

W
2015
1

??
1
32
??
＝
?
2

1
?
?
32
?
2

1137
< br>??????
3
??
?
4
?
＝
?
3 2
?

?
8
?
＝
?
16
?
.
?
1
??
2

1
??
5
??9
?
?
4
??
32
??
8
??
16
?
7
所以2015年获利的概率为，2015年投资获利机会大．
16

对于一些实际问题可通过列出数组之间的矩阵表达式，将实际问题转化为矩阵问 题，利
用矩阵的相关知识，最终达到解决实际问题的目的．


5．为了保证信息安全传输，设计一种密码系统，其加密原理如下：
明文
X
加密
,
密文
Y
发送
,
密文
Y
解密
,
明文
X

现在加密方式为：把发送的数字信息
X
写为“< br>a
11
a
21
a
12
a
22
”的形 式，先左乘矩阵
A
＝
?
1
?
?
－2
4
?
2
?
?
，再左乘矩阵
2
－
??
6
55
??
B
＝，得到密文
148
?
－
?
?
55
?
Y
.现在已知接收方得到的密文是
4,12,10,22，试破解该密码．
解：由题意知，
2
－
??
6
55
?
?
1 4
??
2 4
?
?
BA
＝
??
＝
??
，
148－2 26 8
????
?
－
?
?
55< br>?
∴(
BA
)
－1
?
－1
1
?
2
??
. ＝
?
3
－
1
?
?
44
?
?
4 10
?
又(
BA
)
X
＝
??
，
?
12 22
?
1
－1
??
2
?
?
4 10
??
4 10
?
?

???
＝
?

1
?
?
12 22
??
12 22
?
?
3
?
4
－
4
?
∴X
＝(
BA
)
－1

?
2
＝
?
?
0
1
?
2
?
?
，
即发送的数据信息是2 012.
x
＋
y
≤2，
?
?
6．已知不等式组
?< br>x
≥0，
?
?
y
≥0.

*
确定的 平面区域为
F
0
，点
M
0
(
a
，
b
)在平面区域
F
0
内，
点
M
1
(
a
＋
b,
2
b
)在平面区域
F
1
内．
(1)求平面区域
F
1
的面积；
(2)若点
M
1
(
a
1
，
b
1
)在平面区域
F
1
内，则点
M
2
(
a
1
＋
b
1,< br>2
b
1
)便在平面区域
F
2
内，若点
M2
(
a
2
，
b
2
)在平面区域
F2
内，则点
M
3
(
a
2
＋
b
2,
2
b
2
)便在平面区域
F
3
内，…，依次类推 ，试判断平面区
域
F
n
的形状，并求其面积
S
n
(
n
∈N)．
解：(1)设
M
1
(
a
1< br>，
b
1
)，依题意有
?
?
a
1
＝
a
＋
b
，
?
?
?
b
1
＝ 2
b
，

可表示为
??
＝
?
?
a
1
??
1 1
??
a
?
?

??
.
?
b
1
??
0 2
??
b
?
由于 平面区域
F
0
是由三个点
O
0
(0,0)，
A0
(2,0)，
B
0
(0,2)组成的，故平面区域
F
1
是由三
个点
O
1
(0,0)，
A
1
(2 ,0)，
B
1
(2,4)组成的，其面积
S
1
＝4. (2)设
M
n
＋1
(
a
n
＋1
，b
n
＋1
)(
n
∈N)，由题意有
?
?a
n
＋1
＝
a
n
＋
b
n
，< br>?
?
b
n
＋1
＝2
b
n
，
?
*

?
a
n
＋1
??
1
可表 示为
??
＝
?
?
b
n
＋1
??
0
1
??
a
n
?
?

??
. 2
??
b
n
?
设
A
＝
?
?< br>1 1
??
a
n
?
n
?
a
?
?
，则
??
＝
A
??
，
?
0 2??
b
n
??
b
?
?
1
?
?
0
?
?
1
?
?
1
?
求得
A
的特征值
λ
1
＝1，
λ
2
＝2，
λ< br>1
＝1对应的一个特征向量
α
1
＝
??
，
λ
2
＝2对应的一个特征向量
α
2
＝
??
.
?
2
?
又
??
＝2
α
1
， ?
0
?
?
2
??
1
??
2
?
nn
故
A
??
＝2
λ
1
α
1＝2×1×
??
＝
??
.
?
0
??
0
??
0
?
n
?
0
?
又
??＝－2
α
1
＋2
α
2
，
?
2
?

?
0
?
nn
故
A
??
＝－2×
λ
1
α
1
＋2×
λ
2
α
2

?
2
?
n
＝－2×1
α
1
＋ 2×2
α
2

nn
?
2－2
?
＝
?
n
＋1
?
.
?
2
?
由题意知矩阵A
所对应的变换是线性变换，即在矩阵
A
的作用下，将直线
A
0
B
0
变换成
n
＋1
A
1
B
1，将
A
1
B
1
变换成
A
2
B
2
，…，将直线
A
n
－1
B
n
－1
变换为
A
n
B
n
，
∴平面区域
F
n
是 由三点
O
n
(0,0)，
A
n
(2,0)，
Bn
(2
＝2
n
＋1
n
＋1
－2,2
n
＋1
)组成的三角形，其面积
S
n
(
n
∈N)．
*

[对应学生用书P45]


?
0??
1
??
2
?
1．已知向量
ξ
1
＝
??
，
ξ
2
＝
??
，
α
＝
??
，把
α
用
ξ
1
，
ξ
2
线性 表出．
?
1
??
1
??
3
?
?
2
??

t
2
?
解：设
α
＝
t< br>1
ξ
1
＋
t
2
ξ
2
即
??
＝
??
.
?
3
??
t
1
＋t
2
?
?
?
t
2
＝2，
∴
?
?
t
1
＋
t
2
＝3，
?

?
?
t
1
＝1，
故
?
?
t
2< br>＝2.
?


∴
α
＝
ξ
1
＋2
ξ
2
.
?
1
??
0
?
2．若矩阵
A
有特征值
λ
1
＝2，
λ
2
＝－1，它们对应的特征向量分别为
i
＝
??
和
j
＝
??

?
0
??
1
?
(1)求矩阵
A
及逆矩阵
A
；
－1
?
1
?
100
(2)若
α
＝
??
，试求
Aα
.
?
16
?
?
a

解：(1)设
A
＝
?
?
c

b
?
?
?
Ai
＝
λ
1
i
，
?
，则由题意可得
?
?
Aj
＝
λ
2
j
，d
?
?


?
a

b
??< br>1
??
a
??
1
?
?
???
＝??
＝2
??
，
?
?
?
c

d
??
0
??
c
??
0
?
即
?
?
a

b
??
0
??
b
??0
?
???
＝
??
＝－1
??
.
?< br>?
?
?
c

d
??
1
??
d
??
1
?

a
＝2，
?
?
b
＝0，
所以
?
c
＝0，
?
?
d
＝－1，

100
即
A
＝
?
?
2 0
?
?
.
?
0 －1
?
?
1
0
?
－1
?
. 所以
A
＝
?
2
??
?
0 －1
?
?
1
??
1
??
0
??
m
?
(2 )设
α
＝
mi
＋
nj
，则
??
＝
m
??
＋
n
??
＝
??
.
?
1 6
??
0
??
1
??
n
?
所以
m
＝1，
n
＝16.
所以
Aα
＝
mλ
1

i
＋
nλ

j

2
100100
?
1
??
0
??
2
?
100
＝1·2??
＋16·(－1)·
??
＝
??
.
?
0
??
1
??
16
?
100
100
?
3
3．设
A
＝
?
?
5
4
?
?
，求
A
(
n
∈N)．
2
?
n
*
解：矩阵
A
的特征多项式为：
?
λ
－3 －4
?
2
f
(
λ
)＝
??
＝
λ
－5
λ
－14＝(
λ
－7)(< br>λ
＋2)，
?
－5
λ
－2
?
令
f
(
λ
)＝0得矩阵
A
的特征值为
λ
1
＝ 7，
λ
2
＝－2.
把
λ
1
＝7，
λ
2
＝－2代入线性方程组
?
λ
－3 －4
??
x
??
0
?
??

??
＝
??

?
－5
λ
－2
? ?
y
??
0
?
得各自对应的一个特征向量
α
1、
α
2
，
α
1
＝
??
，
α
2
＝
?
?
1
?
?
1
?
?
4
?
?
.
?
－5
?
∴
Aα< br>1
＝
λ
1
α
1
，
Aα
2
＝
λ
2
α
2
，
nn
A
n
α
1
＝
λ
n
1
α
1
，
Aα
2＝
λ
2
α
2
.
?
a

设
A
＝
?
?
c

n
b
?
d
?
?
，则
n
?
a

?
?
c

?
a

?
?
c

b
??
1
??
1
?
?

??
＝7
??
，
d
??
1
??
1
?
b
??
4
?
4
?
n
?
?

??
＝(－2)
??
.
d
??
－5
??
－5
?

1
nnn
＋2
解得：
a＝[5×7＋(－1)·2]，
9
b
＝[7
n
＋(－1)n
＋1
·2
n
]，
c
＝[7
n
＋( －1)
n
＋1
·2
n
]，
d
＝[4×7
n
＋(－1)
n
×5×2
n
]．
∴
A
＝
n
4
9
5
9
1
9
?
?
?
5
[7＋
?
9
n
1
n
[5×7＋－19
－1
n
＋1
n
·2
n
＋2
4
n
] [7＋－1
9
n
＋1
1
nn
·2] [4×7＋－1
9
1
?
n
?
?
.
×5×2]
?
?
·2]
n
n
?
－1 0
??
2
?
，
N
＝
?
4．若
M
＝
?
1
?
－ 1
??
2
2
???
?
2
?
－1100
?
1
，
β
＝
??
，求[(
MN
)]
β
.
?
?
－2
?
2
?
?
－1 0
??
2 1
?
－2 －1
?
?

?1
?
＝
?
解：∵
MN
＝
?
1
，
?
?
－ 1
??
2
?
?
1 0
?
?
?
2
??
2
?
?
－2 －1
?
∴det(
MN
)＝
??
＝1.
?
1 0
?
∴(
MN
)＝
?
－1
－1
?
0 1
?
?
.
?
－1 －2
?
设(
M N
)的特征值为
λ
，特征向量为
ξ
，
?
0 1
??
x
??
x
?
则
??

??
＝
λ
??
，
?
－1 －2
??y
??
y
?
∴
f
(
λ
)＝
?
?
－
λ
－1
?
?

?
1 －2－
λ
?
2
＝－
λ
(－2－
λ
)＋1＝
λ
＋2
λ
＋1＝0.
∴
λ
＝－1，
ξ< br>＝
?
－1100
?
1
?
?
.∴
β
＝2
ξ
.
?
－1
?
100
?
2
?
∴[(
MN
)]
β
＝
λ
·2
ξ
＝2
ξ
＝
β
＝
??
.
?
－2
?
?
1
5．已知矩阵
A
＝
?
?
－1
a
??2
?
?
的一个特征值为
λ
＝2，其对应的特征向量是
α
1
＝
??
，向量
b
??
1
?

?
7
?
β
＝
??
.求
a
、b
及
A
5
β
.
?
4
?
?
1
解：由题意可知
?
?
－1
?
?
2＋
a< br>＝4
即：
?
?
?
－2＋
b
＝2
a< br>??
2
??
2
?
?

??
＝2
??

b
??
1
??
1
?

?
?
a
＝2
，得
?
?
?
b
＝4

.
?
1
∴
A
＝
?
?
－1
f< br>(
λ
)＝
?
2
?
?
的特征多项式为
4
?
?
λ
－1 －2
?
2
?
＝
λ
－5
λ
＋6，
?
1
λ
－4
?
令
f
(
λ< br>)＝0得：
λ
1
＝2，
λ
2
＝3.
?2
?
显然
λ
1
＝2时的一个特征向量为
α
1< br>＝
??
.
?
1
?
?
x
?
设
λ
2
＝3时的一个特征向量为
α
2
＝
??
，
?
y
?
?
1
则
?
?
－1
2
??
x
??
x
?
?

??
＝3
??
，
4
??
y
??
y
?
?
?
x
＋2
y
＝3
x
即：< br>?
?
－
x
＋4
y
＝3
y
?

?
1
?
，得
y
＝
x
，不妨令
α< br>2
＝
??
，
?
1
?
?
7
??
2
??
1
?
又
β
＝
??
＝3
??
＋
??
＝3
α
1
＋
α
2，
?
4
??
1
??
1
?
?
2
?
5
?
1
??
3×2＋3
??
435< br>?
∴
Aβ
＝3×2
??
＋3
??
＝
??
＝
??
.
?
1
??
1
??
3×2
5
＋3
5
??
339
?
55
65< br>?
1
6．已知矩阵
A
＝
?
?
5
n
n
2
??
3
?
?
及向量
α
＝< br>??
，
4
??
4
?
n
100
(1 )计算
Aα
，并分析讨论当
n
的值越来越大时，
Aα
的变化 趋势；
(2)给出
Aα
的一个近似公式，并利用这一公式计算
Aα
. 解：(1)
f
(
λ
)＝
?
?
λ
－1 －2
?
2
?
＝
λ
－5
λ
－6＝(
λ
＋1)(
λ
－6)，
?
－5
λ
－4
?
?
1
?
?
，
?－1
?
则矩阵
A
的特征值为
λ
1
＝－1，λ
2
＝6.
属于特征值
λ
1
＝－1的一个特征向量< br>α
1
＝
?

?
2
?
属于特征值
λ
2
＝6的一个特征向量
α
2
＝
??
，
?
5
?
?
3
??
1
??
2?
α
＝
??
＝
??
＋
??
＝
α
1
＋
α
2
.
?
4
??
－1< br>??
5
?
?
－1
Aα
＝
λ
1
α
1
＋
λ
2
α
2
＝
?
?
－1
nnn
n
n
＋2×6
n
＋1
?
?< br>.
＋5×6
?
n
n
＋1
n
当
n< br>的值越来越大时，(－1)和(－1)可忽略不计，
?
2×6
?
Aα
≈
??
.
?
5 ×6
n
?
n
n
?
2×6
?
(2)由(1) 可得，
Aα
≈
??
，
?
5×6
n
?n
n
?
2×6
?
100
∴
Aα
＝??
.
?
5×6
100
?
?
1
0
?
?
，求点
P
(3,3)经过矩阵
A
的连续50次 作用后得到的点
P
50
的坐7．已知矩阵
A
＝
?
2
??
?
0 2
?
标．
解：矩阵
A
的特征多项式
100
?
λ
－
1
0
?
?
＝(
λ
－
1
)(
λ
－2)，
2
f
(
λ
)＝
?
??
2
?
0
λ
－ 2
?
1
由
f
(
λ
)＝0得
λ
1< br>＝，
λ
2
＝2.
2
0
x
－0
y< br>＝0，
?
?
1
当
λ
＝时，由方程组
?
3
2
0
x
－
y
＝0，
?
2
?< br>令
x
＝1，
y
＝0，
1
?
1
?
得属于特征值的一个特征向量为
??
.
2
?
0
?


?
0
?
同理属于特征值2的一个特征向量为
??
.
?
1
?
?
3
??
1
??
0
?< br>由于
??
＝3
??
＋3
??
，
?
3
??
0
??
1
?

?
3
? ?
1
所以
A
??
＝3
?
?
3
??
2
5050
?
1
???
50
?
0
??
???
＋3
?
2
???

?
0
????
1
??
?
3
1
＝
?
2
?
?
3·2
50
50
?
?
，
?
?
??
1
?
5050
?
即点
P
(3,3) 经过矩阵
A
的连续50次作用后得到的点
P
50
的坐标是
?
3
??
，3·2
?
.
??
2
??
8．狐狸和兔子在同一栖息地生存，我们忽略其他因素，只考虑兔子数量与狐狸数量的
相互影响．现假 设在第
n
年时，兔子的数量为
a
n
，狐狸的数量为
b
n
，在初始时刻时(即第0
?
?
a
n
＝1.1
a
n
－1
－0.15
b
n
－1
，
年)，兔子 有
a
0
＝100只，狐狸有
b
0
＝30只，且两种群之间满 足
?
?
b
n
＝0.1
a
n
－1
＋ 0.85
b
n
－1
.
?

(
n
≥1) (*)
试分析随着时间的变化，兔子和狐狸的数量有着怎样的变化？
?
a
n
??
1.1 －0.15
?
解：令
β
n
＝
??
，
M
＝
??
，则(*)式可以 改写成
β
n
＝
M

β
n
－1
(
n
≥1)．
?
b
n
??
0.1 0.85
?
由此可知
β
n
＝
M β
n
－1
＝
Mβ
n
－2
＝…＝
Mβ
0
.
2
n
?
3
??
1
?
经过计算，矩阵
M有两个特征值
λ
1
＝1，
λ
2
＝0.95，且分别可取
α
1
＝
??
，
α
2
＝
??
为
?
2
??
1
?
对应的特征向量，显然
α
1
，
α
2
不共线，又不妨假设
β
0
＝
s α
1
＋
t α
2
(其中
s
，
t
待定)．
?
?
100＝3
s
＋
t
，
则有
?
?
?
30＝2
s
＋
t
，

解得
s
＝70，
t
＝－110，
即
β
0
＝70
α
1
－110
α
2
.
从而由特征 向量性质知
β
n
＝
Mβ
0
＝
M
(70α
1
－110
α
2
)＝70
λ
1
α< br>1
－110
λ
2
α
2
，
31
?< br>a
n
?
n
??
n
??
即
??
＝70×1
??
－110×0.95
??

?
b
n
??
2
??
1
?
110
??
210?
n
?
＝
??
－0.95
??
.
?
140
??
110
?
即第
n
年兔子和狐狸的数量为
?
?
a
n
＝210－110×0.95，
?
n?
b
n
＝140－110×0.95.
?
n
nnnn< br>

由此可看出，随着时间的增加，兔子和狐狸的数量逐渐增加，当时间充分长后，兔子 和
狐狸的数量达到一个稳定的平衡状态．