选修4-4坐标系与参数方程知识点总结及同步练习(附答案) - 副本

学而通 黄冈教育
教师： 赵映雄 学生：
坐标系与参数方程 知识点
1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
?
x
?
?
?
x
设点P(x,y)是平面直角坐标系 中的任意一点,在变换
?
:
?
?
y
?
?
?
y
(
?
?0)
(
?
?0)
的作用下,点< br>P(x,y)对应到点
P
?
(x
?
,y
?
)
,称
?
为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.
2.极坐标系的概念
(1)极坐标系
如图所示,在平面内取一个定点
O< br>,叫做极点,自极点
O
引一条射线
Ox
,
叫做极轴;再选定一 个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方
向),这样就建立了一个极坐标 系.
注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴
为 几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极
坐标系和平面 直角坐标系都是平面坐标系.
(2)极坐标
设M是平面内一点,极点
O
与 点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为
?
;以极轴
Ox
为始边,
射线
OM
为终边的角
?xOM
叫做点M的极角,记为
?
.有 序数对
(
?
,
?
)
叫做点M的极坐标,
记作
M(
?
,
?
)
.
一般地,不作特殊说明时,我们认为
?
?0,
?
可取任意实数.
特别地,当点
M
在极点时,它的极坐标为(0,
极坐标有无数种表示. < br>如果规定
?
?0,0?
?
?2
?
,那么除极点外,平 面内的点可用唯一的极坐标
(
?
,
?
)
表示;同时,
极坐标
(
?
,
?
)
表示的点也是唯一确定的.
3.极坐标和直角坐标的互化
(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴 作为极轴,并在两种坐标系中取
相同的长度单位,如图所示:
?
)(
?
∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的

学而通 黄冈教育
教师： 赵映雄 学生：

(2)互化公式:设
M
是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是
( x,y)
,极坐标是
(
?
,
?
)
(
??0
),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:
点
M

直角坐标
(x,y)
极坐标
(
?
,
?
)


互化公式
?
x?
?
cos
?

?
y?
?< br>sin
?
?
?
2
?x
2
?y
2
y
tan
?
?(x?0)
x

在一般情况下 ,由
tan
?
确定角时,可根据点
M
所在的象限最小正角.
4.常见曲线的极坐标方程
曲线 图形 极坐标方程
圆心在极点,半径
为
r
的圆

圆心为
(r,0)
,半径
为
r
的圆
圆心为
(r,

?
?r(0?
?
?2
?
)

?
? 2rcos
?
(?
?
2
?
?
?
?
2
)

?
2
)
,半

?
2rsin
?
(0?
?
?
?
)

径为
r
的圆
(1)
过极点,倾斜角为
?
?
?
(
?
?R)或
?
?
?
?
?
(
?
?R)


(2)
?
?
?
(< br>?
?0)和
?
?
?
?
?
(
?
?0)

?
的直线

学而通 黄冈教育
教师： 赵映雄 学生：
过点
(a,0)
,与极轴
垂直的直线

?
cos
?
?a(?
?
2
?
?
?
?
2)

过点
(a,
?
2
)
,与极
?sin
?
?a(0?
?
?
?
)

轴平行的直线


注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即
(
?
,
?
),(
?
,2
?
?
?
),(?
?
,
?
?
?
),(?
?
,?
?
?
?
),
都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的
唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足
极坐标方程即 可.例如对于极坐标方程
?
?
?
,
点
M(
??,)
可以表示为
44
?????
5
?
??
(, ?2
?
)或(,?2
?
)或(-,)
等多种形式,其中,只有
(,)
的极坐标满足方
44
444444
程
?
?
?
.
二、参数方程
1.参数方程的概念
一般地,在平面直角坐标系中, 如果曲线上任意一点的坐标
x,y
都是某个变数
t
的函数
?
x?f(t)
①,并且对于
t
的每一个允许值,由方程组①所确定的点
M(x ,y)
都在这条曲线上,
?
?
y?g(t)
那么方程①就叫做这条曲 线的参数方程,联系变数
x,y
的变数
t
叫做参变数,简称参数,相对
于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.
2.参数方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从
参数方 程得到普通方程.
(2)如果知道变数
x,y
中的一个与参数
t
的 关系,例如
x?f(t)
,把它代入普通方程,求

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教师： 赵映雄 学生：
出另一个变数与参数的关系
y?g(t)
,那么
?
?
x?f(t)
就是曲线的参数方程,在参数方程与
?
y?g(t)
普通方程的互化中,必须 使
x,y
的取值范围保持一致.
注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定 唯一。应用参数方程解轨迹问题，
关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参 数方程的形式也不同。
3．圆的参数
如图所示，设圆
O
的半径为
r
，点
M
从初始位置
M
0
出发，按逆时针方向在圆
O
上作匀速
圆周运动，设
M(x,y)
，则
?
?
x ?rcos
?
(
?
为参数)
。
y?rsin
?< br>?
这就是圆心在原点
O
，半径为
r
的圆的参数方程，其中?
的几何意义是
OM
0
转过的角度。
圆心为
(a,b )
，半径为
r
的圆的普通方程是
(x?a)?(y?b)?r
， < br>222
?
x?a?rcos
?
它的参数方程为：
?
(
?
为参数)
。
y?b?rsin
?
?
4．椭圆的参数方程
x
2
y
2
以坐标原点
O
为中心，焦点在
x
轴上的椭圆的标准方程 为
2
?
2
?1(a?b?0),
其参数方
ab
?< br>x?acos
?
程为
?
(
?
为参数)
，其中 参数
?
称为离心角；焦点在
y
轴上的椭圆的标准方程是
y?bsin
?
?
?
x?bcos
?
y
2
x
2
??1(a?b?0),
其参数方程为
(
?
为参数),
其中 参数
?
仍为离心角，通
?
22
ab
?
y?asin
?
常规定参数
?
的范围为
?
∈[0，2
?
）。
注：椭圆的参数方程中，参数
?
的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和 这一点的
旋转角
?
区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在
0
到
2
?
的范
围内），在其他任何一点，两个角的数值都不 相等。但当
0?
?
?
?
2
时，相应地也有
0??
?
?
2
，在其他象限内类似。
5．双曲线的参数方程 x
2
y
2
以坐标原点
O
为中心，焦点在
x轴上的双曲线的标准议程为
2
?
2
?1(a?0,b?0),
其 参
ab

学而通 黄冈教育
教师： 赵映雄 学生：
数方程为
?
?
x?a sec
?
?
3
?
.

(
?
为参数 )
，其中
?
?[0,2
?
)且
?
?,
?< br>?
22
?
y?btan
?
y
2
x
2
焦点在
y
轴上的双曲线的标准方程是
2
?
2
?1( a?0,b?0),
其参数方程为
ab
?
x?bcot
?
(
?
为参数，其中
?
?(0,2
?
)e且
?
?
?
.
以上参数
?
都是双曲线上任意一点的
?
y? acsc
?
?
离心角。
6．抛物线的参数方程
以坐标原点为顶点 ，开口向右的抛物线
y?2px(p?0)
的参数方程为
2
?
x?2 pt
2
(t为参数).

?
?
y?2pt
7．直线的参数方程
经过点
M
0
(x
0
,y
0
)
，倾斜角为
?
(
?
?
?
2
)
的直线
l
的普通方程是
y?y
0
?tan
?
(x?x
0
),
而过
?x?x
0
?tcos
?
M
0
(x
0
, y
0
)
，倾斜角为
?
的直线
l
的参数方程为
?
(t为参数)
。
?
y?y
0
?tsin
?< br>注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点
M
0
(x
0
,y
0
)
，倾斜角为
?
的直线
l
的参数方程
?
x?x
0
?tcos
?
(t为参数)
，其中
t表示直线
l
上以定点
M
0
为起点，任一点
M(x,y)
为为
?
y?y?tsin
?
0
?
终点的有向线段< br>M
0
M
的数量，当点
M
在
M
0
上方 时，
t
＞0；当点
M
在
M
0
下方时，
t< br>＜
0；当点
M
与
M
0
重合时，
t
= 0。我们也可以把参数
t
理解为以
M
0
为原点，直线
l向上的方
向为正方向的数轴上的点
M
的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位 长度相同。

选修4-4

数学选修4-4 坐标系与参数方程 [基础训练A组]
数学选修4-4 坐标系与参数方程 [综合训练B组]
数学选修4-4 坐标系与参数方程 [提高训练C组]

学而通 黄冈教育
教师： 赵映雄 学生：

数学选修4-4 坐标系与参数方程
[基础训练A组]
一、选择题
1．若直线的参数方程为
?
?
x?1?2t
( t为参数)
，则直线的斜率为（ ）
?
y?2?3t
2
2
B．
?

3
3
3
3
C． D．
?

2
2
A．
2．下列在曲线
?
?
x?sin2
?
(?
为参数)
上的点是（ ）
?
y?cos
?
? sin
?
31
42
A．
(,?2)
B．
(?,)
C．
(2,3)
D．
(1,3)

2
?
?
x?2?sin
?
(
?
为参数)< br>化为普通方程为（ ） 3．将参数方程
?
2
y?sin
??
?
1
2
A．
y?x?2
B．
y?x?2
C．
y?x?2(2?x?3)
D．
y?x?2(0?y?1)

4．化极坐标方程
?
cos?
?
?
?0
为直角坐标方程为（ ）
A．
x?y?0或y?1
B．
x?1
C．
x?y?0或x?1
D．
y?1

5．点
M< br>的直角坐标是
(?1,3)
，则点
M
的极坐标为（ ）
A．
(2,
2222
2
?
?
2
?
?)
B．
(2,?)
C．
(2,)
D．
(2,2k
?
?),(k?Z)

3
333
6．极坐标方程
?
cos
?
?2sin2
?
表示的曲线为（ ）
A．一条射线和一个圆 B．两条直线 C．一条直线和一个圆 D．一个圆



二、填空题
?
x?3?4t
1．直线?
(t为参数)
的斜率为______________________。
y?4?5t
?

学而通 黄冈教育
教师： 赵映雄 学生：
t?t
?< br>?
x?e?e
2．参数方程
?
(t为参数)
的普通方程为__ ________________。
t?t
?
?
y?2(e?e)
3．已知直线
l
1
:
?
?
x?1?3t
(t为参 数)
与直线
l
2
:2x?4y?5
相交于点
B
，又 点
A(1,2)
，
?
y?2?4t
则
AB?
_______________。 1
?
x?2?t
?
?
2
(t为参数)
被圆x
2
?y
2
?4
截得的弦长为______________。 4．直线
?
?
y??1?
1
t
?
?2
5． 直线
xcos
?
?ysin
?
?0
的极坐标方程为____ ________________。
三、解答题
1．已知点
P(x,y)
是圆
x?y?2y
上的动点，
（1）求
2x?y
的取值范围；



（2）若
x?y?a?0
恒成立，求实数
a
的取值范围。
22

2．求直线
l
1
:
?
?
?
x?1?t
(t为参数)
和直线
l
2
:x?y?23?0< br>的交点
P
的坐标，及点
P

?
?
y??5?3t
与
Q(1,?5)
的距离。


x
2
y
2
??1
上找一点，使这一点到直线x?2y?12?0
的距离的最小值。 3．在椭圆
1612


数学选修4-4 坐标系与参数方程

学而通 黄冈教育
教师： 赵映雄 学生：
[综合训练B组]
一、选择题
1．直线
l
的参数方程为
?
?
x?a?t
则点
P
1
与
P(a,b)
(t为参数)
，
l
上的点
P
1
对应的参数是
t1
，
?
y?b?t
之间的距离是（ ）
A．
t
1
B．
2t
1
C．
2t
2
1
D．
2
t
1
?
2．参数方程为
?
?
x?t?
1
t
(t为参 数)
表示的曲线是（ ）
?
?
y?2
A．一条直线 B．两条直线 C．一条射线 D．两条射线
?
?
x?1?
13．直线
?
?
2
t
3
(t为参数)
和圆
x
2
?y
2
?16
交于
A,B
两点，
?
?
?
y??33?
2
t
则
AB
的中点坐 标为（ ）
A．
(3,?3)
B．
(?3,3)
C．
(3,?3)
D．
(3,?3)

4．圆
?< br>?5cos
?
?53sin
?
的圆心坐标是（ ）
A．
(?5,?
4
?
3
)
B．
(?5,
?
?
5
?
3
)
C．
(5,
3
)
D．
(?5,
3
)

5．与参数方程为
?
?
?
x?t
(t为参数)
等价 的普通方程为（ ）
?
?
y?21?t
A．
x
2< br>?
y
2
4
?1
B．
x?
y
2
2
4
?1(0?x?1)
< br>C．
x
2
?
y
2
y
2
4
? 1(0?y?2)
D．
x
2
?
4
?1(0?x?1,0?y?2)

6．直线
?
?
x??2?t
?
y?1?t
(t为参数)< br>被圆
(x?3)
2
?(y?1)
2
?25
所截得的弦 长为（
A．
98
B．
40
1
4
C．
82
D．
93?43




）

学而通 黄冈教育
教师： 赵映雄 学生：
二、填空题
1
?
x ?1?
?
1．曲线的参数方程是
?
则它的普通方程为___________ _______。
t
(t为参数,t?0)
，
?
y?1?t
2
?
?
x?3?at
2．直线
?
(t为参数)
过 定点_____________。
y??1?4t
?
3．点
P(x,y)
是椭圆
2x?3y?12
上的一个动点，则
x?2y
的最大值为__ _________。
4．曲线的极坐标方程为
?
?tan
?
?< br>22
22
1
，则曲线的直角坐标方程为________________。
cos
?
5．设
y?tx(t为参数)
则圆
x?y?4y? 0
的参数方程为__________________________。
三、解答题
1．参数方程
?




?
x?cos< br>?
(sin
?
?cos
?
)
(
?
为 参数)
表示什么曲线？
?
y?sin
?
(sin
?
?cos
?
)
x
2
y
2
??1
上，求点
P
到直线
3x?4y?24
的最大距离和最小距离。 2．点
P
在椭圆
169


3．已知直线
l
经过点
P(1,1)
,倾斜角
?
?
（1）写出直线
l的参数方程。





（2）设
l
与圆
x?y?4
相交与两点
A,B
，求点
P
到
A ,B
两点的距离之积。

22
?
6
，

学而通 黄冈教育
教师： 赵映雄 学生：

数学选修4-4 坐标系与参数方程.
[提高训练C组]
一、选择题
1．把方程
xy?1
化为以
t
参数的参数方程是（ ） 1
?
?
x?sint
?
x?cost
?
x?t ant
?
x?t
2
???
A．
?
B． C． D．
111

???
1
y?y?y?
?
y?t
?
2
???
sintcosttant
???
?< br>2．曲线
?
?
x??2?5t
(t为参数)
与坐标轴的交点是 （ ）
?
y?1?2t
2
5
1
2
1152
5
C．
(0,?4)、(8,0)
D．
(0,)、(8,0)

9
3．直线
?
A．
A．
(0,)、(,0)
B．
(0,)、(,0)

?
x?1?2t
(t为参数)被圆
x
2
?y
2
?9
截得的弦长为（ ）
?
y?2?t
1212
B．
5

55
9
9
5
D．
10
C．
5
5
?
x?4t
2
(t为参数)
上， 4．若 点
P(3,m)
在以点
F
为焦点的抛物线
?
?
y? 4t
则
PF
等于（ ）
A．
2
B．
3

C．
4
D．
5

5．极坐标方程
?
cos2
?
?0
表示的曲线为（ ）
A．极点 B．极轴
C．一条直线 D．两条相交直线
6．在极坐标系中与圆
?
?4sin
?
相切的一条直线的方程为（ ）
A．
?
cos
?
?2
B．
?
sin
?
?2

C．
?
?4sin(
?
?
?
)
D．
?
?4sin(
?
?)

33
?

学而通 黄冈教育
教师： 赵映雄 学生：




二、填空题
?
x?2pt
2
1．已知曲线
?< br>(t为参数,p为正常数)
上的两点
M,N
对应的参数分别为
t
1
和t
2,
，
y?2pt
?
且t
1
?t
2
?0
，那么
MN
=_______________。
?
?
x??2?2t
(t为参数)
上与点
A(?2,3)
的 距离等于
2
的点的坐标是_______。 2．直线
?
?
?
y?3?2t
3．圆的参数方程为
?
?
x?3sin
?
? 4cos
?
(
?
为参数)
，则此圆的半径为___________ ____。
?
y?4sin
?
?3cos
?
4．极坐标方 程分别为
?
?cos
?
与
?
?sin
?
的 两个圆的圆心距为_____________。
?
x?tcos
?
?x?4?2cos
?
5．直线
?
与圆
?
相切，则
?
?
_______________。
y?tsin
?
y?2sin
?
?
?
三、解答题
1
t?t
?
x?(e?e)cos
?
?
?
2
1．分别在下列两种情况下，把参数方程
?
化为普通方程：
?
y ?
1
(e
t
?e
?t
)sin
?
?
?2
（1）
?
为参数，
t
为常数；（2）
t
为参 数，
?
为常数；









2．过点
P(
10
,0)
作倾斜角为
?
的直线与曲线
x
2
?12y
2
?1
交于点
M,N
，
2
求
PM?PN
的值及相应的
?
的值。

学而通 黄冈教育
教师： 赵映雄 学生：
新课程高中数学训练题组参考答案
数学选修4-4 坐标系与参数方程 [基础训练A组]
一、选择题
1．D
k?
y?2?3t3
???

x?12t2
2
2．B 转化为普通方程：
y?1?x
，当x??
31
时，
y?

42
3．C 转化为普通方程：
y?x?2
，但是
x?[2,3],y?[0,1]

4．C
?
(
?
cos
?
?1)?0,
?
?x
2
?y
2
?0,或
?
cos
?
?x?1

2
?
),(k?Z)
都是极坐标
3
2
5．C
(2,2k
?
?
6．C < br>?
cos
?
?4sin
?
cos
?
,cos
?
?0,或
?
?4sin
?
,即
?
?4< br>?
sin
?

则
?
?k
?
?
二、填空题
1．
?
?2
,
或
x
2
?y
2
?4y

5y?4?5t5

k????

4x?34t4
y< br>?
t
t?t
?
x??2e
x?e?e
22
?
yy
xy
??
2
??(x?)x(??)

4
??1,(x?2)

?
y
2．
?
t?t
y
22
416
?
?e?e
?
x??2e?t
?2
?
?2
3．
?
x?1?3t
5155
将
?
代入
2x?4y?5
得
t?
， 则
B(,0
，而
)
A(1,2
，得
)
AB?

22
22
?
y?2?4t
12
，弦长的一半为
?
2
2
4．
14
直线为
x?y?1?0
，圆 心到直线的距离
d?
2
2
?(
5．
?
?
2
2
14
，得弦长为
14

)?
22
s?
?in0,?
?
cos
?
?(
，取
?
?
?
?
?
2
?
?

?
c os
?
co
?
s?
?
si
?
n
?
2

三、解答题
?
x?cos
?
1．解：（1）设圆的参数方程为
?
， < br>y?1?sin
?
?
2x?y?2cos
?
?sin
?
?1?5sin(
?
?
?
)?1

学而通 黄冈教育
教师： 赵映雄 学生：
??5?1?2x?y?5?1

（2）
x?y?a?cos
?
?sin
?
?1?a?0


?a??(co
?
s?
?a??2? 1
s
?
in?)??12
?
s?in(?

4?
)1
?
?
x?1?t
2．解：将
?
代入x?y?23?0
得
t?23
，
?
?
y??5?3t
得
P(1?23,1)
，而
Q(1,?5)
，得
PQ?(2 3)
2
?6
2
?43

4cos
?
?43 sin
?
?12
?
?
x?4cos
?
3．解：设椭 圆的参数方程为
?
，
d?

5
?
?
y?23sin
?

?
45
co
?
s?
5
3s
?
in??345
5
2c
?
o?s(
3
?
?

)3
当
cos
?
(?
?
3< br>?)
时，
1
d
min
?
45
，此时所求点为
(2?
。
,3)

5
新课程高中数学训练题组参考答案
数学选修4-4 坐标系与参数方程 [综合训练B组]
一、选择题
1．C 距离为
t
1
?t
1
?
22
2t
1

2．D
y?2
表示一条平行于
x
轴的直线，而
x?2 ,或x??2
，所以表示两条射线
3．D
(1?
1
2
3
2
t?t
t)?(?33?t)?16
，得
t
2
?8t?8?0
，
t
1
?t
2
?8,
12
?4

22
2
1
?
x?1??4
?
?< br>2
??
x?3
中点为
?

?
?
?
y??3
?
y??33?
3
?4
?
?
?2
4．A 圆心为
(,?
5
2
53
)

2
y
2
y
2
22
?1?t?1?x,x??1,而t?0,0?1?t?1,得0 ?y?2
5．D
x?t,
44
2

学而通 黄冈教育
教师： 赵映雄 学生：
?
2
x??2?2t?
?
?
x??2?t
?
2< br>，把直线
?
x??2?t
代入 6．C
?
?
?
?
y?1?t
?
?
y?1?t
?
y?1?2t?< br>2
?
?2
(x?3)
2
?(y?1)
2
?2 5
得
(?5?t)
2
?(2?t)
2
?25,t
2
?7t?2?0

t
1
?t
2
?(t
1< br>?t
2
)
2
?4t
1
t
2
?41< br>，弦长为
2t
1
?t
2
?82

二、填空题
1．
y?
x(x?2)
11
(x?1)

1?x?,t?,
而
y?1?t
2
，
2
(x?1 )
t1?x
即
y?1?(
1
2
x(x?2)
)?( x?1)

2
1?x(x?1)
2．
(3,?1)

y?14
a
都成立，则
x?3,且y??1

a?4x?1 2?
对于任何
0
?
，
?(y?1)
x?3a
x2
y
2
?
s,2
?
si
，
n

)
??1
，设
P(6co
3．
22
椭圆为
64
x?2y?6cos
?
?4sin
?
?22sin(< br>?
?
?
)?22

4．
x?y

2
?
?tan
?
?
1si
?
n
2
?,
?
cos
?
?
2
co
?
sco?
s
s
?
in
2
?
,
2
c? o
?
s
?
即
?
s
x
i
2
n
?y
,

4t
?
x?
?
4t
?
1?t
2
22
x?(tx)?4tx?0
5．
?
，当时，；当时，；
x?
y?0
x?0x?0
2
2
1?t
4t
?
y?
?
1?t
2
?
4t
?
x?
?
4t
2
?
1?t
2
而
y?tx
，即
y?
，得
?

2
1?t< br>2
?
y?
4t
?
1?t
2
?
三、解 答题
y
2
11
y
2
,cos
?
?
1．解：显然
?tan
?
，则
2
?1?

y2
xcos
2
?
x
?1
x
2
n

x?cos
?
?si
?
2
1
c< br>?
o?s
2
s
?
in?2
2
?
co ?s?
1
2
2ta
?
n
2
1?ta
?n
?
2

?
cos

学而通 黄冈教育
教师： 赵映雄 学生：
yy
?1
11y
2
y
xx
即
x????,x(1 ?)??1

222
2
yyy
2xx
1?
2
1?
2
1?
2
xxx
2
y
2
y
??1
，即
x
2
?y
2
?x?y?0
得
x?
xx
2．解：设
P(4cos
?
,3sin
?
)
，则
d?
12cos
?
?12sin
?
?24< br>
5
122cos(
?
?)?24
4
即
d?
，
5
当
cos(
?
?
当
cos(
?
?
?
?
4
)??1
时，
d
max?
)?1
时，
d
min
?
4
12
(2 ?2)
；
5
12
?(2?2)
。
5
?
?
?
3
x?1?tcos
x?1?t
?
?
?
?
6
2
3．解：（1）直线的参数方程为
?
，即
??
y?1?
1
t
?
y?1?tsin
?
??
6
?
?2
?
3
x?1?t
?
?22
2
（2）把直线
?
代入
x?y?4

?
y?1?
1
t
?
?2
得
(1?
3
2
1
t)?(1?t)
2
?4,t
2
?(3?1 )t?2?0

22
t
1
t
2
??2
，则 点
P
到
A,B
两点的距离之积为
2

新课程高中数学训练题组参考答案
数学选修4-4 坐标系与参数方程 [提高训练C组]
一、选择题
1．D
xy?1
，
x< br>取非零实数，而A，B，C中的
x
的范围有各自的限制
211
，而< br>y?1?2t
，即
y?
，得与
y
轴的交点为
(0,)
；
555
111
当
y?0
时，
t ?
，而
x??2?5t
，即
x?
，得与
x
轴的交点 为
(,0

)
222
2．B 当
x?0
时，
t?

学而通 黄冈教育
教师： 赵映雄 学生：
?
x?1?5t?
?
x?1?2t
?
?
3．B
?
?
?
?
y?2?t
?
y?1?5t?
?
?
2
?
x?1?2t
5
，把直线
?
代入
1
?
y?2?t
5
x
2
?y
2
? 9
得
(1?2t)
2
?(2?t)
2
?9,5t
2
?8t?4?0

81612
12
t
1
?t
2
?(t
1
?t
2
)
2
?4t
1
t
2
?(?)
2
??
，弦长为
5t
1
? t
2
?5

555
5
4．C 抛物线为
y?4 x
，准线为
x??1
，
PF
为
P(3,m)
到准线
x??1
的距离，即为
4

5．D
2
?cos2
?
?0,cos2
?
?0,
?
?k
?
?
2
?
4
，为两条相交直线
2
6．A ?
?4sin
?
的普通方程为
x?(y?2)?4
，
?
cos
?
?2
的普通方程为
x?2

圆
x?(y?2)?4
与直线
x?2
显然相切
二、填空题
1．
4pt
1
显然线段
MN
垂直于抛物线的对称轴。 即
x
轴，
MN?2p
1
t?
2
t?2
2．
(?3,4)
,或
(?1,2)

(?2t)?(2t)?(2),t?
2222
22
p2
1

t
12
,t??

22
3．
5
由< br>?
n?4c
?
os
2
?
x?3si
?
2
得
x?y?25

n?3c
?
os
?
y?4si
?
4．
5．
2
11
)(0,

)
圆心分别为
(,0
和
2
22
?
5
?
?
，圆为
(x?4)
2
?y
2
?4，作出图形，相切时， ，或 直线为
y?xtan
6
6
?
5
?
易知倾斜角为，或
6
6
三、解答题
1．解：（1）当
t?0
时，
y ?0,x?cos
?
，即
x?1,且y?0
；
当
t?0
时，
cos
?
?
x
1
t?t(e?e)
2
x
2
?
,s
?
in?
y
1
t?t
(e?e)
2
?1


而
x?y?1
，即
22
y
2
1
t?t2
( e?e)
4
1
t
(e?e
?t
)
2
4

学而通 黄冈教育
教师： 赵映雄 学生：
（2）当
?
?k
?
,k ?Z
时，
y?0
，
x??
1
t?t
(e?e)，即
x?1,且y?0
；
2
?
1
t?t
当< br>?
?k
?
?,k?Z
时，
x?0
，
y??( e?e)
，即
x?0
；
22
2x2x2y
?
t? t
?
t
e?e?2e??
??
k
?
??
c os
?
cos
?
sin
?
当
?
?
，即
?
,k?Z
时，得
?
2
?
e
t?e
?t
?
2y
?
2e
?t
?
2x< br>?
2y
??
sin
?
cos
?
sin
?
??
得
2e?2e
t?t
?(
2x2y2x2y
?)(?)

cos
?
sin
?
cos
?
sin
?
x
2
y
2
?
2
?1
。 即
2
cos
?
sin
?
?
10
?tcos
?
?
x?
2．解：设直线为
?
(t为参数)
，代入 曲线并整理得
2
?
y?tsin
?
?
(1?sin
2
?
)t
2
?(10cos
?
)t?
3
?0

2
3
2
则
PM?PN?t
1
t2
?

2
1?sin
?
?
3
?
2
所以当
sin
?
?1
时，即
?
?
，< br>PM?PN
的最小值为，此时
?
?
。
242