2017_2018学年高中数学第二章几个重要的不等式2-3-2数学归纳法的应用训练北师大版选修4_5

最新中小学教案、试题、试卷
2.3.2 数学归纳法的应用
一、选择题
1111
m
1.若不等式＋＋＋…＋<对于一切
n
∈N
＋< br>恒成立，则自然数
m
的最
4
n
＋14
n
＋5 4
n
＋98
n
＋125
小值为( )
A.8
C.10
B.9
D.12
1414
m
解析 显然
n
＝1时，左边最大为，则<，
454525
∴
m
的最小值为8，选A.
答案 A
2.关于正整数
n
的不等式2>
n
成立的条件是( )
A.
n
∈N
＋

C.
n
>4
42
n
2
B.
n
≥4
D.
n
＝1或
n
>4
52
解析
n＝4，2＝4＝16，
n
＝1时，2>1，
n
＝5，2＝32，5＝25 ，∴当
n
>4时，2>
n
成立，
故选D.
答案 D n
2
n
1111
3.用数学归纳法证明1＋≤1＋＋＋…＋
n< br>≤＋
n
(
n
∈N
＋
)成立，当
n
＝ 1时，应验证( )
22322
313
A.≤1＋≤
222
3113
C.≤1＋＋＜
2232
3113
B.≤1＋＋≤
2232
313
D.＜1＋＜
222
3113
解析
n
＝1时，左边，中间1＋，右边＋1＝，故选A.
2222
答案 A
二、填空题
4.用数学归纳法证明“
S
n
＝
________.
111
解析
n
＝1时，
n
＋1＝2，3
n
＋1＝4，∴
S
1
＝＋＋.
234
111
答案 ＋＋
234
111
5.已知
a
，
b
，
c
∈R，
a
＋
b
＋
c
＝0，
abc
>0，
T
＝＋＋，则
T
与0的关系是________.
1111
＋＋＋…＋>1(
n
∈N
＋
)”时，
S
1
等于< br>n
＋1
n
＋2
n
＋33
n
＋1
ab c
2
解析 ∵
a
＋
b
＋
c
＝0，∴(a
＋
b
＋
c
)＝
a
＋
b
＋< br>c
＋2
ab
＋2
bc
＋2
ac
＝0，即2< br>ab
＋2
bc
＋2
ac
教案、试题、试卷中小学
1
222

最新中小学教案、试题、试卷
111
222
＝－(
a
＋
b
＋
c
)<0，∵
abc
>0 ，上述不等式两边同时除以2
abc
，得
T
＝＋＋<0.
abc
答案
T
<0
三、解答题
1111
6.用数学归纳法证明：＋＋＋…＋
2
>1 (
n
>1，
n
∈N
＋
).
nn
＋1
n
＋2
n
证明 (1)当
n
＝2 时，
1116＋4＋313
2
＋
3
＋
4
＝
12
＝
12
>1，
即
n
＝2时命题成立.
(2)设
n
＝
k
(
k
≥2)时，命题成立， < br>即
1
k
＋
1
k
＋1
＋
1
k
＋2
＋…＋
1
k
2
>1，
当
n
＝
k
＋1时，
左边＝
1
k
＋1
＋…＋
1
1
k
2
＋
?
?
1< br>?
k
2
＋1
＋…＋
（
k
＋1）
2< br>?
?
?

>1＋(2
k
＋1)·
11
k
2
－
k
－1
（
k
＋1）
2
－
k
＝1＋
k
（
k
＋1）
2
.
∵
k
>2，令
f
(
k
)＝
k
2
－< br>k
－1，对称轴为
k
＝
1
2
，
∴(2，＋∞)为
f
(
k
)的增区间，
∴
f(
k
)>
f
(2)，即
k
2
－
k－1>2
2
－2－1＝1，
∴
k
2
－
k－1
k
（
k
＋1）
2
>0，∴
n
＝< br>k
＋1时，命题也成立.
由(1)(2)知，当
n
>1时，
n
∈N
＋
命题都成立.
7.比较2
n
与
n
2
的大小(
n
∈N).
解 当
n
＝1时，2
1
>1
2
，即2
n< br>>
n
2
，
当
n
＝2时，2
2
＝2
2
，即2
n
＝
n
2
，
当
n＝3时，2
3
<3
2
，即2
n
<
n
2

当
n
＝4时，2
4
＝4
2
，即2
n
＝
n
2

当
n
＝5时，2
5
>5
2
，即2
n
>
n
2
，
当
n
＝6时，2
6
>6
2
，即2
n
>
n
2

……
猜测：当
n
≥5时，2
n
>
n
2
.
下面用数学归纳法证明猜测成立.
(1)当
n
＝5时，由上可知猜测成立.
(2)设
n
＝
k
(
k
≥5)时，命题成立，即2
k
>
k
2
.
教案、试题、试卷中小学
2

最新中小学教案、试题、试卷
∴2
k
＋1
＝2·2
k
>2
k
2
＝k
2
＋
k
2
>
k
2
＋(2
k
＋1)＝(
k
＋1)
2
，即
n
＝
k
＋1时命题成立.
由(1)和(2)，可得
n
≥5时，2
n
>< br>n
2
.
8.用数学归纳法证明：
1
1·2
＋1
2·3
＋…＋
1
n
（
n
＋1）
<< br>n
(
n
∈N
＋
).
证明 (1)当
n
＝1时，左边＝
1
2
<1＝右边，不等式成立.
当
n
＝2时，左边＝
1
＋
13＋1
1·22·3
＝
6
，右边＝2.
由3＋1<23，得
3＋1
6
<2，
即
n
＝2时，不等式也成立.
(2)假设
n
＝
k
(
k
≥2)时，不等式成立，
即
1
1·2
＋
1
2·3
＋…＋
1
k
（
k
＋1）
<
k
.
当
n
＝< br>k
＋1时，两边同加
1
（
k
＋1）（
k
＋2 ）
，得
1
1·2
＋
1
2·3
＋…＋
1< br>（
k
＋1）（
k
＋2）

<
k
＋< br>1
（
k
＋1）（
k
＋2）

只须证
k
＋
1
（
k
＋1）（
k
＋2）
<
k
＋1即可.
由于
k
＋1－
k
>
1
（< br>k
＋1）（
k
＋2）

?
1
>
1< br>k
＋1＋
k
（
k
＋1）（
k
＋2）

?（
k
＋1）（
k
＋2）>
k
＋1＋
k< br>
?
k
＋1(
k
＋2－1)>
k
.
由于
k
≥2，上式显然成立.
即
n
＝
k
＋1时，不等式成立.
由(1)、(2)知，不等式对
n
∈N
＋
都成立.
n< br>＋1
9.设
n
为正整数，记
a
n
＝
?
?
1
?
1＋
n
?
?
?
，
n＝1，2，3，…，求证：
a
n
＋1
<
a
n
.
n
＋1
证明 ∵
a
n
＝
?
?
1< br>?
1＋
n
?
?
?
>0 (
n
∈N
＋
).
教案、试题、试卷中小学
3