高中数学选修4-4《坐标系与参数方程》练习题(含详解)

数学选修4-4 坐标系与参数方程
[基础训练A组]
一、选择题
?
x?1?2t
1．若直线的参数方程为
?
( t为参数)
，则直线的斜率为（ ）
y?2?3t
?
A．
C ．
2
3
3
2
B．
?
D．
?
2
3
3
2


?
x?sin2
?
(
?
为参数)
上的点是（ ） 2．下列在曲线
?
y?cos
?
?sin
?
?
A．
(,?2)
B．
(?
2
131
,)
C．
(2,3)
D．
(1,3)

42
2
?
?
x?2?sin
?
3．将参数方程
?
(
?为参数)
化为普通方程为（ ）
2
?
?
y?sin
?
A．
y?x?2
B．
y?x?2
C．
y?x?2(2?x?3)
D．
y?x?2(0?y?1)

4．化极坐标方程
?
2
cos
?
?
?
?0
为直角坐标方程为（ ）
A．
x
2
?y
2
?0或y?1
B．
x?1
C．
x
2
?y
2
?0或x?1
D．
y?1

5．点
M
的直角坐标是
(?1,3)
，则点
M
的极坐标为（ ）
A．
(2,
?
3
)
B．
(2,?
?
3
)
C．
(2,
2
?
3
)
D．
(2,2k
?
?
?
3
),(k?Z)
6．极坐标方程
?
cos
?
?2sin2
?
表示的曲线 为（ ）
A．一条射线和一个圆 B．两条直线 C．一条直线和一个圆 D．一个圆

二、填空题
1．直线
?
?
x?3?4t< br>?
y?4?5t
(t为参数)
的斜率为__________________ ____。
t?t
?
?
x?e?e
2．参数方程
?
(t为参数)
的普通方程为__________________。
t?t
?< br>?
y?2(e?e)
3．已知直线
l
1
:
?
?
x?1?3t
?
y?2?4t
(t为参数)
与直线
l2
:2x?4y?5
相交于点
B
，又点
A(1,2)
，
1

则
AB?
_______________。
1
?
x?2 ?t
?
?
2
22
4．直线
?
(t为参数)
被圆
x?y?4
截得的弦长为______________。
?
y??1 ?
1
t
?
?2
5．直线
xcos
?
?ys in
?
?0
的极坐标方程为____________________。
三、解答题
1．已知点
P(x,y)
是圆
x
2
? y
2
?2y
上的动点，
（1）求
2x?y
的取值范围；



（2）若
x?y?a?0
恒成立，求实数
a
的取值范围。

2．求直线
l
1
:
?
?
?
x?1?t?
?
y??5?3t
(t为参数)
和直线
l
2
:x?y?23?0
的交点
P
的坐标，及点
P

与
Q(1,?5)
的距离。


3．在椭圆
x< br>22
16
?
y
12
?1
上找一点，使这一点到直线< br>x?2y?12?0
的距离的最小值。

数学选修4-4 坐标系与参数方程
[综合训练B组]
一、选择题
?
x?a?t
l
(t为参数)
，
l
上的点
P
1
对应的参数是t
1
，则点
P
1
与
P(a,b)
之间的距离1 ．直线的参数方程为
?
?
y?b?t
是（ ）
2

A．
t
1
B．
2t
1
C．
2t
1
D．
2
2
t
1

1
?
?
x?t ?
2．参数方程为
?
t
(t为参数)
表示的曲线是（ ）
?
y?2
?
A．一条直线 B．两条直线 C．一条射线 D．两条射线
1
?
x?1?t
?
2
?
(t为参数 )
和圆
x
2
?y
2
?16
交于
A,B两点， 3．直线
?
?
y??33?
3
t
?
? 2
则
AB
的中点坐标为（ ）
A．
(3,?3)
B．
(?3,3)
C．
(3,?3)
D．
(3,?3)

4．圆
?
?5cos
?
?5 3sin
?
的圆心坐标是（ ）
A．
(?5,?
4
?
3
)
B．
(?5,
?
3
)
C．
(5,
?
3
)
D．
(?5,
5
?
3
)

5．与参数方程为?
2
?
?
x?t
(t为参数)
等价的普通方程为（ ）
?
?
y?21?t
2
A．
x?
2
y< br>4
y
2
?1
B．
x?
y
2
4
y
2
?1(0?x?1)

C．
x?
2
4
?1(0?y?2)
D．
x?
2
4
?1(0?x?1,0?y?2)

6．直 线
?
?
x??2?t
?
y?1?t
(t为参数)
被 圆
(x?3)?(y?1)?25
所截得的弦长为（ ）
1
4
22
A．
98
B．
40
C．
82
D．
93?43


二、填空题
1
?
?
x?1?
1．曲线的参数方程是
?
t
(t 为参数,t?0)
，则它的普通方程为__________________。
?
y?1?t
2
?
?
x?3?at
(t为参数)
过定点___ __________。 2．直线
?
?
y??1?4t
3．点
P( x,y)
是椭圆
2x?3y?12
上的一个动点，则
x?2y
的最大 值为___________。
3
22

4．曲线的极 坐标方程为
?
?tan
?
?
1
cos
?
， 则曲线的直角坐标方程为________________。
5．设
y?tx(t为参数)
则圆
x
2
?y
2
?4y?0
的参数方程为____ ______________________。
三、解答题
?
x?cos?
(sin
?
?cos
?
)
1．参数方程
?< br>(
?
为参数)
表示什么曲线？
y?sin
?
(si n
?
?cos
?
)
?



< br>2．点
P
在椭圆
x
2
16
?
y
2< br>9
?1
上，求点
P
到直线
3x?4y?24
的最大距 离和最小距离。


3．已知直线
l
经过点
P(1,1)
,倾斜角
?
?
（1）写出直线
l
的参数方程。





（2）设
l
与圆
x?y?4相交与两点
A,B
，求点
P
到
A,B
两点的距离之积。

22
?
6
，


数学选修4-4 坐标系与参数方程.
[提高训练C组]
一、选择题
1．把方程
xy?1
化为以
t
参数的参数方程是（ ）
4

1
?
?
x?sint
?< br>x?cost
?
x?tant
2
?
x?t
?
??
A．
?
B．
?
C．
?
D．
?
111

1
?
y?y?y?
?
?
??
2
tant
sintcost
?
??
?
y?t
?
x??2?5t
2．曲线
?
(t为参数)
与坐标 轴的交点是（ ）
y?1?2t
?
A．
(0,)、(,0)
B．
(0,)、(,0)

52
2111
C．
(0,?4)、
(8,0)

(8,0)
D．
(0,)、
9
5
5
2
3．直线
?
A．
C．
?
x?1?2t
?
y?2? t
12
5
9
5
(t为参数)
被圆
x?y?9
截得的弦长为（ ）
12
5
9
5
22
B．
5
D．
5

10

?
x?4t
2
(t为参数)
上， 4．若点
P(3,m)< br>在以点
F
为焦点的抛物线
?
?
y?4t
则
P F
等于（ ）
A．
2
B．
3

C．
4
D．
5

5．极坐标方程
?
cos2
?
?0
表示的曲线为（ ）
A．极点 B．极轴
C．一条直线 D．两条相交直线
6．在极坐标系中与圆
?
?4sin
?
相切的一条直线的方程为（ ）
A．
?
cos
?
?2
B．
?
sin
?
?2

C．
?
?4sin(
?
?


二、填空题
?
x?2pt
2
(t为参数,p为正常数)
上的两点
M,N
对应的参数分别为
t
1
和t
2,
，
且t
1
?t
2
?0
，1．已知曲线
?
?
y?2pt
?
3
)
D．
?
?4sin(
?
?
?
3
)

那么
MN
=_______________。
5

2．直线
?
?
?
x??2?
?< br>?
y?3?
2t
2t
(t为参数)
上与点
A(?2, 3)
的距离等于
2
的点的坐标是_______。
3．圆的参数方程为?
?
x?3sin
?
?4cos
?
?
y?4s in
?
?3cos
?
(
?
为参数)
，则此圆的半径 为_______________。
4．极坐标方程分别为
?
?cos
?
与
?
?sin
?
的两个圆的圆心距为_____________。
?
x?tcos
?
?
y?tsin
?
?
x ?4?2cos
?
?
y?2sin
?
5．直线
?
与 圆
?
相切，则
?
?
_______________。
三、解答题
1
t
?
?t
x?(e?e)cos
?
?
?
2
1．分别在下列两种情况下，把参数方程
?
化为普通 方程：
1
?
y?(e
t
?e
?t
)sin
?
?
?2
（1）
?
为参数，
t
为常数；（2）< br>t
为参数，
?
为常数；









2．过点
P(
10
2
, 0)
作倾斜角为
?
的直线与曲线
x?12y?1
交于点
M, N
，
22
求
PM?PN
的值及相应的
?
的值。






新课程高中数学训练题组参考答案
数学选修4-4 坐标系与参数方程 [基础训练A组]
一、选择题
6

1．D
k?
y?2
x?1< br>?
?3t
2t
??
3
2

3
4
2．B 转化为普通方程：
y
2
?1?x
，当
x??
时，
y?
1
2

3．C 转化为普通方程：
y?x?2
，但是
x?[2,3],y?[0,1]

4．C
?
(
?
cos
?
?1)?0,
?
?
2
?
3
x?y?0,或
?
cos
??x?1

22
5．C
(2,2k
?
?),(k?Z)
都是极坐标
6．C
?
cos
?
?4sin
?
cos
?
,cos
?
?0,或
?
?4sin
?
,即
?
2
? 4
?
sin
?

则
?
?k
?
?
二、填空题
1．
?
54
?
2
,
或
x?y?4y

22

k?
y?4
x?3
?
?5t
4t
??
5< br>4

y
2
y
2
?
?
x?e
t
?e
?t
x?
22
?
xy
??
2．??1,(x?2)

?
y
?
?
t?t
4 16
?
?e?e
?
x?
?2
?
?
?2e< br>?2e
t
?(x?
?t
y
2
)x(?
y2
?)

4
3．
5
2
将
??
x?1?3t
?
y?2?4t
代入
2x?4y?5
得
t?
1
2
，则
B(
5
2
,0
，而
)AB?
A(1,2
，得
)
5
2

4．
14
直线为
x?y?1?0
，圆心到直线的距离
d?
1
2
?
2
2
，弦长的一半为
2?(
2
2
2
)?
2
14
2
，
得弦长为
1 4

5．
?
?
?
2
?
?

?
cos
?
co
?
s?
?
si
?
ns
?
?in0,?
?
co
?
s?(
，取
?
?
?
?
?
2

三、解答题
1 ．解：（1）设圆的参数方程为
?
?
x?cos
?
?
y?1 ?sin
?
，
2x?y?2cos
?
?sin
?
?1?
??5?1?2x?y?5?1

5sin(
?
?
?
)?1

（2）
x?y?a?cos
?
?sin
?
?1?a?0

7

?a??(co?
s?
?a??2?1
s
?
in?)??1
?
?
2?sin?(
4

)1
?
?
x?1?t
2．解：将
?
?
?
y??5?
代入
x?y?23?0得
t?23
，
3t
得
P(1?23,1)
，而
Q(1,?5)
，得
PQ?(23)?6?43

22
4cos< br>?
?43sin
?
?12
?
?
x?4cos
?
3．解：设椭圆的参数方程为
?
，
d?

5
?
?
y?23sin
?

?
4
5
5
co
?
s?3s
?
in??34
5
5
2
?
co?s(
3
?

?)3
当
cos
?
(?
?
3
?)
时，
1
d
mi
?
n
45
5< br>，此时所求点为
(2?
。
,3)

新课程高中数学训练题组参考答案
（咨询）

数学选修4-4 坐标系与参数方程 [综合训练B组]
一、选择题
1．C 距离为
t
1
?t
1
?
22
2t
1

2．D
y?2
表示一条平行于
x
轴的直线，而
x?2 ,或x??2
，所以表示两条射线
1
2
3
2
t
1
?t
2
2
3．D
(1?t)?(?33?
2
t)?16
，得
t?8t?8?0
，
t
1
?t
2< br>?8,
2
2
?4

1
?
x?1??4
?
?
x?3
2
??
?
?
中点为
?

?
?
y??3
?
y??33?
3
?4
?
?2
553
2
4．A 圆心为
(,?
2
2
)

5．D
x?t,2
y
4
?1?t?1?x,x?
22
y
2
4< br>?1,而t?0,0?1?t?1,得0?y?2

8

< br>?
2
x??2?2t?
?
?
x??2?t
?
x??2?t
?
2
6．C
?
，把直线
?
代入
?
?
y?1?t
?
2
?
y?1?t
?y?1?2t?
?
?2
(x?3)?(y?1)?25
得
(?5 ?t)?(2?t)?25,t?7t?2?0

22222
t
1
? t
2
?(t
1
?t
2
)?4t
1
t
2
?
2
41
，弦长为
2t
1
?t
2?82

二、填空题
1．
y?
x(x?2)
(x?1)
2
(x?1)

1?x?
1
t
,t?
1
1?x
,
而
y?1?t
，
2
即
y?1?(
y?1
x?3
4
a
1
1?x
)?
2
x(x?2)
(x?1)
2
(x?1)

2．
(3,?1)

?
，
?(y?1)

a
都成立，则
x?3,且y? ?1
a?4x?12?
对于任何
0
y
2
3．
22< br> 椭圆为
x
2
6
?
4
?1
，设
P(6co
?
s,2
?
si
，
n

)< br>x?2y?6cos
?
?4sin
?
?22sin(
?
?
?
)?
22
22

2
4．
x
2
?y

?
?tan
?
?
1
co
?
s
?
si
?
n< br>co
?
s
2
,
?
cos
?
?s?
in
?
,c?
?
os
?
2
s
即
?
x
in
?y
,

4t
?
x ?
2
?
4t
?
1?t
22
x?0
时，y?0
；当
x?0
时，
x?
5．
?
，当；
x?(tx)?4tx?0
2
2
1?t
4t
?y?
2
?
1?t
?
4t
?
x?
22
?
4t
?
1?t
而
y?tx
，即
y?
，得
?

2
2
1?t
?
y?
4t
2
?
1?t
?
三、解 答题
1．解：显然
y
x
?tan
?
，则
y
x
2
2
?1?
1
cos
?
2
,cos< br>?
?
2
1
y
x
2
2

?1
2ta
?
n
ta
?
n
2
2

x?cos
?
?si
?
n
2
1
c
?
o?s
2
s
?
in?2
2
?
c?os?
2
1
1?
?

?
cos
9

即
x?
1
2
2
?
1?< br>2
y
x
?
2
y
x
2
y
1< br>1?
y
x
2
2
?
x
1?
?1
y
x
2
2
,x(1?
y
x
2
2
)?
y
x
?1

得
x?
y
x
?< br>y
x
22
?1
，即
x?y?x?y?0

2 ．解：设
P(4cos
?
,3sin
?
)
，则
d?
12cos
?
?12sin
?
?24
5

122cos(
?
?
?
4
)?24
即
d?
?
4
5
)??1
时，
d
max
?
)?1< br>时，
d
min
?
，
12
5
2)
；
2)
。
当
cos(
?
?
当
cos(?
?
(2?
?
4
12
5
(2?
??
?
3
x?1?tcos
x?1?t
?
?
?< br>?
6
2
3．解：（1）直线的参数方程为
?
，即
?
?
y?1?
1
t
?
y?1?tsin
?
?
?
6
?
?2
?
3
x?1?t
?
?
2
（2）把直线
?
代入
x
2
?y
2
?4
< br>?
y?1?
1
t
?
?2
3
2
2得
(1?t)?(1?
1
2
t)?4,t?(3?1)t?2?0

22
t
1
t
2
??2
，则点
P
到
A,B
两点的距离之积为
2

新课程高中数学训练题组参考答案
数学选修4-4 坐标系与参数方程 [提高训练C组]
一、选择题
1．D
xy?1
，
x
取非零实数，而A，B，C中的
x
的范围有各自的限制
2．B 当
x?0
时，
t?
当
y?0
时，
t?
2
5
1
2
，而
y?1?2t
，即
y?
1
5
，得与
y
轴的交点为< br>(0,)
；
5
1
2
1
，而
x??2?5t
，即
x?
，得与
x
轴的交点为
(
1
2,0

)
10

?
?
x?1?
?
x?1?2t
?
3．B ?
?
?
?
y?2?t
?
y?1?
?
?
5t?
5t?
2
5
1
5
，把直线
?
?
x?1?2t
?
y?2?t
代入
22222
x?y? 9
得
(1?2t)?(2?t)?9,5t?8t?4?0

t
1< br>?t
2
?(t
1
?t
2
)?4t
1
t
2
?
2
8
2
1612
12
(?)??< br>，弦长为
5t
1
?t
2
?
555
5
5

4．C 抛物线为
y
2
?4x
，准线为
x ??1
，
PF
为
P(3,m)
到准线
x??1
的距 离，即为
4

5．D
?
cos2
?
?0,c os2
?
?0,
?
?k
?
?
?
4
，为两条相交直线
6．A
?
?4sin
?
的普通方程为x
2
?(y?2)
2
?4
，
?
cos
?
?2
的普通方程为
x?2

圆
x
2
?(y?2)
2
?4
与直线
x?2
显然相切
二、填空题
1．
4pt
1
显然线段
MN
垂 直于抛物线的对称轴。即
x
轴，
MN?2p
1
t?
1
2
2
2
2
t?2p2
1

t
2
2．
(?3,4)
,或
(?1,2)
< br>(?2t)
2
?(2t)
2
?(2),
2
t?,t? ?

n?
?
x?3si
?
3．
5
由
?
n?
?
y?4si
?
4c
?
os
3c
?
os
得
x
2
?y
2
?25

4．
5．
?
2
2
圆心分别为
(
5
?
6
11
,0
和
)(0,

)
22
22
6
，或 直线为
y?xtan
?< br>，圆为
(x?4)?y?4
，作出图形，相切时，
易知倾斜角为
?
6
，或
5
?
6

三、解答题
1．解：（1）当
t?0
时，
y?0,x?cos?
，即
x?1,且y?0
；
s?
当< br>t?0
时，
co
?
x
1
2
(e?e)
x
1
4
t
2
,s
?
in?
?t
y
1
2
(e?e)
t?t

t
而
x?y?1
，即
22
?
?t2
y
1
4< br>t
2
?1

?t2
(e?e)(e?e)
11

（2）当
?
?k
?
,k?Z
时，
y?0
，
x??
当
?
?k
?
?
?
2
1
2
(e?e)
，即
x?1,且y?0
；
1
2
(e?e)
，即
x?0
；
t?t
t ?t
,k?Z
时，
x?0
，
y??
2x2x2y
?
t
?
t?t
e?e?2e??
??
k
?
? ?
cos
?
cos
?
sin
?
当
?
?
，即
?

,k?Z
时，得
?
2
2y2 x2y
?
e
t
?e
?t
?
?
2e
?t
??
??
sin
?
cos
?
sin
?
??
得
2e
t
?2e
?t
?(
x
2
2
2x
cos
?
2
2
?
2y
s in
?
)(
2x
cos
?
?
2y
sin< br>?
)

即
cos
?
?
y
sin
?
?1
。
?
10
?tcos
?
?
x?
2．解：设直线为?
(t为参数)
，代入曲线并整理得
2
?
y?tsin
?
?
(1?sin
?
)t?(10cos
?
)t?
22
3
2
?0

3
2

2
1? sin
?
?
3
?
所以当
sin
2
?
?1
时，即
?
?
，
PM?PN
的最小值为，此时
?
?
。
242
则
PM?PN?t
1
t
2
?




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