高中数学人教A版选修4-5评估验收卷：第三讲 柯西不等式与排序不等式 Word版含答案

评估验收卷(三)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、 选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目 要求的)
?
2
4
??
2
1
?
1．设xy
＞0，则
?
x
＋
2
??
y
＋2
?
的最小值为( )
yx
????
A．－9 B．9 C．10 D．0
2
??
?
12
?
2
???
?
1
?
2
x
·＋·
y
?
＝9. 解析：
?
x
2
＋
?
??
?
y??
x
?
＋
y
?
≥
?
??
? ?
??
??
?
xy
?
答案：B
2．学校要开运动会，需要买价格不同的奖品40件、50件、20件，现在选择商店中为5 元、
3 元、2 元的奖品，则至少要花( )
A．300 元 B．360 元 C．320 元 D．340 元
解析：由排序原理，反序和最小．
所以最小值为50×2＋40×3＋20×5＝320(元)．
答案：C
3．设< br>a
1
，
a
2
，
a
3
是数1，2，3 的任一排列，
b
1
，
b
2
，
b
3
是数4，5，6的任一排列，则
a
1
b
1
＋
a
2< br>b
2
＋
a
3
b
3
的取值范围是( )
A．[28，32]
C．[32，44]
B．[28，44]
D．[44，56]
22
解析：1，2，3与4，5，6反序和是28.顺序和是3 2，故
a
1
b
1
＋
a
2
b
2＋
a
3
b
3
最小是反序和
28，最大是顺序和32.选 A.
答案：A
4．设
a
，
b
，
c
均小 于0，且
a
＋
b
＋
c
＝3，则
ab
＋bc
＋
ca
的最小值为( )
A．0 B．1
3
C．3
222
222
D.
3

3
解析：由排序不等式
a
＋
b
＋
c
≥
ab< br>＋
bc
＋
ac
，所以
ab
＋
bc
＋
ca
≤3.
答案：C
14
5．设
α
，
β
均为锐角，则＋
2
的最小值为( )
22
sin
α< br>cos
α
sin2
β
A．22
C．1

B.2
D．9
- 1 -

4
?1
?
＝
?
1＋
2
?
， 解析：(sin
α
＋cos
α
)
?
2
＋
22
????
sin
α
cos
α
sin2
β
??
sin 2
β
?
22
2
因为
β
为锐角，
所以当sin 2
β
＝1时取最小值3＝9.
答案：D
6．若< br>x
＋2
y
＋4
z
＝1，则
x
＋
y< br>＋
z
的最小值是( )
A．21
C．16
22
222
2
B.
D.
1

21
1

16
2
解析：因为1＝
x
＋2< br>y
＋4
z
≤
x
＋
y
＋
z
· 1＋4＋16，
所以
x
＋
y
＋
z
≥
22 2
1
，
21
1
222
故
x
＋
y
＋
z
的最小值为.
21
答案：B
7．函数
f
(
x
)＝1－cos 2
x
＋cos
x
，则
f
(
x
)的最大值是( )
A.3
C．1
2
B.2
D．2
解析：
f
(
x
)＝2·sin
x
＋cos
x
.
又(2·sin
x
＋cos
x
)≤(2＋1)(sin
x
＋cos
x
)＝3，所以
f
(
x
)的最大值为3.
答案：A
8．已知
x
1
＋
x
2
＋
x
3
＝1，
y
1
＋
y
2
＋
y< br>3
＝2，则
x
1
y
1
＋
x
2
y
2
＋
x
3
y
3
的最大值是( )
A．2 B．3 C.2 D.3
解析：因为
x
1
＋
x
2
＋
x
3
＝1，
y
1
＋
y< br>2
＋
y
3
＝2，
所以(
x
1
y< br>1
＋
x
2
y
2
＋
x
3
y< br>3
)≤(
x
1
＋
x
2
＋
x
3
)(
y
1
＋
y
2
＋
y
3
)＝1×2＝2，
所以
x
1
y
1
＋
x
2
y
2
＋
x
3
y
3
≤2.
当＝＝＝
答案：C
123
yz
9．已知
x
，y
，
z
＞0，且＋＋＝1，则
x
＋＋的最小值是( )
xyz
23
A．5 B．6 C．8 D．9
2222222
222222
222222
2222
x
1
x
2
x
3
y
1
y
2
y
3
2
时，取“＝” ，故选C.
2
yz
?
123
??
yz
?
解析：
x
＋＋＝
?
＋＋
??
x
＋＋
?≥
23
?
xyz
??
23
?
- 1 -

2
?
1
?
·
x
＋
?
x
?
yz
?
2
y
·
y
2＋
3
·
z
?
3
?
?
z
＝9.
所以
?
x
＋＋
?
＝9.故应选D.
?
23
?
min
答案：D
10．设
a
1
，
a
2
，
a
3
为正数，则
a
1< br>a
2
a
2
a
3
a
3
a
1< br>＋＋与
a
1
＋
a
2
＋
a
3
大小为( )
a
3
a
1
a
2
A．＞ B．≥ C．＜ D．≤
111
解析：不妨设
a
1
≥
a
2
≥
a
3
＞0，于是≤≤，
a
2
a
3≤
a
3
a
1
≤
a
1
a
2，
a
1
a
2
a
3
由排序不等式：顺序和≥乱序和，得
a
1
a
2
a
3
a
1
a
2
a
3
111
＋＋≥·
a
2
a
3
＋ ·
a
3
a
1
＋·
a
1
a
2
＝
a
3
＋
a
1
＋
a
2
. a
3
a
2
a
1
a
2
a
3a
1
即
a
1
a
2
a
2
a3
a
3
a
1
＋＋≥
a
1
＋
a
2
＋
a
3
.
a
3
a
1
a
2
答案：B
11．设
a
1
，
a
2
，…，
a
n
为正实数，P
＝
a
1
＋
a
2
＋…＋
a
n
n
，
Q
＝，则
P
，
Q
间的大
n< br>111
＋＋…＋
a
1
a
2
a
n
小关 系为( )
A．
P
＞
Q

C．
P
＜
Q

B．
P
≥
Q

D．
P
≤
Q

1
??
11
解析： 因为(
a
1
＋
a
2
＋…＋
a
n
)
?
＋＋…＋
?
≥
?
a
1
a
2< br>a
n
?
(1＋1＋…＋1)
,n
个＝
n
，
所以
22
a
1
＋
a
2
＋…＋
a< br>n
n
≥，故
P
≥
Q
.
n
111< br>＋＋…＋
a
1
a
2
a
n
答案：B
12．设
c
1
，
c
2
，…，
c
n
是
a
1
，
a
2
，…，
a
n
的某一 排列(
a
1
，
a
2
，…，
a
n
均 为正数)，则＋＋…
＋的最小值是( )
A．
n

C.
n

解析：不妨设0≤
a
1
≤
a
2
≤…≤
a
n
，
1
B.
a
1
a
2
c
1
c
2
a
n
c
n
n
D．2
n

- 1 -

111111111
则≥≥…≥，，，…，是，，…，的一个排列．
a
1< br>a
2
a
n
c
1
c
2
c
n< br>a
1
a
2
a
n
再利用排序不等式的反序和≤乱序和求 解，
所以＋＋…＋≥＋＋…＋＝
n
，
当且仅当
a
1＝
a
2
＝…＝
a
n
时等号成立．故选A.
答案：A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
11
?
222
?
1
13．已知
a
，
b
，
c
为非零实数，则(
a
＋
b
＋
c< br>)
?
2
＋
2
＋
2
?
的最小值为__ ______．
a
1
a
2
c
1
c
2a
n
a
1
a
2
c
n
a
1a
2
a
n
a
n
?
abc
?
1 1
?
222
?
1
解析：由(
a
＋
b
＋
c
)
?
2
＋
2
＋
2
?
≥
?
abc
?
?
a
·
1
＋
b
·
1
＋
c
·
1
?
＝9，
?
abc
?
??
所以所求最小值为9.
答案：9
14．设
a
，
b
＞0，若
a
＋
b
＝5， 则
a
＋2
b
的最大值为________．
解析：(1＋2)(< br>a
＋
b
)≥(
a
＋2
b
)，即25≥(a
＋2
b
).
所以(
a
＋2
b
)
max
＝5.
答案：5
15．已知
x
，
y
，
z
∈(0 ，＋∞)，
x
＋
y
＋
z
＝9，则
x
＋y
＋
z
的最大值是________．
解析：(
x
＋
y
＋
z
)≤(1＋1＋1)·(
x
＋
y
＋
z
)＝3×9＝27.所以
x
＋
y
＋
z
≤ 33.
答案：33
16．如图所示，矩形
OPAQ
中，
a1
≤
a
2
，
b
1
≤
b
2，则阴影部分的矩形的面积之和
S
阴影
与空白
部分的矩形的面积之和S
的大小关系是________．
2222
222222
22
2

解析：由题图可知，阴影部 分的面积
S
顺序和≥逆序和可知
S
阴影
≥
S
.
答案：
S
阴影
≥
S

三、解答题(本大题共6小题 ，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演
算步骤)
17．(本小题满分10 分)设
a
＝(1，0，－2)，
b
＝(
x
，
y，
z
)，若
x
＋
y
＋
z
＝16，求< br>a
·
b
222
阴影
＝
a
1
b
1
＋
a
2
b
2
，且空白面积
S
＝
a
1
b
2
＋
a
2
b
1
，根据< br> - 1 -

的最大值．
解：因为
a
＝ (1，0，－2)，
b
＝(
x
，
y
，
z
) ，
所以
a
·
b
＝
x
－2
z
.
由柯西不等式[1＋0＋(－2)](
x
＋
y
＋
z
)≥(
x
＋0－2
z
)
?5×16≥(
x
－2z
)?－45≤
x
2222222
－2
z
≤45?－4 5≤
a
·
b
≤45，
故
a
·
b
的最大值为45.
18．(本小题满分12分) 已知0＜
a
≤
b
≤
c
，求证
证明：因为0＜
a
≤
b
≤
c
，
所以0＜
a
＋
b
≤
c
＋
a
≤
b
＋
c
，
所以
111
≥≥＞0，
a
＋
bc
＋
ab
＋
c
222
c
2
a
＋
ba
＋cb
＋
ca
＋
bb
＋
cc
＋
a
＋
b
2
＋
a
2
≥
a
2
＋
b
2
＋
c
2
.
又0＜
a
≤
b
≤
c
，
所以
c< br>2
a
＋
ba
＋
cb
＋
c
＋
b
2
＋
a
2
是顺序和，
a
2
a
＋
bb
＋
cc
＋
a
＋
b
2
＋
c
2
是乱序和，
由排序原理可知顺序和大于等于乱序和，
即不等式c
2
a
＋
ba
＋
cb
＋
ca
＋
bb
＋
cc
＋
a
＋
b
2
＋a
2
≥
a
2
＋
b
2
＋
c2
成立．
19．(本小题满分12分)已知
x
，
y
，
z
∈(0，＋∞)，
x
＋
y
＋
z
＝3.
111
(1)求＋＋的最小值；
xyz
(2)证明：3≤
x
＋
y
＋
z
＜9.
3
222
(1)解：因为x
＋
y
＋
z
≥3
xyz
＞0，
1
xyz
113
＋＋≥＞0，
3
xyz
111< br>?
111
?
所以(
x
＋
y
＋
z)
?
＋＋
?
≥9，即＋＋≥3，
?
xyz
?
xyz
111
当且仅当
x
＝
y
＝
z
＝1时，＋＋取得最小值3.
xyz
(2)证明：
x
＋
y
＋
z
＝ 222
x
2
＋
y
2
＋
z
2
＋ （
x
2
＋
y
2
）＋（
y
2
＋z
2
）＋（
z
2
＋
x
2
）
3
≥
x
2
＋
y
2
＋
z
2
＋2（
xy
＋
yz
＋
zx
）（
x
＋
y
＋
z
）
2
3
222222
＝
3
2
＝3.
又
x
＋
y
＋
z
－9＝
x
＋
y
＋
z
－(
x
＋
y
＋z
)＝－2(
xy
＋
yz
＋
zx
)＜0，
- 1 -

所以3≤
x
＋
y
＋
z
＜9.
20．(本 小题满分12分)设不等式|
x
－2|＞1的解集与关于
x
的不等式
x
－
ax
＋
b
＞0的解
集相同．
(1)求
a
，
b
的值；
(2)求函数
f
(
x
)＝
ax
－3＋
b
5－
x
的最大值， 以及取得最大值时
x
的值．
解：(1)不等式|
x
－2|＞1的解 集为{
x
|
x
＜1或
x
＞3}，
所以，不等式< br>x
－
ax
＋
b
＞0的解集为{
x
|
x
＜1或
x
＞3}，
所以
a
＝4，
b
＝3.
(2)函数的定义域为[3，5] ，显然有
f
(
x
)＞0，由柯西不等式可得：
2
2
222
f
(
x
)＝4
x
－3＋35－
x
≤4
2
＋3
2
·
（
x
－3）＋（5－
x
）＝52，
当且仅当45－
x
＝3
x
－3时等号成立，
107
即
x
＝时，函数取得最大值52.
25
21．(本 小题满分12分)已知函数
f
(
x
)＝
k
－|
x< br>－3|，
k
∈R，且
f
(
x
＋3)≥0的解集为[－ 1，
1]．
(1)求
k
的值；
(2)若
a
，< br>b
，
c
是正实数，且
1
22
ka
＋
11
＋＝1.求证：
a
＋2
b
＋3
c
≥9. 2
kb
3
kc
(1)解：因为
f
(
x
)＝
k
－|
x
－3|，
所以
f
(
x＋3)≥0等价于|
x
|≤
k
，
由|
x
|≤
k
有解，得
k
≥0，且解集为[－
k
，
k
]．
因为
f
(
x
＋3)≥0的解集为[－1，1]．
因此
k
＝1.
111
(2)证明：由(1)知＋＋＝1，因为a
，
b
，
c
为正实数．
a
2
b3
c
?
111
??
a
2
b
??
a
3
c
??
2
b
3
c
?
所以< br>a
＋2
b
＋3
c
＝(
a
＋2
b＋3
c
)
?
＋＋
?
＝3＋
?
＋
?
＋
?
＋
?
＋
?
＋
?
≥3＋< br>?
a
2
b
3
c
??
2
ba
??
3
ca
??
3
c
2
b
?
2< br>a
2
b
·＋2
2
ba
a
3
c
·＋2
3
ca
2
b
3
c
·＝9，
3< br>c
2
b
当且仅当
a
＝2
b
＝3
c< br>时等号成立．
因此
a
＋2
b
＋3
c
≥9.
x
2
x
2
12
22．(本小题满分12分)设
x< br>1
，
x
2
，…，
x
n
∈R
＋
，且
x
1
＋
x
2
＋…＋
x
n
＝ 1，求证：＋
1＋
x
1
1＋
x
2
- 1 -

x
2
1
n
＋…＋≥.
1＋x
n
n
＋1
证明：因为
x
1
＋
x2
＋…＋
x
n
＝1，
所以
n
＋1＝(1＋< br>x
1
)＋(1＋
x
2
)＋…＋(1＋
x
n< br>)．
?
x
1
＋
x
2
＋…＋
xn
?
(
n
＋1)＝ 又
?
1＋
x
n< br>?
?
1＋
x
1
1＋
x
2
?
?
x
1
＋
x
2
＋…＋
x
n
?[(1＋
x
)＋(1＋
x
)＋…＋(1＋
x
)]≥(< br>x
＋
x
＋…＋
x
)
2
＝1，
?< br>12
n
12
n
?
222
222
?
1 ＋
x
1
1＋
x
2
1＋
x
n
?当且仅当
x
1
1
＝
x
2
＝…＝
xn
＝
n
时，等号成立．
所以
x
2
x
2
x
2
12
1
1＋
x
＋＋…＋
n
≥.
1
1＋
x
2
1＋
x
n
n
＋ 1


- 1 -