高中数学选修极坐标与参数方程知识点与题型

选做题部分 极坐标系与参数方程

一、极坐标系
1．极坐标系与点的极坐标
(1)极坐标系：如图4－4－1所示，在平面内取一个定点O ，叫
做极点，自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单
位，一个角度单位(通常 取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，
这样就建立了一个极坐标系．
(2)极坐标：平 面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ
和从Ox到OM的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对 (ρ，θ)称为点M的极坐
标．其中ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．
2．极坐标与直角坐标的互化
点M
互化
公式

直角坐标(x，y)

极坐标(ρ，θ)
题型一 极坐标与直角坐标的互化
?
1、已知点
P
的极坐标为
(2,)，则点
P
的直角坐标为 （ ）
4
A.（1，1） B.（1，-1） C.（-1，1） D.（-1，-1）
2、设点
P
的直角坐标为
(?3,3)
，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系
(0?
?
?2
?
)
，
则点
P
的极坐标为 （ ）
A．
(32,
3
?
5
?
5
?
3
?
)
B．
(?32,)
C．
(3,)
D．
(?3,)

4444
3．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标
系，则该曲线的直角坐标方程为________．
4．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( )
A．ρ＝cos θ B．ρ＝sin θ C．ρcos θ＝1 D．ρsin θ＝1
5．曲线C 的直角坐标方程为x
2
＋y
2
－2x＝0，以原点为极点，x轴的正半轴为极 轴建立极坐
标系，则曲线C的极坐标方程为________．
π
6. 在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ与直线θ＝(ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标．
4
题型二 极坐标方程的应用
由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不 能直接用极坐标解决，可先转
化为直角坐标方程，然后求解．
π
π
?
3
?
??
1.在极坐标系中，已知圆C经过点P(2，
4
)，圆心 为直线ρsin
?
θ－
3
?
＝－
2
与极轴的交点， 求
圆C的直角坐标方程．
?
π
?
?
2.圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C，点P的极坐标为
?
?
4，
3
?
，则
|CP|＝________.
π
??
?
3.在极坐标系中，已知 直线l的极坐标方程为ρsin
?
?
θ＋
4
?
＝1，圆C的 圆心的极坐标是

?
π
?
?
C
?
?< br>1，
4
?
，圆的半径为1.
(i)则圆C的极坐标方程是________； (ii)直线l被圆C所截得的弦长等于________．
π
??
?
4.在极坐标系中，已知圆C：ρ＝4cos θ被直线l：ρsi n
?
θ－
6
?
?
＝a截得的弦长为23，则实数a
的值是________．
二、参数方程
1．参数方程和普通方程的互化
(1) 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到
普通方 程．
(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求 出另一个变数与参
?
x＝f?t?，
?
数的关系y＝g(t)，那么，
?
就是曲线的参数方程．
y＝g?t?
?
?

2．常见曲线的参数方程和普通方程
点的轨迹 普通方程
直线
圆
椭圆
y－y
0
＝tan α(x－x
0
)
x
2
＋y
2
＝r
2

x
2
y
2
＋＝1(a>b>0)
a
2
b
2
参数方程
?
?
x＝x
0
＋tcos α

?
(t为参数)
?
y＝y
0
＋tsin α
?

?
?
x＝rcos θ
?
(θ为参数)
?
y＝rsin θ
?
?
x＝acos φ
?
?
(φ为参数)
?
y＝bsin φ
?


题型一 参数方程与普通方程的互化
【例1】把下列参数方程化为普通方程：
?
x＝3＋cos θ，
(1)
?

y＝2－sin θ；
?
题型二 直线与圆的参数方程的应用
??
?
x＝1＋t，
?
x＝2cos θ＋2，
?
1、已知直线l的参数方程为(参数t∈R)，圆C的参数方程为
?
(参数θ∈[0,2π]) ，
?
y＝4－2t
?
y＝2sin θ
??

1< br>x＝1＋
2
t，
?
?
(2)
?
3
y ＝5＋
?
?
2
t.



求直线l被圆C所截得的弦长．
2、曲线C的极坐标方程为：ρ=acosθ（a＞0），直 线l的参数方程为：
（1）求曲线C与直线l的普通方程；（2）若直线l与曲线C相切，求a值． < br>3、在直角坐标系xoy中，曲线C
1
的参数方程为
x轴正半轴为极轴，建立极 坐标系，曲线C
2
的极坐标方程为
（Ⅰ）求曲线C
1
的普通方程与曲 线C
2
的直角坐标方程；
（Ⅱ）设P为曲线C
1
上的动点，求点P到C
2
上点的距离最小值．
综合应用

，（α为参数），以原点O为极点，
．
?
x ??2?5t
1、曲线
?
(t为参数)
与坐标轴的交点是（ ）
y?1?2t
?

A
(0,)、
(8,0)
D
(0,)、(,0)
B
(0,)、(,0)
C
(0,?4)、
(8,0)
< br>2
?
?
x?2?sin
?
3、参数方程
?
（
?
为参数）化为普通方程为（ ）
2
?
?
y?sin
?
A．
y?x?2
B．
y?x?2

C．
y?x?2(2?x?3)
D．
y?x?2(0?y?1)

2
5
1
2
15
1
2
5
9
3．判断下列结论的正误．
(1)平面直 角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系
( )
π
(2)若点P的直角坐标为(1，－3)，则点P的一个极坐标是（2，－
3
）( )
(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的( )
(4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线( )
1
?
?
x?t?
4.参数方程为
?
t
(t为参数)
表示的曲线是（ ）
?
?
y?2
A．一条直线 B．两条直线 C．一条射线 D．两条射线
?
?
x?t
(t为参数)
等价的普通方程为（ ） 5．与参数方程为
?
?
?
y?21?t
y
2
y
2
2
?1
B．
x??1(0?x?1)
A．
x?
44
2
y< br>2
y
2
2
?1(0?y?2)
D．
x??1(0?x?1,0?y?2)
C．
x?
44
2
15.参数方程
?

?
x?2
?
?
为参数
?
所表示的曲线是 （ ）
y?tan
?
?cot
?
?
B．两条射线 C．线段
2
A．直线 D．圆
16.下列参数方程（t是参数）与普通方程
y?x
表示同一曲线的方程是： ( )

1?cos2t
?
?
?
x?t
?
x ?sin
2
t
?
x?t
?
x?
A．
? B．
?
C．
?
D．
?
1?cos2t

2
y?ty?sint
y?t?
??
?
?
?
y?tant

?
x? 2
?
sec
2
?
?1
?
?
??
?
?
为参数，??0?
3.由参数方程
?
??
给出曲线在直角 坐标系下的方程是
22
??
?
y?2tan
?
。
4
?
x?3?t
?
?
5
4.若直线
l的参数方程是
?
（t是参数），则过点（4，－1）且与l平行
3
?< br>y??2?t
?
5
?

的直线在y轴上的截距是 。
?
x?5?tsin50?
5.方程
?
（t是参数）表示的是过点 ，倾斜角为 直线。
y??3?tcos50?
?
8.在极坐标系有 点M(3,
?
3
)，若规定极径?＜0, 极角??[0,2?]，则M的极坐标为 ； 若规定极径?＜
0，极角??(-?,?)，则M的极坐标为 .
9.
?OP
1
?
?5，
?
，P
2?
4，
?
，则
?OP
1
P
2
的一个顶 点在极点O，其它两个顶点分别为
P
1
P
2
的面积为
。
?
?
3
?
?
4
?
?
?
?
?
12
?
π
??
6．(2013·北京高考)在极坐标 系中，点
?
2，
?
到直线ρsin θ＝2的距离等于________．

6
??
?
x?2cos?
?2
(
?
?
y?sin
?
7、平面直角坐标 系中,将曲线
?
为参数)上的每一点横坐标不变,纵坐标变为原来
C
2
C
1
x
2
的倍得到曲线
为
?
?4sin
?

(Ⅰ)求
1
和
2
的普通方程:(Ⅱ)求
1和
2
公共弦的垂直平分线的极坐标方程.
8、已知曲线
C
的极 坐标方程是
?
?2cos
?
?2sin
?
?0
，以 极点为平面直角坐标系的原点，极轴为
x
轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线
l< br>的参数方程是
?
12
x??t
（t
?
?
2 2
?
?
y?
2
t
?
2
?
,以坐标 原点为极点,轴的非负半轴为极轴,建立的极坐标系中,曲线的方程
C
C
C
C
为参数）.
（1）求曲线
C
的直角坐标方程和直线
l
的普通方程；
（ 2）若直线
l
与曲线
C
交于
A,B
两点，求
AB< br>的值.
?
x＝2＋tcos α，
?
x＝1＋cos θ，
7、已知圆C：
?
(θ为参数)和直线l：
?
(其中t为参数，α为
?
y＝sin θ
?
y＝3＋tsin α
直线l的倾斜角)．
2π
(1)当α＝
3
时，求圆上的点到直线l距离的最小值；
(2)当直线l与圆C有公共点时，求α的取值范围．
28．参数方程
?


?
x?cos
?
(sin
?
?cos
?
)
(
?
为参数)
表示什么曲线？
?
y?sin< br>?
(sin
?
?cos
?
)
x
2
y
2
??1
上，求点
P
到直线
3x?4y?24
的最 大距离和最小距离。 21．点
P
在椭圆
169
22．已知直线
l< br>经过点
P(1,1)
,倾斜角
?
?
（1）写出直线
l
的参数方程。
（2）设
l
与圆
x?y?4
相交与两点A,B
，求点
P
到
A,B
两点的距离之积

22
?
6
，