高中数学选修4-4《坐标系与参数方程》复习提纲

选修4-4《坐标系与参数方程》复习提纲
一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求
1．坐标系：
① 理解坐标系的作用.
② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.
③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，
能进 行极坐标和直角坐标的互化.
④ 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极 点的圆）的方程.通过比较这些图
形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时 选择适当坐标系的意义.
⑤ 了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐 标系中表示点的位置的方法
相比较，了解它们的区别.
2．参数方程：
① 了解参数方程，了解参数的意义.
② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.
③ 了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程.
④ 了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用.
二、基础知识梳理
1．伸缩变换：设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换
?
:
?
?
x
?
?
?
?x,(?
?0),
的作用下，点
?
y
?
?
?
?y,(
?
?0).
P(x,y)对应到点
P
?
(x
?
,y
?
)
，称
?
为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换， 简称伸缩变换.
2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点Ｏ，叫做极点；自极点Ｏ引一条射线
Ｏ
x叫做极轴；再选定一个
长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时 针方向)，这样就建立了一个极坐标系.
3．点M的极坐标：设M是平面内一点，极点Ｏ与点M的距离
OM
叫做点M的极径，记为
?
；以极轴Ｏx
为始边，射线OM为终边 的∠XOM叫做点M的极角，记为
?
.有序数对
(
?
,
?< br>)
叫做点M的极坐标，记为M
(
?
,
?
)
.
极坐标
(
?
,
?
)
与
(
?
,
?
?2k
?
)(k?Z)
表示同一个点.极点O的坐标为
(0,
?
)(
?
?R)
.
4.若
?
? 0
,则
?
?
?0
,规定点
(?
?
,
?
)
与点
(
?
,
?
)
关于极点对称，即
(?
?
,
?
)
与
(
?
,
?
?
?
)
表示同一点.
如果规定
?
?0,0 ?
?
?2
?
，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标
(
?
,
?
)
表示；同时，极坐标
(
?
,
?
)
表示的点也是唯一确定的.
?
2
?x
2
?y< br>2
,
5．极坐标与直角坐标的互化：
y?
?
sin
?
,
x?
?
cos
?
,

y
tan
?
?(x?0)
x
6.圆的极坐标方程：
1

在极坐标系中，以极点为圆心，r为半径的圆的极坐标方程是
?
?r
；
在极坐标系中，以
C(a,0)
(a>0)为圆心， a为半径的圆的极坐标方程是
?
?2acos
?
；
在极坐标系中，以
C(a,
7.直线的极坐标方程：
在极坐标系中，
?
?
?
(
?
?0)
表示以极点为起点的一条射线；
?
?
?
(
?
?R)
表示过极点的一条直线.
在极坐标系中，过点
A(a,0)(a?0)
，且垂直于极轴的直线l的极坐标方程是
?
cos
?
?a
.
8．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如 果曲线上任意一点的坐标中x,y都是某个变数t的函数
?
2
)
(a>0)为 圆心，a为半径的圆的极坐标方程是
?
?2asin
?
；
?
x?f(t),
并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点M(x,y )都在这条曲线上，那么这个方程
?
?
y?g(t),
就叫做这条曲线的参数 方程，联系x,y的变数t 叫做参变数，简称参数.相对于参数方程而言，直接给出
点的坐标间关系的方程叫做普通方程.
9．常见曲线的参数方程
（1）圆
(x?a)?(y?b)?r
的参数方程 可表示为
?
222
?
x?a?rcos
?
,
(?
为参数)
.
y?b?rsin
?
.
?
?< br>x?acos
?
,
x
2
y
2
（2）椭圆2
?
2
?1
(a>b>0)的参数方程可表示为
?
(< br>?
为参数)
.
ab
?
y?bsin
?
.< br>?
x?2pt
2
,
(t为参数)
. （3）抛物线
y ?2px
的参数方程可表示为
?
?
y?2pt.
2
?
x?x
o
?tcos
?
,
M(x,y)
（4）经过点Ooo
，倾斜角为
?
的直线l的参数方程可表示为
?
（t为参数 ）.
y?y?tsin
?
.
o
?
10．在建立曲线的参数 方程时，要注明参数及参数的取值范围.在参数方程与普通方程的互化中，必须使
x,y的取值范围保持 一致.
三、典型例题分析
考点1、极坐标与直角坐标互化
例题1.1、在极坐 标中，求两点
P(2,
?
),Q(2,?)
之间的距离以及过它们的直线的极 坐标方程.
44
?

22
例1.2、已知圆C：
(x? 1)?(y?3)?1
，则圆心C的极坐标为_______
(
?
?0,0?
?
?2
?
)

答案：（
(2,
2
?
)
）
3
2

考点2、极坐标与直角坐标方程互化
例题2.1、已知曲线
C
的极坐标方程是
?
?4sin
?
．以极点为平面直角坐标系的原 点，极轴为
x
轴的正半
轴，建立平面直角坐标系，求曲线
C
直角坐标 方程.
解：曲线
C
的极坐标方程
?
?4sin
?
可化为
?
?4
?
sin
?
,其直角坐标方程为< br>x?y?4y?0
，即
222
x
2
?(y?2)
2< br>?4
.
例2.2、设过原点
O
的直线与圆
C
：< br>(x?1)?y?1
的一个交点为
P
，点
M
为线段
O P
的中点.
(1) 求圆C的极坐标方程；
(2) 求点M轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线．
解：（1）圆
(x?1)?y?1
的极坐标方程为
?
?2cos
?
，（2）
设点
P
的 极坐标为
(
?
1
,
?
1
)
，点
M
的极坐
标为
(
?
,
?
)
，∵点
M
为线段
OP
的中点， ∴
?
1
?2
?
，< br>?
1
?
?
，
将
?
1
?2
?
，
?
1
?
?
代入圆的极坐标方
22
22< br>程，得
?
?cos
?
∴点
M
轨迹的极坐标方程为?
?cos
?
，它表示圆心在点
(,0)
，半径为
例2 .3、在极坐标系中，求圆
?
?2
与直线
?
cos
?
?3sin
?
?6
的位置关系.


考点3、参数方程与直角坐标方程互化
例题3.1、已知曲线
C
1
的参数方程为
?
1
2
1
的圆.
2
??
?
?
x??2?10cos
?
?
?
y?10sin
?
（
?
为参数），曲线
C
2
的极坐标方程为
?
?2cos
?
?6sin
?
．
（1）将曲线
C< br>1
的参数方程化为普通方程，将曲线
C
2
的极坐标方程化为直角坐标方 程；
（2）曲线
C
1
，
C
2
是否相交，若 相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由．
?
?
x??2?10cos
?
2222
解：（1）由
?
得
(x?2)?y?10
∴曲 线
C
1
的普通方程为
(x?2)?y?10
，

?
?
y?10sin
?


∵
?
?2cos
?
?6sin
?
，
∴
?
?2
?
cos
?
?6
?
sin
?
，
∵
?
?x?y,x?
?
cos
?
,y?
?
sin
?

∴
x?y?2x?6y
，即
(x?1)?(y?3)?10< br>，
∴曲线
C
2
的直角坐标方程为
2222
2222< br>(x?1)
2
?(y?3)
2
?10
．
圆
C
2
的圆心为
(1,3)
，
∴
C
1
C< br>2
?
（2）
∵圆
C
1
的圆心为
(?2,0)
，
(?2?1)
2
?(0?3)
2
?32?210
∴
3

两圆相交，设相交弦长为
d
，因为两圆半径 相等，所以公共弦平分线段
C
1
C
2
，
∴
()?(
∴
d?
d
2
2
32
2
)?(10)
2
2
22
．

x
2
y
2
??1
上找一点，写出椭圆的参数方程并在椭圆上找这一点到直线
x?2y?12?0
的例3 .2、在椭圆
1612
距离的最小值．
4cos
?
?43sin< br>?
?12
?
?
x?4cos
?
解：设椭圆的参数方程 为
?
，
d?

5
?
?
y?23sin?
?
45
?
4545
?
，此时所求点为
cos
?
?3sin
?
?3?2cos(
?
?)?3
，当
cos(
?
?)?1
时，
d
min
?
5< br>3
553
(2,?3)
.．
例题3.3、已知直线
l
经过点
P(1,1)
,倾斜角
?
?
①写出直线
l
的参数方程;
②设
l
与圆
x?y?4
相交与两点
A,B< br>，求点
P
到
A,B
两点的距离之积.
22
?
6
，
?
?
?
3
x?1? tcos
x?1?t
?
?
?
?
6
2
解 ：（1）直线的参数方程为
?
，即
?
．
?< br>?
y?1?
1
t
?
y?1?tsin
?
?< br>6
?
?2
?
3
x?1?t
?
?
2< br>代入
x
2
?y
2
?4
，得
(1?
3
t)
2
?(1?
1
t)
2
?4,t
2?(3?1)t?2?0
， （2）把直线
?
22
?
y?1 ?
1
t
?
?2
t
1
t
2
??2< br>则点
P
到
A,B
两点的距离之积为
2
．
，
4
?
x?1?t
?
?
?
5
例题 3.4、求直线
?
（
t为参数
）被曲线
?
?2cos(?
?)
所截的弦长.
4
?
y??1?
3
t< br>?
5
?
4
?
x?1?t
?
解：将方程
?
5
，
?
?
?
?
y??1?
3
t
?
5
?
2cos(
?
?)
分别化为普通方程：< br>3x?4y?1?0
，
4
?
1121
x
2
?y
2
?x?y?0,圆心C（，－），半径为圆心到直线的距离d＝，
22210< br>4

弦长＝2r
2
?d
2
?2117
??.

21005
考点4：利用参数方程求值域
例题 4.1、已知点
P(x,y)
是圆
x?y?2y
上的动点，求
2x? y
的取值范围.



22
1
?
x?? 22?t
?
?
x?1?cos
?
?
2
(t
为参数
）
例题4.2、在曲线
C
1
：
?
(
?
为参数
）
上求一点，使它到直线
C
2
：
?
?
y?sin
?
?
y?1?
1
t
?
?2
的距离最小，并求出该点坐标和最小距离.
解：直线C
2
化成普通方程是x +y+2
2
-1=0，设所求的点为P（1+cos
?
,sin
?< br>),则C到直线C
2
的距离
d=
|1?cos
?
?s in
?
?22?1|
2
=|sin(
?
+
?3
?
?
5
?
)+2|，当
?
??
时， 即
?
=时，d取最小值1此时，点P的
42
4
4
坐标是（1 -
22
，-）
22
四、基础练习
1．曲线
C
:
?
?
x?cos
?
?1.
(
?
为参数)的 普通方程为 ( )
?
y?sin
?
?1
A、(x-1)< br>2
+(y+1)
2
=1 B 、(x+1)
2
+(y+1)
2
=1
C 、(x+1)
2
+(y-1)
2
=1 D 、(x-1)
2
+(y-1)
2
=1
2.在极坐标系中，圆心在
(2，
?
)
且过极点的圆的方程为（ ）
A.
?
?22cos
?
B.
?
C.
?
?22sin
?
D.
?
??22cos
?
??22sin
?

3.极坐标方程
?
cos2
?
?1
所表示的曲线是（ ）
A．两条相交直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线
2
4．在极坐标系中 ，直线
l
的方程为
?
sin
?
?3
，则点(2，< br>?
)到直线l的距离为 ．
6
5.在平面直角坐标系
xOy
中，直线
l
的参数方程为
?
?
x?t?3< br>(参数t?R)
，圆
C
的参数方程为
?
y?3?t
?
x?2cos
?
(参数
?
?
?
0，2
?< br>?
)
，则圆
C
的圆心坐标为 ，圆心到直线
l
的距离
?
y?2sin
?
?2
?
为 .
5

6．已知曲线
C
1
,C
2
的极坐标方程分别为
?
cos
?
?3,
?
?4c os
?
（
?
?0,0?
?
?
点的极坐标为__ ___.
7.在极坐标系中，已知点
A
（1，
?
2
），则 曲线
C
1
与
C
2
交
3
?
?
）和
B
(2,)
,则
A
、
B
两点间的距离是 ．
44
8.在极坐标系中，直线
?
?
（
?
?R< br>）与圆
?
?4cos
?
?
43sin
?
交于
A
、则
AB?
．
B
两点，
9.在极坐标系中，圆
?
?cos
?
与直线
?
cos
?
?1
的位置关系是 ．
10.在极坐标系中，圆?
?2
上的点到直线
?
cos
?
?3sin
?
?6
的距离的最小值是 __．
11.在极坐标系中，过点
?
2 2,
π
3
??
?
?
?
?
?
作圆< br>?
?4sin
?
的切线，则切线的极坐标方程是 ．
4< br>?
12．在极坐标系中，已知直线过点（1，0），且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正 角为
线的极坐标方程为_____________________.
13.已知圆
C
的参数方程为
?
是 .
?
，则直
3
?
x?cos
?
?1,
(
?为参数), 则点
P
?
4,4
?
与圆
C
上的点 的最远距离
?
y?sin
?
14.在平面直角坐标系xOy中，点
P
的直角坐标为
(1,?3)
.若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极
坐 标系，则点
P
的极坐标可以是 ．
15.在极坐标系中，点
?
1,0
?
到直线
?
?
cos
?
?sin
?
?
?2
的距离为 ．
16.已知直 线
l:x?y?4?0
与圆
C:
?
x?1?2cos
?y?1?2sin
?
，则
C
上各点到
l
的距离的最小值 为 .
17.在极坐标系
(
?
,
?
)
（
0?
?
?2
?
）中，过点
(2 , )
作极 轴的垂线，垂足为
M
，则
M
点的极坐标
?
3
为 ．
?
x?3t,
18.已知曲线C的参数方程为
?
（
t< br>为参数）,则过曲线C上横坐标为1的点的切线方程
2
y?2t?1.
?
为 ．
19.已知曲线C的参数方程为
?
最大值为 ．
20.若直线
?
?
x?1?cos
?
,
（?
为参数），则曲线C上的点到直线
2x?y?2?0
的距离的
?
y?sin
?
.
?
x?1?2t,
（
t
为参数） 与直线
4x?ky?1
垂直，则常数k=__ __.
?
y?2?3t,
五、2009年-2013年高考题
1.2009年
6

2.2010年



3.2011年

7

4.2012年

5.2013年



8