2018年高中数学第一章不等关系与基本不等式1-2-1绝对值不等式活页作业2北师大版选修4_5

物类之起，必有所始。荣辱之来，必象其德。肉腐出虫，鱼枯生蠹。怠慢忘身，祸灾乃作。强自取 柱，柔自取束。邪秽在身，怨之所构。施薪若一，火就燥也，平地若一，水就湿也。草木畴生，禽兽群焉，物各从 其类也。是故质的张，而弓矢至焉；林木茂，而斧斤至焉；树成荫，而众鸟息焉。
活页作业(二) 绝对值不等式

一、选择题
1．设
ab
＞0，下面四个不等式中，正确的是( )
①|
a< br>＋
b
|＞|
a
|；②|
a
＋
b
|＜ |
b
|；③|
a
＋
b
|＜|
a
－
b
|；
④|
a
＋
b
|＞|
a
|－|b
|.
A．①和② B．①和③
C．①和④ D．②和④
解析：∵
ab
＞0，∴
a
，
b
同号．
∴ |
a
＋
b
|＝|
a
|＋|
b
|.
∴①和④正确．
答案：C
2．若|
x
|≤1时都有|
a x
＋
b
|≤1，下列不等式必成立的是( )
A．|
a
|≤|
b
|≤1 B．|
b
|≤|
a
|≤1
C．|
a
|≤1，|
b
|≤1 D．|
a
|＋|
b
|≤1
解析：取
x
＝0，得|
b
|≤1.再分别取
x
＝1，－1，
得|
a
＋< br>b
|≤1，|
a
－
b
|≤1.
故|2
a< br>|＝|(
a
＋
b
)＋(
a
－
b
)| ≤|
a
＋
b
|＋|
a
－
b
|≤2.
所以|
a
|≤1必成立．
答案：C
3．对于实数
x，
y
，若|
x
－1|≤1，|
y
－2|≤1，则|x
－2
y
＋1|的最大值为(
A．5 B．4
C．8 D．7
解析：由题意，得|
x
－2
y
＋1|＝|(
x－1)－2(
y
－1)|≤
|
x
－1|＋|2(
y< br>－2)＋2|≤1＋2|
y
－2|＋2≤5，即|
x
－2
y< br>＋1|的最大值为5.
答案：A
4．已知
x
∈R，
y∈R，则|
x
|＜1，|
y
|＜1是|
x
＋
y
|＋|
x
－
y
|＜2的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件 D．充要条件
解析：若|
x< br>|＜1，|
y
|＜1，则当(
x
＋
y
)(
x
－
y
)≥0时，|
x
＋
y
|＋|
x－
y
|＝|(
x
＋
y
)＋(
x
－y
)|＝2|
x
|＜2；当(
x
＋
y
) (
x
－
y
)＜0时，|
x
＋
y
|＋|
x
－
y
|＝|(
x
＋
y
)＝－(
x
－
y
)|＝
2|
y
|＜2.
若|
x
＋
y
|＋|
x
－
y
|＜2，则2|
x|＝|(
x
＋
y
)＋(
x
－
y
)|＜
|
x
＋
y
|＋|
x
－
y
|＜2， 即|
x
|＜1；2|
y
|＝|(
x
＋
y
) －(
x
－
)

物类之起，必有所始。荣辱之来，必象其德 。肉腐出虫，鱼枯生蠹。怠慢忘身，祸灾乃作。强自取柱，柔自取束。邪秽在身，怨之所构。施薪若一，火就燥也 ，平地若一，水就湿也。草木畴生，禽兽群焉，物各从其类也。是故质的张，而弓矢至焉；林木茂，而斧斤至焉； 树成荫，而众鸟息焉。
y
)|＜|
x
＋
y
|＋|
x
－
y
|＜2，即|
y
|＜1.
答案：D
二、填空题
5．已知|
a
＋
b
|＜－
c
(
a
，
b
，
c
∈R)，给出下列不等式：
①a
＜－
b
－
c
；②
a
＞－
b
＋
c
；③
a
＜
b
－
c
；④|
a< br>|＜|
b
|－
c
；
⑤|
a
|＜－|
b
|－
c
.
其中一定成立的不等式是________(填序号)．
解析：∵|
a
＋< br>b
|＜－
c
，∴
c
＜
a
＋
b
＜－
c
.
∴
a
＜－
b
－
c
，
a
＞－
b
＋
c
，①②成立．
∵|
a|－|
b
|≤|
a
＋
b
|＜－
c
，
∴|
a
|＜|
b
|－
c
，④成立．
答案：①②④
6．有下列三个命题：①若|
a
－
b
|＜1 ，则|
a
|＜|
b
|＋1；②若
a
，
b
∈ R，则|
a
＋
b
|－2|
a
|≤|
a
－< br>b
|；③
?
x
?
2
若|
x
|＜2， |
y
|＞3，则
??
＜.其中真命题的序号是________.
?
y
?
3
解析：①∵|
a
|－|
b
|≤|
a
－
b
|＜1，∴|
a
|＜|
b
|＋1.
②∵|
a
＋
b
|－|
a
－
b
|≤ |(
a
＋
b
)＋(
a
－
b
)|＝2|a
|，
∴|
a
＋
b
|－2|
a
|≤ |
a
－
b
|.
11|x|2
③∵|
y
| ＞3，∴＜.∵|
x
|＜2，∴＜.
|y|3|y|3
三个命题均是真命题．
答案：①②③
三、解答题 7．求函数
f
(
x
)＝|
x
－4|－|
x－3|的最大值，并求出取最大值时
x
的范围．
解：
f
(x
)＝|
x
－4|－|
x
－3|
≤|(
x
－4)－(
x
－3)|＝1，
?
－－< br>?
当且仅当
?
?
|x－4|≥|x－3|，
?
，

即
x
≤3时，函数
f
(
x
)取最大值1.
8．已知函数
f
(
x
)＝
x
－
x
＋c
定义在区间[0,1]上，
x
1
，
x
2
∈
[0,1]，且
x
1
≠
x
2
，求证：
(1)
f
(0)＝
f
(1)；
(2)|
f
(
x
2
)－
f
(
x
1
)|＜|
x
1
－
x
2
|.
证明：(1)∵
f
(0 )＝
c
，
f
(1)＝
c
，
∴
f
(0)＝
f
(1)．
(2)|
f
(
x
2
)－
f
(
x
1
)|＝|
x< br>2－
x
2
＋
c
－
x
21＋
x
1
－
c
|
2

物类之起，必有所始。荣辱之来，必 象其德。肉腐出虫，鱼枯生蠹。怠慢忘身，祸灾乃作。强自取柱，柔自取束。邪秽在身，怨之所构。施薪若一，火 就燥也，平地若一，水就湿也。草木畴生，禽兽群焉，物各从其类也。是故质的张，而弓矢至焉；林木茂，而斧斤 至焉；树成荫，而众鸟息焉。
＝|
x
2
－
x
1
||
x
2
＋
x
1
－1|.
∵0≤
x
1
≤1,0≤
x
2
≤1，
x
1
≠
x
2
，
∴0＜
x
1
＋
x
2
＜2. ∴－1＜
x
1
＋
x
2
－1＜1.∴|
x
2
＋
x
1
－1|＜1.
∴|
f
(
x< br>2
)－
f
(
x
1
)|＜|
x
1－
x
2
|.




一、选择题< br>1．设|
a
|＜1，|
b
|＜1，则|
a
＋
b
|＋|
a
－
b
|与2的大小关系是( )
B．|
a
＋
b
|＋|
a
－
b
|＜2
D．不能比较大小


A．|
a
＋
b
|＋|
a
－
b
|＞2
C．|
a
＋
b
|＋|< br>a
－
b
|＝2
解析：当(
a
＋
b
)(
a
－
b
)≥0时，
|
a
＋
b
|＋|
a
－
b
|＝|(
a
＋
b
)＋(a
－
b
)|＝2|
a
|＜2；


当 (
a
＋
b
)(
a
－
b
)＜0时，
|
a
＋
b
|＋|
a
－
b
|＝|(
a
＋
b
)－(
a
－
b
)|＝2|
b
|＜2.
答案：B
2．若关于
x
的不等式
x
＋|2< br>x
－6|≥
a
对于一切实数
x
均成立，则实数
a的最大值是( )




B．9
D．11



2
2
A．7
C．5
解析：令
f< br>(
x
)＝
x
＋|2
x
－6|，
22
当
x
≥3时，
f
(
x
)＝
x
＋2
x
－6＝(
x
＋1)－7≥9；
当
x
＜3时，
f< br>(
x
)＝
x
－2
x
＋6＝(
x
－1 )＋5≥5.
22
综上，函数
f
(
x
)的最小值为5.故 原不等式恒成立，只需
a
≤5即可．从而实数
a
的最大值为5.


答案：C
二、填空题
3．已知函数
f
(
x
)＝3
x
＋1，当|
x
－1|＜
b
时，有|
f< br>(
x
)－4|＜
a
，
a
＞0，
b
＞ 0，则
a
与
b
满足的关系是


________ .
解析：因为|
f
(
x
)－4|＝|3
x
－3|＝ 3|
x
－1|＜
a
，



a
所 以|
x
－1|＜.
3
又当|
x
－1|＜
b
时，有|
f
(
x
)－4|＜
a
，
a
即当|
x
－1|＜
b
时，有 |
x
－1|＜，
3

a
所以
b
≤，即
a
－3
b
≥0.
3
答案：
a
－3
b
≥0
4．已知α，β是实数，给出四个论断：