选修4-5_《不等式选讲》全册教(学)案

第一讲 不等式和绝对值不等式
课题：第01课时 不等式的基本性质
教学目标：
1．理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究
的基础。
2．掌握不等式的基本性质，并能加以证明；会用不等式的基本性质判断不
等关系和用比较法，反证法证 明简单的不等式。
教学重点：应用不等式的基本性质推理判断命题的真假；代数证明，特别是反证
法。
教学难点：灵活应用不等式的基本性质。
教学过程：
一、引入：
不等 关系是自然界中存在着的基本数学关系。《列子?汤问》中脍炙人口的
“两小儿辩日”：“远者小而近者 大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实
世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问 题，如“自来水管的直截
面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最
亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无
盖的盒子。要 使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属
于不等关系的问题，需要借助不等式的 相关知识才能得到解决。而且，不等式在
数学研究中也起着相当重要的作用。
本专题将介绍一 些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努
利不等式、排序不等式等）和它们的证明，数 学归纳法和它的简单应用等。
人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的 不
同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，
而相等则是局 部的、相对的。还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位
和作用。
生活中为什么糖水 加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a克糖水中含有b克糖
(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则 糖水更甜了，为什么?
b
b?m
分析：起初的糖水浓度为，加入m克糖 后的糖水浓度为，只要证
a
a?m
b?m
b
>即可。怎么证呢?
a?m
a
二、不等式的基本性质：
1、实数的运算性质与大小顺序的关系：
数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴

上的表示可知：
a?b?a?b?0

a?b?a?b?0

a?b?a?b?0

得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。
2、不等式的基本性质：
①、如果a>b，那么bb。(对称性)
②、如果a>b，且b>c，那么a>c，即a>b，b>c
?
a>c。
③、如果a>b，那么a+c>b+c，即a>b
?
a+c>b+c。
推论：如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d．即a>b， c>d

?
a+c>b+d．
④、如果a>b，且c>0，那么ac>bc；如果a>b，且c<0，那么ac⑤、如果a>b >0，那么
a
n
?b
n

(n
?
N，且n>1)
⑥、如果a>b >0，那么
n
a?
n
b

(n
?
N，且n>1)。
三、典型例题：
例1、比较
(x?3)(x?7)
和
(x?4)(x?6)
的大小。
分析：通过考察它们的差与0的大小关系，得出这两个多项式的大小关系。
例2、已知
a?b,c?d
，求证：
a?c?b?d
．
例3、已知a>b>0，c>d>0，求证：
四、课堂练习：
a
?
d
b
c
。
1：已知
x?3
，比较
x
3
?11x
与
6x
2
?6
的大小 。
ba
2：已知a>b>0，c?
a?cb?d
五、课后作业：
课本
P
9
第1、2、3、4题
六、教学后记：

课题：第02课时 基本不等式
教学目标：
1.学会推导并掌握均值不等式定理；
2.能够简单应用定理证明不等式并解决一些简单的实际问题。
教学重点：均值不等式定理的证明及应用。
教学难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧。
教学过程：
一、知识学习：
定理1：如果
a
、
b
∈R，那么
a
2
＋
b
2
≥2
ab
（当且仅当
a
＝
b
时取“＝”号）
证明：
a
2
＋
b
2
－2
ab
＝（
a
－
b
）
2

当
a
≠
b
时，（
a
－
b
）
2
＞0，当
a
＝
b
时，（
a
－
b
）
2
＝0
所以，（
a
－
b
）
2
≥0 即
a
2
＋
b
2
≥2
ab

由上面的结论，我们又可得到
定理2（基本不等式）：如果
a
，
b
是正数，那么
＝
b
时取“＝”
号）
2
证明：∵（
a
）
2
＋（
b
）≥2
ab


a
＋
b
∴
a

＋
b
≥2
ab
，即 ≥
ab

2
a
＋
b
显然，当且仅当
a
＝
b
时， ＝
ab


2
a
＋
b
说明：1）我们称 为
a
，
b
的算术平均数，称
ab
为
a
，
b
的几何平均
2
数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数.

a
＋
b
2）
a
2
＋
b
2
≥2
ab
和 ≥
ab
成立的 条件是不同的：前者只要求
a
，
b
都
2
是实数，而后者要求
a
，
b
都是正数.
a

＋
b
2
≥
ab
（当且仅当
a
3）“当且仅当”的含义是充要条件.
4）几何意义.
二、例题讲解：
例1 已知
x
，
y
都是正数，求证： < br>（1）如果积
xy
是定值
P
，那么当
x
＝
y
时，和
x
＋
y
有最小值2
P
；
1< br>（2）如果和
x
＋
y
是定值
S
，那么当
x< br>＝
y
时，积
xy
有最大值
S
2

4
x
＋
y
证明：因为
x
，
y
都是正数，所 以 ≥
xy

2
x
＋
y
（1）积
xy
为定值
P
时，有 ≥
P
∴
x
＋
y
≥2
P

2
上式当
x
＝
y
时，取“＝”号，因此，当
x
＝
y
时，和x
＋
y
有最小值2
P
.
S
1
2
（2）和
x
＋
y
为定值
S
时，有
xy ≤ ∴
xy
≤
S
24
1
上式当
x=y
时取“＝”号，因此，当
x=y
时，积
xy
有最大值
S
2
.
4

说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件：
ⅰ）函数式中各项必须都是正数;
ⅱ)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；
ⅲ）等号成立条件必须存在。
例2 ：已知
a
、
b
、
c
、
d
都是正数，求证：
（
ab
＋
cd
）（
ac
＋
bd
） ≥4
abcd

分析：此题要求学生注意与均值不等式定理的“形”上发生联系，从而 正确
运用，同时加强对均值不等式定理的条件的认识.
证明：由
a
、
b
、
c
、
d
都是正数，得
ab
＋
cdac
＋
bd
≥
ab
·
cd
＞0， ≥
ac
·
bd
＞0，
22
（
ab
＋
cd
）（
ac
＋< br>bd
）
∴ ≥
abcd

4
即（
ab
＋
cd
）（
ac
＋
bd
）≥4
abcd

例3 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m
3
，深为3m，如
果池底每1m
2
的造价为150元，池壁每1m
2
的造价为120元 ，问怎样设计水池能
使总造价最低，最低总造价是多少元？
分析：此题首先需要由实际问题向 数学问题转化，即建立函数关系式，然后
求函数的最值，其中用到了均值不等式定理.
解：设 水池底面一边的长度为
x
m，水池的总造价为
l
元，根据题意，得
16001600
l
＝240000＋720（
x
＋ ）≥240000＋720×2
x
·
xx
＝240000＋720×2×40＝297600
1600
当
x
＝ ，即
x
＝40时，
l
有最小值297600
x
因此，当水 池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总
造价是297600元.
评 述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数
解析式的建立，又是不等式性质 在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条
件.
三、课堂练习：课本P
91
练习1，2，3，4.
四、课堂小结：
通过本节学习，要求大家掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均
数的定理，并会应用它证明 一些不等式及求函数的最值，，但是在应用时，应注
意定理的适用条件。
五、课后作业
课本P
10
习题1.1第5，6，7题
六、教学后记：

课题：第03课时 三个正数的算术-几何平
均不等式
教学目标：
1．能利用三个正数的算术- 几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最
值问题；
2．了解基本不等式的推广形式。
教学重点：三个正数的算术-几何平均不等式
教学难点：利用三个正数的算术- 几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决
最值问题
教学过程：
一、知识学习：
定理3：如果
a,b,c?R
?
，那么
成立。
a?a
2
???a
n
推广：
1
≥
n
a
1
a
2
?a
n
。当且仅当
a
1
?a
2
???a
n
时，等号成立。
n
语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
思考：类比基本不等 式，是否存在：如果a,b,c?R
?
，那么
a
3
?b
3< br>?c
3
?3abc
（当
且仅当
a?b?c
时，等号成 立）呢？试证明。
二、例题分析：
3
例1：求函数
y?2x
2
?(x?0)
的最小值。
x
2
12312
2
解一：
y?2x??2x???33
2x
2
???3
3
4
∴
y
min< br>?3
3
4

3
xxxx
3
3
x12
22
3
2
解二：
y?2x??22x??26x
当
2x?
即
x?
时
3
xx
2
x
12
∴
y
min
? 26??23
3
12?2
6
324

2
上述两种做法哪种是错的？错误的原因是什么？
1
变式训练1
若a,b?R
?
且a?b,求a?
的最小值。
(a?b)b
由此题，你觉得在利用不等式解决这类题目时关键是要_____________________
a?b?c
3
?abc
。当且仅当
a?b?c
时，等号
3
例2 ：如下图，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，
再把它的边沿 名着虚线折转成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少
时，才能使盒子的容积最大？

变式训练2 已知：长方体的全面积为定值Ｓ，试问这个长方体的长、宽、高
各是多少时， 它的体积最大，求出这个最大值．
由例题，我们应该更牢记 一 ____ 二 _____ 三 _ _______，三者缺一不可。另
外，由不等号的方向也可以知道：积定____________， 和定______________.
三、巩固练习
12
(x?0)
的最小值是 ( )
2
x
A.6 B.
66
C.9 D.12
16
2.函数
y?4x
2
?
2
的最小值是____________
2
(x
2
?1)
4
y?x(2?x)(0?x?2)
的最大值是（ ） 3．函数
1632
A.0 B.1 C. D.
2727
xyz
2
4?4?4
4.(2009自选)已知 正数
x,y,z
满足
x?y?z?1
，求的最小值。
111
5（2008，，21）设
a,b,c
为正实数，求证：
3
?
3< br>?
3
?abc?23

abc
四、课堂小结：
1. 函数
y?3x?
通过本节学习，要求大家掌握三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一些不等式及求函数的最值，，但是在应用时，应注
意定理的适用条件。
五、课后作业
P
10
习题1.1第11，12，13题
六、教学后记：