2018年高中数学第二章几个重要的不等式2-3数学归纳法与贝努利不等式活页作业11北师大版选修4_5

物类之起，必有所始。荣辱之来，必象其德。肉腐出虫，鱼枯生蠹。怠慢忘身，祸灾乃作。强自取 柱，柔自取束。邪秽在身，怨之所构。施薪若一，火就燥也，平地若一，水就湿也。草木畴生，禽兽群焉，物各从 其类也。是故质的张，而弓矢至焉；林木茂，而斧斤至焉；树成荫，而众鸟息焉。
活页作业(十一) 数学归纳法与贝努利不等式

一、选择题
111
1．用数学归纳法证明“ ＋＋＋…＋
1×22×33×4
1
＋
＝
n
(
n< br>∈N
＋
)”，从
n
＝
k
到
n
＝k
＋1时，等式左边需增添的项是( )
n＋1
1
A．
k＋1
C．
1
＋

1
B．
k＋2
D．
1
＋＋

1
解析：当
n
＝
k
(
k
∈N
＋
)时，等式的左边＝＋
1×2
11
＋＋…＋
2×33×4
1
＋＋
答案：D
2．对于正整数
n
，下列说法不正确的是( )
A．3≥1＋2
n

C．0.9<1－0.1
n
n
n
n
1
＋
；当
n
＝
k
＋1 时，等式的左边＝
111
＋＋＋…＋
1×22×33×4
1
＋＋.
1
＋
＋
.所以从
n
＝
k
到
n
＝
k
＋1时，等式的左边需增添的项为
B．0.9≥1－0.1
n

D．0.1≥1－0.9
n

n
n
解析：由贝 努利不等式(1＋
x
)≥1＋
nx
(
x
≥－1，
n
∈N
＋
)，可知当
x
＝2时，(1＋2)
n
≥1 ＋2
n
，A项正确；当
x
＝－0.1时，(1－0.1)
n
≥1－0.1
n
，B项正
确，C项不正确；当
x
＝－0.9时，(1 －0.9)≥
1－0.9
n
，D项正确．
答案：C
3．设数列 {
a
n
}的前
n
项和为
S
n
，且
a
1
＝1，
S
n
＝
na
n
(
n< br>∈N
＋
)．试归纳猜想出
S
n
的表达式为( )
2n
A．
n＋1
2n＋1
C．
n＋2
2n－1
B．
n＋1
2n
D．
n－1< br>2
n
解析：因为
a
1
＝1，所以
S
1
＝1.又
S
2
＝4
a
2
＝
a
1
＋
a
2
，
144136
所以3
a
2
＝1 .所以
a
2
＝，
S
2
＝.又
S
3
＝9
a
3
＝
S
2
＋
a
3
，所以8
a
3
＝.所以
a
3
＝.所以
S
3
＝＝.由此可猜
333624
想
S
n
＝
2n
(n
∈N
＋
)．
n＋1
答案：A
4．对于不等式n2 ＋n<
n
＋1(
n
∈N
＋
)，某学生用数学归纳法证明的过 程如下：

物类之起，必有所始。荣辱之来，必象其德。肉腐出虫，鱼枯生蠹。怠慢忘身 ，祸灾乃作。强自取柱，柔自取束。邪秽在身，怨之所构。施薪若一，火就燥也，平地若一，水就湿也。草木畴生 ，禽兽群焉，物各从其类也。是故质的张，而弓矢至焉；林木茂，而斧斤至焉；树成荫，而众鸟息焉。
( 1)当
n
＝1时命题显然成立．
(2)假设
n
＝
k
(
k
∈N
＋
，
k
≥1)时原不等式成立，即k2＋k<< br>k
＋1，则当
n
＝
k
＋1时，左边＝
＋＋
＋
＋＝k2＋3k＋2<＋3k＋＋＋＝
＝(
k
＋1)＋1.
故当
n
＝
k
＋1时原不等式也成立．
由(1)(2)，可知原不等式对一切
n
∈N
＋
都成立．
对上述证明过程，下列说法正确的是( )
A．过程全部正确B．
n
＝1时验证不正确
C．归纳假设不正确D．从n
＝
k
到
n
＝
k
＋1的推理不正确
解析：上述过程中，当
n
＝1时的验证及假设均正确，只是在(2)中的证明没有使用归纳假设 ，因此证
明过程错误．
答案：D
二、填空题
5．与贝努利不等式(1＋
x
)>1＋
nx
(
x
>－1且
x
≠0，< br>n
>1，
n
∈N)等价的不等式是________.(填序号)
①(1－
x
)>1－
nx
(
x
<1且
x
≠0，
n
>1，
n
∈N)
②(1＋
x
)>1－
nx
(
x
>－1且
x
≠0，
n
>1，
n
∈N)
③(1－
x
)>1＋
nx
(
x
<1且
x
≠0，
n
>1，
n
∈N)
④(1＋
x
)>1＋
nx
(
x
>1，
n
>1，
n∈N)
解析：在贝努利不等式中，令
x
＝－
t
，因为
x
>－1且
x
≠0，所以
t
<1且
t
≠0.所以原 不等式变为(1
－
t
)>1－
nt
(
t
<1且t
≠0，
n
>1，
n
∈N)．
答案：①
6 ．设
f
(
x
)是定义在正整数集上的函数，且
f
(
x
)满足：当
f
(
k
)≥
k
成立时，总可推出f
(
k
＋1)≥(
k
＋
1)成立．那么下列结论正确的 是________.
①若
f
(3)≥9成立，则当
k
≥1时，均 有
f
(
k
)≥
k
成立；
②若
f
(5)≥25成立，则当
k
≤5时，均有
f
(
k
)≥
k
成立；
③若
f
(7)<49成立，则当
k
≥8时，均 有
f
(
k
)<
k
成立；
④若
f
(4)＝25成立，则当
k
≥4时，均有
f
(
k
)≥
k
成立．
解析：对于①，若
f
(3)≥9成立，则由题意可得出当
k
≥ 3时，
f
(
k
)≥
k
成立，①错．对于②，若
f
(5)≥25成立，由题意可得出当
k
≥5时，
f
(
k
)≥
k
成立，
②错．对于③，应改为“若
f
(7)≥49成 立，则当
k
≥7时，均有
f
(
k
)≥
k
成立”，故只有④正确．
答案：④
三、解答题
7．比较2与
n
的大小(
n
∈N
＋
)．
解：当
n
＝1时，2>1；
当
n
＝2时，2＝2； 22
12
2
22
2
2
2
2
2
2
n
n
n
n
n
n
n
2

物类之起，必有所始。荣辱之来，必象其德。肉腐出虫，鱼枯生蠹。怠慢忘身，祸灾乃作。强自取柱，柔自取 束。邪秽在身，怨之所构。施薪若一，火就燥也，平地若一，水就湿也。草木畴生，禽兽群焉，物各从其类也。是 故质的张，而弓矢至焉；林木茂，而斧斤至焉；树成荫，而众鸟息焉。
当
n
＝3时，2 <3；
当
n
＝4时，2＝4；
当
n
＝5时，2>5.
猜想：当
n
≥5时，2>
n
.
下面用数学归纳法证明：
(1)当
n
＝5时，2>5成立．
(2)假设当
n
＝k
(
k
∈N
＋
，
k
≥5)时，2>
k
，
那么当
n
＝
k
＋1时，
2
k
＋1
k
2
52
52
42
32
n
2
＝2×2＝2＋2>
k
＋(1＋1)>
k
＋C0k＋C1k＋Ckk－1＝
k
＋2
k
＋1＝(
k
＋1).
n
2kkk
2
k
222
∴当
n
＝
k
＋1时 ，2>
n
也成立．
由(1)(2)，可知对
n
≥5的一切自然数，2>
n
都成立．
综上，当
n
＝1或
n
≥5时，2>
n
；
当
n
＝2,4时，2＝
n
；当
n
＝3时，2<
n< br>.
111
8．设
f
(
n
)＝1＋＋＋…＋(
n
∈N
＋
)，已知
f
(1)＝
23n
131>，
f
(3)>1，
f
(7)>，
f
(15)>2， ….
22
(1)由上述不等式你能得到怎样的结论？并给出证明．
(2)是否存在 一个正数
T
，使得对任意的正整数
n
，恒有不等式
f
(n
)<
T
成立？并说明理由．
解：(1)数列1,3,7,15，…的 通项公式为
a
n
＝2－1(
n
∈N
＋
)；
13n
数列，1，，2，…的通项公式为
b
n
＝(
n
∈N
＋
)．
222
n
n
猜想：
f
(2－1) >(
n
∈N
＋
)．
2
下面用数学归纳法证明：
1
1
①当
n
＝1时，
f
(2－1)＝
f
( 1)＝1>，所以不等式成立．
2
②假设当
n
＝
k
(k
≥1，
k
∈N
＋
)时不等式成立，即
n
n
2
n
2
n
2
n
2
f
(2
k
－1)>，
则当
n
＝
k
＋1时，
k
2
f
(2
k
＋1
－1)＝
f
(2
k
－1)＋＋
1111
＋…＋＋>
2k2k＋12k＋1－22k＋1－1
11
＋…＋]
2k＋12k＋1
f
(2
k
－1)＋

2个
k