2020秋高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.3排序不等式课堂演练含解析新人教A版选修4_5

第三讲 柯西不等式与排序不等式
3.3 排序不等式

A级 基础巩固
一、选择题
1．设
a
≥
b
＞0 ，
P
＝
a
＋
b
，
Q
＝
ab
＋
ab
，则
P
与
Q
的大小关系是( )
A．
P
＞
Q

C．
P
＜
Q

22
3322
B．
P
≥
Q

D．
P
≤
Q

解析：因为
a
≥
b
＞0，所以
a
≥
b
＞0.
因此
a
＋b
≥
ab
＋
ab
(排序不等式)，
则
P
≥
Q
.
答案：B
2．车间里有5 台机床同时出了故障，从第1 台到第5 台的修复时间依次为4 min，8 min，
6 min，10 min，5 min，每台机床停产1 min损失5 元，经合理安排损失最少为( )
A．420 元
C．450 元
B．400 元
D．570 元
3322
解析：损失最少为5(1×10＋2×8＋3×6＋4×5＋5×4)＝420( 元)，反序和最小．
答案：A
3．若
A
＝
x
1
＋
x
2
＋…＋
x
n
，
B
＝
x1
x
2
＋
x
2
x
3
＋…＋
x
n
－1
x
n
＋
x
n
x
1
，其中
x
1
，
x
2
，…，
x
n
都 是正
数，则
A
与
B
的大小关系为( )
A．
A
＞
B

C．
A
≥
B

B．
A
＜
B

D．
A
≤
B

222
解析：依序列{
x< br>n
}的各项都是正数，不妨设0＜
x
1
≤
x
2
≤…≤
x
n
，则
x
2
，
x
3
， …，
x
n
，
x
1
为序列{
x
n
} 的一个排列．依排序原理，得
x
1
x
1
＋
x
2x
2
＋…＋
x
n
x
n
≥
x
1
x
2
＋
x
2
x
3
＋…＋
x
n
x
1
，即
x
1
＋
2
x
22
＋…＋
x
n
≥
x
1
x
2
＋
x
2
x
3
＋…＋
x
n
x
1
.
2
答案：C
4．设正实数
a
1
，
a
2
，
a
3
的任一排列为
a
1
′，
a2
′，
a
3
′，则
( )
A．3
C．9
B．6
D．12
a
1
a
2
a
3
＋＋的最小值为
a
1
′
a
2
′a
3
′

111
解析：设
a
1
≥
a
2
≥
a
3
＞0，则≥≥＞0，
a
3
a
2
a
1
由乱序和不小于反序和，知
＋＋≥＋＋＝3，
a
1
′
a
2
′
a3
′
a
1
a
2
a
3
所以＋＋的最小值 为3.
a
1
′
a
2
′
a
3
′< br>a
1
a
2
a
3
a
1
a
2< br>a
3
a
1
a
2
a
3
答案：A 5．已知
a
，
b
，
c
∈(0，＋∞)，则
a< br>(
a
－
bc
)＋
b
(
b
－
ac
)＋
c
(
c
－
ab
)的正负情况是( )
A．大于零
C．小于零
33
222222
B．大于等于零
D．小于等于零
3
解 析：设
a
≥
b
≥
c
＞0，所以
a
≥
b
≥
c
，
根据排序原理，得
a
·
a
＋
b
·
b
＋
c
·
c
≥
ab
＋
bc
＋
ca
.
又知
ab
≥
ac
≥
bc
，
a
≥
b
≥
c
，
所以
ab
＋
bc
＋
ca
≥
abc
＋
b ca
＋
cab
.
所以
a
＋
b
＋
c
≥
abc
＋
bca
＋
cab
，
即a
(
a
－
bc
)＋
b
(
b
－
ac
)＋
c
(
c
－
ab
)≥0.
答案：B
二、填空题
6．如图所示，矩形
OPAQ
中，
a
1
≤
a
2
，
b
1
≤
b
2
，则阴影部分的矩形的面积之和________空
白部分的矩形的面积之和．(填“≥”“ ≤”或“＝”)
222222
444222
333222
222
3 33333

解析：阴影面积为
a
1
b
1
＋
a
2
b
2
，而空白面积为
a
1
b
2＋
a
2
b
1
.根据顺序和≥反序和可知答案．
答案：≥
7．若
c
1
，
c
2
，
c
3
是4，5，6的一个排列，则
c
1
＋2
c
2< br>＋3
c
3
的最大值是________，最小值
是________．
解析：由排序不等式，顺序和最大，反序和最小．所以最大值为1×4＋2×5＋3×6＝32，
最小值为1×6＋2×5＋3×4＝28.
答案：32 28
8．某班学生要开联欢会， 需要买价格不同的礼品4件，5件和2件．现在选择商店中单
价分别为3元，2元和1元的礼品，则至少 要花________元，最多要花________元．
解析：两组数2件、4件、5件与1 元、2 元、3 元的反序和
S
1
＝2×3＋4×2＋5×1＝

19(元)．
顺序和
S
2
＝2×1＋4×2＋5×3＝25(元)．
根据排序原理可知至少花19 元，最多花25元．
答案：19 25
三、解答题
9．设
a
1
，
a
2
，
a
3
为正数，且
a
1
＋
a
2
＋
a
3
＝1，求
111
解：不妨设
a
3
＞
a
1
＞
a
2
＞0，则＜＜，
a
1
a
2
a
2
a
3
a
3
a
1
＋＋的最小值．
a< br>3
a
1
a
2
a
3
a
1
a< br>2
所以
a
1
a
2
＜
a
2
a
3
＜
a
3
a
1
.
设乱序和
S< br>＝
顺序和
S
′＝
a
1
a
3
a
1
a
2
a
3
a
2
＋＋＝
a
1< br>＋
a
2
＋
a
3
＝1，
a
3
a
1
a
2
a
1
a
2
a
2
a
3
a
3
a
1
＋＋.
a
3
a
1
a
2
a
1
a
2
a
2
a
3
a
3
a
1
＋＋≥
a
1
＋
a
2
＋
a
3
＝1，
a
3
a
1
a
2
由排序不等式得
所以
a
1
a
2
a
2
a
3
a
3
a
1
＋＋的最小值为1.
a
3
a
1
a
2
π1
10．已知0<
α
<
β
<
γ
<，求证：sin
α
cos
β
＋sin
β
cos
γ
＋sin
γ
·cos
α
>(sin
22
2
α
＋sin 2
β
＋sin 2
γ
)．
π
?
π
??
π
?
证明 ：因为0<
α
<
β
<
γ
<，且
y
＝sin
x
在
?
0，
?
上为增函数，
y
＝cos
x
在
?
0，
?
上
2
?
2
?
2
??
为减函数，
所以0α
β
γ
，cos
α
>cos
β
>cos
γ
>0.
所以sin
α
cos
β
＋sin
β
cos
γ
＋sin
γ
cos
α
>sin
α
cos
α
＋sin
β
cos
β
＋sin
γ
cos
γ
＝(sin 2
α
＋sin 2
β
＋sin 2
γ
)．
B级 能力提升
1．已知实数
a
≥
b
≥
c
≥0，且
a
＋
b＋
c
＝3，则
ab
＋
bc
＋
ca
的最 大值是( )
A．1
C．3
B．2
D.3
33 3
1
2
解析：因为
a
≥
b
≥
c
≥ 0，知
a
≥
b
≥
c
，
由排序不等式，得
ab
＋
bc
＋
ca
≤
aa
＋
bb
＋
cc
.
又(
aa
＋
bb
＋
cc)≤[(
aa
)＋(
bb
)＋(
cc
)]·(1＋1＋ 1)＝3(
a
＋
b
＋
c
)＝9，

2222333

所以
aa
＋
bb
＋
cc
≤3.
故
ab
＋
bc
＋
ca
≤3.
答案：C
b
2
a
2
2．若
a
＞0，
b
＞0 且
a
＋
b
＝1，则＋的最小值是________．
ab
解析：不妨设
a
≥
b
＞0，
11
22
则有
a
≥
b
，且≥.
bab
2
a
2
1
2
1
2
由排序不等式＋≥ ·
a
＋·
b
＝
a
＋
b
＝1，
abab
1
当且仅当
a
＝
b
＝时，等号成立．
2
b
2
a
2
所以＋的最小值为1.
ab
答案：1
3．设
a
1
，
a
2
，…，
a
n
是1，2，…，
n
的一个排列．
12
n
－1
a
1
a
2
a
n
－1
求证 ：＋＋…＋≤＋＋…＋.
23
na
2
a
3
a
n< br>证明：设
b
1
，
b
2
，…，
b
n< br>－1
是
a
1
，
a
2
，…，
a
n
－1
的一个排列，且
b
1
<
b
2
<… <
b
n
－1
；
c
1
，
c
2
，…，
c
n
－1
是
a
2
，
a
3
，…，
a
n
的一个排列，且
c
1
<
c2
<…<
c
n
－1
，
1111
则>>…>且
b
1
≥1，
b
2
≥2，…，
b
n
－1
≥
n
－1，
c
1
≤2，
c
2
≤3，…，
c
n
－1
≤
n
，所以≥
c
1< br>c
2
c
n
－1
c
1
11111
，≥ ，…，≥，
2
c
2
3
c
n
－1
n
利用排序不等式，有＋＋…＋
式得证．

a
1
a
2a
2
a
3
a
n
－1
b
1
b< br>2
b
n
－1
12
n
－1
≥＋＋…＋≥＋＋… ＋.所以原不等
a
n
c
1
c
2
c
n
－1
23
n