初高中数学衔接目录-高中数学必修一教学计划模板
1.1平面直角坐标系
一、教学目标
（一）核心素养
通过这节课
学习，能根据问题的几何特征选择建立适当的平面直角坐标系，在数学建模过程中
体会坐标法的思想．
（二）学习目标
1．根据问题的几何特征建立适当的平面直角坐标系．
2．通过实例概括坐标伸缩变换公式．
3．了解利用坐标伸缩变换公式研究平面图形伸缩变化情况,体会坐标法思想．
（三）学习重点
1．根据几何特征选择坐标系．
2．坐标法思想．
3．平面直角坐标系中的伸缩变换．
（四）学习难点
1．适当直角坐标系的选择．
2．对伸缩变换中点的对应关系的理解．
二、教学设计
（一）课前设计
1．预习任务
（1）读一读：阅读教材第2页至第7页，填空：
设点
P(x,y)
是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:
的作用下,点
P(x,y)
对应到点
P
?
(x
?
,
y
?
)
,称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.
2．预习自测
11
（1）如何由正弦曲线y＝sin
x经伸缩变换得到y＝
2
sin
2
x的图象( )
11
A．将横坐标压缩为原来的
2
，纵坐标也压缩为原来的
2
1
B．将横坐标压缩为原来的
2
，纵坐标伸长为原来的2倍
C．将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标也伸长为原来的2倍
1
D．将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标压缩为原来的
2
【知识点】伸缩变换
【解题过程】将正弦曲线y＝sin x的横坐标伸长为原来的2倍得到
y?sin
的图像的横坐标不变，纵坐标压缩为原来的
【思路点拨】可根据三角函数的
知识求解
【答案】D
（2）在平面直角坐标系中，
A,B
两点分别在x
轴、
y
轴上滑动，且|AB|＝4，则AB中点P的
轨迹方程为___
_____．
【知识点】点轨迹方程
【数学思想】函数与方程的思想
【解题过程】 设
A(m,0),B,(0,n)
，则
AB?m
2<
br>?n
2
?16
，再设线段
AB
中点
P
的坐标
为
(x,y)
，
则
x?
mn
,y?
，<
br>m?2x,n?2y
，所以
4x
2
?4y
2
?16<
br>，即
AB
得中点的轨迹方程为
x
2
?y
2
?
4
．
22
2
11
x
，再由
y?sinx
2
2
11
1
即可得y＝
2
sin
2
x的图像． 2
【思路点拨】由两点间距离公式表示出
AB
，再利用中点坐标公式建立线段AB
的中点与其两
端点的坐标关系，最后代入整理即可．
【答案】
x
2
?y
2
?4
．
?
x
?
?2x
（3）在平面直角坐标系中，方程
2x?4y?1
对应的
图形经过伸缩变换
?
后得到的图形对
?
?
y?4y
应的方程
是（ ）
A．
2x
?
?4y
?
?1?0
C．
4x
?
?y
?
?1?0
【知识点】伸缩变换
B．
x
?
?y
?
?1?0
D．
x
?
?16y
?
?1?0
1?
x?x
?
?
?
x
?
?2x
2
代入到方程
2x?4y?1
整理得
x
?
?y
?
?
1?0
【解题过程】将
?
经过变形得
?
，
1
?<
br>y
?
?4y
?
y?y
?
4
?
1?
x?x
?
?
?
?
通过对伸缩变换公式的变形为
?
【思路点拨】
1
，在代入原图形对应的方程，从而得到
?y
?<
br>?y
?
?
?
?
变形后的图形对应的方程
．
【答案】B
（4）将圆
x
2
?y
2
?1
上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C对应的
方程为_____
___．
【知识点】伸缩变换
【数学思想】
【解题思路】设
(x
1
,y
1
)
为圆上任意一点，在已知变换下变为曲线C上对应的点为
(x,y)
，依题
?
x?x
1
y
2
y
2
22
2
2
意，得
?
，而
x
1
?y
1
?1
，得
x?()?1
，所以曲线C的方程为
x??1<
br>．
y?2y
4
2
1
?
【思路点拨】将问题转化为伸
缩变换问题，再由伸缩变换公式求解
y
2
【答案】
x??1
4
2
(二)课堂设计
1．知识回顾
（1）平面直角坐标系的作用
：使平面上的点与坐标（有序实数对）、曲线与方程建立了联系，
从而实现了数与形的结合．
（2）坐标法：根据几何对象的特征，选择适当的坐标系，建立它的方程，通过方程研究他的
性质及其他
几何图形的关系．
2．问题探究
探究一 结合实例，感受坐标法思想★
例1
某信息中心接到位于正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观
测点同时听到一声巨响
，正东观测点听到巨响的时间比它们晚4s.已知各观测点到中心的距离
都是1020m.试确定巨响发
生的位置.（假定声音传播的速度为340ms，各观测点均在同一平面
上.）
●活动①
实际问题抽象转化为数学问题
我们将正东、正西、正北的三个观测点分别记为
A,B,C，爆炸点记为
P
.由于
B,C
同时听到由
点
P
发出的响声，因此
PB?PC
，所以点
P
在线段
BC
的垂直
平分线
l
上，由于点
A
听到的响
声比
B,C
晚4s
，所以
PA?PB?4?340?1360?AB
，说明点
P
在以点
A,B
为焦点的双曲线
?
上,所以点
P在直线
l
与双曲线
?
的交点.
【知识点】平面直角坐标系，双曲线定义
【数学思想】数形结合，转化与化归
【解题过程】
解:以信息中心为原点
O
,正东、正北方向为
x轴、
y
轴正向,建立直角坐标系.
设
A,B,C
分别是东、西
、北观测点,则
A(1020,0),B(?1020,0),C(0,1020)
于是直线
l
的方程为
y??x
x
2
y
2
设双曲线
?
的方程是
2
?
2
?1(a?
0,b?0)
ab
由已知得
a?680,c?1020,b
2?1020
2
?680
2
?5?340
2
, x
2
y
2
于是双曲线
?
的方程是
??1
22
6805?340
将
y??x
代入上述方程,解得
x??6805,y??6805
,由已知,响声在双曲线
?
的左半支上,所以
P(?6805,6805)
,
OP?68010
所以巨响发生在接报中
心的西偏北
45
?
距中心
68010m
处.
【思路点拨】建立坐标系，把实际问题转化为数学问题.
【答案】巨响发生在接报中心的西偏
北
45
?
距中心
68010m
处.
同类训练 由甲导
弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行
护航任务，对商船进行护航．某
日，甲舰在乙舰正东6 km处，丙舰在乙舰北偏西30°，相距4
km.某时刻甲舰发现商船的某种求救信号．由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4
s后乙、
丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1
kms.若
甲舰赶赴救援，行进的方位角应是多少？
【知识点】平面直角坐标系的应用
【数学思想】坐标法思想
【解题过程】设A，B，C，P分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商
船．如图所示，
以直
线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐
标系，则A(3,0)，B(－
3,0)，C(－5,23)．
∵|PB|＝|PC|，
∴点P在线段BC的垂直平分线上．
k
BC
＝－3，线段BC的中点D(－4，3)，
∴直线PD的方程为y－3＝
又|PB|－|PA|＝4，
∴点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，
x
2
y
2
双
曲线方程为
4
－
5
＝1(x≥2)．
联立①②，解得P点坐标为(8,53)，
53
∴k
PA
＝＝3.
8－3
因此甲舰行进的方位角为北偏东30°.
【思路点拨】本题的关键在于确定商
船相对于甲舰的相对位置，因此不妨用点A、B、C表示
甲舰、乙舰、丙舰，建立适当坐标系，求出商船
与甲舰的坐标，问题可解．
【答案】甲舰行进的方位角为北偏东30°.
【设计意图】从生活实例到数学问题，体会坐标法的提炼、抽象过程．
●活动②
归纳梳理、理解提升
通过实例,合理建立坐标系是解决此类问题的关键，如果坐标系建立得合理，可以
简化我
们的计算，并且使问题的结论清晰明了、具体形象，那么利用坐标法解决问题的基本步骤是什么呢?
坐标法解决几何问题的“三部曲”：
第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程
表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为代
数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.
●活动③ 学以致用,理论实践
例2 已知△
ABC
的三边
a,b,c
满足
b
2
?c
2
?5a
2
,
BE,CF分
别为边AC,AB上的中线, 建立适当的平面直角坐标系探究BE
②
1
(x＋4)．①
3
y
E
C
x
O
A
F
B
与CF的位置关系.
【知识点】平面直角坐标系，轨迹方程
【数学思想】数形结合
【解题过程】
解: 如图,
以△ABC的顶点A为原点O, 边AB所在的直线为x轴, 建立直角坐标系. 由已知,
点A,B,F的坐标分别为
cxy
A(0,0),B(c,0)F(,0)
,设点
C
的坐标为
(x,y)
,点
E
的坐标为
(,
)
.由
b
2
?c
2
?5a
2
可得
222
AC?AB?5BC
222
即
x
2
?y
2
?c
2
?5(x?c)
2
?y
2<
br>,整理得
2x
2
?2y
2
?2c
2
?5cx
?0
xyc
因为
BE?(?c,),CF?(?x,?y)
222
1
所以
BE?CF??(2x
2
?2y
2<
br>?2c
2
?5cx)?0
4
??
由此,
BE
与
CF
相互垂直.
【思路点拨】建立坐标系，把实际问题转化为数学问题.
【答案】
BE
与
CF
相互垂直.
同类训练 已知正三角形
ABC的边长为a,在平面上求一点P,使|PA|
2
+|PB|
2
+|PC
|
2
最小,并求出此
最小值.
【知识点】平面直角坐标系
【数学思想】数形结合思想
【解题过程】 如右图,以BC所在直线为x轴,BC
的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,则
A(0,
3
aa
a),B(-,0),C(,0).
2
22
设P(x,y
),则|PA|
2
+|PB|
2
+|PC|
2
=x
2
+(y-
3
aa
a)
2
+(x+
)
2
+y
2
+(x-)
2
+y
2
2
22
2
5a
2
3
222
=3x+3y-
3
ay+=3x
2
+3(y-a)+a
≥a
,
4
6
2
当且仅当x=0,y=
3
a时,等号成立,
6
3
a),是正三角形ABC的中心.
6
∴所求最小值为a
2
,此时P点坐标为P(0,
【思路点拨】建立适当的平面直角坐标系，把几何问题转化为代数问题，从
而简化问题
【答案】所求最小值为a
2
,此时P点坐标为P(0,
3
a),是正三角形ABC的中心
6
【设计意图】通过把平面几何的问题转化为代数问题，认识坐标法思想的优势.
探究二 探究平面直角坐标系中的伸缩变换
●活动① 温故知新、提炼概念
在三角函数图像的学习中,我们研究过下面一些问题:
你还能分析出由正弦曲线
y?
sinx
怎样得到曲线
y?sin2x
吗？
在由正弦曲线
y?si
nx
上任取一点
P(x,y)
，保持纵坐标
y
不变，将横坐标
x
缩为原来的
的到曲线
y?sin2x
.
从坐标系中的点的对应
关系出发，你认为“保持纵坐标
y
不变，将横坐标
x
缩为原来的
实质
是什么？（讨论）
即，设
P(x,y)
为平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标<
br>y
不变，将横坐标
x
缩为原来的
1
?
?
x<
br>?
?x
得到点
P
?
(x
?
,y
?<
br>)
，则
?
2
①
?
?
y
?
?y
1
，
2
1
”的
2
1
，就2
我们把①式叫做平面直角坐标系中的一个坐标压缩变换.
【设计意图】通过对三角函数图像的变换的回顾，为后面一般图形的伸缩变换表示做好铺垫．
●活动② 温故知新、提炼概念
那么如何由正弦曲线
y?sinx
怎样得到曲线
y?3sinx
呢？
在由正弦曲线
y?sinx上任取一点
P(x,y)
，保持横坐标
x
不变，将纵坐标
y伸长为原来的3倍，
就的到曲线
y?3sinx
.
从坐标系中的点的对
应关系出发，你认为“保持横坐标
x
不变，将纵坐标
y
伸长为原来的3倍”<
br>的实质是什么？（讨论）
即，设
P(x,y)
为平面直角坐标系中任意一点，
保持横坐标
x
不变，将纵坐标
y
伸长为原来的3
?
x
?
?x
???
倍，得到点
P(x,y)
，则
?
②
?
y?3y
?
我们把②式叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换.
【设计意图】通过对三角函数图像的变换的回顾，为后面一般图形的伸缩变换表示做好铺垫．
●活动③ 巩固理解、提炼概念
同理，由正弦曲线
y?sinx
怎样得到曲线
y?3sin2x
呢？
这个可以认为是是上述两个的“合成”，即先保持纵坐标
y
不变，将横坐标
x
缩为原来的
再保持横坐标
x
不变，将纵坐标
y
伸长为原来的
3倍，就可得曲线
y?3sin2x
.
类比上述情况，即
：设平
面直角坐标系中任意一点
P(x,y)
经过上述变换后为点
P
?
(x
?
,y
?
)
，那
1
③
<
br>么
?
?
x
?
?x
?
2
?
?
?
y?3y
1
，
2
我们把③式叫做平面直角坐标系中的坐标
伸缩变换.
一般地，设
P(x,y)
是平面直角坐标系中的任意一点，在变换
?
x
?
?
?
?x(
?
?0)
?
:
?
?
y
?
?
?
?y(
??0)
的作用下，点
P(x,y)
对应点
P
?
(x?
,y
?
)
，称
?
为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
，简称伸缩变
换
.
【设计意图】通过对前面的总结，发现一般情况，从而得出伸缩变换的概念．
活动④
巩固基础，检查反馈
?
?
1
?
x?
3
x
例3
在同一平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换
?
后的图形.
1<
br>?
y
?
?y
2
?
x
2
y
2
x
2
y
2
⑴
??1
；
⑵
??1
⑶
y
2
?2x
941812
【知识点】伸缩变换．
【数学思想】转化与化归的思想
?<
br>?
1
?
x?
3
x
?
x?3x
?x
2
y
2
【解题过程】．⑴由伸缩变换
?
代入
9
?
4
?1
，得到经过伸缩变换后的图
1
得
??
y?2y
?
y
?
?y
?
2
?
形方程为
x
?
2
?y
?
2
?1
22
x
?
y
?
同理可得⑵式经过伸缩变换后的图形方程为
??1
23
⑶式经过伸缩变换后的图形方程为
y
?
2?
3
x
?
2
1
?
x?x
?
?
?
?
【思路点拨】通过对伸缩变换公式的变形为
?
1，在代入原图形对应的方程，从而得到
?y
?
?y
?
?
?
?
变形后的图形对应的方程.
?
x
?
?2x
同类训练 在平面直角坐标系中, 求方程
2x?3y?0
所对应的图形经过伸缩变换
?
后的
?
y
?<
br>?3y
图形对应的方程为 .
【知识点】坐标的伸缩变换．
【数学思想】转化与化归思想
1
?
x?x
?
?
x
?
?2x
?
2
【解题过程】由伸缩变换
?
2x?3
y?0
，得到经过伸缩变换后的图形方
?
得代入
?
?
y?3
y
?
y?y
?
3
?
程为
x
?
?y
?
?0
【思路点拨】伸缩变换公式的应用．
【答案】
x
?
?y
?
?0
●活动⑤ 强化提升、灵活应用
?
x
?
?3x
22
??
例4 在同一平面直角坐
标系中，经过伸缩变换
?
C
x?9y?9
，后，曲线变为曲线
??
y?y
求曲线
C
的方程
．
【知识点】伸缩变换逆向应用．
?
x
?
?3x
2222<
br>??
【解题过程】将伸缩变换
?
C
x?9y?9x?y?1
代入曲线得到曲线对应的方程为
?
?
y?y
【思路点拨】伸缩变换公
式的应用．
【答案】
x
2
?y
2
?1
．
?
2x
?
?
x?
1
C
同类训练 在同一
平面直角坐标系中，经过伸缩变换
?
?
y?y
后，曲线变为曲线
?<
br>3
?
x
?
2
?9y
?
2
?1
，求曲线
C
的方程
．
【知识点】伸缩变换逆向应用．
?
2x
?
?
x?
1
2222
??
C
【解题
过程】将伸缩变换
?
?
x?9y?14x?y?1
得到曲线对应的
方程为
y?y
代入曲线
?
3
?
【思路点拨】伸缩变换公式的
应用．
【答案】
4x
2
?y
2
?1
．
3.课堂总结
知识梳理
（1） 坐标法解决几何问题的“三部曲”：
第
一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为代
数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论. <
br>（2）建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系:第一：如果图形有对称中心，可以选对称
中
心为坐标原点；第二：如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；第三：使图形上的特
殊点尽可能多
的在坐标轴上.
?
x
?
?
?
?x(
?
?0)
P(x,y)
?
:
（
3
）一般地，设是
平面直角坐标系中的任意一点，在变换
?
的作用
?
y?
?
?
y(
?
?0)
?
下，点
P(x,y)
对应点
P?
(x
?
,y
?
)
，称
?
为平面直角
坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换
.
重难点归纳
（1）坐标法是在
坐标系的基础上，把几何问题转化成代数问题，通过代数运算研究几何图形
性质的方法.它是解析几何中
最基本的研究方法．
（2）在坐标伸缩变换的作用下,可以实现平面图形的伸缩.因此,平面图形的伸
缩变换可以用坐
标伸缩变换来表示.
（三）课后作业
基础型 自主突破
1．已知f
1
(x)=cosx,f
2
(x)=cosωx(ω>0),f<
br>2
(x)的图象可以看作是把f
1
(x)的图象在其所在的坐标系中
1
的横坐标压缩到原来的倍（纵坐标不变）而得到的，则ω为( )
3
11
A. B.2 C.3
D.
23
【知识点】三角函数图像，伸缩变换公式．
?
?
1?
x?x,
?
x?3x
?
,
【解题过程】:∵
?
将其代入y=cosx,得到y＇=cos3x＇,即f
2
(x)=cos3x.
3
∴
?
?
y?y.
?
?
?
y?
?y,
【思路点拨】函数y=cosωx,x∈R（其中ω>0,ω≠1）的图象，可以
看作把余弦曲线上所有点的
横坐标缩短（当ω>1时）或伸长（当0<ω<1时）到原来的
谨防
出错．
【答案】C
1
?
倍（纵坐标不变）而得到.应用时
?x
?
?3x
2.曲线
x
2
?y
2
?1
经过φ:
?
变换后得到的新曲线的方程是（ ）.
?
y<
br>?
?4y
x
?
2
y
?
2
x
?
2
y
?
2
x
?
2
y
?
2
22
??1
B．
??1
C．
9x
?
?16y
?
?1
D．
??1
A．
34169916
【知识点】伸缩变换公式与应用． 1
?
x?x
?
?
?
x
?
?3x
22
3
代入到圆的方程,可得 【解题过程】曲线
x?y?1
经过φ:
?
变换后,即
?
1
?
y
?
?4y
?
y?y
?
4
?
x
?
2
y
?
2
x
?
2
y
?
2
??1 即所求新曲线的方程为
??1
．
916916
【思路点拨
】将
x,y
表示出来,代入到原方程即可得到新曲线的方程.
【答案】D．
3．将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是( )
A.椭圆
B.比原来大的圆
【知识点】伸缩变换的应用．
【解题过程】由伸缩变换的公式可知不可能得到的图形是双曲线，只能是圆或者椭圆．
【思路点拨】将伸缩变换的公式进行变形可得．
【答案】D
4.
将点(2,3)变成点(3,2)的伸缩变换是( )
C.比原来小的圆
D.双曲线
23
??
x'?xx'?x
??
??
32A．
?
B．
?
?
y'?
3
y
?
y'?
2
y
??
3
?2?
?
x'?y
?
x'?x?1
C．
?
D．
?
?
y'?x
?
y'?y?1
【知识点】伸缩变换公式与应用． x'3
?
3
?
?
??,
x'?x,
?
?
?
x'?
?
x,
x2
?
?
2
【
解题过程】设此变换为
?
则
?
所以所求变换为
?
y'2
2
y'?
?
y,
?
?
?
??,?
y'?y,
?
y3
?
3
?
?
【思路
点拨】将伸缩变换公式进行变形得到．
【答案】B．
5．已知函数
f(x)?(x?1)
2
?1?(x?1)
2
?1,
则
f(x)<
br>的最小值为__________．
【知识点】平面直角坐标系的应用．
【数学思想】数形结合的思想
【解题过程】f(x)可看作是平面直角坐标系下x轴上一点(
x,0)到两定点(－1,1)和(1,1)的距离之
和，结合图形可得，f(x)的最小值为
22
.
【思路点拨】利用代数式的几何意义来处理．
【答案】
22
．
?
x
?
?5x,
6．在
同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换
?
后，曲线C变为曲线
x
?
2
?y
?
2
?3
，则曲
?
y
?
?3
y
线C的方程为________．
【知识点】伸缩变换公式应用．
?
x
?
?5x,
【解题过程】将伸缩变换
?
代入
x
?<
br>2
?y
?
2
?3
，得
25x
2
?9
y
2
?3
．
?
y
?
?3y
【思路点拨】灵活应用伸缩变换公式．
【答案】
25x
2
?9y
2
?3
．
能力型 师生共研
?
x
?
?
?
?x(
?
?0)
x
2
y
2
7．设曲线
C
对应的方程
为
2
?
2
?1(a?0,b?0)
，曲线
C
经过伸
缩变换
?
:
?
ab
?
y
?
?
?<
br>?y(
?
?0)
后得到曲线
C
?
,则曲线
C
?
为（ ）
A．双曲线 B．椭圆 C．抛物线
D．随
?
,
?
的系数不同曲线也不同
【知识点】双曲线，伸缩变换．
?
x?
?
?
x'?
?
x,
?
【解题过程】将变换
?
转化为
?
y'?
?
y,
?
?y?
?
?
1
x
?2
y
?
2
代入双曲线方程得
22
?
22
?1(a?0,b?0)
，
1
?
a
?
b
y
?
?
?
x
?
所以曲线
C
?
为双曲线.
【思路点拨】伸缩变换公式的应用以及双曲线定义．
【答案】A．
8．在同一平面
直角坐标系中，将曲线
x
2
?36y
2
?8x?12?0
变
成曲线
x
?
2
?y
?
2
?4x
?
?3?0
，求
满足条件的伸缩变换．
【知识点】伸缩变换公式应用．
【解题过程】解：x
2
－36y
2
－8x＋12＝0可化为
(
x′
2
－y′
2
－4x′＋3＝0可化为(x′－2)
2
－y′
2
＝1.②
x?4
?
?
?
?x
x?2?,
??
x?,
比较①②，可得
?
即
22
?
??
?
y
?
?3y,
?
y
?
?3y.
x?4
2
)
－9y
2
＝1.
①
2
所以将曲线x
2
－36y
2
－8x＋12＝0上所有
点的横坐标变为原来的
就可得到曲线x′
2
－y′
2
－4x′＋3＝
0的图象．
【思路点拨】灵活应用伸缩变换公式．
?
?
x
?
x?,
【答案】
?
2
．
?
?
y
?
?3y.
1
，纵坐标变为原来的3倍，<
br>2
探究型 多维突破
9．△ABC的顶点A固定，点A的对边BC的长是2a，边BC
上的高的长是b，边BC沿一条
直线移动，求△ABC外心的轨迹方程．
【知识点】平面直角坐标系的应用，轨迹方程．
【数学思想】数形结合
【解题过程
】解：以边BC所在的定直线为x轴，过A作x轴的垂线为y轴，建立直角坐标系，
则点A的坐标为(0
，b)．
设△ABC的外心为M(x，y)．
取BC的中点N，则MN⊥BC，即MN是BC的垂直平分线．
∵|BC|＝2a，∴|BN|＝a，|MN|＝|y|.
又M是△ABC的外心，∴|MA|＝|MB|.
又|MA|＝x
2
＋y－
b
2
，|MB|＝|MN|
2
＋|BN|
2
＝y
2
＋a
2
，
∴x
2
＋y－b
2＝y
2
＋a
2
，化简，得所求的轨迹方程为x
2
－2b
y＋b
2
－a
2
＝0.
【思路点拨】选择恰当的坐标系，坐标系如果选择得恰当，可使解题过程简化，减少计算量.
【答案】
x
2
?2by?b
2
?a
2
?0
．
自助餐
1
?
?
x′＝x，
2
1．将正弦曲线y＝sin
x作如下变换：
?
?
?
y′＝3y，
得到的曲线方程为(
)．
11
A．y′＝3sinx′
B．y′＝sin 2x′
23
1
C．y′＝
2
sin 2x′
D．y′＝3sin 2x′
【知识点】三角函数图形、伸缩变换．
1
?
?
x′＝x，
2
【解题过程】将
?
?
?
y′＝3y
，
2x
?
?
?
x?
1
转化为
?
代入y＝sin x
可得
y?y
?
?
3
?
【思路点拨】将伸缩变换公式进行变形后再应用．
【答案】D
1
2．
将曲线F(x，y)＝0上的点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标缩短到原来的
3
，得到的曲
线方程为( )
y
??
x
??
A．F
?
2
，3y
?
＝0
B．F
?
2x，
3
?
＝0
????
y
?
??
x
?
C．F
?
3x，
2
?
＝0
D．F
?
3
，2y
?
＝0
????
【知识点】伸缩变换．
【解题过程】设(x，y)经过伸缩变换变为(x′，y′)，
x′＝2x，
??
∴
?
1
y′＝
3
y，
?
?
1
?
?
x＝x′，
则
?
2
?
?<
br>y＝3y′，
?
1
?
代入F(x，y)＝0得F
?
2
x′，3y′
?
＝0.．
??
【思路点拨】正确使用伸缩变换公式．
【答案】A
?
x?
?3x
y
2
?1
经过
?
:
?
3．双曲线C:
x?
变换后所得曲线
C
?
的焦点坐标为_____
___．
64
?
2y
?
?y
2
【
知识点】双曲线的性质、伸缩变换．
1
?
?
x
?
?3x<
br>x
2
y
2
?
x?x
?
【解题过程】 将变换
?
?
变形为
?
?1
，所有焦点坐标
3
代入
曲线C中得：
?
?
916
?
2y?y
?
?
y?2y
?
为
(5,0)
或
(?5,0)
．
【思路点拨】先将曲线
C
?
的方程求解，在根据双曲线的性质求焦点坐标．
【答案】
(5,0)
或
(?5,0)
．
y
?4．在同一平面直角坐标系中，曲线
4x?9y?36
经过伸缩变换
?
后
变成曲线
x
?
??1
，
2
22
2
2
则伸缩变换
?
为________．
【知识点】伸缩变换公式．
??
1
x?x
?
xy
y
?
?
22
2
3
． 【解题过程】将
4x?9y?36
变形为
??1
与
x
?
??1
比较可得
?
94
2
?
y
?
?
2
y
?
2
?
22
2【思路点拨】对伸缩变换公式进行适当的变形．
?
?
1
x?x
?
?
3
． 【答案】
?
?
y
?
?
2
y
?
2
?
5．如图所示，A，B，C是三个观察站，A在B的正东，两地相距6
km，C在B的北偏西30°，
两地相距4
km，在某一时刻，A观察站发现某种信号，并知道该信号的传播速度为1 kms,4 s
后B，C两
个观察站同时发现这种信号，在以过A，B两点的直线为x轴，以AB的垂直平分
线为y轴建立的平面直
角坐标系中，指出发出这种信号的P的坐标．
【知识点】双曲线的定义、直角坐标系．
【数学思想】坐标法思想．
【解题过程】解：设点P的坐标为(x，y)，则
A(3,0)，B(－3,0)，C(－5,23)．
因为|PB|＝|PC|，所以点P在BC的中垂线上．
因为k
BC
＝－3，BC的中点D(－4，3)，
所以直线PD的方程为y－3＝
1
(x＋4)．①
3
又因为|PB|－|PA|＝4，所以点P必在以A，B为焦点的双曲线的右支上，
x
2
y
2
双曲线方程为
4
－
5
＝1(x
≥2)．②
32
联立①②，解得x＝8或x＝－(舍去)，
11
所以y＝53.
所以点P的坐标为(8,53)．
【思路点拨】根据实际问题建立合适的直角坐标系，转为数学问题．
【答案】(8,53)．