高中数学数列竞赛知识-2016年考编高中数学答案
选修4－5 不等式选讲
最新考纲：1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成
立的几何意义及
取等号的条件：(1)|
a
＋
b
|≤|
a<
br>|＋|
b
|(
a
，
b
∈R)．(2)|
a<
br>－
b
|≤|
a
－
c
|＋|
c
－b
|(
a
，
b
∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类
型的不等式：|
ax
＋
b
|≤
c
，|
ax
＋
b
|≥
c
，|
x
－
c
|＋|
x
－
b
|≥.了解柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意
义，并会证明
.4.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合
法、分析法、反证法、放缩法、数学
归纳法．
1．含有绝对值的不等式的解法
(1)|
f
(
x
)|>
a
(
a
>0)?
f
(
x
)>
a
或
f
(
x
)<－
a
；
(2)|
f
(
x
)|<
a
(
a
>
0)?－
a
<
f
(
x
)<
a
；
(3)对形如|
x
－
a
|＋|
x
－
b
|≤
c
，|
x
－
a
|＋|
x
－
b|≥
c
的不等式，可利用绝对
值不等式的几何意义求解．
2．含有绝对值的不等式的性质
|
a
|－|
b
|≤|a
±
b
|≤|
a
|＋|
b
|.
问题
探究：不等式|
a
|－|
b
|≤|
a
±
b
|≤|
a
|＋|
b
|中，“＝”成立的条件分别
是什么
提
示：不等式|
a
|－|
b
|≤|
a
＋
b
|
≤|
a
|＋|
b
|，右侧“＝”成立的条件是
ab
≥0，左
侧“＝”成立的条件是
ab
≤0且|
a
|≥|
b
|；不等式
|
a
|－|
b
|≤|
a
－
b
|≤|
a
|＋|
b
|，右侧“＝”成立的条件是
ab
≤0，左侧“＝”成
立的条件是
ab
≥0
且|
a
|≥|
b
|.
3．基本不等式
定理1：设
a
，
b
∈R，则
a<
br>2
＋
b
2
≥2
ab
.当且仅当
a
＝
b
时，等号成立．
定理2：如果
a
、
b
为正数，
则
a
＋
b
2
≥
ab
，当且仅当
a
＝
b
时，等号成立．
3
≥
abc
，当且仅当
a<
br>＝
b
＝
c
时，定理3：如果
a
、
b
、
c
为正数，则
a
＋
b
＋
c
3
等号成立．
定理4：(一般形式的算术—几何平均值不等式)如果
a
1
、
a
2
、…、
a
n
为
n
个
a
1
＋
a
2
＋…＋
a
n
n
正数 ，则≥
a
1
a
2
…
a
n
，当且仅当
a
1
＝
a
2
＝…＝
a
n
时，等号成立．
n
4．柯西不等式
(1)柯西不等式的代数形式：设
a
，
b
，
c
，
d
为实数，则(
a
2
＋
b
2
)·(
c
2
＋
d
2
)≥(
a c
＋
bd
)
2
，当且仅当
ad
＝
bc时等号成立．
n
*2
n
2
n
(2)若
ai
，
b
i
(
i
∈N)为实数，则(
?
a
i
)(
?
b
i
)≥(
?
a
i< br>b
i
)
2
，当且仅当
b
i
＝0(
i
i
＝1
i
＝1
i
＝1
＝1,2，…，
n< br>)或存在一个数
k
，使得
a
i
＝
kb
i(
i
＝1,2，…，
n
)时，等号成立．
(3)柯西不等式的 向量形式：设
α
，
β
为平面上的两个向量，则
|
α
|·|
β
|≥|
α
·
β
|，当且仅当这两个向量同向或反向 时等号成立．
1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)对|
a
＋
b
|≥|
a
|－|
b
|当且仅当
a< br>>
b
>0时等号成立．( )
(2)对|
a
－
b
|≤|
a
|＋|
b
|当且仅当
ab
≤0时等号成立 ．( )
(3)|
ax
＋
b
|≤
c
(
c
>0)的解等价于－
c
≤
ax
＋
b
≤
c
.( )
(4)不等式|
x
－1|＋|
x
＋2|<2的解集为?.( )
(5)若实数
x
、
y
适合不等式
xy
>1，
x
＋
y
>－2，则
x
>0，
y
>0.( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√
2．不等式|2
x
－1|－
x
<1的解集是( )
A．{
x
|0<
x
<2}
C．{
x
|0<
x
<1}
B．{
x
|1<
x
<2}
D．{
x
|1<
x
<3}
[解析] 解法一：
x
＝1时，满足不等关系，排除C、D、B，故选A.
1
?
x
－1，
x
≥，
?
2
解法二：令
f
(< br>x
)＝
?
1
1－3
x
，
x
<，?
2
?
[答案] A
3．设|
a
|<1，|
b
|<1，则|
a
＋
b
|＋|
a
－
b|与2的大小关系是
则
f
(
x
)<1的解集为{< br>x
|0<
x
<2}．
( )
A．|a
＋
b
|＋|
a
－
b
|>2
C．
|
a
＋
b
|＋|
a
－
b
|＝2
B．|
a
＋
b
|＋|
a
－
b
|<2
D．不能比较大小
[解析] |
a
＋
b
|＋|
a
－
b
|≤|2
a
|<2.
[答案] B
4．若
a
，
b
，
c
∈(0，＋∞)，且
a
＋b
＋
c
＝1，则
a
＋
b
＋
c
的最大值为( )
A．1
B．2
D．2
[解析] (
a
＋
b
＋
c
)
2
＝
(1×
a
＋1×
b
＋1×
c
)
2
≤ (1
2
＋1
2
＋1
2
)(
a
＋
b＋
c
)＝3.
1
当且仅当
a
＝
b
＝
c
＝时，等号成立．
3
∴(
a
＋
b
＋
c
)
2
≤3.
故
a
＋
b
＋
c
的最大值为3.故应选C.
[答案] C
5．若存在实数
x
使|
x
－
a|＋|
x
－1|≤3成立，则实数
a
的取值范围是
______
__．
[解析] 利用数轴及不等式的几何意义可得
x
到
a
与到1
的距离和小于3，
所以
a
的取值范围为－2≤
a
≤4.
[答案] －2≤
a
≤4
考点一 含绝对值的不等式的解法 <
br>解|
x
－
a
|＋|
x
－
b
|≥c
(或≤
c
)型不等式，其一般步骤是：
(1)令每个绝对值符号里的代数式为零，并求出相应的根．
(2)把这些根由小到大排序，它们把定义域分为若干个区间．
(3)在所分区间上，去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求
出它们的解集．
(4)这些不等式解集的并集就是原不等式的解集．
解绝对值不等式的关键是恰当的去掉绝对值符号．
(1)(201
5·山东卷)不等式|
x
－1|－|
x
－5|<2的解集是( )
A．(－∞，4)
C．(1,4)
B．(－∞，1)
D．(1,5)
?
?
51
(2)(2014·湖南卷)若关于x
的不等式|
ax
－2|<3的解集为
?
x
?
－<
x
<
3
?
?
3
则
a
＝___
_____.
?
?
，
?
[解题指导]
切入点：“脱掉”绝对值符号；关键点：利用绝对值的性质进
行分类讨论．
[解析] (1)
当
x
<1时，不等式可化为－(
x
－1)＋(
x
－5)<2
，即－4<2，显然
成立，所以此时不等式的解集为(－∞，1)；
当1≤
x
≤5时，不等式可化为
x
－1＋(
x
－5)<2，即2
x
－6<2，解得
x
<4，又
1≤
x
≤5，所以此时不等式的解集为[
1,4)；
当
x
>5时，不等式可化为(
x
－1)－(
x
－5)<2，即4<2，显然不成立，所以此
时不等式无解．
综上，不等式的解集为(－∞，4)．故选A.
(2)∵|
ax
－2|<3，∴－1<
ax
<5.
15
当
a
>0时，－<
x
<，与已知条件不符；
aa
当
a
＝0时，
x
∈R，与已知条件不符；
?
?
51
当
a
<0时，<
x
<－，又不等式的解集为
?
x
?
－<
x
<
3
aa
?
?
3
51
[答案] (1)A (2)－3
用零点分段法解绝
对值不等式的步骤：(1)求零点；(2)划区间、去绝对值号；
(3)分别解去掉绝对值的不等式；(
4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏
区间的端点值．
对点训练
已知函
数
f
(
x
)＝|
x
＋
a
|＋|
x
－2|.
?
?
，故
a
＝－3.
?<
/p>
(1)当
a
＝－3时，求不等式
f
(
x
)≥3的解集；
(2)若
f
(
x
)≤|
x
－4
|的解集包含[1,2]，求
a
的取值范围．
[解]
?
－2x
＋5，
x
≤2，
(1)当
a
＝－3时，
f<
br>(
x
)＝
?
1，2<
x
<3，
?
2
x
－5，
x
≥3.
当
x
≤2
时，由
f
(
x
)≥3得－2
x
＋5≥3，解得
x<
br>≤1；
当2<
x
<3时，
f
(
x
)≥3无解；
当
x
≥3时，由
f
(
x
)≥3得2
x
－5
≥3，解得
x
≥4；
所以
f
(
x
)≥3的解集为
{
x
|
x
≤1或
x
≥4}．
(2)
f<
br>(
x
)≤|
x
－4|?|
x
－4|－|
x<
br>－2|≥|
x
＋
a
|.
当
x
∈[1,2]
时，|
x
－4|－|
x
－2|≥|
x
＋
a
|
?4－
x
－(2－
x
)≥|
x
＋
a<
br>|?－2－
a
≤
x
≤2－
a
.
由条件得－
2－
a
≤1且2－
a
≥2，即－3≤
a
≤0.
故满足条件的
a
的取值范围为[－3,0]．
考点二
利用绝对值的几何意义或图象解不等式
对于形如|
x
－
a
|＋|<
br>x
－
b
|>
c
或|
x
－
a
|＋|
x
－
b
|<
c
的不等式，利用绝对值的
几何
意义或者画出左、右两边函数的图象去解不等式，更为直观、简捷，它体现
了数形结合思想方法的优越性
．
|
x
－
a
|＋|
x
－
b<
br>|的几何意义是数轴上表示
x
的点与点
a
和点
b
的距
离之和，
应注意
x
的系数为1.
1
(1)(2014·
重庆卷)若不等式|
x
－1|＋|
x
＋2|≥
a
＋
a
＋2对任意实数
x
恒
2
2
成立，则实数
a
的取值范围是________．
(2)不等式|
x
＋1|－|
x
－2|>
k
的解集为R，则实数
k
的取值范围是
________
__．
[解题指导] 切入点：绝对值的几何意义；关键点：把恒成立问题转化为最
值问题．
[解析] (1)∵|
x
－1|＋|
x
＋2|≥|(
x－1)－(
x
－2)|＝3，
1－1－17－1＋17
2
∴
a
＋
a
＋2≤3，解得≤
a
≤.
244
?
－1－17－1＋17
?
?
. 即实数
a
的取值范围是
?
，
44
??
(2)解法一：根据绝对值的几
何意义，设数
x
，－1,2在数轴上对应的点分别
为
P
，
A
，
B
，则原不等式等价于
PA
－
PB
>
k
恒成立．∵
AB
＝3，即|
x
＋1|－|
x
－2|
≥
－3.故当
k
<－3时，原不等式恒成立．
解法二：令
y
＝|
x
＋1|－|
x
－2|， ?
－3，
x
≤－1，
则
y
＝
?
2x
－1，－1<
x
<2，
?
3，
x
≥2，k
<－3满足题意．
要使|
x
＋1|－|
x
－2|>
k
恒成立，从图象中可以看出，只要
k
<－3即可．故
?
－1－17－1＋17
?
?
(2)(－∞，－3)
[答案] (1)
?
，
44
??
解含参数的不等式存在性
问题，只要求出存在满足条件的
x
即可；不等式的
恒成立问题，可转化为最值问题，即
f
(
x
)<
a
恒成立?
a
>
f<
br>(
x
)
max
，
f
(
x
)>
a
恒成立
?
a
<
f
(
x
)
mi
n
.
对点训练
(2015·唐山一模)已知函数
f
(
x
)＝|2
x
－
a
|＋
a
，
a
∈
R，
g
(
x
)＝|2
x
－1|.
(1)若当g
(
x
)≤5时，恒有
f
(
x
)≤6，求a
的最大值；
(2)若当
x
∈R时，恒有
f
(
x
)＋
g
(
x
)≥3，求
a
的取值范围．
[解] (1)
g
(
x
)≤5?|2
x
－1|≤5
?－5≤2
x
－1≤5?－2≤
x
≤3；
f
(
x<
br>)≤6?
|2
x
－
a
|≤6－
a
?
a
－6≤2
x
－
a
≤6－
a
?
a
－3≤
x
≤3.
依题意有，
a
－3≤－2，
a
≤1.
故
a
的最大值为1.
(2)
f
(
x
)＋
g
(
x
)＝|2
x
－
a
|＋|2
x
－1|＋
a
≥|2
x
－
a
－2
x
＋1|＋
a
＝|
a
－1|＋
a
，
当且仅当(2
x
－
a
)(2
x
－1)≤0时等号成立．
解不等
式|
a
－1|＋
a
≥3，得
a
的取值范围是[2，＋∞)．
考点三 不等式的证明与应用
不等式的证明方法很多，解题时既要充分利用已
知条件，又要时刻瞄准解题
目标，既不仅要搞清是什么，还要搞清干什么，只有兼顾条件与结论，才能找
到
正确的解题途径．
应用基本不等式时要注意不等式中等号成立的条件．
(2015·新课标全国卷Ⅱ)设
a
，
b
，
c<
br>，
d
均为正数，且
a
＋
b
＝
c
＋<
br>d
，证明：
(1)若
ab
>
cd
，则
a<
br>＋
b
>
c
＋
d
；
(2)
a
＋
b
>
c
＋
d
是|
a
－
b|<|
c
－
d
|的充要条件．
[解题指导]
切入点：不等式的性质；关键点：不等式的恒等变形．
[证明] (1)因为(
a
＋
b
)
2
＝
a
＋
b
＋2
ab
，(
c
＋
d
)
2
＝
c
＋
d＋2
cd
，
由题设
a
＋
b
＝
c＋
d
，
ab
>
cd
得(
a
＋
b
)
2
>(
c
＋
d
)
2
.
因此
a
＋
b
>
c
＋
d
.
(2)①若|
a
－
b
|<|
c
－
d
|，
则(
a
－
b
)
2
<(
c
－
d)
2
，即(
a
＋
b
)
2
－4
ab
<(
c
＋
d
)
2
－4
cd
.
因为
a
＋
b
＝
c
＋
d
，所以ab
>
cd
.
由(1)得
a
＋
b
>
c
＋
d
.
②若
a
＋
b
>
c
＋
d
，则(a
＋
b
)
2
>(
c
＋
d
)<
br>2
，即
a
＋
b
＋2
ab
>
c＋
d
＋2
cd
.
因为
a
＋
b
＝
c
＋
d
，所以
ab
>
cd
.于是(<
br>a
－
b
)
2
＝(
a
＋
b
)
2
－4
ab
<(
c
＋
d
)
2－4
cd
＝
(
c
－
d
)
2
.
因此|
a
－
b
|<|
c
－
d
|.
综上，
a
＋
b
>
c
＋
d
是|a
－
b
|<|
c
－
d
|的充要条件．
分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不
等式、基
本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析
法来寻找证明途径，使用分析法证
明的关键是推理的每一步必须可逆．
对点训练
(2014·新课标全国卷Ⅱ)设
a
、
b
、
c
均为正数，且
a
＋
b
＋
c
＝1.证明：
1
(1)
ab
＋
bc
＋
ac
≤；
3
a
2
b
2
c
2
(2)＋＋≥1.
bca
[证明] (1)由
a
2
＋
b
2
≥
2
ab
，
b
2
＋
c
2
≥2
bc<
br>，
c
2
＋
a
2
≥2
ca
得
a
2
＋
b
2
＋
c
2
≥
ab
＋
bc
＋
ca
.
由题设得(
a
＋
b<
br>＋
c
)
2
＝1，即
a
2
＋
b
2
＋
c
2
＋2
ab
＋2
bc
＋2
ca
＝1.
1
所以3(
ab
＋
bc
＋
ca
)≤1，即
ab
＋
bc
＋
ca
≤.
3
a
2
b
2
c
2
(2)因为＋
b
≥2
a
，＋
c
≥2
b
，＋
a
≥2
c
，
bca
a
2
b
2
c
2
故＋
＋＋(
a
＋
b
＋
c
)≥2(
a
＋
b
＋
c
)，
bca
a
2
b
2
c
2
即＋＋≥
a
＋
b
＋
c
.
bca
a
2
b
2
c
2
所以＋＋≥1.
bca
———————方法规律总结————————
[方法技巧]
1．绝对值不等式求解的根本方向是去除绝对值符号．
2．绝对值不等式在求与绝对值运算有
关的最值问题时需灵活运用，同时还
要注意等号成立的条件．
3．在证明不等式时，应根据命
题提供的信息选择合适的方法与技巧．如在
使用柯西不等式时，要注意右边为常数．
[易错点睛]
1．对含有参数的不等式求解时，分类要完整．
2．应用基本不等式和柯西不等式证明时要注意等号成立的条件．
课时跟踪训练(七十)
一、填空题
1．不等式|2
x
－1|<3的解集为__________．
[解析]
|2
x
－1|<3?－3<2
x
－1<3?－1<
x
<2.
[答案] (－1,2)
2．若不等式|
kx
－4|≤2的解集为{
x
|1≤
x
≤3}，则实数
k
＝__________.
[解析] ∵|
kx
－4|≤2，∴－2≤
kx
－4≤2，∴2≤<
br>kx
≤6.
∵不等式的解集为{
x
|1≤
x
≤3}
，∴
k
＝2.
[答案] 2
3．不等式|2
x
＋1|＋
|
x
－1|<2的解集为________．
1
[解析] 当
x<
br>≤－时，原不等式等价为－(2
x
＋1)－(
x
－1)<2，即－3<
br>x
<2，
2
2211
x
>－，此时－<
x
≤
－.当－<
x
<1时，原不等式等价为(2
x
＋1)－(
x
－1)<2，
3322
1
即
x
<0，此时－<
x
<
0.当
x
≥1时，原不等式等价为(2
x
＋1)＋(
x
－1
)<2，即3
x
<2，
2
x
<，此时不等式无解，综上，原不等式的
解为－<
x
<0，即原不等式的解集为
?
2
?
?
－
，0
?
.
?
3
?
?
2
?
[答案]
?
－，0
?
?
3
?
4．已知关于
x
的不等式|
x
－1|＋|
x
|≤
k
无解，则实
数
k
的取值范围是
__________．
[解析] ∵|
x－1|＋|
x
|≥|
x
－1－
x
|＝1，∴当
k
<1时，不等式|
x
－1|＋
|
x
|≤
k
无解，故
k
<1.
[答案] (－∞，1)
5．(2015·西安统考
)若关于实数
x
的不等式|
x
－5|＋|
x
＋3|<
a
无解，则实
数
a
的取值范围是________．
[解析]
|
x
－5|＋|
x
＋3|≥|(
x
－5)－(
x<
br>＋3)|＝8，
故
a
≤8.
[答案] (－∞，8]
6
．(2015·重庆卷)若函数
f
(
x
)＝|
x
＋1|＋2
|
x
－
a
|的最小值为5，则实数
a
＝_________
_.
2
3
2
3
[解析] 当
a
＝
－1时，
f
(
x
)＝3|
x
＋1|≥0，不满足题意；当<
br>a
<－1时，
f
(
x
)
?
－3
x<
br>－1＋2
a
，
x
≤
a
，
＝
?
x
－1－2
a
，
a
<
x
≤－1，
?3
x
＋1－2
a
，
x
>－1，
f<
br>(
x
)
min
＝
f
(
a
)＝－3<
br>a
－1＋2
a
＝5，解得
a
＝－6；
?
－3
x
－1＋2
a
，
x
≤－1，
当
a
>－1时，
f
(
x
)＝
?
－
x
＋1＋2<
br>a
，－1<
x
≤
a
，
?
3
x
＋1－2
a
，
x
>
a
，
＝5，解得
a<
br>＝4.
[答案] －6或4
f
(
x
)
min
＝
f
(
a
)＝－
a
＋1＋2
a7．若关于
x
的不等式|
a
|≥|
x
＋1|＋|
x
－2|存在实数解，则实数
a
的取值范
围是__________．
[解析]
∵
f
(
x
)＝|
x
＋1|＋|
x
－2|＝
?
－2
x
＋1
x
≤－1，
?
3
－1<
x
<2，
?
2
x
－1
x
≥2，
∴
f
(
x
)≥3.
要使|
a
|≥|
x
＋1|＋|
x
－2|有解，
∴|
a
|≥3，即
a
≤－3或
a
≥3.
[答案] (－∞，－3]∪[3，＋∞)
8．已知关于
x
的不等式|x
－
a
|＋1－
x
>0的解集为R，则实数
a
的取值范围
是__________．
[解析] 若
x
－1<0，则
a
∈R；若
x
－1≥0，则(
x
－
a
)
2
>(
x
－1)
2
对任意的
x
∈[1，＋∞)恒成
立，即(
a
－1)[(
a
＋1)－2
x
]>0对任意的x
∈[1，＋∞)恒成立，
?
a
－1>0，
所以
??
a
＋1>2
x
，
?
a
－1<0，
(舍去)或
?
?
a
＋1<2
x
，
对任意的
x
∈[1，＋∞]恒成立，解
得
a
<1.综上，
a
<1.
[答案] (－∞，1)
222
9．设
a
，<
br>b
，
c
是正实数，且
a
＋
b
＋
c<
br>＝9，则＋＋的最小值为__________．
abc
?
222
?
[解析] ∵(
a
＋
b
＋
c
)
?
＋＋
?
?
abc?
??
＝[(
a
)＋(
b
)＋(
c
)]
??
??
222
2
?
2
?
?
＋
?
a
??
2
?
2
?
?＋
?
b
??
2
?
2
?
??
c
??
?
≥
?
a
·
?
2222
a
＋
b
·
22
2
b
＋
c<
br>·
2
?
2
?
＝18，
c
?
∴＋＋≥2，∴＋＋的最小值为2.
2
abcabc
[答案] 2
10．(2014·陕西卷)设
a<
br>，
b
，
m
，
n
∈R，且
a
2
＋
b
2
＝5，
ma
＋
nb
＝5，则
m
2
＋
n
2
的最小值为________．
[解析] 由柯西不等式，得(
a
2
＋
b
2
)(<
br>m
2
＋
n
2
)≥(
am
＋
bn)
2
，
即5(
m
2
＋
n
2
)≥25，
∴
m
2
＋
n
2
≥5，当且仅当
an
＝
bm
时，等号成立．∴
m
2
＋
n
2
的最小值为5.
[答案] 5
11．对任意
x
，
y
∈R，|
x<
br>－1|＋|
x
|＋|
y
－1|＋|
y
＋1|的最小值
为__________．
[解析] ∵|
x
－1|＋|
x
|＋|
y
－1|＋|
y
＋1|
＝(|1－
x
|＋|x
|)＋(|1－
y
|＋|1＋
y
|)
≥|(1－<
br>x
)＋
x
|＋|(1－
y
)＋(1＋
y
)|
＝1＋2＝3，
当且仅当(1－
x
)·
x
≥0，(1－
y
)·(1＋
y
)≥0，即0≤
x
≤1，－1≤
y
≤
1时等
号成立，
∴|
x
－1|＋|
x
|＋|
y<
br>－1|＋|
y
＋1|的最小值为3.
[答案] 3
4
12
．若不等式|
x
＋1|－|
x
－4|≥
a
＋，对任意的x
∈R恒成立，则实数
a
的
a
取值范围是________．
4
[解析] 只要函数
f
(
x
)＝|
x
＋
1|－|
x
－4|的最小值不小于
a
＋即可．由于
a
||<
br>x
＋1|－|
x
－4||≤|(
x
＋1)－(
x－4)|＝5，所以－5≤|
x
＋1|－|
x
－4|≤5，故
只
要－5≥
a
＋即可．当
a
>0时，将不等式－5≥
a
＋整理
，得
a
2
＋5
a
＋4≤0，无
44
aa
解
；当
a
<0时，将不等式－5≥
a
＋整理，得
a
2
＋5
a
＋4≥0，则有
a
≤－4或－1≤
a
<0.
4
a
综上可知，实数
a
的取值范围是(－∞，－4]∪[－1
,0)．
[答案] (－∞，－4]∪[－1,0)
二、解答题
13．已知不等
式2|
x
－3|＋|
x
－4|<2
a
.
(1)若
a
＝1，求不等式的解集；
(2)若已知不等式的解集不是空集，求
a
的取值范围．
[解] (1)当
a
＝1时，不等式即为2|
x
－3|＋|
x
－4|<2，
若
x
≥4，则3
x
－10<2，
x
<4，∴舍去；
若3<
x
<4，则
x
－2<2，∴3<
x
<4；
8
若
x
≤3，则10－3
x
<2，∴<
x
≤3.
3
?
?
8
综上，不等式的解集为
?
x?
<
x
<4
?
?
3
?
?
.
?
(2)设
f
(
x<
br>)＝2|
x
－3|＋|
x
－4|，则
?
3
x
－10，
x
≥4，
f
(
x
)＝
?
x
－2，3<
x
<4，
?
10－3
x
，
x
≤3.
作出函数
f
(
x
)的图象，如图所示．
由图象可知，
f
(
x
)≥1，
1
?
1<
br>?
∴2
a
>1，
a
>，即
a
的取值范围为<
br>?
，＋∞
?
.
2
?
2
?
14．(
2015·新课标全国卷Ⅰ)已知函数
f
(
x
)＝|
x
＋1
|－2|
x
－
a
|，
a
>0.
(1)当
a
＝1时，求不等式
f
(
x
)>1的解集；
(2)若f
(
x
)的图象与
x
轴围成的三角形面积大于6，求
a
的取值范围．
[解] (1)当
a
＝1时，
f
(
x
)>1化为|
x
＋1|－2|
x
－1|－1>0.
当
x
≤－1时，不等式化为
x
－4>0，无解；
2
当－1<
x
<1时，不等式化为3
x
－2>0，解得<
x
<1；
3
当
x
≥1时，不等式化为－
x
＋2>0，解得1
≤
x
<2.
?
?
2
所以
f
(
x
)>1的解集为
?
x
?
<
x
<2<
br>?
?
3
?
?
.
?
?
x
－1－2
a
，
x
<－1，
(2)由题设可得，
f<
br>(
x
)＝
?
3
x
＋1－2
a
，－1
≤
x
≤
a
，
?
－
x
＋1＋2
a<
br>，
x
>
a
.
所以函数
f
(
x
)的图
?
2
a
－1
?
，0
?
，
B
(2
a
＋1,0)，
C
(
a
，
a
＋象与
x
轴围成的三角形的三个顶点分别为
A
?
3??
2
1)，△
ABC
的面积为(
a
＋1)
2
.
3
2
由题设得(
a
＋1)
2
>6，故
a
>2.
3
所以
a
的取值范围为(2，＋∞)．
15．设函数
f
(
x
)＝|
x
－1|＋|
x－
a
|.
(1)若
a
＝－1，解不等式
f
(
x
)≥3； <
br>(2)如果?
x
∈R，
f
(
x
)≥2，求
a
的取值范围．
[解] (1)当
a
＝－1时，
f
(
x
)＝|
x
－1|＋|
x
＋1|，
?
－2x
，
x
<－1，
f
(
x
)＝
?
2，－1≤
x
≤1，
?
2
x
，
x
>1.
作出函数
f
(
x
)＝|
x
－
1|＋|
x
＋1|的图象．
由图象可知，不等式
f
(
x
)≥3的解集为
?
?
33
?
x
?
x
≤－或
x
≥
22<
br>?
?
?
?
.
?
(2)若
a＝1，
f
(
x
)＝2|
x
－1|，
不满足题设条件；
?
－2
x
＋
a
＋1，
x
≤
a
，
若
a
<1，
f
(
x)＝
?
1－
a
，
a
<
x
<1，
?
2
x
－
a
＋1，
x
≥1，
f
(
x
)的最小值为1－
a
；
?
－2
x
＋
a
＋1，
x
≤1，
若
a
>1，
f
(
x
)＝
?
a
－1，1<x
<
a
，
?
2
x
－
a
＋1，
x
≥
a
，
f
(
x
)的最小值为
a
－1.
∴对于?
x
∈R，
f
(x
)≥2的充要条件是|
a
－1|≥2，
∴
a
的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
16．(2015·福
建卷)已知
a
>0，
b
>0，
c
>0，函数
f(
x
)＝|
x
＋
a
|＋|
x
－
b
|＋
c
的最小值为4.
(1)求
a
＋
b
＋
c
的值；
11
(2)求
a
2
＋
b
2
＋
c
2
的
最小值．
49
[解] (1)因为
f
(
x
)＝|
x
＋
a
|＋|
x
－
b
|＋
c
≥|
(
x
＋
a
)－(
x
－
b
)|＋
c
＝|
a
＋
b
|＋
c
，
当且仅当－
a
≤
x
≤
b
时，等号成立．
又
a
>0，
b
>0，所以|
a
＋
b
|＝<
br>a
＋
b
，
所以
f
(
x
)的最小值
为
a
＋
b
＋
c
.
又已知
f
(
x
)的最小值为4，
所以
a
＋
b
＋
c
＝4.
(2)由(1)
知
a
＋
b
＋
c
＝4，由柯西不等式得
?
1
2
1
22
?
?
a
＋
b
＋
c
?
(4＋9＋1)≥
9
?
4
?
b
?
a
?
?
×2＋×3＋
c
×1
?
2
＝(
a
＋
b
＋
c
)
2
＝16，
3
?
2
?
118
即
a
2
＋
b2
＋
c
2
≥.
497
11
ab
23
c
当且仅当＝＝，
231<
br>8182
即
a
＝，
b
＝，
c
＝时等号成立．
777
118
故
a
2
＋
b
2
＋<
br>c
2
的最小值为.
497