excel取最小值公式牛顿冷却定律

2020年10月7日发(作者：杭淮)
牛顿冷却定律

牛顿冷却定律
牛顿冷却定律（Newton's law of cooling)：温度高于周围环境的物体向周围媒质传< br>递热量逐渐冷却时所遵循的规律。当物体表面与周围存在温度差时，单位时间从单位面积
散失的热 量与温度差成正比，比例系数称为热传递系数。牛顿冷却定律是牛顿在1701年
用实验确定的，在强制 对流时与实际符合较好，在自然对流时只在温度差不太大时才成立。
是传热学的基本定律之一，用于计算对流热量的多少。
如图所示：
温差Δt＝|tw-tf|
q＝hΔt
Φ＝qA＝AhΔt＝Δt(1hA)
其中的1hA 称为对流传热热阻
字母代码：
q为热流密度
h为物质的对流传热系数
Φ为传热量A为传热面积
冷却定律
对于同一物体温度下降的速率,牛顿做 过研究,并发现同一物体在外部介质性质及温度
相同,本身性质及表面积相同时,物体冷却的速率只与外 部与物体的温差有关.
一个较周围热的物体温度为T,忽略表面积以及外部介质性质和温度的 变化.它的冷却
速率(dTdt)与 该物体的温度与周围环境的温度C的差(T-C)成正比.即dT dt=-k(T-C).其
中,t为时间,k为一个常数.
计算方法是:
对 dTdt=-k(T-C) 进行积分,得
ln(T-C)=-kt+B(B为积分常数)
(T-C)=e^(-kt+B) (1)
设t=0,也就是物体的初温,(1)变成
(T0-C)=e^B
然后代入 (1) 得
T=C+(T0-C)^(-kt)
算出B与k,代入t的值,就可以算出某个时间物体的温度.
冷却定律推导出来,在忽略表面积以及外部介质性质和温度的变化,物体温度变化是越
来越慢的.
一、对权威的牛顿冷却定律提出挑战
中学生姆潘巴的精心观察对权威的牛顿冷却定律提出挑战
我（姆潘巴）在坦桑尼亚的马干巴中 学读三年级时，校中的孩子们做冰淇淋总是先煮
沸牛奶，待到冷却后再倒入冰盘，放进电冰箱。为了争得 电冰箱的最后一只冰盘，我决心
冒着弄坏电冰箱的风险而把热牛奶放进去了。一个多小时以后，我们打开 电冰箱，里面出
现了惊人的奇迹：我的冰盘里的热牛奶已结成坚硬的冰块，而他们的冰里还是稠稠的液体 。
我飞快地跑去问物理老师，他淡淡地回答说：“这样的事一定不会发生。”
进入高 中后，在学习牛顿冷却定律时，我又问物理老师，他同样轻率地否定了我的观
察。我继续述说我的理由， 可老师不愿意听，在一旁的同学们也帮着老师质问我：“你究
竟相不相信牛顿冷却定律？”我只好为自己 辩解：“可定律与我观察的事实不符嘛！”在
同学们的讪笑声中，老师带着无可奈何的神情说道：“你说 的这些就叫做姆潘巴的物理
吧！”从此以后，
“姆潘巴的物理”便成了我的绰号，只 要我做错一点，同学们就马上说“这是姆潘巴
的什么……。”尽管如此，我仍然坚信我的观察是正确的， 其中可能包含着更为深刻的道
理。 就在这一年，坦桑尼亚最高学府达累斯萨拉姆大学物理系系主任奥斯 波恩博士来我
校访问，我决心求助于博士，我向他讲述了我的奇遇。他先是笑了一下，然后认真地听取< br>了我的复述，博士回校后亲自动手并观察到了同一事实。他高度评价了我的观察，他说：
“姆潘巴 的观察，事实上提出了权威物理学家可能遇到的危险，同时也对物理教师提出了
一个感兴趣的问题。”
论文介绍
博士邀请我联名发表一篇论文，登载于《英国教育》，对热牛奶在 电冰箱中先行冻结
的现象作了介绍和解释。其主要内容是：
1．把牛奶换成水以后再进行观察，发现电冰箱中的热水仍在冷水之前冻结成冰。
2．把热水 放入电冰箱冷却时，水的上表面（S）与底部（B）之间存在着显著的温度
差。缓慢冷却时的温度差几乎 是观察不到的。图1-1是初始温度分别为70℃（实线）和
47℃（虚线）的水的S-B温度差随时间 变化的观测记录图。从图中可看出，初始时，上表
面与底部不存在温度差，但一经急剧冷却，温度差就立 即出现，其中初温为70℃的水内产
生的最高温度差接近14℃,而初温为47℃的水内产生的最高温度 差只有10℃左右，这就是
我们所观察到的冷、热水在急剧冷却时的重大差别。
相关解释
在以上定量观测的基础上，我们对热牛奶（或热水）先冻结的现象作出如下解释：
1．冷却的快慢不是由液体的平均温度决定的，而是由液体上表面与底部的温度差决
定 的，热牛奶急剧冷却时，这种温度差较大，而且在整个冻结前的降温过程中，热牛奶的
温度差一直大于冷 牛奶的温度差。
2．上表面的温度愈高，从上表面散发的热量就愈多，因而降温就愈快。
基于以上两方面的理由，热牛奶以更高的速度冷却着，这便是热牛奶先冻结的秘密。
除了作出热牛奶先冻结的解释外，我们还大胆地类推出一个有趣的“猜想”：在发生严重
冰冻的日子里， 热水管应该先于冷水管发生冻结，是不是这样呢？由于我们生活在赤道附
近的坦桑尼亚，这里气候四季炎 热，难以观察到这十分有趣的现象，欢迎能观察到这一现
象的中学朋友们，为我们提供信息，共同讨论。
自从我们的文章发表后，世界上很多科学杂志都刊登了这一自然现象，认为这是对牛
顿 冷却定律的严峻挑战。而且还以我的名字把这一自然现象命名为“姆潘巴效应”。这真
叫人不好意思呀！
二、反思
中学生姆潘巴观察到的现象，可能好多人都遇到过，但是为什么会发生姆潘巴的同学
不
相信，老师不相信，甚至连物理学博士听后也还是“先笑了一下”呢？他们可能是这
样思考的： 冷牛奶 从初温开妈到冻结所需时间为t1，热牛奶冷却到初温所需时间t2，则
热牛奶从初温开始到冻结所需的 全部时间为t1+t2。
显然有（t1+t2）>t1.
由上式可以推导出如下结论：热牛奶先冻结的现象不可能发生。
如果发生了热牛奶先冻结的现象，则必然导出（t1+t2）
事实上，在一般实验条件下，热 水会比冷水更快结冰。这种现象违反直觉，甚至连很
多科学家也感到惊讶。但它的确是真的，曾在很多实 验观察和研究过。虽然在经过亚里斯
多德、培根，和笛卡儿 [1- 3] 三人的介绍后，此现象已被 发现了几个世纪，但却一直没
有被引入现代科学。直至1969年，才由坦桑尼亚的一间中学的一个名叫 Mpemba 的学生
引入现代科学。这个效应早期发现史，和后期 Mpemba 再发现的故事－－ 尤其是后者，都
是充满戏剧性的寓言。寓意人们在判断什么是不可能时，别过于仓促。这一点，下面会说
到。 Mpemba 效应
热水比冷水更快结冰的现象通常叫「Mpemba 效应」。无疑地，很多读者对这一点很
怀疑，因此，有必要先明确地指出，什么是 Mpemba 效应 。有两个形状一样的杯，装着相
同体积的水，唯一的分别是水的温度。现在将两杯水在相同的环境下冷却 。在某些条件下，
初温较高的水会先结冰，但并不是在任何情况下，都会这样。例如，99.9° C 的热水和
0.01°
C 的冷水，这样，冷水会先结冰。Mpemba 效应并不是在任何的初始温度、容器形状、
和冷却条件下，都可看到。
这似乎是不可能的，不少敏锐的读者可能已经想出一个方法，去证明它不可能。这种
证明通常是这样的： 30° C 的水降温至结冰要花 10 分钟， 70° C 的水必须先花一段
时间，降至 30° C，然之后再花 10 分钟降温至结冰。由于冷水必须做过的事，热水也
必须做，所以热水结冰较慢。这种证明有错吗？
这种证明错在，它暗中假设了水的结冰只受平均温度影响。但事实上，除了平均温度，
其它因素也很重要。一杯初始温度均匀，70° C 的水，冷却到平均温度为 30° C 的水，
水已发生了改变，不同于那杯初始温度均匀，30° C 的水。前者有较少质量，溶解气体和对流，造成温度分布不均。这些因素亦会改变冰箱内，容器周围的环境。下面会分别考
虑这四个因 素。所以前面的那种证明是行不通的，事实上，Mpemba 效应已在很多受控实
验中观察到
[5,7-14]。
这种现象的发生机制，仍然没有得确切的了解。虽然有很多可能的解释已被提出过，
但
到目前为止，还没有一个实验可以清晰地显示它的机制。如果有的话，这实验就十分
重要了。你可能会听 到有人很自信地说，X 是 Mpemba 效应的原因。这些说法通常都是基
于猜测，或只看着小量文 献的证据，而忽略其它。当然，有根据地猜测，和选择你信赖的
实验结果，是没错的。问题是，对于什么 是 X，不同的人提出不同的说法。
疑问
为什么现代科学不回答这个看起 来很简单的结冰问题？主要的问题是，水结冰所花的
时间的长短，对实验设计中的很多因素，都是很敏感 的。例子容器的形状和大小、冰箱的
形状和大小、水中气体和其它杂质、结冰时间的定义，等等。因为这 种敏感性，即使有实
验支持 Mpemba 效应的存在，但不能支持在这些条件之外， Mpemba 效应的发生和发生的
原因。正如 Firth [7] 所讲「这个问题有太多的变量，以致任何从事这 项研究的实验室，
一定会得出和其它实验室不同的结果。」
所以，由于做过的实验不 多，而且常常在不同的实验条件下，所提出过的机制中，没
有一个能很有信心地被宣称，就是「那个」机 制。在上面我们提到的那四个因素，热水冷
却到冷水的初始温度，会有变化。下面是这四个相关机制的简 单描述，它们被认同能解释
Mpemba 效应。抱负不凡的的读者可以跟着那些连结，获得更完整的 解释，相反的论调，
和用这些机制解释不了的实验。似乎并没有一个机制，能解释在所有情况下的 Mpemba 效
应，但不同的机制在不同的条件下是重要的。
1. 蒸发
——在热水冷却到冷水的初温的过程中，热水由于蒸发会失去一部分水。质量较少，
令 水较容易冷却和结冰。这样热水就可能较冷水早结冰，但冰量较少。如果我们假设水只
透过蒸发去失热， 理论计算能显示蒸发能解释 Mpemba 效应 [11]。 这个解释是可信的和
很直觉的，蒸发的 确是很重要的一个因素。然而，这不是唯一的机制。蒸发不能解释在一
个封闭容器内做的实验，在封闭的 容器，没有水蒸气能离开 [12]。很多科学家声称，单
是蒸发，不足以解释他们所做的实验 [5,9,12]。
2. 溶解气体
——热水比冷水能够留住较少溶解气 体，随着沸腾，大量气体会逃出水面。溶解气体
会改变水的性质。或者令它较易形成对流（因而令它较易 冷却），或减少令单位质量的水
结冰所需的热量，又或改变凝固点。有一些实验支持这种解释 [10,14]，但没有理论计算
的支持。
3. 对流
——由于 冷却，水会形成对流，和不均匀的温度分布。温度上升，水的密度就会下降，
所以水的表面比水底部热— —叫「hot top」。如果水 主要透过表面失热，那么「hot
top」的水失热会比温度均匀的快。当热水冷却到冷水的初温时，它会有一「hot top」因此与平均温度相同，但温度均匀的水相比，它的冷却速率会较快。能跟上吗？你可能想重
看这一段 ，
小心区分初温、平均温度，和温度。虽然在实验中，能看到「hot top」和相关的对
流，但对流能否解释 Mpemba 效应，仍是未知。
4. 周围的事物
——两杯水的最后的一个分别，与它们自己无关，而与它们周围的环境有关。初温 较
高的水可能会以复杂的方式，改变它周围的环境，从而影响到冷却过程。例如，如果这杯
水是 放在一层霜上面，霜的导热性能很差。热水可能会熔化这层霜，从而为自己创立了一
个较好的冷却系统。 明显地，这样的解释不够一般性，很多实验都不会将容器放在霜层上。
试验表明
最 后[supercooling]在此效应上，可能是重要的。[supercooling]现象出现在水在低
于 0°
C 时才结冰的情形。有一个实验 [12] 发现，热水比冷水较少会[ supercooling]。这
意味着热水会先结冰，因为它在较高的温度下结冰。即使这是真的，也 不能完成解释
Mpemba 效应，因为我们仍需解释为什么热水较少会[supercooling]。
简单地说，在很 多情况下，热水较冷水先结冰。这并非不可能，在很多实验中已观察
到。然而，尽管有很多说法，但仍没 有一个很好的解释。有不同的机制曾被提出，但这些
实验证据都不是决定性的。