高中数学5-4几个著名的不等式5-4-2排序不等式自我小测苏教版选修4_5

凡读书......须要读得字字响亮，不可误一字，不可少一字，不可多一字，不可倒一字，不 可牵强暗记，只是要多诵数遍，自然上口，久远不忘。古人云，读书百遍，其义自见。谓读得熟，则不待解说，自 晓其义也。余尝谓，读书有三到，谓心到，眼到，口到。

高中数学5-4几个著名的不等式5-4-2排序不等式自我小测
苏教版选修4_5



自我小测

1已知a，b，c∈R＋，则a5＋b5＋c5与a 3b2＋b3c2＋c3a2的大
小关系是________．

2设a1，a2，… ，an为实数，b1，b2，…，bn是a1，a2，…，
an的任一排列，则乘积a1b1＋a2b2 ＋…＋anbn不小于________．

3n个正数与这n个正数倒数的乘积和的最小值为________．

4设a，b，c∈R＋，求证：a5＋b5＋c5≥a3bc＋b3ac＋c3ab.

5设x，y，z∈R＋，求证：＋＋≥0.

6设a，b，c为某三角形三边长，求证 ：a2(b＋c－a)＋b2(c＋a
－b)＋c2(a＋b－c)≤3abc.

7设a，b，c是正实数，求证：aabbcc≥(abc).

8已知a，b，c∈ R＋，则a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)
的正负情况是_______ _．

9已知a，b，c都是正数，则＋＋≥________.

10设c 1，c2，…，cn为正数a1，a2，…，an的某一排列，求
证：＋＋…＋≥n.

11设a1，a2，…，an；b1，b2，…，bn为任意两组实数，如果
a1≤a2≤…≤an， 且b1≤b2≤…≤bn，

求证：

a1b1＋a2b2＋…＋anbn< br>≥×当且仅当a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝
n

邴原少孤，数岁时 ，过书舍而泣。师曰：童子何泣？原曰：孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则 羡其得学，中心伤感，故泣耳。师恻然曰：欲书可耳原曰：无钱资。师曰：童子苟有志吾徒相教不求资也。
1 4

凡读书......须要读得字字响亮，不可误一字，不可少一字，不可多 一字，不可倒一字，不可牵强暗记，只是要多诵数遍，自然上口，久远不忘。古人云，读书百遍，其义自见。谓读 得熟，则不待解说，自晓其义也。余尝谓，读书有三到，谓心到，眼到，口到。

bn时等号成立．

12设a，b，c∈R＋，求证：a＋b＋c≤＋＋≤＋＋.

参考答案
< br>1．a5＋b5＋c5≥a3b2＋b3c2＋c3a2解析：取两组数a3，b3，c3
和a2 ，b2，c2，且a≥b≥c.由排序不等式，得a5＋b5＋c5≥a3b2＋
b3c2＋c3a2.

2．a1an＋a2an－1＋…＋ana1

3．n解析：设0＜a1≤a2≤a3…≤an，则0＜a≤a≤…≤a.

则由排序不等式得：反序和≤乱序和≤同序和．

∴最小值为反序和a1·a＋a2·a＋…＋an·a＝n.

4．证明：不妨设a≥b≥c＞0，则a4≥b4≥c4，

运用排序不等式有：

a5＋b5＋c5＝a×a4＋b×b4＋c×c4≥ac4＋ba4＋cb4，

又a3≥b3≥c3＞0，

且ab≥ac≥bc＞0，

所以a4 b＋b4c＋c4a＝a3ab＋b3bc＋c3ca≥a3bc＋b3ac＋c3ab，

即a5＋b5＋c5≥a3bc＋b3ac＋c3ab.

5．证明：所证不等式等价于＋＋≥＋＋.

不妨设0＜x≤y≤z，

则x2≤y2≤z2，

x＋y≤x＋z≤y＋z，∴≤≤.

于是上式的左边为同序和，右边为乱序和，由排序不等式知此式
成立．

6．证明：不妨设a≥b≥c＞0.

易证a(b＋c－a)≤b(c＋a－b)≤c(a＋b－c)．

邴原少孤，数岁时 ，过书舍而泣。师曰：童子何泣？原曰：孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则 羡其得学，中心伤感，故泣耳。师恻然曰：欲书可耳原曰：无钱资。师曰：童子苟有志吾徒相教不求资也。

2 4