高中数学必修四北师大版笔记-高中数学高考书
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不等式选讲综合测试
海南李传牛
一、选择题:本大题共
12小题,每小题5分,共60分,在每个小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的.
1.若
|a?c|?|b|
,则下列不等式中正确的是().
A.
a?b?c
B.
a?c?b
C.
|a|?|b|?|c|
D.
|a|?|b|?|c|
1.D
c?|b|?a?c?|b|?|c|?|b|
.
2.设
x
?
0,
y?
0,
A?
x?yxy
?
,
B?
,则
A,B
的大小关系是().
1?x?y1?x1?y
A.A?B
B.
A?B
C.
A?B
D.
A?B
<
br>2.B
B?
xyxyx?y
?????A
,即
A?B
.
1?x1?y1?x?y1?y?x1?x?y
通过放大分母使得分母一样,整个分式值变小
3.设命题甲:
|x?1|?2
,命题乙:
x?3
,则甲是乙的()
.
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3.A命题甲:
x?3
,或
x??1
,甲可推出乙.
11
1
4.已知
a,b,c
为非零实数,则
(a
2
?b
2
?c
2
)(
2
?
2
?
2
)最小值为().
abc
A.
7
B.
9
C.
1
2
D.
18
4.B
(a
2
?b
2?c
2
)(
111111
22
??)?(a??b??c?)?
(1?1?1)?9
,
222
abcabc
∴所求最小值为
9
.
5.正数
a,b,c,d
满足
a?d?b?c
,
|a?d|?|b?c|
,
则有().
A.
ad?bc
B.
ad?bc
C.
ad?b
c
D.
ad
与
bc
大小不定
5.C特殊值:正数
a?2,b?1,c?4,d?3
,满足
|a?d|?|b?c|
,得
ad?
bc
.
或由
a?d?b?c
得
a
2
?2ad?d
2
?b
2
?2bc?c
2
,
∴
(a2
?d
2
)?(b
2
?c
2
)?2bc?2a
d
,(1)
由
|a?d|?|b?c|
得
a
2
?
2ad?d
2
?b
2
?2bc?c
2
,(2)
将
(1)代入(2)得
2bc?2ad??2bc?2ad
,即
4bc?4ad
,∴
ad?bc
.
6.如果关于
x
的不等式
5x
2
?a?0
的非负整数解是
0,1,2,3
,那么实数
a
的
取值
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范围是().
A.
4
5?a?80
B.
50?a?80
C.
a?80
D.
a?4
5
6.A
5x
2
?a?0
,得
?
a5
?x?
a
5
,而正整数解是
1,2,3
,则
3?
a
5
?4
.
7.设
a,b,c?1
,则log
a
b?
2log
b
c?
4log
ca
的最小值为().
A.
2
B.
4
C.
6
D.
8
<
br>7.C
log
a
b
,log
b
c
,log<
br>c
a?
0
,
log
b
a
b?2logb
c?4log
c
a?3
3
log
a
b?2l
og
b
c?4log
c
a?3
3
8
lg
l
ga
?
lgc
lgb
?
lga
lgc
?6
.
8.已知
|2x?3|?2
的解集与
{x|x
2
?ax
?b?0}
的解集相同,则().
A.
a?3,b??
5
4
B.
a??3,b?
5517
4
C.
a?3,b?
4D.
a?b?
4
8.B由
|2x?3|?2
解得1
2
?x?
5
2
,因为
|2x?3|?2
的解
集与
{x|x
2
?ax?b?0}
的解集相同,那么
x?
1
2
或
x?
5
2
为方程
x
2?ax?b?0
的解,则分别代入该方程,
?
?
1
?
?
4
?
1
2
a?b?0
?
a??3
?
?
?
25
?
?4
?
5
?
2
a?
b?0
?
?
b?
5
.
4
9.已知不等式
(x?y)(
1
x
?
a
y
)?9
对任意正实数x,y
恒成立,则正实数
a
的最小值为().
A.
2
B.
4
C.
6
D.
8
<
br>9.B∵
(x?y)(
1ayax
x
?
y
)?1?a
?
x
?
y
?(a?1)
2
,∴
(a?1)
2
?9
,∴
a?4
.
10.设
a,b,c?0,a
2
?b
2
?c
2
?3
,则
ab?bc?ca的最大值为().
3
A.
0
B.
1
C.
3<
br>D.
3
3
10.C由排序不等式
a
2
?b
2
?c
2
?ab?bc?ac
,所以
ab?bc?ca?3
.
11.已知
f(x)?3
2x
?(k?1)?3
x?2
,当
x?R
时,
f(x)
恒为正,则
k
的
取值范围是().
A.
(??,?1)
B.
(??,22?1)
C
.
(?1,22?1)
D.
(?22?1,22?1)
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得
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3
2x
?2
?k?1
,
11.B
3?(k?1)
?3?2?0
,
3?2?(k?1)?3
,即
3
x
2xx2
xx
2
?22?k?1
,即
k?22?1
.
x
3
111113
(n?2,n?N
?
)
的过程中,由
n?k<
br>逆
12.用数学归纳法证明不等式
????????
n?1n?2n?32n2
4
推到
n?k?1
时的不等式左边().
得
3
x
?
A.增加了
1
项
111
1
?
B.增加了“”,又减少了“”
2(k?1)2k?12(k?1)
k?1
111
1
?
D.增加了,减少了
2k?12(k?1)2(k?1)
k?1
C.增加了
2
项
12.B注意分母是连续正整数.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上.
x?2
13.不等式
||?1
的解集为.
x
13.
{x|x??1}
∵
x?0
,∴
|x?2|?|x|
,即
(x?2)
2
?x
2
,∴
x?1?0
,
x??1<
br>,
∴原不等式的解集为
{x|x??1}
.
14.已知函数
f(x)?x
2
?ax?1
,且
|f(1)|?1
,那么
a
的取值范围是.
14.
1?a?3
f(x)?x
2
?a
x?1
,
f(1)?2?a
,而
|f(1)|?1
,即
|a
?2|?1
.
15.函数
f(x)?3x?
15.
9
f(
x)?3x?
12
(x?0)
的最小值为_____________.
x
2
123x3x123x3x12
3
????3??
2
?9
.
22
x22x22x
16.若
a,b,c
?
R
?
,且
a?b?c?1
,则
a?b?c
的最大值是. 16.
3
(1?a?1?b?1?c)
2
?(1
2
?1
2
?1
2
)(a?b?c)?3
.
三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)
a
2
?b
2
?c
2
a?b?c
求证:
.
?
33
17.证明:∵
(1
2
?1
2
?1
2
)(a
2
?b
2
?c
2
)?(a?b?c)
2
,
a
2
?
b
2
?c
2
(a?b?c)
2
?
∴
,
39
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a
2
?b
2
?c
2
a?b?c
即
.
?
33
18.(本小题满分10分)
111
无论
x,y<
br>取任何非零实数,试证明等式
??
总不成立.
xyx?y
18.证明
:设存在非零实数
x
1
,y
1
,使得等式
则
y1
(x
1
?y
1
)?x
1
(x
1?y
1
)?x
1
y
1
,
∴
x
1
2
?y
1
2
?x
1
y
1
?0
,即
(x
1
?
但是
y
1
?0
,即
(x
1
?
故原命题成立.
19.(本小题满分12分)
已知
a
,
b
,
c
为
111
??
成
立,
x
1
y
1
x
1
?y
1
y<
br>1
2
3
2
)?y
1
?0
,
24<
br>y
1
2
3
2
)?y
1
?0
,从而得
出矛盾.
24
ABC
的三边,求证:
a
2
?b
2
?c
2
?2(ab?bc?ca)
.
19.证明:由余弦定理得<
br>2bccosA?b
2
?c
2
?a
2
,
2a
ccosB?a
2
?c
2
?b
2
,
2abcosC?a
2
?b
2
?c
2
,
三式相加得
2bccosA?2accosB?2abcosC?a
2
?b
2
?c
2
,
而
cosA?1,cosB?1,cosC?1
,且三者至多一个可等于
1
,
即
2bccosA?2accosB?2abcosC?2bc?2ac?2ab
,
所以
a
2
?b
2
?c
2
?2(ab?bc
?ca)
.
20.(本小题满分12分)
a?ba?b?c
3
?ab)?3(?abc)
.
23
a
?ba?b?c
3
20.证明:要证
2(?ab)?3(?abc)
, 23
已知
a,b,c
都是正数,求证:
2(
只需证
a?
b?2ab?a?b?c?3
3
abc
,即
?2ab?c?3
3abc
,
移项得
c?2ab?3
3
abc
,
∵
a,b,c
都是正数,
∴
c?2ab?c?ab?ab?33
c?ab?ab?3
3
abc
,
∴原不等式成立.
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21.(本小题满分12分)
某单位
决定投资
3200
元建一仓库(长方体状),高度恒定,它的后墙利用旧墙不花钱,正面用铁<
br>栅,每米造价
40
元,两侧墙砌砖,每米造价
45
元,顶部每平方米造
价
20
元,试问:(1)仓库面
积
S
的最大允许值是多少?(2)为
使
S
达到最大,而实际投资又不超过预算,那么正面铁栅应
设计为多长?
2
1.解:如图,设铁栅长为
x
米,一堵砖墙长为
y
米,则有
S?xy
,
由题意得
40x?2?45y?20xy?3200
,
应用二元均值不等式,
得
3200?240x?90y?20xy
∴
S?6S?160
,即
(S?16)(S?10)?0
,
∵
S?16?0
,∴
S?10?0
,∴
S?100
. <
br>因此,
S
的最大允许值是
100
平方米,取得此最大值的条件是
40x?90y
,
而
xy?100
,求得
x?15
,即
铁栅的长应是
15
米.
22.(本小题满分12分)
已知
f(x
)
是定义在
(0,??)
上的单调递增函数,对于任意的
m,n?0
满足
f(m)?f(n)?f(mn)
,且
a
,
b
(0?
a?b)
满足
|f(a)|?|f(b)|?2|f(
a?b
)|
.
2
(1)求
f(1)
;
(2)若
f(2)?1
,解不等式
f(x)?2
;
(3)求证:
3?b?2?2
.
22.解:(1)因为任意的
m,
n?0
满足
f(m)?f(n)?f(mn)
,
令
m?n?1,则
f(1)?f(1)?f(1)
,得
f(1)?0
;
(2)
f(x)?2?1?1?f(2)?f(2)
,
而
f(2)?f(2)?f(4)
,
得
f(x)?f(4)
,而
f(x)
是定义在
(0,??)
上的单调递增函数,
0?x?4
,得不等式
f(x)?2
的解集为
(0,4)
;
(3)∵
f(1)?0
,
f(x)
在
(0,??)
上的单调递增,
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∴
x?(0,1)<
br>时,
f(x)?f(1)?0
,
x?(1,??)
时,
f(x
)?f(1)?0
.
又
|f(a)|?|f(b)|
,
f(a)?
f(b)
或
f(a)??f(b)
,
∵
0?a?b
,则<
br>f(a)?f(b),f(a)?f(b)
,∴
f(a)??f(b)
,
∴
f(a)?f(b)?f(ab)?0?f(1)
,
∴
ab?1
,得
0?a?1?b
.
a?ba?ba?b<
br>∵
|
f
(
b
)|
?
2|
f
()|
,且
b?1
,
?ab?1
,
f(b)?0,f()?
0
,
222
a?ba?ba?ba?b
2
∴
f
(
b
)
?
2
f
()
,∴
f(b)?f()?
f()?f[()]
,
2222
a?b
2
得
b?(),∴
4b?a
2
?2ab?b
2
,
2
即4b?b
2
?2?a
2
,而
0?a?1
,
∴
0?4b?b
2
?2?1
,又
b?1
,
∴
3?b?2?2
.
答案与解析:
备用题:
1.已知
a?b
,
c?d
,则下列命题中正确的是().
ab
A.
a?c?b?d
B.
?
C.
ac?bd
D
.
c?b?d?a
dc
1.D令
a?1,b?0,c??1,d??2
,可验证知D成立, <
br>事实上我们有
a?b??b??a
①,
c?d
②,①﹢②可得
c?b?d?a
.
2.已知
a,b?R
,
h?0
.设命题
甲:
a,b
满足
|a?b|?2h
;命题乙:
|a?1|?h
且
|b?1|?h
,那么甲
是乙的().
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分条件也不必要条件 2.B
|a?1|?h
,
|b?1|?h
,则
|a?1|?|b
?1|?2h
,而
|a?1|?|b?1|?|a?b|
,
即
|a
?b|?2h
;命题甲:
|a?b|?2h
不能推出命题乙:
|a?1|?h
且
|b?1|?h
.
1111n
?
(n?N
?<
br>)
,假设
n?k
时成立,当
n?k?1
时,左端增加的项数是
3.证明
1????????
n
2342?12
().
A.
1
项 B.
k?1
项 C.
k
项
D.
2
k
项
3.D从
2
k
?1?2
k?
1
?1
增加的项数是
2
k
.
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4.如果
|x?2|?|x?5|?a
恒成立,则
a
的取值范围是.
4.
a?7
|x?2|?|x?5|?7
,而
|x?2|?|x?5
|?a
恒成立,则
7?a
,即
a?7
.
5.已知函数f
(
x
)
?
log
m
(
m?x
)
在区间
[3,5]
上的最大值比最小值大
1
,则实数
m
?
.
5.
3?6
显然
m?x?0
,而
x?[3,
5]
,则
m?5
,
得
[3,5]
是函数
f
(
x
)
?
log
m
(
m?x
)
的递减区间,
f(x)
max
?log
m
(m?3)
,<
br>f(x)
min
?log
m
(m?5)
,
即
log
m
(
m?
3)
?
log
m
(m?
5)
?
1
,得
m
2
?6m?3?0
,
m?3?6
,而
m?1
,则
m?3?6
.
6.要制作如图所示的铝合金窗架,当窗户采光面积为
一常数
S
时(中间横
梁面积忽略不计),要使所用的
金材料最省,窗户的宽
AB
与高
AD
的比应为.
6.
2:3
设宽
AB
为
x
,高
AD
为
y
,则
xy?S
,所用的铝
铝合
合金材料为
3x?2y
,
3x?2y?26xy?26S
,此时<
br>3x?2y
,
x:y?2:3
.
11
与
n?b?
的大小.
ab
1111b?a
7
.解:
m?n?a??(b?)?(a?b)?(?)?(a?b)?
,
ababa
b
11
即
m?n?(a?b)(1?)
,而
0?a?b?1
,则
0?ab?1,?1
,
abab
1
得
a?b?0,1
??0
,即
m?n?0
,所以
m?n
.
ab
7.
若
0?a?b?1
,试比较
m?a?
8.已知
c?0
,设<
br>P
:函数
y?c
x
在
R
上单调递减,
Q:不等式
x?|x?2c|?1
的解集
为
R
.如果
P
和
Q
有且仅有一个正确,求
c
的取值范围.
8.解:∵<
br>y?c
x
在
R
上单调递减,∴
0?c?1
,
?
2x?2c(x?2c)
又∵
x?|x?2c|?
?
的最小值是
2c
,
2c(x?2c)
?
∴
2c?1
,即c?
1
,
2
1
由题设,当
P
为真
Q
为假时,有
0?c?1
,且
0?c?
,
2
1
∴
0?c?
;
2
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当
P
为假
Q
为真时,有
c?1
且
c?
1
,∴
c?1
.
2
1
故
c
的取值范围是
(0,][1,??)
.
2
作者李传牛工作单位海南省海口市第十四中学邮政编码570311
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