部编版高中数学高考数学选修4-4全套精品教案

高二数学选修4-4教案 编写时间_____年___月___日 执行时间____年___月___日
部编版高中数学高考数学选修4-4
全套精品教案
第一讲 坐标系
课题：平面直角坐标系
教学目标：
1.理解平面直角坐标系的意义；掌握在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法。
2.掌握坐标法解决几何问题的步骤；体会坐标系的作用。
教学重点：体会直角坐标系的作用。
教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题。
授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学.
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
情境1：为了确保宇宙飞船 在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，
安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始 ，需要随时测定飞船在空
中的位置机器运动的轨迹。
情境2：运动会的开幕式上常常有大型团 体操的表演，其中不断变化的背景图案是
由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。 要出现正
确的背景图案，需要缺点不同的画布所在的位置。
问题1：如何刻画一个几何图形的位置？
问题2：如何创建坐标系？

二、学生活动
学生回顾
刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系
1、数轴 它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定
2、平面直角坐标系
在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这
两条直线的方向，就建立了 平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的
实数对（x,y）确定。
3、空间直角坐标系
在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的 交点为
原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间
上任一 点P都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定。
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三、讲解新课：
1、 建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足：
任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位
置
2、 确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标

四、数学运用
例1 选择适当的平面直角坐标系，表示边长为1的正六边形的顶点。



变式训练
如何通过它们到点O的距离以及它们相对于点O的方位来刻画,即用”距离和方向”确定点的位置


例2 已知B村位于A村的正西方1公里处,原计划经过 B村沿着北偏东60
0
的方向
设一条地下管线m.但在A村的西北方向400米出,发 现一古代文物遗址W.根据初步
勘探的结果,文物管理部门将遗址W周围100米范围划为禁区.试问: 埋设地下管线m
的计划需要修改吗?





变式训练
1一炮弹在某处爆炸,在A处听到爆炸的时间比在B处晚2s,已知A、B两地相距
800米，并且此时的声速为340ms,求曲线的方程





2在面积为1的
?PMN
中，
tan?PMN?
标系，求 以M，N为焦点并过点P的椭圆方程

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1
,t an?MNP??2
，建立适当的坐
2

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例3 已知Q（a,b）,分别按下列条件求出P 的坐标
（1）P是点Q 关于点M（m,n）的对称点
（2）P是点Q 关于直线l:x-y+4=0的对称点（Q不在直线1上）



变式训练
用两种以上的方法证明：三角形的三条高线交于一点。



思考
(x?1)
2
(y?1)
2
??1
变为中心在原点的单位圆 ，请求出通过平面变换可以把曲线
94
该复合变换？


五、小 结：本节课学习了以下内容：
1．平面直角坐标系的意义。
2. 利用平面直角坐标系解决相应的数学问题。

六、课后作业：












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课题：平面直角坐标系的伸缩变换
教学目标：
1理解平面直角坐标系中的伸缩变换；
2.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；
3.会用坐标变换、伸缩变换解决实际问题，体验用数学知识解释生活问题的乐
趣。
教学重点：理解平面直角坐标系中的伸缩变换。
教学难点：会用坐标变换、伸缩变换解决实际问题。
授课类型：新授课
教学过程：
一．复习引入
在三角函数图象的学习中，我们研究过下面一些问题：
（1） 怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x和y=sin
（2） 怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=2sinx和y=

作图：
















y=sin
1
x
2
1
x
？
2
1
sinx？
2
y
1
?
O
?
?
y=sin2x
y=2sinx
2?
2
3
4?
4
x
y=sinx
y
2
1
1
O
-1

?
-2
?
2
y=sinx
?
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?
2
2?
x

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二．新课讲解
引导, 观察启发 与y=sinx的图象作比较，结论：
1.函数y=sinωx, x?R (ω>0且ω?1)的图 象，可看作把正弦曲线上所有点的横
坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的
1倍（纵坐标不变）。
?
2．y=Asinx，x?R(A>0且A?1)的图象可以看作 把正数曲线上的所有点的纵坐
标伸长(A>1)或缩短(0
设P（x，y）是平面直角坐标系中的任意一点，保持纵坐标y不变，将横坐标x
1
?
1
?
x'?x,
缩为原来的倍，得到P’（x’，y’）,那么
?< br>2
①
2
?
?
y'?y.
我们把①式叫做平 面直角坐标系中的一个坐标压缩变换。
设P（x，y）是平面直角坐标系中的任意一点，保持横坐标x 不变，将纵坐标y
伸长为原来的2倍，得到P’（x’，y’）,那么
?
x'?x,< br> ②
?
y'?2y.
?
我们把②式叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换。

提出问题：怎样由正弦曲线得到曲线y=2sin2x？（它是由①②两种变换合成的） < br>平面直角坐标系中的任意一点P（x，y），经过上述变换后变为点P’（x’，y’）,
1?
?
x'?x,
那么
?
2
③
?
?
y'?2y.
我们把③式叫做平面直角坐标系中的坐标伸缩变换。 定义：设P（x，y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换
?
:
?
?
x'?
?
x,(
?
?0)
④的作用下，点P（x， y）对应到点P’（x’，y’），称
?
y'?
?
y(
?
? 0).
?
为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。
三．例题讲解
例1 在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形。
（1）2x+3y=0； （2）x
2
+y
2
=1
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四．课堂练习
课本P8第4题



五．课堂小结
设P（x，y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换
?
:
?
?
x'?
?
x,(
?
?0)
< br>?
y'?
?
y(
?
?0).
④的作用下，点P（x， y）对应到点P’（x’，y’），称
?
为平面直角坐标系中的坐标
伸缩变换，简称伸 缩变换。

六．作业布置






















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课题：极坐标系

教学目的：
知识目标：理解极坐标的概念
能力目标：能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐 标系和平面直
角坐标系中刻画点的位置的区别.
教学重点：理解极坐标的意义
教学难点：能够在极坐标系中用极坐标确定点位置
授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学.
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
情境1：军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定它们的位置以便将它
们引爆？
情境2：如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教
学楼处。
（1） 他向东偏60°方向走120M后到达什么位
置？该位置惟一确定吗？
（2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应
如何描述？
问题1：为了简便地表示上述问题中点的位置，应
创建怎样的坐标系呢？
问题2：如何刻画这些点的位置？
这一思考，能让学生结合自己熟悉的背景，体会在某些情况 下用距离与角度来
刻画点的位置的方便性，为引入极坐标提供思维基础．

二、讲解新课：
从情镜2中探索出：在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置 。这种
用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。
1、极坐标系的建立：
在平面上取一个定点O，自点O引一条射线OX，同时确定一个单位长 度和计算
角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。
（其中O称为极点，射线OX称为极轴。）
2、极坐标系内一点的极坐标的规定
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对于平面上任意一点M，用 ? 表示线段OM的长度，用 ? 表示从OX到
OM 的角度，? 叫做点M的极径， ?叫做点M的极角，有序数对（?，?）就叫
做M的极坐标。 特别强调：由极径的意义可知?≥0;当极角?的取值范围是[0,2
?
)时,平面上的< br>点(除去极点)就与极坐标（?，?）建立一一对应的关系 .们约定,极点的极坐标是极
径?=0,极角是任意角.
3、负极径的规定
在极坐标系中，极径?允许取负值，极角?也可以去任意的正角或负角
当?＜0时，点M （?，?）位于极角终边的反向延长线上，且OM=
?
。
M （?，?）也可以表示 为
(
?
,
?
?2k
?
)或(?
?
,
?
?(2k?1)
?
)

(k?z)

4、数学应用
例1 写出下图中各点的极坐标
A（4，0）B（2 ）C（ ）
D（ ）E（ ）F（ ）
G（ ）
① 平面上一点的极坐标是否唯一？
② 若不唯一，那有多少种表示方法？
③坐标不唯一是由谁引起的？
④不同的极坐标是否可以写出统一的表达
式
规定：极点的极坐标是
?
=0，
?
可以取任意
角。
变式训练
在极坐标系里描出下列各点
A（3，0） B（6，2
?
）C（3，
点的极坐标的表达式的研究

例2 在极坐标系中，
5
?
5
?
?
4
?
）D（ 5，）E（3，）F（4，
?
）G（6，
63
23
5
?< br>?
），Q
(1,)
，求线段PQ的长度；
44
?
（2） 已知M的极坐标为（?，?）且?=，?
?R
，说明满足上述条件的点M
3
（1） 已知两点P（5，
的位置。


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变式训练
1、若
?ABC
的的三个顶点为
A(5,


2、 若A、B两点的极坐标为
(
?
1
,
?
1
),(?
2
,
?
2
)
求AB的长以及
?AOB
的面积。（O
为极点）




例3 已知Q（?，?），分别按下列条件求出点P 的极坐标。
（1） P是点Q关于极点O的对称点；
（2） P是点Q关于直线
?
?
5
?
5
?
7
?
),B(8,),C(3,),判断三角形的形状.

266
?
2
的对称点；
（3） P是点Q关于极轴的对称点。



变式训练
1.在极坐标系中,与点
(?8,
?
6
?
5
?
5
??
A(8,),B(8,?), C(?8,),D(?8,?)

6666
)
关于极点对称的点的一个坐标是 ( )

2在极坐标系中，如果等边
?ABC
的两个顶点是
A(2,
的坐标。



三、小 结：本节课学习了以下内容：
1、极坐标系的建立：
2、极坐标系内一点的极坐标的规定；
3、负极径的规定。
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?
5
),B(2,),
求第三个顶点C
44

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四、课后作业：

课题：极坐标与直角坐标的互化
教学目的：
知识目标：掌握极坐标和直角坐标的互化关系式
能力目标：会实现极坐标和直角坐标之间的互化
教学重点：对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解
教学难点：互化关系式的掌握
授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学.
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
情境1：若点作平移变动时，则点的位置采用直角坐标系描述比较方便;
情境2：若点作旋转变动时，则点的位置采用极坐标系描述比较方便
问题1：如何进行极坐标与直角坐标的互化？
问题2：平面内的一个点的直角坐标是
(1,3)
，这个点如何用极坐标表示？
学生回顾
理解极坐标的建立及极径和极角的几何意义
正确画出点的位置，标出极径和极角，借助几何意义归结到三角形中求解
二、讲解新课：
直角坐标系的原点O为极点，
x
轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的
长度单位。平面内任意一点P的直角坐标与极坐
标分别为
(x,y)
和
(?
,
?
)
，则由三角函数的定义可
以得到如下两组公式：
?
x?
?
cos
?
?
?
y?
?< br>sin
?
?
?
2
?x
2
?y
2?

?
y
?
?(x?0)
?
tan
x
?

说明1上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式
2通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取
?
≥0，
0
≤
?< br>≤
2
?
。
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3 化公式的三个前提条件
1. 极点与直角坐标系的原点重合;
2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合;
3. 两种坐标系的单位长度相同.
三、数学应用
例1（1）把点M 的极坐标
(8,
2
?
)
化成直角坐标；
3
（2）把点P的直角坐标
(6,?2)
化成极坐标。






变式训练
在极坐标系中,已知
A(2,
?
),B(2,?),
求A,B两点的距离
66
?










例2若以极点为原点,极轴为
x
轴正半轴,建立直角坐标系.
(1) 已知A的极坐标
(4,
5
?
),
求它的直角坐标,
3
(2) 已知点B和点C的直角坐标为
(2,?2)和(0,?15)
< br>求它们的极坐标.
(
?
＞0,0≤
?
＜2
?
)



变式训练
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把下列个点的直角 坐标化为极坐标(限定
?
＞0,0≤
?
＜
2
?
)
A(?1,1),B(0,?2),C(3,4),D(?3,?4)

例3在极坐标系中,已知两点
A(6,
求A,B中点的极坐标.




变式训练
在极坐标系中,已知三点
M(2,?
?6
),B(6,
2
?
)
.
3
?
),N(2,0),P(23,)
.
36
?
判断
M,N,P
三点是否在一条直线上.





四、小 结：本节课学习了以下内容：
平面内任意一点P的直角坐标与极坐标分别为
(x,y)
和
(
?
,< br>?
)
，则由三角函数
的定义可以得到如下两组公式：
222
?
?
?x?y
?
x?
?
cos?
?

?

?
y
y??
sin
?
?
?(x?0)
?
?
tan
x
?

五、课后作业：








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课题：曲线的极坐标方程的意义
教学目的：
知识目标：掌握极坐标方程的意义。
能力目标：能在极坐标中给出简单图形的极坐标方程。
教学重点：极坐标方程的意义。
教学难点： 求简单图形的极坐标方程。
授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学.
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
问题情境
1、直角坐标系建立可以描述点的位置，
极坐标也有同样作用？
2、直角坐标系的建立可以求曲线的方程，
极坐标系的建立是否可以求曲线方程？
学生回顾
1、直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置？
2、曲线的方程和方程的曲线（直角坐标系中）定义？
3、求曲线方程的步骤？

二、讲解新课：
1、引例：以极点O为圆心5为半径的圆上任意一点极径为5，反过来 ，极径为5的
点都在这个圆上。
因此，以极点为圆心，5为半径的圆可以用方程
?
?5
来表示。
2、提问：曲线上的点的坐标都满足这个方程吗？
3、定义：一般地，在极坐标系中，如果平 面曲线上C上任意一点的极坐标中至少
有一个满足方程
f(
?
,
?< br>)?0
，并且坐标适合方程
f(
?
,
?
)?0
的点都在曲
线C上，那么方程
f(
?
,
?
)?0
称为曲线C的极坐标方程，曲线C称为这
个极坐标方程的曲线。
4、求曲线的极坐标方程：
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例1．求经过点
A(3,0)
且与极轴垂直的直线
l
的极坐标方程。


变式训练：已知点
P
的极坐标为
(1,
?)
，那么过点
P
且垂直于极轴的直线极坐标方
程。

例2．求圆心在
A(3,0)
且过极点的圆
A
的极坐标方程。



变式训练：求圆心在
A(3,


例3．（1）化在直角坐标方程
x?y?8y?0
为极坐标方程，
（2）化极坐标方程
?
?6cos(
?
?



三、巩固与练习
直角方程与极坐标方程互化
（1）
?
??cos
?
（2）
?
?tan
?




四、小 结：本节课学习了以下内容：
1． 极坐标方程的定义；
2．如何求曲线的极坐标方程。

五、课后作业：



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2
22
?
2
)
且过极点的圆
A
的极坐标方 程。
?
3
)
为直角坐标方程。

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课题：常用曲线的极坐标方程（1）
教学目的：
知识目标：了解掌握极坐标系中直线和圆的方程；
能力目标：巩固求曲线方程的方法和步骤。
教学重点：求直线与圆的极坐标方程。
教学难点：求直线与圆的极坐标方程的方法和步骤。
授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学.
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
问题情境
情境1：
?
cos
?
?3
,
?
?5
,
?
sis
?
?2
,
?
?
3
?
分别表示什么曲线？
4
情境2：上述方 程分别表示了直线与圆，把这些直线与圆一般化，它们的方程
分别是什么？

二、讲解新课：
1、若直线
l
经过
M(
?
0
,
?
0
)
且极轴到此直线的角为
?
，求直线l
的极坐标方程。








变式训练：直线
l
经过
M(3,
?
2
)
且该直线到极轴所成角为
?
，求此直线
l
的极坐标
4
方程。
把前面所讲特殊直线用此通式来验证。


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2、若圆心的坐标为
M(
?
0< br>,
?
0
)
，圆的半径为
r
，求圆的方程。运用此结果 可以推
出哪些特殊位置的圆的极坐标方程。








3、例题讲解
在圆心的极坐标为
A(4,0)
，半径为4的圆中，求过极点O的弦的中点的轨迹。





三、巩固与练习
在极坐标系中，已知圆
C
的圆心
C(3,
（1）求圆
C
的极坐标方程。
（2）若
Q
点在圆
C
上运动，
P
在
OQ
的延长线上 ，且
OQ:OP?3:2
，求动点
P
的轨迹方程。





四、小 结：
本节课学习了以下内容：求直线与圆的极坐标方程。

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?
6
)
，半径
r?3
，

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五、课后作业：



课题：常用曲线的极坐标方程（2）
教学目的：
知识目标：进一步学习在极坐标系求曲线方程
能力目标：求出并掌握圆锥曲线的极坐标方程
教学重点：圆锥曲线极坐标方程的统一形式
教学难点：方程中字母的几何意义
授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学.
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
问题情境
情境1：直线与圆在极坐标系下都有确定的方程，我们熟悉的圆锥曲线呢？
情境2：按通常情况化直角坐标方程为极坐标方程会得到让人满意的结果吗？
学生回顾：
1．求曲线方程的方程的步骤
2．两种坐标互化前提和公式
3．圆锥曲线统一定义

二、讲解新课：
1、圆锥曲线的统一方程
设定点的距离为
P
，求到定点到定点和定直线的距离之比为常数
e
的点的轨迹的
极坐 标方程。
分析：①建系
②设点
③列出等式
④用极坐标
?
、
?
表示上述等式，并化简得极坐标方程
说 明：⑴为便于表示距离，取
F
为极点，垂直于定直线
l
的方向为极轴的正方向 。
⑵
e
表示离心率，
P
表示焦点到准线距离。




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2、例题讲解
例1．2003年10月15—17日，我国自主研 制的神舟五号载人航天飞船成功发射
并按预定方案安全、准确的返回地球，它的运行轨道先是以地球中心 为一个焦点的
椭圆，椭圆的近地点（离地面最近的点）和远地点（离地面最远的点）距离地面分
别为200km和350km，然后进入距地面约343km的圆形轨道。若地球半径取6378km，
试写出神舟五号航天飞船运行的椭圆轨道的极坐标方程。








例2．求证：过抛物线的焦点的弦被焦点分成的两部分的倒数和为常数。
变式训练
x
2
y
2
设P、Q是双曲线
2
?
2< br>?1(0?a?b)
上的两点，若
OP?OQ
。
ab
求证：
11
?
为定值；
|OP|
2
|OQ|
2









三、巩固与练习
已知抛物线
y?4x
的焦点为
F
。
（1）以
F
为极点，
x
轴正方向为极轴的正方向，写出此抛物线的极坐标方程；
第 18 页 共 40 页
2

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（2）过取
F
作直线
l
交抛物线于A、B两点，若|AB|＝16，运用抛物线的极坐
标方程，求直线
l
的倾 斜角。






四、小 结：
本节课学习了以下内容：圆锥曲线极坐标方程的统一形式。

五、课后作业：























第 19 页 共 40 页

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课题：常用曲线的极坐标方程（3）
教学目的：
知识目标：进一步领会求简单曲线的极坐标方程的基本方法；
能力目标：感受极坐标系椭圆抛物线和双曲线的完美统一。
教学重点： 会求简单曲线的极坐标方程的基本方法。
教学难点： 圆锥曲线的极坐标方程的应用。
授课类型：新授课
教学模式：讲练结合
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
学生回顾
1．求曲线极坐标方程的方法
2．常用曲线的极坐标方程
基础训练
1．直线
?
cos(
?
?
?
)?m(
?
?
2．极坐标方程
?
?
k
?

k?z)
的斜率是
2
16
表示的曲线是
2?sin
?
3．曲线
?
sin
?
?2
和
?
?4sin
?
(
?
?0,0?
?
?2
?
)
的交点坐 标
4．在极坐标系中与圆
?
?4sin
?
相切的一条直线方程为 （ ）
A、
?
sin
?
?2
B、
?
cos
?
?2

C、
?
cos
?
?4
D、
?
cos
?
??4

5．椭圆
?
?
9
的长轴长
5?4cos
?
二、讲解新课：
例1．求曲线
?
cos
?
?1?0
关于直线
?
?


第 20 页 共 40 页
?
4
对称的曲线方程。

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例2．求下列两曲线的交点坐标。





例3．已知圆
?
?2
，直线
?< br>cos
?
?4
，过极点作射线交圆于点
A
，交直线于点
?
?1?cos
?
和
?
?
1
2(1?cos
?
)
B
，当射线以极点为中心转动时，求线段
A B
的中点
M
的轨迹方程。





x
2
y
2
例4．已知A、B为椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
上两点，若
OA?OB
。（
O
为原< br>ab
点）
（1）求证
11
?
为定值；
|OA|
2
|OB|
2
（2）求
?AOB
面积的最值。




三、小 结：
本节课学习了以下内容：圆锥曲线的极坐标方程的应用。

四、课后作业：



第 21 页 共 40 页

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课题：球坐标系与柱坐标系
教学目的：
知识目标：了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法
能力目标：了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式。
教学重点：体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系
教学难点：利用它们进行简单的数学应用
授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学.
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
情境：我们用三个数据来确定卫星的位置，即卫星到地球中心的距离、经度、
纬度。
问题：如何在空间里确定点的位置？有哪些方法？
学生回顾
在空间直角坐标系中刻画点的位置的方法
极坐标的意义以及极坐标与直角坐标的互化原理
二、讲解新课：
1、球坐标系
设P是空间任意一点，在oxy平面的射影为Q，连接OP，记| OP |=
r
，O P与
OZ轴正向所夹的角为
?
，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为
?
，
点P的位置可以用有序数组
(r,
?
,
?)
表示，我们把建立上述对应关系的坐标系叫球
坐标系(或空间极坐标系)。
有 序数组
(r,
?
,
?
)
叫做点P的球坐标，其中
r
≥0，0≤
?
≤
?
，0≤
?
＜2
?
。
空间点P的直角坐标
(x,y,z)
与球坐标
(r,
?
,
?
)
之间的变换关系为：
?
x
2
?y
2
?z
2
?r
2
?
?
x?rsin
?< br>cos
?

?
?
y?rsin
?
sin?
?
?
z?rcos
?
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2、柱坐标系 < br>设P是空间任意一点，在oxy平面的射影为Q，用(ρ,θ)表示点在平面oxy上
的极坐标， 点P的位置可用有序数组(ρ,θ,Z)表示把建立上述对应关系的坐标系叫
做柱坐标系。
有序数组(ρ,θ,Z)叫点P的柱坐标，其中ρ≥0, 0≤θ<2π, z∈R。
空间点P的直角坐标(x, y, z)与柱坐标(ρ,θ,Z)之间的变换关系为：

?
x?
?
cos
?
?

?
y?
?
sin
?

?
z?z
?


3、数学应用
例1建立适当的球坐标系,表示棱长为1的正方体的顶点.




变式训练
建立适当的柱坐标系, 表示棱长为1的正方体的顶点.

例2.将点M的球坐标
(8,


变式训练
1.将点M的直角坐标
(?1,?1,2)
化为球坐标.
2.将点M 的柱 坐标
(4,
?
5
?
3
,
6
)
化为 直角坐标.
?
3
,8)
化为直角坐标.
3.在直角坐标系中点
(a,a,a)(a
＞0)的球坐标是什么?

例3.球坐标满足方程r=3的点所构成的图形是什么?并将此方程化为直角坐标方程.



变式训练
标满足方程
?
=2的点所构成的图形是什么?

第 23 页 共 40 页

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例4.已知点M的柱坐标为
(2,

思考:
?
4
,3),
点N的球坐标为
(2,
??
,),
求线段MN的长度. < br>42
?
?
?
?
在球坐标系中,集合
M?
?< br>(r,
?
,
?
)2?r?6,0?
?
?,0?
?
?2
?
?
表示的
2
?
?
?
图 形的体积为多少?




三、小 结：
本节课学习了以下内容：
1.柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法；
2.柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式。

四、课后作业：




















第 24 页 共 40 页

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第二讲 参数方程
课题：曲线的参数方程
教学目的：
知识目标：弄清曲线参数方程的概念；
能力目标：能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程。
教学重点：曲线参数方程的定义及方法。
教学难点：求简单曲线的参数方程。
授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学.
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
一架救援飞机在离灾区地面 500m高处以100ms的速度作水平直线飞行。为使
投放的救援物资准确落于灾区指定的地面（不计 空气阻力），飞行员应如何确定
投放时机？




二、讲解新课：
1、 参数方程的定义：
一般地，在平面直角坐标系中，如 果曲线
C
上任一点P的坐标
x
和
y
都可以表
示为某 个变量
t
的函数：
?
?
x?f(t)

?
y?g(t)
?
x?f(t)

y?g(t)
?
?
x?f(t)

?
y?g(t)
反过来，对于
t
的每个允许值，由函数式：
?
所确定的点
P (x,y)
都在曲线C上，那么方程
?

第 25 页 共 40 页

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叫做曲线C的参数方程，变量
t
是参变数，简称参数。
2、 关于参数几点说明：
（1） 参数方程中参数可以是有物理意义，几何意义，也可以没有明显意
义。
（2） 同一曲线选取的参数不同，曲线的参数方程形式也不一样。
（3） 在实际问题中要确定参数的取值范围。

3、 参数方程的意义：
参数方程是曲线 点的位置的另一种表示形式，它借助于中间变量把曲线上的动
点的两个坐标间接地联系起来，参数方程与 变通方程同等地描述，了解曲线，参数
方程实际上是一个方程组，其中
x
，
y
分别为曲线上点M的横坐标和纵坐标。

4、 参数方程求法
（1）建立直角坐标系，设曲线上任一点P坐标为
(x,y)
；
（2）选取适当的参数；
（3）根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点P坐标与参数的函数
式；
（4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程。

5、 关于参数方程中参数的选取
选取参数的原则是曲线上任一点坐标当参数的关系比较明显关系相对简单。
与运动有关的问题选取时间
t
做参数
与旋转的有关问题选取角
?
做参数
或选取有向线段的数量、长度、直线的倾斜斜角、斜率等。
二． 典型例题：
例1．设炮弹发射角为
?
，发射速度为
v
0
，
（1）求子弹弹道典线的参数方程（不计空气阻力）；
（2）若
V
o
?100ms
，
?
?
① 求炮弹高度 ；
② 求出炮弹的射程。


例2．已知曲线C的参数方程是
?
?
6
，当炮弹发出2秒时。
?
x?3t
?
y?2t?1
2
（t为参数）
（1） 判断点M
1
（0，1）,M
2
(5,4)与曲线C的位置关系；
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（2）已知点M
3
（6，a）在曲线C上，求a的值。



例3．把圆
x?y?6x?0
化为参数方程
（1） 用圆上任一点过原点的弦和
x
轴正半轴夹角
?
为参数
（2） 用圆中过原点的弦长
t
为参数




三、巩固与练习
22
?
x?3cos
?
1. 已知椭圆
?
(
?
为参数)
y?2sin
?
?
求 （1）
?
?
?
6
时对应的点P的坐标
（2）直线OP的倾斜角





2 A点椭圆 长轴一个端点，若椭圆上存在一点P，使∠OPA=90°，其中O为椭
圆中心，求椭圆离心率
e
的取值范围。





四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．参数方程的定义；
2．参数方程求法。

五、课后作业：



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课题：参数方程与普通方程互化
教学目的：
知识目标：掌握参数方程化为普通方程几种基本方法；
能力目标：选取适当的参数化普通方程为参数方程。
教学重点：参数方程与普通方程的互化。
教学难点：参数方程与普通方程的等价性。
授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学.
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
将参数方程
?
?
x?cos
??3
化成普通方程，并判断它的曲线类型。
?
y?sin
?


二、讲解新课：
1、参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种：
（1） 代入法：利用解方程的技巧求出参数t，然后代入消去参数；
（2） 三角法：利用三角恒等式消去参数；
（3） 整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去。
化参数方程为普通方程为
F(x ,y)?0
：在消参过程中注意变量
x
、
y
取值范
围的一致 性，必须根据参数的取值范围，确定
f(t)
和
g(t)
值域得
x< br>、
y
的取
值范围。
2、常见曲线的参数方程
（1）圆x?y?r
参数方程
?
222
?
x?rcos
?
（
?
为参数）
y?rsin
?
?
?
x ?x
0
?rcos
?
（
?
为
?
y? y
0
?rsin
?
222
（2）圆
(x?x
0)?(y?y
0
)?r
参数方程为：
?
参数）
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x
2
y
2
（3）椭圆
2
?
2
?1
参数方程
ab
s
?
x?aco
?
（
?
为参数）
?
y?bsin
?
?
x
2
y
2
（4）双曲线
2
?
2
?1
参数方程
ab
2
?
?
x?asec
（
?
为参数）
?
?
?
y?btan
?
x?2Pt
2
（5 ）抛物线
y?2Px
参数方程
?
（t为参数）
?
y?2 Pt
（6）过定点
P(x
0
,y
0
)
倾斜角为?
的直线的参数方程

?
?
x?x
0
?tcos
?
（
t
为参数）
y?y?tsin
?
0
?
典型例题
1、 将下列参数方程化为普通方程
2
?
?
x?sin
?
?cos
?
?
x?t?2t
（1）
?
（2）
?

2
?
?
y?sin2
?
?
y?t?2



2
t?1
?
?
x?
x?
?< br>?
??
t?21?t
2
（3）
?
（4）
?

?
y?
2t
?
y?
2t
?
?
t?2
1?t
2
?
?



1
?
x?2(t?)
?
?
t
（5）?

1
?
y?3(t
2
?)
?
t2
?

例2化下列曲线的参数方程为普通方程，并指出它是什么曲线。
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?
?
x?1?2t
（1）
?
（t是参数）
?
?
y?3?4t
（2）
?
x?2co
?
s
（
?
是参数）
?
2
?
?
y?cos

t
1?2t
2
（3） （t是参数）
2
1?2t
y?
1?2t
2
x?

例3、已知圆O半径为1，P是圆上动点，Q（4，0）是
x
轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的参数方程。





三、巩固与练习
1
?
x?t?
?
1 方程
?
t
表示的曲线 （ ）
?
?
y?2
A、一条直线 B、两条射线 C、一条线段 D、抛物线的一部分
（2）下列方程中，当方程
y?x
表示同一曲线的点 （ ）
2
1?xos2t
?
2
?
?
x?1?1
?
x?t
x?
?
x?sint
?
A、
?
B、 C、 D、
1?cos2t

?
?
?
2?
?
y?t
?
y?t
?
y?sint
?
?
y?tant
?
x?4sin
?
2 P是双曲线
?
（t是参数）上任一点，
F
1
，
F
2
是该焦点：求△
y?3tan
?
?
F
1
F
2
的重心G的轨迹的普通方程。

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3 已知
P(x,y)
为圆
(x?1)?(y?1)?4上任意一点，求
x?y
的最大值和
最小值。





四、小 结：
本节课学习了以下内容：参数方程与普通方程的互化。


五、课后作业：























第 31 页 共 40 页
22

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课题：参数方程的应用
教学目的：
利用圆锥曲线的参数方程来确定最值，解决有关点的轨迹问题。
教学重点：利用圆锥曲线的参数方程来确定最值。
教学难点：利用圆锥曲线的参数方程来确定最值。
授课类型：新授课
教学模式：讲练结合
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
通过参数
?
简明地表示曲线上任一点坐标将解析几何中以计 算问题化为三角问
题，从而运用三角性质及变换公式帮助求解诸如最值，参数取值范围等问题。
二、讲解新课：
例1．求椭圆的内接矩形面积的最大值。



x
2
y
2
??1
中心的弦，
F
1
，
F
2
为焦点，求△ABF
1
面积的最例2．AB为过椭圆
2516
大值。




例3．抛物线
y?4x
的内接三角形的一 个顶点在原点，其重心恰是抛物线的焦点，
求内接三角形的周长。




例4 、过P（0，1）到双曲线
x?y?1
最小距离

第 32 页 共 40 页
22
2

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例5，在抛物线
y?4ax
(a?0)
的顶 点，引两互相垂直的两条弦OA，OB，求顶
点O在AB上射影H的轨迹方程。





三、巩固与练习
2
x
2
y
2
1 椭圆
2
?
2
?1
（
a?b?0
）与
x
轴正向交于点A，若这个椭圆上存 在
ab
点P，使OP⊥AP，（O为原点），求离心率
e
的范围。


2 设P为等轴双曲线
x?y?1
上的一点，
F
1，
F
2
为两个焦点，证明
22
F
1
P?F2
P?OP



四、小 结：
本节课学习了以下内容：利用圆锥曲线的参数方程来确定最值

五、课后作业：











第 33 页 共 40 页
2

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课题：直线的参数方程
教学目标：
1.了解直线的参数方程的推导过程，进一步理解参数方程的重要性；
2.体会参数方程在解题中的应用；

3.通过本节学习，进一步明确求曲线的参数方程的一般步骤。
教学重点：直线的参数方程的推导过程及其参数方程在解题中的应用。
教学难点：直线的参数方程的推导过程。
授课类型：新授课
教学过程：
一、复习引入：
我们学过的直线的普通方程都有哪些?
1.点斜式： 2.斜截式：
3.两点式： 4.截距式：
5.一般式：

二．新课讲解：
经过点M
0
（x
0
，y
0
），倾斜角为α
(
?
??
2
)
的直线l的普通方程是
y-y
0
=tanα（x-x
0
），怎样建立直线l的参数方程呢？









经 过点M
0
（x
0
，y
0
），倾斜角为α的直线l的参数方程 是
?
x?x
0
?tcos
?
,
(t为参数）

?
y?y?tsin
?
.
0
?
思考：参数方程中t 的几何意义是什么？
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M
0
M?t,直线l的单位方向向量e的方向总是向上，若t?0，
则M0
M的方向向上；若t?0，则M
0
M的方向向下；若t?0，

则点M与点M
0
重合。
三．例题讲解

例1.已知直线l:x?y?1?0与抛物线y?x
2
交于


A,B两点，求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B

两点的距离之积。








探究
：
直线与曲线y?f(x)交于M
1
,M
2
两点，对应的参数







分别为t
1
,t< br>2
.
(1)曲线的弦M
1
M
2
的长是多少？
（2）线段M
1
M
2
的中点M对应的参数t的值是多少？
22
xy

例2。经过点M(2,1)作直线L，交椭圆??1

164

于A,B两点。如果点M恰好为线段AB的中点，求直


线L的方程。






思考：
例2的解法对一般圆锥曲线适用吗？把“中点”改为“三等分点”，直
第 35 页 共 40 页

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线l的方程怎样求？




例3.当前台风中心P在某 海滨城市O向东300Km处生成,并以
40kmh的速度向西偏北45度方向移动.已知距台风中心2 50km以内的地
方都属于台风侵袭的范围,那么经过多长时间后该城市开始受到台风侵
袭?







思考：
在例3中，海滨城市O受台风侵袭大概持续多长时间？
如果台风侵袭的半径也发生变化(比如 ：当前半径为250KM，并以
10KMh的速度不断增大)，那么问题又该如何解决？






例4，如图，AB,CD是中心为点O的椭圆的

两条相交弦，交点为P,两弦AB,CD与椭圆长


轴的夹角分别为?1,?2,且?1=?2。求证：

PA?PB?PC?PD.







探究：
如果把椭圆改为双曲线，是否会有类似的结论？
第 36 页 共 40 页

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四．课堂作业：
?
x=x
0
?t cos
?
1.直线
?
(t为参数）上有参数分别
?
y?y< br>0
?tsina
为t
1
和t
2
对应的两点A和B,则 A,B两点的距离为
A.t
1
?t
2
B.t
1
?t
2
C.t
1
?t
2
D.t
1
?t
2




?
x?a?tcos
?
2。在 参数方程
?
(t为参数）所表示
?
y?b?tsin
?
的曲 线上有B,C两点，它们对应的参数值分别为
t
2
、t
2
,则线段B C的中点M对应的参数值是（ ）
B.
t
1
?t
2
2
|t?t|
C.
12
2
D.
|t
1
?t< br>2
|
2
t
1
?t
2
A.
2

1
?
x?1?t
?

2
?
3.一条直线的 参数方程是
?
(t为参数），
3
?

y??5?t
?
?2

另一条直线的方程是x-y-23?0,则两直线的交点

与点（1，-5）间的距离是
五．课堂小结：
本节课主要学习了直线的参数方程及其参数方程在解题中的应用。

六．作业布置：




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高二数学选修4-4教案 编写时间_____年___月___日 执行时间____年___月___日





课题：圆的渐开线与摆线
教学目的：
知识目标：了解圆的渐开线的参数方程, 了解摆线的生成过程及它的参数方程；
能力目标：学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤。
教学重点： 圆的渐开线的参数方程，摆线的生成过程及它的参数方程。
教学难点： 用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤。
授课类型：新授课
教学模式：讲练结合 ，启发、诱导发现教学.
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、探究引入：
把一支没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将 绳子拉紧，
保持绳子与园相切而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线，这条曲线的形状怎样？
能 否求出它的轨迹方程？


二、讲解新课：
1、以基圆圆心O为原 点，直线OA为x轴，建立平面直角坐标系，可得圆渐开线的
参数方程为
?
?
x?r(cos
?
?
?
sin
?
)
（
?
为参数）
?
y?r(sin
?
?
?
cos
?
)
2、在研究平摆线的参数方程中，取定直线为
x
轴，定点 M滚动时落在直线上
的一个位置为原点，建立直角坐标系，设圆的半径为r，可得摆线的参数方程为。
?
x?r(
?
?sin
?
)
（
?
为参数）
?
?
y?r(1?cos
?
)
例1 求半径为4的圆的渐开线参数方程 。






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例2 求半径为2的圆的摆线的参数方程








例3、设圆的半径为8，沿
x
轴正向滚动，开始时圆与
x
轴相切于原点O，记圆上动
点为M它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M点的轨迹方程，画出相 应
曲线，求此曲线上纵坐标
y
的最大值，说明该曲线的对称轴。






三、巩固与练习
1 当
?
?
?
2
，
?
时，求圆渐开线
?
?
x?co s
?
?
?
sin
?
上对应点A、B坐标并
y? sin
?
?
?
cos
?
?
求出A、B间的距离。
?
?
?
x?2(cost?tsint)
2 求圆的渐开线
?
上当
t?
对应的点的直角坐标。
4
?
?
y?2(sint?tcost)
3 求摆线
?
?
x?t?sint

0?t?2
?
与直线
y?1
的交点的直角坐标
y?1?cost
?

四、小 结：
本节课学习了以下内容：圆的渐开线的参数方程，摆线的生成过程及它的参数方程。

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五、课后作业：

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