高中数学5-4几个著名的不等式5-4-1柯西不等式自我小测苏教版选修4_5

凡读书......须要读得字字响亮，不可误一字，不可少一字，不可多一字，不可倒一字，不 可牵强暗记，只是要多诵数遍，自然上口，久远不忘。古人云，读书百遍，其义自见。谓读得熟，则不待解说，自 晓其义也。余尝谓，读书有三到，谓心到，眼到，口到。

高中数学5-4几个著名的不等式5-4-1柯西不等式自我小测
苏教版选修4_5



自我小测

1函数y＝＋2的最大值是________．

2设a＝(1,0，－2)，b＝( x，y，z)，若x2＋y2＋z2＝16，则a·b
的最大值为________．

3设a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值是________．

4已知a＋a＋…＋a＝1，x＋x＋…＋x＝1，则a1x1＋a2x2＋…
＋anxn的最大值是_ _______．

5n个正数的和与这n个正数的倒数和的乘积的最小值是
________．

6若2x＋3y＝1，求4x2＋9y2的最小值，并求最小值点．

7设a1＞a2＞…＞an＞an＋1，求证：(a1－an＋1)≥n2.

8设a ＝(－2,1,2)，|b|＝6，则a·b的最小值为________，此
时b＝________ .

9设x，y，z∈R,2x＋2y＋z＋8＝0，则(x－1)2＋(y＋2)2＋(z< br>－3)2的最小值为________．

10已知θ为锐角，a，b∈R＋，求证：(a＋b)2≤＋.

11已知函数f(x )＝(x－a)2＋(x－b)2＋(x－c)2＋(a，b，c∈R)
的最小值为m，若a－b＋2c ＝3，求m的最小值．

参考答案

1．解析：根据柯西不等式，知

y＝1×＋2×
6－x
邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：童子何泣？原曰：孤 者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。师恻然曰： 欲书可耳原曰：无钱资。师曰：童子苟有志吾徒相教不求资也。

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< br>凡读书......须要读得字字响亮，不可误一字，不可少一字，不可多一字，不可倒一字，不可牵强暗 记，只是要多诵数遍，自然上口，久远不忘。古人云，读书百遍，其义自见。谓读得熟，则不待解说，自晓其义也 。余尝谓，读书有三到，谓心到，眼到，口到。

≤×
＝.

x－5＋6－x
当且仅当＝2.

即x＝时等号成立．

2．4解析：∵a＝(1,0，－2)，b＝(x，y，z)，

∴a·b＝x－2z.

由柯西不等式，得

[12＋02＋(－2)2](x2＋y2＋z2)≥(x＋0－2z)2.

当且仅当存在实数k＝±，使b＝ka时等号成立．

∴5×16≥(x－2z)2.

∴|x－2z|≤4.

∴－4≤x－2z≤4，

即－4≤a·b≤4.

∴a·b的最大值为4.

3．解析：由柯西不等式得[()2＋()2＋()2]( 12＋12＋12)≥(＋
＋)2，

∴(＋＋)2≤3×1＝3.

当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．

∴＋＋的最大值为.

4．1 解析：(a1x1＋a2x2＋…＋anxn)2≤(a＋a＋…＋a)(x＋x
＋…＋x)＝1×1＝ 1.

当且仅当存在一个数k，使ai＝kxi(i＝1,2，…，n)时等号成立．

∴a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是1.

5．n2解析：设n个正数为x1，x2，…，xn，

由柯西不等式，得


邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：童子何泣？原曰：孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡 得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。师恻然曰：欲书可耳原曰：无钱资。师曰： 童子苟有志吾徒相教不求资也。
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