选修4-5不等式选讲》知识点详解+例题+习题(含详细答案)

选修4－5 不等式选讲
最新考纲：1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成 立的几何意义及
取等号的条件：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)．(2)|a－b| ≤|a－c|＋|c－b|(a，b
∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|a x＋b|≤c，|ax＋b|≥c，
|x－c|＋|x－b|≥.了解柯西不等式的几种不同形式，理解 它们的几何意义，并会
证明.4.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析 法、
反证法、放缩法、数学归纳法．


1．含有绝对值的不等式的解法
(1)|f(x)|>a(a>0)f(x)>a或f(x)<－a；
(2)|f(x)|0)－a(3)对形如|x－a|＋|x－ b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c的不等式，可利用绝对值不
等式的几何意义求解．
2．含有绝对值的不等式的性质
|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.
问题探究：不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中，“＝”成立的条件分别是什么 < br>提示：不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|， 右侧
“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|.
3．基本不等式
定理1：设a，b∈R，则a
2
＋b
2
≥ 2ab.当且仅当a＝b时，等号成立．
a＋b
定理2：如果a、b为正数，则
2< br>≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
a＋b＋c
3
定理3：如果a、b、 c为正数，则
3
≥abc，当且仅当a＝b＝c时，等
号成立．

定理4：(一般形式的算术—几何平均值不等式)如果a
1
、a
2
、…、 a
n
为n个正
a
1
＋a
2
＋…＋a
nn
数，则≥a
1
a
2
…a
n
，当且仅当a1
＝a
2
＝…＝a
n
时，等号成立．
n
4．柯西不等式
(1)柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d为实数，则(a
2
＋b
2
)·(c
2
＋d
2
)≥(ac< br>＋bd)
2
，当且仅当ad＝bc时等号成立．
22
当且仅当b＝0 (i＝1,2，(2)若a
i
，b
i
(i∈N
*
)为实数， 则(
?
a
2
…，
i
)(
?
b
i< br>)≥(
?
a
i
b
i
)，
i
i
＝
1i
＝
1i
＝
1
nnn
n)或存在一个数k， 使得a
i
＝kb
i
(i＝1,2，…，n)时，等号成立．
(3) 柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α|·|β|≥|α·β|，
当且仅当这两 个向量同向或反向时等号成立．

1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a>b>0时等号成立．( )
(2)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立．( )
(3)|ax＋b|≤c(c>0)的解等价于－c≤ax＋b≤c.( )
(4)不等式|x－1|＋|x＋2|<2的解集为.( )
(5)若实数x、y适合不等式xy>1，x＋y>－2，则x>0，y>0.( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√
2．不等式|2x－1|－x<1的解集是( )
A．{x|0C．{x|0B．{x|1D．{x|1[解析] 解法一：x＝1时，满足不等关系，排除C、D、B，故选A.
1
?x－1，x≥
?
2
，
解法二：令f(x)＝
?
1
1－3x，x<
?
2
，
?
[答案] A
3．设|a|<1，|b|<1，则|a＋b|＋|a－b|与2的大小关系是
( )

则f(x)<1的解集为{x|0

A．|a＋b|＋|a－b|>2
C．|a＋b|＋|a－b|＝2
B．|a＋b|＋|a－b|<2
D．不能比较大小
[解析] |a＋b|＋|a－b|≤|2a|<2.
[答案] B
4．若a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，则a＋b＋c的最大值为( )
A．1

B．2
D．2
[解析] (a＋b＋c)
2
＝(1×a＋1×b＋1×c)
2
≤ (1
2
＋1
2
＋1
2
)(a＋b＋c)＝3.
1
当且仅当a＝b＝c＝
3
时，等号成立．
∴(a＋b＋c)
2
≤3.
故a＋b＋c的最大值为3.故应选C.
[答案] C
5．若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．
[解析] 利用数轴及不等式的几何意义可得x到a与到1的距离和小于3，
所以a的取值范围为－2≤a≤4.
[答案] －2≤a≤4

考点一 含绝对值的不等式的解法
解|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型不等式，其一般步骤是：
(1)令每个绝对值符号里的代数式为零，并求出相应的根．
(2)把这些根由小到大排序，它们把定义域分为若干个区间．
(3)在所分区间上，去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求
出它们的解集．
(4)这些不等式解集的并集就是原不等式的解集．

解绝对值不等式的关键是恰当的去掉绝对值符号．

(1)(2015·山东卷)不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是( )
A．(－∞，4)
C．(1,4)
B．(－∞，1)
D．(1,5)
?
?
51
?
(2)(2014·湖南卷) 若关于x的不等式|ax－2|<3的解集为
?
x
?－
3
3
?
，则a
?
?
?

＝________.
[解题指导] 切入点：“脱掉”绝对值符号；关键点：利用绝对值的性质进行
分类讨论．
[解析] (1)当x<1时，不等式可化为－(x－1)＋(x－5)<2，即－4<2，显然成立，所以此时不等式的解集为(－∞，1)；
当1≤x≤5时，不等式可化为x－1＋(x－5) <2，即2x－6<2，解得x<4，又1≤x≤5，
所以此时不等式的解集为[1,4)；
当x>5时，不等式可化为(x－1)－(x－5)<2，即4<2，显然不成立，所以此时
不等式无解 ．
综上，不等式的解集为(－∞，4)．故选A.
(2)∵|ax－2|<3，∴－115
当a>0时，－
a
a
，与已知条件不符；
当a＝0时，x∈R，与已知条件不符；
?
?
51
?
51
当a<0时，
a
a
，又不等式的解集为
?
x
?－
3
3
?
，故a＝－3.
?
?
?

[答案] (1)A (2)－3

用 零点分段法解绝对值不等式的步骤：(1)求零点；(2)划区间、去绝对值号；
(3)分别解去掉绝对 值的不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏
区间的端点值．
对点训练
已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.

(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；
(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．
[解]
?
－2x＋5，x≤2，
(1)当a＝－3时，f(x)＝
?
1，2?
2x－5，x≥3.


当x≤2时，由f(x)≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；
当2当x≥3时，由f(x)≥3得2x－5≥3，解得x≥4；
所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}．
(2)f(x)≤|x－4||x－4|－|x－2|≥|x＋a|.
当x∈[1,2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|
4－x－(2－x)≥|x＋a|－2－a≤x≤2－a.
由条件得－2－a≤1且2－a≥2，即－3≤a≤0.
故满足条件的a的取值范围为[－3,0]．
考点二 利用绝对值的几何意义或图象解不等式
对于形如|x－a|＋|x－b|>c或|x－a|＋|x－b|何意义或者画出左、右两边函数的图象去解不等式，更为直观、简捷，它体现了
数形结合思想方法的优 越性．

|x－a|＋|x－b|的几何意义是数轴上表示x的点与点a和点b的距离之和，
应注意x的系数为1.

1
(1)(2014·重庆卷)若不等式|x－1 |＋|x＋2|≥a
2
＋
2
a＋2对任意实数x恒成立，
则实数a的 取值范围是________．
(2)不等式|x＋1|－|x－2|>k的解集为R，则实数k的取值范围是__________．
[解题指导] 切入点：绝对值的几何意义；关键点：把恒成立问题转化为最
值问题．
[解析] (1)∵|x－1|＋|x＋2|≥|(x－1)－(x－2)|＝3，

∴a
2
＋
－1－17－1＋17
1
≤a≤.
2
a＋2≤3，解得
44
?
－1－17－1＋17
?
?
. 即实数a的取值范围是
?
，
44
??
(2)解法一 ：根据绝对值的几何意义，设数x，－1,2在数轴上对应的点分别
为P，A，B，则原不等式等价于P A－PB>k恒成立．∵AB＝3，即|x＋1|－|x－2|≥
－3.故当k<－3时，原不等式恒成 立．
解法二：令y＝|x＋1|－|x－2|，
?
－3，x≤－1，
则y ＝
?
2x－1，－1?
3，x≥2，
k<－3满足题意．


要使|x＋1|－|x－2|>k恒成立，从图象中可以看出，只要k<－3即可．故

?
－1－17－1＋17
?
?
(2)(－∞，－3) [答案] (1)
?
，
44
??

解含参数的不等式存在性问题，只要 求出存在满足条件的x即可；不等式的
恒成立问题，可转化为最值问题，即f(x)f( x)
max
，f(x)>a恒成立amin
.
对点训练
(2015·唐山一模)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a，a∈R，g(x)＝|2x－1|.
(1)若当g(x)≤5时，恒有f(x)≤6，求a的最大值；
(2)若当x∈R时，恒有f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．
[解] (1)g( x)≤5|2x－1|≤5－5≤2x－1≤5－2≤x≤3；f(x)≤6|2x－a|≤6－aa－6≤2x
－a≤6－aa－3≤x≤3.
依题意有，a－3≤－2，a≤1.
故a的最大值为1.
(2)f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋|2x－1|＋a≥|2x －a－2x＋1|＋a＝|a－1|＋a，

当且仅当(2x－a)(2x－1)≤0时等号成立．
解不等式|a－1|＋a≥3，得a的取值范围是[2，＋∞)．
考点三 不等式的证明与应用
不等式的证明方法很多，解题时既要充分利用已知条件，又要时刻瞄准解题
目标，既不仅要搞清是什么，还要搞清干什么，只有兼顾条件与结论，才能找到
正确的解题途径．

应用基本不等式时要注意不等式中等号成立的条件．

(2015·新课标全国卷Ⅱ)设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：
(1)若ab>cd，则a＋b>c＋d；
(2)a＋b>c＋d是|a－b|<|c－d|的充要条件．
[解题指导] 切入点：不等式的性质；关键点：不等式的恒等变形．
[证明] (1)因为(a＋b)
2< br>＝a＋b＋2ab，(c＋d)
2
＝c＋d＋2cd，
由题设a＋b＝c＋d ，ab>cd得(a＋b)
2
>(c＋d)
2
.
因此a＋b>c＋d.
(2)①若|a－b|<|c－d|，则(a－b)
2
<(c－d)
2
，即(a＋b)
2
－4ab<(c＋d)
2
－4cd.
因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.
由(1)得a＋b>c＋d.
②若a＋b>c＋d，则(a＋b)
2
>(c＋d)
2
，即
a＋b＋2ab>c＋d＋2cd.
因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.于是(a－b)
2
＝(a＋b)
2
－4ab<(c＋d)
2
－4cd＝(c
－d)
2
.
因此|a－b|<|c－d|.
综上，a＋b>c＋d是|a－b|<|c－d|的充要条件．

分析法是证明不等 式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不
等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件 和结论之间的关系时，可用分析

法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一 步必须可逆．
对点训练
(2014·新课标全国卷Ⅱ)设a、b、c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：
1
(1)ab＋bc＋ac≤
3
；
a
2
b
2
c
2
(2)
b
＋
c
＋
a
≥1 .
[证明] (1)由a
2
＋b
2
≥2ab，b
2
＋c
2
≥2bc，c
2
＋a
2
≥2ca得a
2< br>＋b
2
＋c
2
≥ab＋bc＋
ca.
由题设得(a ＋b＋c)
2
＝1，即a
2
＋b
2
＋c
2
＋2ab＋2bc＋2ca＝1.
1
所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤
3
.
a
2
b
2
c
2
(2)因为
b
＋b≥2a，
c
＋c≥2b，
a
＋a≥2c，
a
2
b
2
c
2
故
b
＋
c
＋
a
＋(a＋b ＋c)≥2(a＋b＋c)，
a
2
b
2
c
2
即< br>b
＋
c
＋
a
≥a＋b＋c.
a
2
b
2
c
2
所以
b
＋
c
＋
a
≥1.
———————方法规律总结————————
[方法技巧]
1．绝对值不等式求解的根本方向是去除绝对值符号．
2．绝对值不等式在求与绝对值运算有 关的最值问题时需灵活运用，同时还
要注意等号成立的条件．
3．在证明不等式时，应根据命 题提供的信息选择合适的方法与技巧．如在
使用柯西不等式时，要注意右边为常数．
[易错点睛]
1．对含有参数的不等式求解时，分类要完整．
2．应用基本不等式和柯西不等式证明时要注意等号成立的条件．

课时跟踪训练(七十)
一、填空题
1．不等式|2x－1|<3的解集为__________．
[解析] |2x－1|<3－3<2x－1<3－1[答案] (－1,2)
2．若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝__________.
[解析] ∵|kx－4|≤2，∴－2≤kx－4≤2，∴2≤kx≤6.
∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝2.
[答案] 2
3．不等式|2x＋1|＋|x－1|<2的解集为________．
1
[解析] 当x≤－
2
时，原不等式等价为－(2x＋1)－(x－1)<2，即－3x<2，x>－2211
，此时－3322
12
此时－
2
3
，此时
2
?
2
?
不等式无解，综上，原不等式的解为－
3
?－
3
，0?
.
??
?
2
?
[答案]
?－
3
，0?

??
4．已知关于x的不等式|x－1|＋ |x|≤k无解，则实数k的取值范围是
__________．
[解析] ∵|x－1|＋ |x|≥|x－1－x|＝1，∴当k<1时，不等式|x－1|＋|x|≤k
无解，故k<1.
[答案] (－∞，1)
5．(2015·西安统考)若关于实数x的不等式|x－5|＋| x＋3|的取值范围是________．
[解析] |x－5|＋|x＋3|≥|(x－5)－(x＋3)|＝8，
故a≤8.
[答案] (－∞，8]

6．(2015·重庆卷)若函数f(x)＝|x＋1|＋2|x－a| 的最小值为5，则实数a＝
__________.
[解析] 当a＝－1时，f(x)＝3 |x＋1|≥0，不满足题意；当a<－1时，f(x)＝
?
－3x－1＋2a，x≤a，?
x－1－2a，a?
3x＋1－2a，x>－1，
f(x)
min
＝f(a)＝－3a－1＋2a＝5，解得a＝－6；当a>－1
?
－3x－1＋2a，x≤－1，
时，f(x)＝
?
－x＋1＋2a，－1< x≤a，
?
3x＋1－2a，x>a，
[答案] －6或4

f(x)
min
＝f(a)＝－a＋1＋2a＝5，解得a＝4.
7．若关 于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范
围是_________ _．
[解析] ∵f(x)＝|x＋1|＋|x－2|＝
?
－2x＋1x≤－1，
?
3 －1?
2x－1 x≥2，


∴f(x)≥3.要使|a|≥|x＋1|＋|x－2|有解，
∴|a|≥3，即a≤－3或a≥3.
[答案] (－∞，－3]∪[3，＋∞)
8．已知关于x的不等式|x－a|＋1－x>0的解集为R，则实数a的取值范围
是________ __．
[解析] 若x－1<0，则a∈R；若x－1≥0，则(x－a)
2
>(x －1)
2
对任意的x∈[1，
＋∞)恒成立，即(a－1)[(a＋1)－2x]>0 对任意的x∈[1，＋∞)恒成立，所以
?
a－1>0，
?
a－1<0，?
(舍去)或
?
对任意的x∈[1，＋∞]恒成立，解得a<1.综上，
?
a＋1>2x，
?
a＋1<2x，
a<1.
[答案] (－∞，1)
222
9．设a，b，c是正实数，且a＋b＋c＝9，则
a
＋
b
＋
c
的最小值为__________．

?
222
?
[解析] ∵(a＋b＋c)
?
a
＋
b
＋
c
?
??
??
＝[(a)
2
＋(b)
2
＋(c)
2
]
??
??
?
≥
?
a·
?
2a
＋b·
2
b
＋c·
2
?
2
?
?
＋
?
a
??
2
?
2
?
?＋
?
b
??
2
?
2
?
??

c
??
2
?
2
?
＝18，
c
?
222222
∴
a
＋
b
＋
c
≥2，∴a
＋
b
＋
c
的最小值为2.
[答案] 2
10．(2014·陕西卷)设a，b，m，n∈R，且a
2
＋b
2
＝5，m a＋nb＝5，则
的最小值为________．
[解析] 由柯西不等式，得(a
2
＋b
2
)(m
2
＋n
2
)≥(am＋bn)< br>2
，
即5(m
2
＋n
2
)≥25，
∴m
2
＋n
2
≥5，当且仅当an＝bm时，等号成立．∴m
2
＋n
2
的最小值为5.
[答案] 5
m
2
＋n
2
11．对任意x，y∈R，|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为_______ ___．
[解析] ∵|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|
＝(|1－x|＋|x|)＋(|1－y|＋|1＋y|)
≥|(1－x)＋x|＋|(1－y)＋(1＋y)|＝1＋2＝3，
当且仅当(1－x)· x≥0，(1－y)·(1＋y)≥0，即0≤x≤1，－1≤y≤1时等号成立，
∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为3.
[答案] 3
4
12．若不等式|x＋1|－|x－4|≥a＋
a
，对任意的x∈R恒成立，则实数a 的取
值范围是________．
4
[解析] 只要函数f(x)＝|x＋1|－| x－4|的最小值不小于a＋
a
即可．由于||x
＋1|－|x－4||≤|(x＋1 )－(x－4)|＝5，所以－5≤|x＋1|－|x－4|≤5，故只要－5≥a
44
＋a
即可．当a>0时，将不等式－5≥a＋
a
整理，得a
2
＋5 a＋4≤0，无解；当a<0
4
时，将不等式－5≥a＋
a
整理，得a
2
＋5a＋4≥0，则有a≤－4或－1≤a<0.综上可知，

实数a的取值 范围是(－∞，－4]∪[－1,0)．
[答案] (－∞，－4]∪[－1,0)
二、解答题
13．已知不等式2|x－3|＋|x－4|<2a.
(1)若a＝1，求不等式的解集；
(2)若已知不等式的解集不是空集，求a的取值范围．
[解] (1)当a＝1时，不等式即为2|x－3|＋|x－4|<2，
若x≥4，则3x－10<2，x<4，∴舍去；
若38
若x≤3，则10－3x<2，∴
3
?
?< br>8
?
?
综上，不等式的解集为x
?
3
?
.
?
?
?


(2)设f(x)＝2|x－3|＋|x－4|，则
?
3x－10，x≥4，
f(x)＝
?
x－2，3?
10－3x，x≤3.


作出函数f(x)的图象，如图所示．
由图象可知，f(x)≥1，
1
?
1
?
∴2a>1，a>
2
，即a的取值范围为
?
2
，＋∞?
.
??
14．(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；
(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．
[解] (1)当a＝1时，f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.
当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；

2
当－10，解得
3
当x≥1时，不等式化为－x＋2>0，解得1≤x<2.
?
?
2
?
所以f(x)>1的解集为
?
x
?
3
?
.
?
?
?

?
x－1－2a，x<－1，
(2)由题设可得，f(x)＝
?
3x＋1－2a，－1≤x≤a，
?
－x ＋1＋2a，x>a.

所以函数f(x)的图象与x轴
?
2a－1
?
围成的三角形的三个顶点分别为A
?
3
，0
?
，B(2a ＋1,0)，C(a，a＋1)，△ABC
??
2
的面积为
3
(a＋ 1)
2
.
2
由题设得
3
(a＋1)
2
>6，故a>2.
所以a的取值范围为(2，＋∞)．
15．设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|.
(1)若a＝－1，解不等式f(x)≥3；
(2)如果x∈R，f(x)≥2，求a的取值范围．
[解] (1)当a＝－1时，f(x)＝|x－1|＋|x＋1|，
?
－2x，x<－1，
f(x)＝
?
2，－1≤x≤1，
?
2x，x>1.


作出函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|的图象．

由图象可知，不等式f(x)≥3的解集为
?
?
33
?
?
x
?x≤－或x≥
?
.
22
??
?

(2)若a＝1，f(x)＝2|x－1|，
不满足题设条件；
?
－2x＋a＋1，x≤a，
若a<1，f(x)＝
?
1－a，a?
2x－a＋1，x≥1，
f(x)的最小值为1－a；



?
－2x＋a＋1，x≤1，
若a>1，f(x)＝
?
a －1，1?
2x－a＋1，x≥a，
f(x)的最小值为a－1.

∴对于x∈R，f(x)≥2的充要条件是|a－1|≥2，
∴a的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
16．(2015·福建卷)已知a>0 ，b>0，c>0，函数f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c的最
小值为4.
(1)求a＋b＋c的值；
1
2
1
22
(2)求
4
a＋
9
b＋c的最小值．
[解] (1)因为f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|(x＋a)－(x－b)|＋c＝|a＋b|＋c，
当且仅当－a≤x≤b时，等号成立．
又a>0，b>0，所以|a＋b|＝a＋b，
所以f(x)的最小值为a＋b＋c.
又已知f(x)的最小值为4，
所以a＋b＋c＝4.
(2)由(1)知a＋b＋c＝4，由柯西不等式得
?1
2
1
22
?
?
4
a＋
9
b ＋c?
(4＋9＋1)≥
??
b
?
a
?
?
2
×2＋
3
×3＋c×1?
2
＝(a＋b＋c)
2
＝16，
??
118
即
4
a
2
＋
9< br>b
2
＋c
2
≥
7
.

11< br>a
23
b
c
当且仅当
2
＝
3
＝1
，
8182
即a＝
7
，b＝
7
，c＝7
时等号成立．
1
2
1
22
8
故
4
a＋
9
b＋c的最小值为
7
.