高中数学必修一零点问题-2015高中数学全国联赛上海赛区获奖名单
高三数学复习 不等式选讲
题型剖析·真题训练
题型1:含绝对值的不等式的解法
【典型例题】
【例1】
?(1)解不等式|x+1|+|x-1|≥3.
?(2)(2013江西)不等式||x-2|-1|≤1的解集为 .
?
(3)(2013重庆)若关于实数x的不等式|x-5|+|x+3|【例2】
(1)(2012课标)已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.
(I)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;
(II)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.
?(2)(2013课标Ⅰ)函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.
(I)当a=-2时,求不等式f(x)
a
,
1
)
时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.
22
1
【例3】(
1)已知函数f(x)=|x+1|+|x-2|-m.
(I)当m=5时,求f(x)>0的解集;
(II)若关于x的不等式f(x)≥2的解集是R,求m的取值范围.
?(2)已知函数f(x)=|x-a|.
(I)若不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤5},求实数a的值;
(II)在(
I)的条件下,若f(x)+f(x+5)≥m对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围.
2
【变式训练】
1.(2012山东)若不等式|kx-4|≤2解集为{x|1≤x≤3},则k=___.
2.不等式
|x+1|
≥1的实数解为__________.
|x+2|
3.(2015山东理)不等式
|x?1|?|x?5|?2
的解集是
(A)
(??,4)
(B)
(??,1)
(C)
(1,4)
(D)
(1,5)
4.(2013辽宁)已知函数f(x)=|x-a|,其中a>1.
(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4-|x-4|的解集;
(2)已知关于x的不等式
|f(2x+a)-2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2},求a的值.
5.[2011课标]设函数f(x)=|x-a|+3x,其中a>0.
(I)当a=1时,求不等式f(x)≥3x+2的解集;
(II)若不等式f(x)≤0的解集为
?
x|x??1}
,求a的值.
3
题型2:不等式的证明方法
【典型例题】
【例1】?
(1)(2014·上海)若实数x,y满足xy=1,则x
2
+
2y
2
的最小值为________.
?
(2)已知
x?0,y?
0
,且
1
?
9
?1
,则
x?y
的最小值为
.
xy
?
(3)(2011重庆)已知a>0,b>0,a+b=2,则y=
+的最小值( )
14
ab
A.
7
2
B.4
C
.
9
2
D.5
?
(4)(2014江苏)已知x>
0,y>0,证明:(1+x+y
2
)(1+x
2
+y)≥9xy.
【例2】
(2014课标Ⅰ)若a>0
,b>0,且
11
a
+
b
=ab.
(I)求a
3
+b
3
的最小值;
(Ⅱ)是否存在a,b,使得2a+3b=6?请说明理由.
【例3】
已知a,b,c∈(0,+∞),且a+b+c=1,
求证:(1)(111
a
-1)·(
b
-1)·(
c
-1)≥8;
(2)a+b+c≤3.
4
【变式训练】
1.设a,b,c>0,且ab+bc+ca=1.求证:a+b+c≥3;
2.已知x>0
,y>0,z>0.求证:
x
+
x
()()()
≥8.
y
zxz
+
yy
xy
+
zz
3.已知a>0,b>0,c>0
,且a+b+c=1.求证:
a
+
b
+
c
≥9.
111
【高考课标真题·综合训练】
1.[2013课标II]设a,b,c均为正数,且a+b+c=1.证明:
222
(1)ab+bc+ca≤
1
;(2)
a
?
b
?
c
≥1.
3
bca
5
2.[2014课标II]
设函数f(x)=
x?
1
+|x-a|(a>0).
a
(1)证明:f(x)≥2;(2)若f(3)<5,求a的取值范围.
3
.[2015课标II]设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明:
(I)若ab>cd,
则
a?b?c?d
;
(II)
a?b?c?d
是|a-b|<|c-d|的充要条件.
6
4.[2015课标Ⅰ]已知函数
f(x)?|x?1|?2|x?a|,a?0
.
(I)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;
(II)若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围
5.[2016课标Ⅱ]已知函数
f(x)?|x?
1
|?|x?
1
|
,M为不等式f(x)<2的解集.
22
(Ⅰ)求M;
(Ⅱ)证明:当
a,b?M
时,
|a?b|?|1?ab|
.
7
6.[2016课标III]已知函数f(x)=|2x-a|+a.
(Ⅰ)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;
(Ⅱ)设函数g(x)=|2x-1|,
当
x?R
时,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围.
8