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高中数学第四讲用数学归纳法证明不等式一数学归纳法学案含解析新人教A版选修4_5

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-07 08:35
tags:高中数学选修4-5

高中数学组研修读书计划-高中数学妙招好吗

2020年10月7日发(作者:严乘)


凡读书......须要读得字字响亮,不可误一字,不可少一字,不可多一字,不可倒一字,不 可牵强暗记,只是要多诵数遍,自然上口,久远不忘。古人云,读书百遍,其义自见。谓读得熟,则不待解说,自 晓其义也。余尝谓,读书有三到,谓心到,眼到,口到。

高中数学第四讲用数学归纳法证明不 等式一数学归纳法学
案含解析新人教A版选修4_5



数学归纳法

(1)数学归纳法的概念:

先证明当n取第一值n0 (例如可取n0=1)时命题成立,然后假设
当n=k(k∈N*,k≥n0)时命题成立,证明当n= k+1时命题也成立.这
种证明方法叫做数学归纳法.

(2)数学归纳法适用范围:

数学归纳法的适用范围仅限于与正整数有关的数学命题的证明.

(3)数学归纳法证明与正整数有关的数学命题步骤:

①证明当n=n0(n0∈N*)时命题成立;

②当n=k(k∈N*,且k≥n0)时命题成立,证明n=k+1时命题
也成立.

由此可以断定,命题对于不小于n0的所有正整数都成立.


利用数学归纳法证明恒等式
证明:当n≥2,n∈N*时,

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1
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1-
1
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1-
1
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…=.

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注意到这是与正整数n有关的命题,可考虑用数学归纳法证
明.

①当n=2时,左边=1-=,右边==.

∴当n=2时,等式成立.

②假设n=k(k≥2,k∈N*)时等式成立,即

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邴原少孤,数岁时,过书舍而泣。师曰:童子何泣?原曰:孤者易伤,贫者易感。夫书者,凡得学者,有亲也。 一则愿其不孤,二则羡其得学,中心伤感,故泣耳。师恻然曰:欲书可耳原曰:无钱资。师曰:童子苟有志吾徒相 教不求资也。

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凡读书......须要读得字字响亮, 不可误一字,不可少一字,不可多一字,不可倒一字,不可牵强暗记,只是要多诵数遍,自然上口,久远不忘。古 人云,读书百遍,其义自见。谓读得熟,则不待解说,自晓其义也。余尝谓,读书有三到,谓心到,眼到,口到。

当n=k+1时,…·
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1-
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k +1
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1-
2k
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1

1
+< br>?

?
?
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?
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=·==.

∴当n=k+1时,等式也成立.

由①②知,对任意n≥2,n∈N*等式成立.

利用数学归纳法证明代数恒等式时要 注意两点:一是要准确表述
n=n0时命题的形式;二是要准确把握由n=k到n=k+1时,命题结构的变化特点,并且一定要记住:在证明n=k+1成立时,必须使
用归纳假设.
1.求证:12-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+
1)(n∈ N*).

证明:①当n=1时,左边=12-22=-3,

右边=-3,等式成立.

②假设n=k(k≥1,k∈N*)时,等式成立,

即12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1).

当n=k+1时,12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2+(2k
+1)2-( 2k+2)2=-k(2k+1)+(2k+1)2-(2k+2)2=-k(2k+1)
-(4k+3 )=-(2k2+5k+3)=-(k+1)·,所以n=k+1时,等式
也成立.

由①②得,等式对任何n∈N*都成立.

2.用数学归纳法证明:1-+-+…+-=++…+.

证明:①当n=1时,左边=1-===右边,所以等式成立.

②假设n=k(k≥1)时等式成立,即

1-+-+…+-=++…+.则当n=k+1时,左边=1-+-

邴原少孤,数岁 时,过书舍而泣。师曰:童子何泣?原曰:孤者易伤,贫者易感。夫书者,凡得学者,有亲也。一则愿其不孤,二 则羡其得学,中心伤感,故泣耳。师恻然曰:欲书可耳原曰:无钱资。师曰:童子苟有志吾徒相教不求资也。2 10

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