高中数学第一讲不等式和绝对值不等式第1节不等式创新应用教学案新人教A版选修4_5

凡读书......须要读得字字响亮，不可误一字，不可少一字，不可多一字，不可倒一字，不 可牵强暗记，只是要多诵数遍，自然上口，久远不忘。古人云，读书百遍，其义自见。谓读得熟，则不待解说，自 晓其义也。余尝谓，读书有三到，谓心到，眼到，口到。

高中数学第一讲不等式和绝对值不等 式第1节不等式创新应用教学案新
人教A版选修4_5

[核心必知]

1．实数的大小顺序与实数的运算性质之间的关系

(1)设a，b∈R，则

①a＞b?a－b＞0；②a＝b?a－b＝0；③a＜b?a－b＜0．

(2)设b∈(0，＋∞)，则

①＞1?a＞b；②＝1?a＝b；③＜1?a＜b.

2．不等式的基本性质

对称性

传递性

可加性

可乘性

乘方

开方

如果
a
＞
b
，那么
b
＜
a
；如果
b
＜
a
，那么
a
＞
b
.即
a
＞< br>b
?
b
＜
a

如果
a
＞
b
，
b
＞
c
，那么
a
＞
c
．即a
＞
b
，
b
＞
c
?
a
＞c

如果
a
＞
b
，那么
a
＋
c
＞
b
＋
c

如果
a
＞
b
，
c
＞0，那么
ac
＞
bc
；如果
a
＞
b
，
c
＜0，
那么
ac
＜
bc

如果
a
＞
b
＞0，那么
a
＞
b
(
n
∈N，
n
≥2)
如果
a
＞
b
＞0，那么
a
＞
b
(
n
∈N，
n
≥2)
nn
nn
[问题思考]

1．若x＞y，a＞b，则在①a－x＞b －y，②a＋x＞b＋y，③ax＞by，④x－b
＞y－a，⑤＞这五个不等式中，恒成立的不等式有 哪些？

提示：令x＝－2，y＝－3，a＝3，b＝2，

符合题设条件x＞y，a＞b，

则∵a－x＝3－(－2)＝5，b－y＝2－(－3)＝5，

∴a－x＝b－y，因此①不成立．

又∵ax＝－6，by＝－6，∴ax＝by，因此③也不正确．

又∵＝＝－1，＝＝－1，

∴＝，因此⑤不正确．

由不等式的性质可推出②④恒成立．

即恒成立的不等式有②④．

邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：童子何泣？原曰：孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一 则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。师恻然曰：欲书可耳原曰：无钱资。师曰：童子苟有志吾徒相教 不求资也。

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凡读书......须要读得字字响亮，不 可误一字，不可少一字，不可多一字，不可倒一字，不可牵强暗记，只是要多诵数遍，自然上口，久远不忘。古人 云，读书百遍，其义自见。谓读得熟，则不待解说，自晓其义也。余尝谓，读书有三到，谓心到，眼到，口到。< br>
2．已知三个不等式：ab＞0，bc－ad＞0，－＞0(其中a，b，c，d均为实数)，
用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成
的正确命题有几 个？

提示：由已知可组成三个命题．

①若ab＞0，bc－ad＞0，则 －＞0，此命题正确，只需在不等式bc－ad＞0两
侧同除以ab，根据不等式性质，整理即得结论；

②若ab＞0，－＞0，则bc－ad＞0，此命题正确，只需在不等式－＞0两侧同
乘以ab，根据不等式性质，整理即得结论；

③若－＞0，bc－ad＞0，则ab＞0，此命题正确，

因为－＞0?＞0，

又因为bc－ad＞0，故ab＞0．

即可组成的正确命题有3个．

x∈R，比较x3－1与2x2－2x的大小．

[精讲详析] 本题考查利用作差法 比较两个代数式的大小．解答本题需要将
作差后的代数式分解因式，然后根据各因式的符号判断x3－1 与2x2－2x的大小．

(x3－1)－(2x2－2x)

＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)

＝x2(x－1)－(x－1)2

＝(x－1)(x2－x＋1)．

∵x2－x＋1＝＋≥＞0，

∴当x＞1时，(x－1)(x2－x＋1)＞0.即x3－1＞2x2－2x；

当x＝1时，(x－1)(x2－x＋1)＝0，即x3－1＝2x2－2x；

当x＜1时，(x－1)(x2－x＋1)＜0，即x3－1＜2x2－2x.

．

(2)在变形中，一般是变形得越彻底越有利于下一步的判断．变形的常用技巧< br>有：因式分解、配方、通分、分母有理化等．

邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰： 童子何泣？原曰：孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感， 故泣耳。师恻然曰：欲书可耳原曰：无钱资。师曰：童子苟有志吾徒相教不求资也。

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