高中数学图象变换几何画板-高中数学最具代表性的符号
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．?ABCD中三个顶点A，B，C的
坐标分别为(－1,2)，(3,0)，(5,1)，则D点的坐标为( )
A．(9，－1)
C．(1,3)
解析：设D点坐标为(x，y)，
根据AC的中点与BD的中点重合，得
3－1＋5
＝，
?
x＋22
?
y＋02＋1
?
2
＝
2
，
答案
：C
2．将点P(－2,2)变换为P′(－6,1)的伸缩变换公式为( )
1
?
?
x′＝
3
x，
A.
?
?
?
y′＝2y
x′＝3x，
?
?
C.
?
1
y′＝y
?
2
?
解析：因为P(－2,2)
，P′(－6,1)，
x′＝3x，
?
?
1
而－6＝－2×3,1
＝2×，故
?
1
2
y′＝y.
?
2
?
故选
C.
答案：C
3．动点P到直线x＋y－4＝0的距离等于它到点M(2,2)的距离，则点P的轨迹是( )
A．直线
C．双曲线
B．椭圆
D．抛物线
B．(－3,1)
D．(2,2)
?
?
x＝1，
即
?
故选C.
?
y＝3.
?
1
?
?
x′＝
2
x，
B.
?
<
br>?
?
y′＝3y
?
?
x′＝3x，
D.
?<
br>
?
y′＝2y
?
解析：
因为点M(2,2)在直线x＋y－4＝0上，故动点P的轨迹是过点M且垂直于直线x
＋y－4＝0的
直线，选A.
答案：A
?
x′＝xsin
6
，
4．在平
面直角坐标系上伸缩变换的表达式为
?
π
y′＝ycos，
?
6变换下得到的曲线的方程是( )
π
正弦曲线y＝sin
x在此
A．y＝2sin 2x
23
C．y＝sin 2x
3
B．y＝
3
sin 2x
2
D．y＝3 sin 2x
?
解析：由题知
?
3
y′＝y，
?
2
代入
y＝sin x得
∴y′＝
即是y＝
答案：B
1
x′＝x，
2
x＝2x′，
?
?
∴
?
2
y＝y′.
?
3
?
2
y′＝sin
2x′.
3
3
sin 2x′，
2
3
sin
2x为所求，故选B.
2
5．给出以下四个命题，其中不正确的一个是( )
?
?
3x′＝5x，
A．点M(3,5)经过φ：
?
变换后得到点M′
的坐标为(5,3)
?
5y′＝3y，
?
?
?
x′＝x－
1，
B．函数y＝2(x－1)＋2经过平移变换φ
1：
?
后再进行伸缩变换φ
2：
?
y′＝y－2
?
2
?
x′＝
2
x，
?
1
?
y′＝
8
y，
1
最后得到的函数解析式为y＝x
2
?
?
x
′＝2x，
C．若曲线C经过伸缩变换φ：
?
变换后得到的曲线方程为x
2<
br>－y
2
＝1，则曲
?
?
y′＝3y
线C的方程是4x
2
－9y
2
＝1
x
2
y
2
D．椭圆＋＝1经过伸缩变换φ变换后得到的图形仍为椭圆，并且焦点一定还在x
169
轴上
???
?
x＝3，
?
3x′＝5x，
?
x′＝5，
解析：对于A：将
?
代入
?
得
?故M′(5，3)，正确；对于
?
y＝5
??
??
5y′＝3y
?
y′＝3，
?
x＝2x′，
?
B：y＝2(x－1)2
＋2经φ
1
变换后得到y＝2x
2
，再将
?
代入得8y′＝8x′
2
即y′＝x′
2
，
?
?
y
＝8y′
?
?
x′＝2x，
因此最后所得函数解析式为y＝x正确；对于C：
将
?
代入x′
2
－y′
2
＝1得4x
2
?
y′＝3y
?
2
??
x′＝λx，
－9y＝1，故变换前方程为4x－9y＝1也正确．对于D：设伸缩变换
φ：
?
则当
?
y′＝μy，
?
222
y
2
λ＝4，μ＝3时变换后的图形是圆x
＋y＝1，当λ＝4，μ＝1时变换后的图形
为椭圆x＋＝
9
222
1，此时焦点在y轴上，故D不正确．
答案：D <
br>6．若曲线C
1
：x
2
－y
2
＝0与C
2<
br>：(x－a)
2
＋y
2
＝1的图象有3个交点，则a＝_______
_.
解析：x
2
－y
2
＝0?(x＋y)(x－y)＝0?x＋y
＝0或x－y＝0，这是两条直线．
由题意，要使C
1
与C
2
有3个交点，必有如图所示情况：
由图(x－a)
2
＋y
2
＝1过原点，则a
2<
br>＝1，即a＝±1.
答案：±1
7．△ABC中，B(－2,0)，C(2,0)，
△ABC的周长为10，则点A的轨迹方程为
________________．
解析：∵△ABC的周长为10，
∴|AB|＋|AC|＋|BC|＝10，其中|BC|＝4，
则有|AB|＋|AC|＝6>4，
∴点A的轨迹为除去两点的椭圆，且2a＝6,2c＝4.
∴a＝3，c＝2，b
2
＝5.
x
2
y
2
∴点A的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
95
x
2
y
2
答案：＋＝1(y≠0)
958．已知函数f(x)＝?x－1?
2
＋1＋?x＋1?
2
＋1，则f(
x)的最小值为________．
解析：f(x)可看作是平面直角坐标系中x轴上的一点(x,0
)到两定点(－1,1)和(1,1)的距离
之和，数形结合可得f(x)的最小值为22.
答案：22
9．△ABC中，若BC的长度为4，中线AD的长为3，求A点的轨迹方程．
解析：取B，C所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立直角坐标系(图略)，
则D(
0,0)，B(－2, 0)，C(2，0)．
设A(x，y)为所求轨迹上任意一点，
则|AD|＝x
2
＋y
2
，
又| AD|＝3，
∴x
2
＋y
2
＝3，即x
2
＋y
2
＝9(y≠0)．
∴A点的轨迹方程为x
2
＋y
2
＝9(y≠0)．
??
x′＝2x，
10．求4x－9y＝1经过伸缩变换
?
后的图形所对应
的方程．
?
y′＝3y
?
22
?
?
x
′＝2x，
解析：由伸缩变换
?
?
y′＝3y
?
?
x＝
2
x′，
得
?
1
y＝
?
3
y′，
1
将其代入4x
2
－9y
2
＝1，
11
得4·(x′)
2
－9·(y′)
2
＝1.
23
整理得：x′
2
－y′
2
＝1.
∴经过伸缩变换后图形所对应的方程为x′
2
－y′
2
＝1.
[B组 能力提升]
→
则动点P(x，y)的轨迹方程为( )
A．y
2
＝8x
C．y
2
＝4x
→→
B．y
2
＝－8x
D．y
2
＝－4x →→→→→
→→→
1．已知两点M(－2,0)，N(2,0)，点P为坐标平面内的动点
，满足|MN|·|MP|－MN·NP＝0，
解析：由题意，得MN＝(4,0)，MP＝(x＋2，
y)，NP＝(x－2，y)，由|MN|·|MP|－MN·NP＝
0得4?x＋2?
2＋y
2
－4(x－2)＝0，整理得y
2
＝－8x.
答案：B
2．在同一坐标系中，将曲线y＝3sin 2x变为曲线y′＝sin x′的伸缩变换是( )
x＝2x′
?
?
A.
?
1
?
?
y＝
3
y′
?
?
x＝2x′
C.
?
?
y＝3y′
?
?
?
x′＝λx?λ＞0?，解析：设
?
?
y′＝μy?μ＞0?，
?
x′＝2x
?
?
B.
?
1
?
?
y′＝
3
y
?
?
x′＝2x
D.
?
?
y′＝3y
?
1
则μy＝sin λx，即y＝sin λx.
μ
11
比较y＝3sin 2x与y＝sin λx，可得＝3，λ＝2，
μμ
x′＝2x，
?
?
1
∴μ＝，λ＝2.∴
?
1
3
y′＝y.
?
3
?
答案：B
y
2
3．把圆x＋y＝16沿x轴方向均匀压缩为椭圆x＋＝1，则坐标变
换公式是________．
16
222
?
?
x′＝λx，?λ>
0?，
y′
2
μ
2
y
2
222
解析：设变
换公式为
?
代入x′＋＝1中得λx＋＝1，即：
1616
?
y′＝
μy，?μ>0?，
?
16λ
2
x
2
＋μ
2
y
2
＝16，
2
?
16λ＝1，
?
22
?
与x＋y＝16比较得
2
?
μ
＝1，
?
1
?
?
λ＝
4
，
所以
?
?
?
μ＝1.
1
?
?
x′＝
4
x，答案：
?
?
?
y′＝y
4．台风中心从A地以20
kmh的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为
危险区，城市B在A地正东40
km处，则城市B处于危险区内的时间为________h.
解析
：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则B(40,0)，以点
B为圆心，3
0为半径的圆的方程为(x－40)
2
＋y
2
＝30
2
，台
风中心移动到圆B内时，城市B处
于危险区，台风中心移动的轨迹为直线y＝x，与圆B相交于点M，
N，点B到直线y＝x
的距离d＝
40
＝202.
2
求得|MN|＝230
2
－d
2
＝20(km)，
故
|MN|
＝1，所以城市B处于危险区的时间为1 h.
20
答案：1
5．已知AD，BE，CF分别是△ABC的三边上的高，求证：AD
，
BE，CF相交于一点．
证明：如图所示，以BC边所在直线为x轴，BC边上的高所在直
线AD为y轴，建立直角坐标系．不妨设点的坐标分别为A(0，a)，B(b,0)，
C(c
，0)．
根据斜率公式得
aa
k
AB
＝－，k<
br>AC
＝－，k
BC
＝0，
bc
又根据两直线垂直的充要条件
及直线点斜式方程，容易求出三条高所在的直线方程分
别为
AD：x＝0，BE：cx－ay
－bc＝0，CF：bx－ay－bc＝0.这三个方程显然有公共解x＝0，
bc
y＝－，从
而证明了三角形的三条高相交于一点．
a
x
2
y
2
x0
xy
0
y
6．求证：过椭圆
2
＋
2
＝1(a>b>1)上一点P(x
0
，y
0
)的切线方程为
2
＋
2
＝1.
abab
x′＝x，
?
?
x
2
y
2
证明：证法一
将椭圆
2
＋
2
＝1(a>b>1)上的点(x，y)按φ：
?
a
ab
y′＝y，
?
b
?
x′
变换为
2
＋
a
2
?
b
y′
?
2
?
a
?
b
2
＝1，
即得圆x′
2
＋y′
2
＝a
2
，椭圆上的点
P(x
0
，y
0
)的对应点为P′(x′，y′)，即
a
x
0
，y
0
?
在圆x′
2
＋y′
2
＝a
2
上． P′
?
b
??
可得过圆x′
2
＋y′
2
＝a
2
上的点
a
x
0
，y
0
?
的切线方程为 P′
?<
br>b
??
a
x
0
x′＋y
0
y′
2<
br>＝a
2
，
b
x′＝x，
?
?
aax
0
xy
0
y
该切线方程按φ：
?
变换前的直线方程为x<
br>0
x＋y
0
·y＝a
2
，即
2
＋
2
＝1，
a
bbab
?
?
y′＝
b
y
x
2
y
2
这就是过椭圆
2
＋
2
＝1(a
>b>1)上一点P(x
0
，y
0
)的切线方程．
ab
x
2
y
2
证法二 由椭圆的对称性，只需证明椭圆2
＋
2
＝1在x轴上方部分即可，由题意，得
ab
b
y
＝
a
a
2
－x
2
，
bx
y′＝－·
22
，
a
a－x
bx
0
所以k＝y′|x＝x
0
＝－·
22
a
a－x<
br>0
bx
0
b
2
x
0
＝－·<
br>2
＝－
2
·.
aay
0
a
2
y<
br>0
2
·
b
由直线的点斜式方程，得切线的方程为
b
2
x
0
y－y
0
＝－
2
·(x－x
0)，
ay
0
2222
即b
2
x
0
x
＋a
2
y
0
y＝b
2
x
2
0
＋a
y
0
＝ab，
x
0
xy
0
y
所以
2
＋
2
＝1为切线方程．
ab
[课时作业]
[A组 基础巩固]
?
?
x＝2t＋1，
1．已知曲线的方程为<
br>?
(t为参数，t∈R)，则下列点中在曲线上的是( )
?
y＝t＋1
?
A．(1,1)
C．(2,3)
B．(2,2)
D．(1,2)
解析：当t＝0时，x＝1，y＝1，即点(1,1)在曲线上．
答案：A
?
?
x＝sin
θ，
2．在方程
?
(θ为参数)所表示的曲线上的一点的坐标为( )
?
y＝cos 2θ
?
A．(2，－7)
11
C．(，)
22
12
B．(，)
33
D．(1,0)
解析：将点的坐标代入参数方程，若能求出θ，则点在曲线上，经检验，知C满足条件．
答案：C
3．由方程x
2
＋y
2
－4tx－2ty＋3t
2
－4＝0(t为参数)所表示的一族圆的圆心的轨迹方程为
( )
?
?
x＝2t，
A.
?
?
y＝t?
?
x＝2t，
?
C.
?
?
y＝－t
?
?
?
x＝－2t，
B.
?
?
y＝t?
?
x＝－2t，
?
D.
?
?
y＝－t
?
解析：设(x，y)为所求轨迹上任一点．
由x
2
＋y
2
－4tx－2ty＋3t
2
－4＝0得：
(x－2t)
2
＋(y－t)
2
＝4＋2t
2
.
?
?
x＝2t
∴
?
.
?
y＝t
?
答案：A
4．已知圆(x－
a)
2
＋y
2
＝a
2
(a>0)，点M在圆上，O为原点，
以∠MOx＝φ为参数，那么
圆的参数方程为( )
?
?
x＝acos
φ，
A.
?
?
y＝asin φ
?
?
?
x＝a?1＋cos φ?，
B.
?
?
y＝asin φ
?
?
?
x＝acos φ，
C.
?
?
y＝a?1＋sin φ?
?
?
?
x＝a?1＋cos 2φ?，
D.
?
?
y＝asin 2φ
?
解析：如图，设圆心为O′，连接O′M，则∠MO′x＝2φ.
?
?
x＝a＋acos
2φ，
所以圆的参数方程为
?
(φ为参数)．
?
y＝asin
2φ
?
答案：D
?
?
x＝cos
θ，
5．参数方程
?
(θ为参数)表示的曲线是( )
?
y＝sin θ
?
A．直线
C．圆
B．线段
D．半圆
解析：因为sin
2
θ＋cos
2<
br>θ＝1，所以普通方程为x
2
＋y
2
＝1.故选C.
答案：C
?
?
x＝2sin θ＋1，
6．已知曲线
?<
br>(θ为参数，0≤θ<2π)．下列各点A(1,3)，B(2,2)，C(－3,5)，
?y＝sin θ＋3
?
其中在曲线上的点是________．
解析
：将A点坐标代入方程得：θ＝0或π，将B、C点坐标代入方程，方程无解，故A
点在曲线上．
答案：A(1,3)
7．下列各参数方程与方程xy＝1表示相同曲线的序号是________．
2
????
?
x＝t，
?
x＝sin
t，
?
x＝cos t，
?
x＝tan
t，
???
①②③④
?
2
?
y＝－t；
???
y＝cot
t.
??
y＝csc t；
?
y＝sec t；
?
解析：普通方程中，x，y均为不等于0的实数，而①②③中x的取值依次为：[0，＋∞)，
[－1,1]，[－1,1]，故①②③均不正确，而④中，x∈R，y∈R，且xy＝1，故④正确．
答案：④
?
?
x＝2t，
8．曲线的参数方程为：
?(t为参数)，已知点(2，a)在曲线上，则a＝
2
?
y＝3t＋2t＋2?
________.
解析：∵2＝2t，t＝1，∴y＝3＋2＋2＝7，∴a＝7.
答案：7
9．已知边长为a的等边三角形ABC的顶点A在y轴的非负半轴上移动，顶点B在x
轴的非负
半轴上移动，求顶点C在第一象限内的轨迹的参数方程．
解析：如图，设C点坐标为(x，y)，∠A
BO＝θ，过点C作x轴的垂线段CM，垂足为
M.
则∠CBM＝120°－θ，
?
x＝acos θ＋acos?120°－θ?，
?
∴
?
?
y＝asin?120°－θ?
?
π
(θ为参数，0≤θ≤)为所求．
2
10．如图所示，OA是
圆C的直径，且OA＝2a，射线OB与圆交于Q
点，和经过A点的切线交于B点，作PQ⊥OA交OA
于D，PB∥OA，试
求点P的轨迹的参数方程．
解析：设P(x，y)是轨迹上任意一点，取∠DOQ＝θ，
由PQ⊥OA，PB∥OA，得
x＝OD＝OQcos θ＝OAcos
2
θ＝2acos
2
θ，
y＝AB＝OAtan θ＝2atan θ.
所以P点轨迹的参数方程为
2
?
?
x＝2acos
θ，
ππ
?
－，
?
.
θ∈
?
?
22
?
?
y＝2atan
θ
?
[B组 能力提升]
1．下列参数方程(t为参数)与普通方程x
2
－y＝0表示同一曲线的方程是(
)
?
?
x＝|t|，
A.
?
?
y＝t
?
?
?
x＝cos
t，
B.
?
2
?
y＝cost
?
x＝tan t，
?
?
C.
?
1＋cos 2t
y＝
?
?
1－cos 2t
x＝tan
t，
?
?
D.
?
1－cos 2t
y＝
?
?
1＋cos 2t
1
解析：A显然错误
，B中x∈[－1,1]与原题中x的范围不同，C可化为y－
2
＝0，故选
x
D.
答案：D
?
?
x＝1＋5cos θ，
2．若P(2，－
1)为圆O′：
?
(θ为参数，0≤θ<2π)的弦的中点，则该弦
?
y＝5
sin θ
?
所在直线l的方程是( )
A．x－y－3＝0
C．x＋y－1＝0
′
B．x＋2y＝0
D．2x－y－5＝0
解析：∵圆心O′(1,0)，∴k
PO
＝－1.∴k
l
＝1.
∴直线l的方程为x－y－3＝0.
答案：A
x
2
2
3．设x＝2cos
θ(θ为参数)，则椭圆＋y＝1的参数方程为________．
4
x
2
2
解析：将x＝2cos
θ代入＋y＝1得cos
2
θ＋y
2
＝1，即y
2
＝sin
2
θ.
4
?
?
x＝2cos
θ，
x
2
2
∴y＝±sin θ，不妨取y＝sin
θ，则椭圆＋y＝1的参数方程为
?
(θ为参数)．
4
?
?
y＝sin θ
??
?
x＝2cos
θ，
?
x＝2cos θ，
答案：
?
(θ为参数)(注：答案不唯一
，也可以是
?
(θ为参数)
?
y＝sin
θ
?
y＝－sin θ
??
4．
如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x
2
＋y
2
－x＝0的参数方
程为________．
11
1
x－
?
2
＋y
2
＝
??
2
，则圆的半径r＝，
解析：圆的方程为
?
?
2
??
2
?
2
如图连接AP，∠OPA＝90°，故|OP|＝|OA|cos θ＝cos θ，
设点P(x，y)，则x＝|OP|cos θ＝cos
2
θ，
y＝|OP|sin θ＝cos θsin θ，
2
?
?
x＝c
os
θ，
故点P的参数方程为
?
?
y＝sin θcos
θ
?
2
?
?
x＝cos
θ，
答案：
?
?
y＝sin θcos θ
?
5．在长为a的
线段AB上有一个动点E，在AB的同侧以AE和EB为斜边，分别作等
腰直角三角形AEC和EBD，
点P是CD的定比分点，且|CP|∶|PD|＝2∶1，求点P的轨迹．
解析：建立如图所示坐标系(设C，D在x轴上方)．
设P(x，y)，E(t,0)(t为
参数，t∈[0，a])，B(a,0)，则点C的坐标
tt
?
a＋t
a－t
?
，
，点D的坐标为
?
为
?
?
22
?
?
2
，
2
?
.
∵|CP|∶|PD|＝2∶1，即λ＝2.
由定比分点公式，有
?
?<
br>?
t
＋2×
1
?a－t?
22
1
?
y＝＝
?
1＋2
6
?2a－t?
t1
＋2×?a＋t?22
1
x＝＝?2a＋3t?，
6
1＋2
t∈[0，a]，
这就是点P运动轨迹的参数方程．
6．舰A在舰B的正东，距离6 km；舰C在舰B的北偏西30°，距离4
km.它们准备围
捕海中动物，某时刻A发现动物信号，4 s后B、C同时发现这种信号，A于是发射
麻醉炮
弹，假设舰与动物都是静止的，动物信号的传播速度为1 kms，炮弹初速度为
kms，其中g为重力加速度，空气阻力不计，求舰A炮击的方位角与仰角．
解析：以BA为
x轴，BA的中垂线为y轴建立直角坐标系(如图)，
则B(－3,0)，A(3,0)，C(－5,2
3)．设动物所在位置为P(x，y)．因为|BP|
＝|CP|，所以P在线段BC的中垂线上，易知
中垂线方程是y＝
3
(x＋7)．
3
203g
3
x
2
y
2
又|PB|－|PA|＝4，所以P
在以A，B为焦点的双曲线右支上，双曲线方程是－＝1，
45
从而得P(8,53)．
设∠xAP＝α，则tan α＝k
AP
＝3，∴α＝60°，这样炮弹发射的方位角
为北偏东30°.再以
A为原点，AP为x′轴建立坐标系x′Ay′(如图)．
x′＝vtcos
θ，
?
?
|PA|＝10，设弹道曲线方程是
?
1
20
y′＝vtsin
θ－gt，
?
2
?
(其中θ为仰角)．
将P(10,0)代入，消去t得sin 2θ＝
30°或60°.
[课时作业]
3
，即θ＝30°或60°，这样舰A发射炮弹的仰角为
2
0
[A组 基础巩固]
?
?
x＝cos
θ－1，
1．曲线C：
?
(θ为参数)的普通方程为( )
?
y＝sin θ＋1
?
A．(x－1)
2
＋(y＋1)
2
＝1
B．(x＋1)
2
＋(y＋1)
2
＝1
C．(x＋1)
2
＋(y－1)
2
＝1
D．(x－1)
2
＋(y－1)
2
＝1
?
cos
θ＝x＋1，
?
解析：由已知条件可得
?
两式平方再相加，可得(x＋1)<
br>2
＋(y－1)
2
＝1，故
?
?
sin
θ＝y－1，
选C.
答案：C
?
?
x＝3cos
φ＋4sin φ，
2．参数方程
?
表示的图形是( )
?
y＝4cos φ－3sin φ
?
A．直线
C．圆
B．点
D．椭圆
解析：将参数方程化为普通方程为x
2
＋y
2
＝25，表示的图形是以原点为圆心，以5为半
径的圆．
答案：C
?
?
x＝1＋cos
θ，
3．若直线3x＋4y＋m＝0与圆
?
(θ为参数)相切，则实数m的值是(
)
?
y＝－2＋sin θ
?
A．0
C．0或10
B．10
D．无解
解析：由题意，知圆心(1，－2)，半径r＝1.由直线与圆
相切，可知圆心到直线的距离
|m－5|
等于半径，所以d＝＝1，解得m＝0或m＝10.
5
答案：C
?
x＝2＋cos α，
?
4．P (x，y
)是曲线
?
(α为参数)上任意一点，则(x－5)
2
＋(y＋4)
2
的最大值
?
?
y＝sin α
为( )
A．36
C．26
解析：设P(2＋cos α，sin α)，代入得：
(2＋cos α－5)
2
＋(sin α＋4)
2
＝25＋sin
2
α＋cos
2
α－6cos α＋8sin α
B．6
D．25
＝26＋10sin(α－φ)．∴最大值为36.
答案：A
?
?
x＝2＋cos θ，
5．若直线l：y＝kx与曲线C：
?<
br>(θ为参数)有唯一的公共点，则斜率k
?
y＝sin θ
?
＝( )
A.
3
3
B．－
D.3
3
3
3
C．±
3
?
x＝2＋cos θ，
?
解析：曲线C：
?
(
θ为参数)的普通方程为(x－2)
2
＋y
2
＝1，所以曲线C是
?
?
y＝sin θ
一个圆心为(2,0)、半径为1的圆．因为圆C与直线
l有唯一的公共点，即圆C与直线l相切，
则圆心(2,0)到直线l的距离d＝
答案：C
6．x＝1与圆x
2
＋y
2
＝4的交点坐标是________．
?
?
x＝2cos
θ，
解析：圆x＋y＝4的参数方程为
?
?
y＝2sin θ，<
br>?
22
|2k－0|
2
k＋?－1?
2
＝1，解得<
br>3
k＝±.
3
13
令2cos θ＝1得cos
θ＝，∴sin θ＝±.
22
∴交点坐标为(1，3)和(1，－3)．
答案：(1，3)，(1，－3)
??
?
x＝tcos
θ，
?
x＝4＋2cos α，
7．若直线
?
(t为参数)与圆?
(α为参数)相切，则θ＝________.
?
y＝tsin
θ
?
y＝2sin α
??
解析：直线为y＝xtan θ，圆
为(x－4)
2
＋y
2
＝4，作出图形(图略)，直线与圆相切时，易知3
π5π
tan θ＝±，所以θ＝或θ＝.
366
π5π
答案：或
66
?
?
x＝3sin
θ＋4cos
θ，
8．圆的参数方程为
?
(θ为参数)，则此圆的半径为________．
?
y＝4sin θ－3cos θ
?
?
x＝3sin
θ＋4cos θ，
?
解析：由
?
?
y＝4sin
θ－3cos θ，
?
得x
2
＋y
2
＝(3sin θ＋4cos
θ)
2
＋(4sin θ－3cos
θ)
2
＝25(sin
2
θ＋cos
2
θ)＝25，
所以圆的半径为5.
答案：5
9．圆M的参数方程为x
2
＋y
2
－4Rxcos
α－4Rysin α＋3R
2
＝0(R＞0)．
(1)求该圆的圆心坐标以及半径；
(2)当R固定，α变化时，求圆心M的轨迹．
解析：(1)依题意，得圆M的方程为
(x－2Rcos
α)
2
＋(y－2Rsin α)
2
＝R
2
，
故圆心坐标为M(2Rcos α，2Rsin α)，半径为R.
(2)当α变化时，圆心M的轨迹方程为
?
?
x＝2Rcos
α，
?
(其中α为参数)，
?
y＝2Rsin α
?
两式平方相加，得x
2
＋y
2
＝4R
2
.
所以，圆心M的轨迹是圆心在原点，半径为2R的圆．
10．若x，y满足(x－1)
2
＋(y＋2)
2
＝4，求S＝2x＋y的最值．
解析：由(x－1)<
br>2
＋(y＋2)
2
＝4知，它表示以(1，－2)为圆心，半径为2的圆，
设x＝1＋2cos θ，y＝－2＋2sin θ，
∴S＝2x＋y＝2＋4cos
θ－2＋2sin θ
＝4cos θ＋2sin θ＝25sin(θ＋φ)，
∴－25≤S≤25.
∴S的最大值为25，最小值为－25.
[B组
能力提升]
?
?
x＝2＋3cos θ，
1．设曲线C的参数方程为
?
(θ为参数)，直线l的方程为x－3y＋2＝0，
?
?
y＝－1＋3s
in θ
则曲线C上到直线l距离为
A．1
C．3
710
的点的个数为 ( )
10
B．2
D．4
?
?
x＝2＋3cos
θ，
解析：∵曲线C的方程为
?
(θ为参数)，
?
y＝－1＋3sin θ
?
∴(x－2)
2
＋
(y＋1)
2
＝9，而l的方程为x－3y＋2＝0，
∴圆心(2，－1)到l的距离
|2＋3＋2|
7710
d＝＝＝.
10
10
1＋9
7101410
又∵<3，>3，∴有2个点．
1010
答案：B
?
?
x＝2＋cos θ，2．若直线y＝x－b与曲线
?
(θ∈[0,2π))有两个不同的公共点，则实数b?
y＝sin θ
?
的取值范围为( )
A．(2－2，1)
B．[2－2，2＋2 ]
C．(－∞，2－2)∪(2＋2，＋∞)
D．(2－2，2＋2)
?
?
x＝2＋cos θ，
解析：曲线
?
即为圆(x－2)
2
＋y
2
＝1.
?
y＝sin θ，
?
直线y＝x－b与圆(x－2)
2
＋y
2
＝1有两个不同的公共点，
则圆心(2,0)到直线y＝x－b的
距离小于圆的半径1，
即
|2－b|
<1，∴2－2
答案：D
2
3．设Q(x
1
，y
1
)是单位圆x
2
＋y<
br>2
＝1上一个动点，则动点P(x
2
1
－y
1
，x<
br>1
y
1
)的轨迹方程是
________．
解析：设x
1
＝cos θ，y
1
＝sin θ，P(x，y)．
x＝x
1
－y
1
＝cos 2θ，x＝cos
2θ，
??
??
则
?
即
?
1
为所求．
1
y＝xy＝sin 2θ.y＝sin
2θ
11
??
2
??
2
x＝cos
2θ，
?
?
答案：
?
1
y＝sin
2θ
?
?
2
22
?
x＝2＋4cos θ，
4
4．圆的参数方程为
?
(0≤
θ＜2π)，若圆上一点P对应参数θ＝
π，则
3
?
y＝－3＋4sin
θ
P点的坐标是________．
44
解析：当θ＝
π时，x＝2＋4cos π＝0，
33
4
y＝－3＋4sin
π＝－33，
3
∴点P的坐标是(0，－33)．
答案：(0，－33)
5．P是以原点为圆心，r＝2的圆上的任意一点，Q(6,0)，M是PQ的中点．
(1)画图并写出⊙O的参数方程；
(2)当点P在圆上运动时，求点M的轨迹的参数方程．
解析：(1)如图所示，
?
?
x＝2cos
θ，
⊙O的参数方程
?
?
y＝2sin θ.
?
(2)设M(x，y)，P(2cos θ，2sin θ)，因Q(6,0)，
θ
，
?
x＝
6＋2cos
2
∴M的参数方程为
?
2sin
θ
y＝
?
2
，
?
?
x＝3＋cos
θ，
即
?
?
y＝sin
θ.
?
??
?
x＝1＋tcos α，
?
x＝cos θ，
?
6．已知直线C
1
：(t为参数)，圆C
2
：
?
(θ为参数)．
?
y＝tsin α
?
y＝sin
θ
??
π
(1)当α＝时，求C
1
与C
2
的交点坐标；
3
(2)过坐标原点O作C
1
的垂线，垂足为A，P为OA的中点．当α变化时，求P
点轨迹
的参数方程，并指出它是什么曲线．
π
解析：(1)当α＝时，C
1
的普通方程为y＝3(x－1)，C
2
的普通方程为x
2
＋y
2
＝1.
3
?
y＝3?x－1?，
联立方程组
?
22
?
x＋y＝1，
13
解得C
1
与C
2
的交点为
(1,0)，
?
，－
?
.
2
??
2
(2)C
1
的普通方程为xsin α－ycos
α－sin α＝0.
A点坐标为(sin
2
α，－cos αsin α)，
故当α变化时，P点轨迹的参数方程为
?
?
1
?
y＝－
2
sin αcos
α
1
x＝sin
2
α，
2
(α为参数)．
11
P点轨迹的普通方程为(x－)
2
＋y
2
＝.
416
1
?
1
，0
，半径为的圆．
故P点轨迹是圆心为
?
?
4
?
4
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．极坐标方程cos
θ＝
2
(ρ≥0)表示的曲线是( )
2
A．余弦曲线
C．一条射线
解析：∵cos θ＝
B．两条相交直线
D．两条射线
2
π
，∴θ＝±＋2kπ(k∈Z)．
24
2
表示两条射线．
2
又∵ρ≥0，∴cos
θ＝
答案：D
2．极坐标方程分别为ρ＝cos θ和ρ＝sin θ的两个圆的圆心距是(
)
A．2
C．1
B.2
D.
2
2
解析：将极坐标方程化为直角坐标方程为：
?
x－
1
?
2
＋y
2
＝
1
，
?
2
?
4
1
1
y－
?
2
＝， x
2
＋
?
?
2
?
4
1
??
1
?
所以两圆
的圆心坐标为
?
?
2
，0
?
，
?
0，2
?
，
故两圆的圆心距为
答案：D
π
3．在极坐标系中，点F(1,0)到直线θ＝(ρ∈R)的距离是( )
6
1
A.
2
C．1
B.
2
2
2
.
2
D.2
π
3
解析：因为直线θ＝(ρ∈R)的直角坐标方程为y＝x，即x－3y＝0，
63
1
所以点F(1,0)到直线x－3y＝0的距离为.
2
答案：A
π
4．直线θ＝(ρ∈R)与圆ρ＝2cos
θ的一个公共点的极坐标为( )
4
π
1，
?
A.
?
?
4
?
π
2，
?
C.
?
4
??
π
1，
?
B.
?
?
2
?
π
2，－
?
D.
?
4
??
π
π
?
?
?
θ＝
4，
?
θ＝
4
，
解析：由
?
得
?
故选C.
?
?
?
ρ＝2cos θ
?
ρ＝2，
答案：C
5．在极坐标系中，过点A(6，π)作圆ρ＝－4cos θ的切线，则切线长为( )
A．2
C．23
解析：如图，切线长为4
2
－2
2
＝23.
答案：C
6．圆ρ＝4(cos θ－sin θ)的圆心的极坐标是________．
解析：将极坐标方程化为直角坐标方程，得(x－2)
2
＋(y＋2)
2＝8，
7π
22，
?
. 故圆心坐标为(2，－2)，其极坐标为?
4
??
7π
22，
?
答案：
?
4
??
π
4，
?
，则|CP|＝7．已知圆的极坐标方程为ρ＝4co
s θ，圆心为C，点P的极坐标为
?
?
3
?
________.
解析：由圆的极坐标方程ρ＝4cos θ，得直角坐标方程为：
(x－2)
2
＋y
2
＝4，
π
4，
?
得直角坐标P(2,23)， 由P极坐标
?
?<
br>3
?
又C(2,0)，所以|CP|＝?2－2?
2
＋?23－0?<
br>2
＝23.
答案：23
8．直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos
θ相交的弦长为________．
解析：由公式x＝ρcos θ，y＝ρsin
θ，得直线2ρcos θ＝1的直角坐标方程为2x＝1，
圆ρ＝2cos
θ?ρ
2
＝2ρcos θ的直角坐标方程为x
2
＋y
2
－
2x＝0?(x－1)
2
＋y
2
＝1，
11
由于圆心(1,0)到直线的距离为1－＝，所以弦长为2
22
答案：3
9．进行直角坐标方程与极坐标方程的互化：
(1)y
2
＝4x；(2)x
2
＋y
2
－2x－1＝0.
解析：(1)将x＝ρcos
θ，y＝ρsin θ代入y
2
＝4x，
得(ρsin
θ)
2
＝4ρcos θ.
化简，得ρsin
2
θ＝4cos
θ.
(2)将x＝ρcos θ，y＝ρsin
θ代入y
2
＋x
2
－2x－1＝0，
得(ρsin
θ)
2
＋(ρcos θ)
2
－2ρcos θ－1＝0，
1
?
2
1－
?
?
2
?
＝3.
B．6
D．215
化简，得ρ
2
－2ρcos
θ－1＝0.
ππ
θ－
?
＝1，求点P
?
2，－
?
到直线l的距离． 10．在极坐标系中，直线l的方程是ρsin
?
6
?
?
6
??
π
2，－
?
的直角坐标为(3，－1)．
解析：点P
?
6
??
π
θ－
?
＝1可化为
直线l：ρsin
?
?
6
?
ππ
ρsin
θ·cos
－ρcos θ·sin＝1，
66
即直线l的直角坐标方程为x－3y＋2＝0.
∴点P(3，－1)到直线x－3y＋2＝0的距离为
d＝
|3＋3＋2|
1＋?－3?
2
＝3＋1.
ππ2，－
?
到直线ρsin
?
θ－
?
＝1的距离为3＋1
. 故点P
?
6
???
6
?
[B组 能力提升]
θ
1．极坐标方程4ρsin
2
＝5表示的曲线是( )
2
A．圆
C．双曲线
θ
1
解析：∵sin
2
＝(1－cos θ)，
22
原方程化为2ρ(1－cos θ)＝5，
∴2ρ－2ρcos θ＝5，
即2x
2
＋y
2
－2x＝5，平方化简，得
25
y
2
＝5x＋，它表示的曲线是抛物线，故选D.
4
答案：D
2．曲线的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为( )
A．x
2
＋(y＋2)
2
＝4
C．(x－2)
2
＋y
2
＝4
B．x
2
＋(y－2)
2
＝4
D．(x＋2)
2
＋y
2
＝4
B．椭圆
D．抛物线
解析：将ρ＝4sin θ两边乘以ρ，得ρ
2
＝ρ·4sin
θ，再把ρ
2
＝x
2
＋y
2
，ρ·sin θ＝y，代入得
x
2
＋y
2
－4y＝0，即x
2
＋(y－2)2
＝4.故选B.
答案：B
2π
π
2，
?
，点Q是圆ρ＝2cos
?
θ＋
?
上的动点，则|PQ|的最3．在极坐标系
中，已知点P
?
3
???
3
?
小值是________．
5
1，
π
?
，半径为1，将点P、C的极坐标化为直
角坐标为P(－
解析：已知圆的圆心为C
?
?
3
?
131，3)，C
?
，－
?
.
2
??
2
由圆的几何性质知，|PQ|的最小值应是|PC|减去圆的半径，
即|PQ|
min
＝|PC|－1
＝
?
－1－
1
?
2
＋
?
3＋
3
?
2
－1
2
?
?
?
2
?
＝3－1＝2.
答案：2
4．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin
θ＋a＝0相切，则实数a＝________.
解析：由ρ＝2cos
θ得ρ
2
＝2ρcos θ,
∵x＝ρcos θ，y＝ρsin
θ，∴ρ
2
＝x
2
＋y
2
.
∴圆ρ＝2cos
θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a＝0的直角坐标方程分别为x
2
＋y
2
＝2x,3x＋4y
＋a＝0.
将圆的方程配方得(x－1)
2
＋y
2
＝1，
依题意得，圆心C(1,0)到直线的距离为1，
即
|3＋a|
3
2
＋4
2
＝1，
整理，得|3＋a|＝5，解得a＝2或a＝－8.
答案：2或－8
5．从极点作圆ρ＝2acos θ(a≠0)的弦，求各弦中点的轨迹方程．
解析：设所求轨迹上的动点M的极坐标为(ρ，θ)，圆ρ＝2acos θ(a≠0)上相
应
的弦为端点(非极点)的极坐标为(ρ
1
，θ
1
)，如图所示为a＞0的情形
，
?
?
θ
1
＝θ，
由题意，得
?
?
ρ
1
＝2ρ.
?
∵ρ
1
＝2acos θ
1
，∴2ρ＝2acos θ，
∴ρ＝acos θ即为各弦中点的轨迹方程，
当a＜0时，所求结果相同．
6．在极坐标系中，已知曲线C
1
：ρ＝2sin
θ与C
2
：ρcos θ＝－1(0≤θ<2π)，求：
(1)两曲线(含直线)的公共点P的极坐标；
(2)过点P，被曲线C
1
截得的弦长为2的直线的极坐标方程．
?
?
x＝ρcos
θ，
解析：(1)由
?
得曲线C
1
：ρ＝2sin
θ与C
2
：ρcos θ＝－1(0≤θ<2π)的直角坐
?
y＝ρsin
θ
?
标方程分别为x
2
＋y
2
＝2y，x＝－1.
?
?
x＝－1，
联立方程组，解得
?
?
y＝1.
?
ρ
＝x＋y，
?
?
由
?
y
tan
θ＝?x≠0?，
?
x
?
3π
2，
?
.
得点P(－1,1)的极坐标为
?
4
??
(2)
222
方法一 由上述可知，曲线C
1
：ρ＝2sin θ即圆x
2＋(y－1)
2
＝1，如图所示，过P(－1,1)，
3π
被曲线C1
截得的弦长为2的直线有两条：一条过原点O，倾斜角为，直线的直角坐标方
4
程为y＝－x，
3π
极坐标方程为θ＝(ρ∈R)；
4
π
另一条
过点A(0,2)，倾斜角为，直线的直角坐标方程为y＝x＋2，极坐标方程为ρ(sin
θ
4
－cos θ)＝2，
π
θ－
?
＝2. 即ρsin
?
?
4
?
3π
2，
?
，被曲方法二
由上述可知，曲线C
1
：ρ＝2sin θ即圆x
2
＋(y－1)
2
＝1，过点P
?
4
??
3π3π
线C
1
截
得的弦长为2的直线有两条：一条过原点O，倾斜角为，极坐标方程为θ＝(ρ
44
π3ππ<
br>π
θ－
?
＝2sin
?
－
?
， ∈R)；另
一条倾斜角为，极坐标方程为ρsin
?
?
4
??
44
?<
br>4
π
θ－
?
＝2.
即ρsin
?
?
4
?
[课时作业]
[A组
基础巩固]
2
?
?
x＝3t＋2，
1．参数方程为
?(0≤t≤5)的曲线为( )
2
?
y＝t－1
?
A．线段
C．圆弧
解析：化为普通方程为x＝3(y＋1)＋2，
B．双曲线的一支
D．射线
即x－3y－5＝0，
由于x＝3t
2
＋2∈[2,77]，
故曲线为线段．故选A.
答案：A
2
?
?
x＝cos
θ，
2．参数方程<
br>?
(θ为参数)表示的曲线是( )
2
?
y＝sin
θ
?
A．直线
C．线段
B．圆
D．射线
解析：x＝cos
2
θ∈[0,1]，
y＝sin
2
θ∈[0,1]，∴x＋y＝1，(x∈[0,1])为线段．
答案：C
3．直线y＝2x＋1的参数方程是( )
2
?
?
x＝t
A.
?
2
?<
br>y＝2t＋1
?
?
x＝t－1
?
C.
?
?
y＝2t－1
?
?
?
x＝2t－1
B.
?
?
y＝4t＋1
?
?
x＝sin
θ
?
D.
?
?
y＝2sin θ＋1
?
解析：由y＝2x＋1知x，y可取全体实数，故排除A、D，在B、C中消去参数t，知C
正确．
答案：C
4．下列各组方程中，表示同一曲线的是( )
x＝tan θ，
?
?
?
θ为参数且θ∈
?
0，<
br>π
??
与xy＝1 A.
?
1
??
2
??<
br>?
?
y＝
tan θ
??
?
x＝acos
θ，
?
x＝－acos
θ，
?
B.(θ为参数)与
?
(θ为参数)
?
y＝bsin θ
?
y＝bsin
θ
??
?
x＝asin
θ，
?
b
C.
?
(θ为参数且a≠0)与y＝x
a
?
?
y＝bsin θ
?
?
x＝acos θ，
x
2
y
2
D.
?
(a＞0，b＞0，θ为参数且0
≤θ＜π)与
2
＋
2
＝1
ab
?
y＝bsin
θ
?
解析：A中前者x＞0，y＞0，
后者x，y∈R，xy≠0；C中前者x∈[－|a|，|a|]，y∈[－|b|，
|b|]，后者无
此要求；D中若0≤θ＜2π，则二者相同．
答案：B
t1t
?
?
x＝2＋2，
5．参数方程
?
(t为参数且t∈R)代表的曲线是( )
－
tt
－
1
?
y＝2＋2
?
－
A．直线 B．射线
C．椭圆 D．双曲线
11
－－
－－－－－
解析：∵x＝2
t
＋2
1t
＝2
t
(2
2t
＋2)，y＝2
t1
＋2
t
＝2
t
(
2
2t1
＋1)＝×2
t
(2
2t
＋2)，∴y＝x，22
且
x≥22，y≥2，故方程表示的是一条射线．
答案：B
2
?
?
x＝3t＋2，
6．方程
?
(t是参数)的普通方程是
________，与x轴交点的直角坐标是
2
?
y＝t－1
?
________．
解析：由y＝t
2
－1，得t
2
＝y＋1，
代入x＝3t
2
＋2，可得x－3y－5＝0，
又x＝3t
2
＋2，所以x≥2，
当y＝0时，t
2
＝1，x＝3t
2
＋2＝5，
所以与x轴交点的坐标是(5,0)．
答案：x－3y－5＝0(x≥2) (5,0) <
br>7．设y＝tx(t为参数)，则圆x
2
＋y
2
－4y＝0的参数方程
是________．
解析：把y＝tx代入x
2
＋y
2
－4y＝0，
4t4t
2
得x＝，y＝，
1＋t
2
1＋t
2<
br>?
所以参数方程为
?
4t
y＝
?
1＋t
2<
br>4t
x＝，
1＋t
2
2
(t为参数)．
?
x＝
1＋t
，
答案：
?
4t
y＝
?
1＋t
2
2
2
4t
(t为参数)
?
x＝1＋cos θ，
?
8．将参数方程
?
(θ为参数)
，转化为普通方程是________________，该
?
y＝sin
θ
?
曲线上的点与定点A(－1，－1)的距离的最小值为________．
解析
：易得直角坐标方程是(x－1)
2
＋y
2
＝1，所求距离的最小值应为圆心
到点A的距离
减去半径，易求得为5－1.
答案：(x－1)
2
＋y
2
＝1 5－1
9．化普通方程x
2
＋y
2
－2x＝0为参数方程．
解析
：曲线过(0,0)点，可选择(0,0)为定点，可设过这个定点的直线为y＝kx，选择直线
的斜率
k为参数，不同的k值，对应着不同的点(异于原点)，
22
?
?<
br>x＋y－2x＝0，
所以
?
?
y＝kx，
?
2
故(1＋k
2
)x
2
－2x＝0，得x＝0或x＝.
1＋k
2
22k
将x＝.
2
代入y＝kx中，得y＝1＋k1＋k
2
?
x＝
1＋k
，
所以
?
2k
y＝
?
1＋k
2
2
2
(k为参数)是原曲线的参数方程．
?
?
x＝cos θ?sin
θ＋cos θ?，
10．参数方程
?
(θ为参数)表示什么曲线？
?
y＝sin θ?sin θ＋cos θ?
?
yy
2
11
解析：显然＝tan
θ，则
2
＋1＝
2
，cos
2
θ＝
2
，
xxcos
θ
y
＋1
x
2
y
x
1
12tan θ11
2
x＝cos
2
θ＋sin θcos
θ＝
sin 2θ＋cos
2
θ＝
×，
2
＋
2<
br>＋cos
θ，即x＝
×
22
1＋tan
θ
2yy2
1＋
2
1＋
2
xx
2
y
yy
x＋y
22
1＋
2
?
＝＋1，得x＋＝x
?
，即
x＋y－x－y＝0.该参数方程表示圆．
?
x
?
xxx
[B组
能力提升]
2
2
?
?
1．参数方程
?
5－ty＝
?
?
1＋t
A．直线
3t
2
x＝，
1＋t
2
2
2
(t为参数)表示的图形为( )
B．圆
D．椭圆
C．线段(但不包括右端点)
5－t
2
3t
2
xx
2<
br>解析：从x＝，代入y＝整理得到2x＋y－5＝0.但由t
2
＝
2
中
解得t＝
2
中，
1＋t3－x1＋t3－x
≥0解得0≤x<3.所以化为普
通方程为2x＋y－5＝0(0≤x<3)，表示一条线段，但不包括右端
点．
答案：C
1
?
?
x＝
2
cos
2t＋sin
2
t，
2．参数方程
?
(t为参数)表示的曲线(
)
?
?
y＝cos t＋sin t
A．关于x轴对称
C．关于原点对称
B．关于y轴对称
D．关于直线y＝x对称
1
?
?
x＝
2
cos
2t＋sin
2
t，
解析：方程
?
?
?
?
y＝cos t＋sin t
?
?
?
y＝
11
x＝?1－2sin
2
t?＋sin
2
t＝，<
br>22
π
t＋
?
2sin
?
?
4
?<
br>
1
?
?
x＝
2
，
?
?
?
?
－2≤y≤ 2，
11
，－2
?
和
点
?
，2
?
为端点的线段，故关于x轴对称．
它表示以点
?
?
2
??
2
?
答案：A
5
?
?
x＝
4
t
2
，
?
x＝5co
s θ，
3．已知两曲线参数方程分别为
?
(0≤θ＜π)和
?
(t
∈R)，它们的
?
y＝sin θ
?
?
y＝t
交点坐标为________．
x
2
2
解析：将两曲线的参数方程
化为一般方程分别为＋y＝1(0≤y≤1，－5＜x≤ 5)和
5
4
25
?
y
2
＝x，联立解得交点坐标为
?
1，
.
5
5
??
25
?
答案：
?
1，
5
??
?
x＝1－2t，
?
x＝s，
??
4．若直线l
1
：
?
(t为参数)与直线l
2
：
?
(s为参数)垂直，则k＝
??
y＝2＋kty＝1－2s
??
________.
kk
解析：直线l
1
化为普通方程是y－2＝
－(x－1)，该直线的斜率为－.
22
直线l
2
化为普通方程是y＝－2x＋1，该直线的斜率为－2， k
－
?
·则由两直线垂直的充要条件，得
?
?
2
?
(－2)＝－1，即k＝－1.
答案：－1
5．已知方程y
2
－6ysin θ－2x－9cos
2
θ＋8cos θ＋9＝0(0≤θ＜2π)．
(1)试证：不论θ如何变化，方程都表示顶点在同一椭圆上的抛物线；
(2)θ为何值时，该抛物线在直线x＝14上截得的弦最长，并求出此弦长．
解析：(1)证明：方程y
2
－6ysin
θ－2x－9cos
2
θ＋8cos θ＋9＝0可配方为(y－3sin
θ)
2
＝
2(x－4cos θ)，
∴图象为抛物线．
?
?
x＝4cos θ，
设其顶点为(x，y)，则有
?
?
y＝3sin θ，
?
x
2
y
2
消去θ，得顶点轨迹是椭圆＋＝1. 169
x
2
y
2
∴不论θ如何变化，方程都表示顶点在同一椭圆
＋＝1上的抛物线．
169
?
?
x＝14，
(2)联立
?
2
2
?
y－6ysin θ－2x－9cos
θ＋8cos
θ＋9＝0，
?
消去x，得y
2
－6ysin
θ＋9sin
2
θ＋8cos θ－28＝0，
弦长|AB|＝|y
1
－y
2
|＝47－2cos θ ，
当cos θ＝－1即θ＝π时，弦长最长为12.
6.水库排放的水流从溢流坝下泄时，通
常采用挑流的方法减弱水流的冲击作用，以保护
水坝的坝基．如图是运用鼻坝进行挑流的示意图．已知水
库
的水位与鼻坝的落差为9 m，鼻坝的鼻坎角为30°，鼻坝下游
的基底比鼻坝低18
m．求挑出水流的轨迹方程，并计算挑出
的水流与坝基的水平距离．
解析：建立如图所示的直角坐标系．
设轨迹上任意一点为P(x，y)．
1
由机械能守恒定律，得mv
2
＝mgh.
2
鼻坝出口处的水流速度为v＝2gh＝18g.
取时间t为参数，则有x＝vtcos
30°＝
132g1
2
y＝vtsin
30°－gt
2
＝t－gt，
222
所以，挑出水流的轨迹的参数方程为
36g
t，
2
?
x＝
3
2
6g
t，
?
32g1
?
y＝
2
t－
2
gt2
(t为参数)，
13
消去参数t，得y＝－x
2
＋x.
273
13
取y＝－18，得－x
2
＋x＝－18，
273
93＋27393－273
解得x＝＝183或x＝＝－93(舍去)．
22
挑出的水流与坝基的水平距离为
x＝183≈31.2(m)．
挑出水流的轨迹方程为
13
y＝－x
2
＋x，x∈[0,183 ]．
273
[课时作业]
[A组 基础巩固]
π
2，，7
?
，则它的直角坐标是( )
1．点A的柱坐标是
?
?
6
?
A．(3，1,7)
C．(23，1,7)
B．(3，1，－7)
D．(23，1，－7)
π
解析：∵ρ＝2，θ＝，z＝7，∴x＝ρcos θ＝3，y＝ρsin
θ＝1，z＝7，∴点A的直角坐
6
标是(3，1,7)．
答案：A
2．若点M的直角坐标为(2,2,22)，则它的球坐标为( )
5ππ
2，，
?
A.
?
44
??
π
3π
4，，
?
C.
?
?
44
?
ππ
4，，
?
B.
?
?
44
?
3π3π
4，，
?
D.
?
44
??
2
，所以
2
解析：由坐标变换公式得，
r＝x
2
＋y
2
＋z
2
＝4，由rcos
φ＝z＝22得cos
φ＝
ππ
π
y
π
4，，
?
.
φ＝
，又tan θ＝＝1，点M在第Ⅰ卦限，所以θ＝，所以M的球坐标为
?
?
44
?
4x4
答案：B
π
2，，3
?
，则P到直线Oy的距离为( )
3．若点P的柱坐标为
?
?
6
?
A．1
C.3
B．2
D.6
π
2，，3
?
，故点P在平面x
Oy内的射影Q到解析：由于点P的柱坐标为(ρ，θ，z)＝
?
?
6
?π
直线Oy的距离为ρcos＝3，可得P到直线Oy的距离为6.
6
答案：D
4．在直角坐标系中，(1,1,1)关于z轴对称点的柱坐标为( )
3π
2，，1
?
A.
?
4
??
5π
2，，1
?
C.
?
4
??
π
2，，1
?
B.
?
4
??
7π
2，，1
?
D.
?
4
??
5π
2，，1
?
.
解析：(1,1,1)关于z轴的对称点为(－1，－1,1)，它的柱坐标为
?
4
?
?
答案：C
π
5π
π
4，，
?
，P
2<
br>的柱坐标为
?
2，，1
?
，则|P
1
P
2<
br>|＝( ) 5．已知点P
1
的球坐标为
?
?
23
??
6
?
A.21
C.30
B.29
D．42
解析：设点P
1
的直角坐标为(x
1
，y
1
，z
1
)，
?
?
π5π
则
?
y＝4sin
2
sin
3
，
?
，
?
z＝4cos
π
2
1
1
π5π
x
1
＝4sin cos
，
23
?
x
1
＝2，
?
得
?<
br>y
1
＝－23，
?
?
z
1
＝0.
故P
1
(2，－23，0)，
设点P
2
的直角
坐标为(x
2
，y
2
，z
2
)，
?
?
π
故
?
y＝2sin ，
6
?
?
z＝1，
2
2
π
x
2
＝2cos
，
6
?
x
2
＝3，
?
得
?y
2
＝1，
?
?
z
2
＝1.
故P
2
(3，1,1)．
则|P
1
P
2
|＝?2－3?
2
＋?－23－1?
2
＋?0－1?
2<
br>＝21.
答案：A
π
2，，5
?
，则|OM|＝________. 6．已知柱坐标系Oxy
z中，点M的柱坐标为
?
?
3
?
π
2，，5
?， 解析：∵(ρ，θ，z)＝
?
?
3
?
设M的直角坐标为(x
，y，z)，
则x
2
＋y
2
＝ρ
2
＝2
2
，
∴|OM|＝
答案：3
7．已知点M的直角坐标为(1,2,3)，球坐标为(r
，φ，θ)，则tanφ＝______，tan θ＝______.
解析：
x
2
＋y
2
＋z
2
＝
2
2
＋?5?
2
＝3.
如图所示，
x
2
＋y
2
5
tan φ＝＝，
z3
y
tan θ＝＝2.
x
答案：
5
2 <
br>3
2π
2，，5
?
，且点M在数轴Oy上的射影为8．已知在柱坐标系
中，点M的柱坐标为
?
3
??
N，则|OM|＝________，|MN|
＝________.
解析：设点M在平面xOy上的射影为P，连接PN，则PN为线段MN在平面
xOy上的
射影．
因为MN⊥直线Oy，MP⊥平面xOy，
所以PN⊥直线Oy.
2π
ρcos
?
＝1， 所以|OP|＝
ρ＝2，|PN|＝
?
3
??
所以|OM|＝ρ
2
＋z2
＝2
2
＋?5?
2
＝3.
在Rt△MNP中，∠MPN＝90°，
所以|MN|＝|PM|
2
＋|P
N|
2
＝?5?
2
＋1
2
＝6.
答案：3 6
3π
π
4，，
?
，求它的直角坐标．
9．已知点P的球坐标为
?
44
??
解析：由变换公式得：
3ππ
x＝rsin φcos θ＝4sincos＝2.
44
3ππ
y＝rsin φsin θ＝4sinsin＝2.
44
z＝rcos φ＝4cos
3π
＝－22.
4
它的直角坐标为(2,2，－22)．
π
2，，1
?
，求M关于原点O对称的点的柱坐标． 10．已知点M的柱坐
标为
?
4
??
π
解析：M(2，，1)的直角坐标为
4<
/p>
?
?
?
y＝2sin
π
＝1，
4?
?
z＝1，
π
x＝2cos＝1，
4
∴M关于原点O的对称点的直角坐标为(－1，－1，－1)．
(－1，－1，－1)的柱坐标为：
ρ
2
＝(－1)
2
＋(－1)
2
＝2，∴ρ＝2.
－1
5π
tan θ＝＝1，又x<0，y<0.∴θ＝.
4
－1
5π
2，，－1
?
∴其柱坐标为
?
4
??
5π
2，，－1
?
.
∴M关于原点O对称点的柱坐标为
?
4
??
[B组 能力提升]
π
1．球坐标系中，满足θ＝，r∈[0，＋∞)，φ∈[0，π]的动点P(r，φ，θ)的轨迹为(
)
4
A．点
C．半平面
B．直线
D．半球面
π
解析：由于在球坐标系中，θ＝，r∈[0，＋∞)，φ∈[0，π]，故
4
射线O
Q平分∠xOy，由球坐标系的意义，动点P(r，φ，θ)的轨迹为
二面角x-OP-
y的平分面，这是半平面，如图．
答案：C
πππ
2，，5
?
，
点B的球坐标为
?
6，，
?
，则这两个点在空间2．已知点P的柱坐标为?
4
?
36
???
直角坐标系中的点的坐标分别为( ) <
br>A．P(5,1,1)，B
?
B．P(1,1,5)，B
?
C．P?
36326
?
，，
42
??
4
36326
?
，，
42
??
4
36326
?
，B(1,1,5)
，，
42
??
4
63632
?
?
2
，
4
，
4
?
D．P(1,
1,5)，B
?
解析：设点P的直角坐标为(x，y，z)，则
π
2
x＝2cos＝2×＝1，
42
π
y＝2sin＝1，z＝5.
4
设点B的直角坐标为(x′，y′，z′)，则
ππ
3336
x′＝6sincos＝6××＝，
36224
ππ
3132
y′＝6sinsin＝6××＝，
36224
π
16
z′＝6cos＝6×＝.
322
所以点P的直角坐标为(1,1,5)，点B的直角坐标为
?
答案：B
3.如图，在柱坐标系中，长方体的两个顶点坐标为A
1
(4,0,5)，
π
6，，5
?
，则此长方体外接球的体积为________． C
1
?
?
2
?
解析：由A
1
、C
1
两点的坐标
知长方体的长、宽、高的值为6、4、5，
设外接球的半径为R，则有
(2R)
2
＝16＋25＋36＝77，
所以R＝
7747777
π
，V
球
＝
πR
3
＝.
236
36326
?
.
，，
42
??
4
7777π
答案：
6
π
πππ
4，，
?
，N
?
4，，
?
，则|MN|＝_
_______. 4．已知球坐标系中，M
?
?
63
??
36?
解析：设点M的直角坐标为(x，y，z)，
x＝rsin φcos
θ，
?
?
由
?
y＝rsin φsin
θ，
?
?
z＝rcos φ，
?
?
ππ
得
?
y＝4sin
6
sin
3
＝
?
＝23.
?
z＝4cos
π
6
ππ
x＝4sin cos ＝1，
63
3，
∴M的直角坐标为(1，3，23)，
同理N的直角坐标为(3，3，2)， <
br>∴|MN|＝?1－3?
2
＋?3－3?
2
＋?23－2?
2
＝25－23.
答案：25－23
5.已知正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为1，如图建立空间直角
坐标系
Axyz，Ax为极轴，求点C
1
的直角坐标、柱坐标以及球坐标．
解析：点C
1
的直角坐标为(1,1,1)，
设点C
1
的柱坐标为(ρ，θ，z)，球坐标为(r，φ，θ)，其中ρ≥0，r≥0,0≤φ≤π，0≤θ
＜2π，
x＝ρcos θ，
?
?
由公式
?
y＝ρsin
θ，
?
?
z＝z
x＝rsin φcos
θ，
?
?
及
?
y＝rsin φsin
θ，
?
?
z＝rcos φ，
22222
ρ＝
x
＋y，r＝
x＋y＋z，
??
??
得
?
及
?
yz
tan θ＝?x≠0?cos
φ＝?r≠0?，
??
xr
??
r＝
3，
?
?
?
ρ＝ 2，
得
?
及
?
3
?
tan θ＝1
?
?
cos
φ＝
3
，
π
3
结合题图得θ＝，由cos
φ＝得tan φ＝2.
43
π
π
3，φ，
?
，其中tan φ∴点C
1<
br>的直角坐标为(1,1,1)，柱坐标为(2，，1)，球坐标为
?
4
??4
＝2，0≤φ≤π.
6．以地球球心为坐标原点，地球赤道所在平面为坐标平面xOy
，以原点指向北极点的
方向为z轴正方向，本初子午线(0°经线)所在平面为坐标平面xOz，建立空
间直角坐标系Oxyz，
πππ
5π
R，，
?
，点B的球坐标为?
R，，
?
，求：如图，已知地球半径为R，点A的球坐标为
?
?
43
??
46
?
(1)A，B两地之间的距离；
(2)A，B两地之间的球面距离．
解析：(1)由于球坐标(r，φ，θ)的直角坐标为(x，y，z)＝(rsin φcos
θ，rsin φsin θ，rcos φ)，
所以A，B点的直角坐标分别为
?
2
R，
6
R，
2
R
?
，
?
－<
br>6
R，
2
R，
2
R
?
，
42??
442
??
4
所以A，B两地之间的距离为|AB|＝
2
2
?
2＋6
?
2
＋
?
6－2
?<
br>2
＋
?
2
＝R.
?
4
R
??4
R
?
?
2
R－
2
R
?
?<
br>????
π
(2)由上述可知，在△OAB中，|OA|＝|OB|＝|AB|＝R，得
∠AOB＝，
3
π
所以A，B两地之间的球面距离为AB＝R.
3
[课时作业]
[A组 基础巩固]
π
ρ，
?
(ρ≥0)的轨迹是( )
1．点M
?
?
4
?
A．点
C．直线
B．射线
D．圆
π
ππ
ρ，
?
的极角θ＝，ρ
取一切非负数，故点M的轨迹是极角为的终解析：由于动点M
?
?
4
?
44
边，是一条射线，故选B.
答案：B
5π
5，
?
关于极轴所在直线的对称点的极坐标为( )
2．极坐标系中，点
?
6
??
7π
5，
?
A.
?
6
??
11π
5，
?
C.
?
6
??
π
5，－
?
B.
?
6
??
11π
5，－
?
D.
?<
br>6
??
5π
5π
5，
?
关于极轴所在直线的对称点的
极坐标为
?
5，－
?
，根据终边相同解析：由于点
?
6?
6
???
7π
5，
?
.
的角的概念，此点即
?
6
??
答案：A
π
3，－
?
关于极轴所在的直线对称的点的极坐标是( )
3．在极坐标系中与点A
?
3
??
2π
3，
?
A.
?
3
??
4π
3，
?
C.
?
3
??
π
3，
?
B.
?
?
3
?
5π
3，
?
D.
?
6
??
ππ
3，－
?
关于极轴所在的直线对称的点的极坐
标可以表示为
?
3，2kπ＋
?
(k解析：与A
?
3
?
3
???
∈Z)，只有B满足．
答案：B
π
?－
π
，201π
?
，
?
－
π
，－20
0π
?
，
?
2π＋
π
，200π
?
，20
0π
?
，4．在极坐标平面内，点M
?
NGH
3
?
3
??
3
??
3
???
中互相重合的两个点是( )
A．M和N
C．M和H
B．M和G
D．N和H
π
?
πππ
，0
，N
?
，0
?
，G
?，π
?
，H
?
2π＋，0
?
， 解析：把极坐标化成最
简形式M
?
3
?
3
??
3
??
3
???
故M，N是相互重合的点．
答案：A
5．一个三角形的一个
顶点在极点，其他两个顶点的极坐标分别为P
1
(－5,109°)，P
2
(
4,49°)，
则这个三角形P
1
OP
2
的面积为( )
A．5 3
5
C. 3
2
解析：点P
1
的坐标可写为(5，－71°)，
则∠P
1
OP
2
＝120°，
1
S△P
1
OP
2
＝×4×5sin 120°＝5 3.
2
答案：A
6．极坐标系中，极坐标为(6,2)的点的极角为________．
解析：极坐标系中，极坐标为(6,2)的点的极角为2.
答案：2
7．关于极坐标系的下列叙述：
π
4，
?
与点①极轴是一条射线；②极点的极坐标是(0,0)；③点(0,
0)表示极点；④点M
?
?
4
?
5π
4，
?
表示同一个点；N
?
⑤动点M(5，θ)(θ>0)的轨迹是以极点为圆心，半径为5的圆．
其中，
4
??
所有正确叙述的序号是________．
解析：结合极坐标
系概念可知①③⑤正确，其中，②极点的极坐标应为(0，θ)，θ为任
意实数；④中点M，N的终边互
为反方向．
答案：①③⑤
3π7π
2，
?
与B
?
3，
?
两点之间的距离．
8．求极坐标系中A
?
4
?
4
???
解析：如图所示．
7π3π
∠xOB＝，∠xOA＝，
44
|OA|＝2，|OB|＝3，
由题意，A，O，B三点共线，
∴|AB|＝|OA|＋|OB|＝2＋3＝5.
π
π
3，
?
，9．在极坐标系中，点A的极坐标是
?
求点A
关于直线θ＝的对称点的极坐标(限
?
6
?
2
定ρ>0，θ∈[0,
2π))．
π
5π
π
3，
?
关于直线θ＝的对称点是?
3，
?
. 解析：作出图形，可知A
?
6
??
6
??
2
B．10 3
D．10
[B组 能力提升]
1．在极坐标系中，ρ
1
＝ρ
2
且θ
1
＝θ
2
是两点M(ρ
1
，θ
1
)和N(
ρ
2
，θ
2
)重合的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：前
者显然能推出后者，但后者不一定推出前者，因为θ
1
与θ
2
可相差2π的整
数倍．
答案：A
π
3π
6，
?
，P
2
?
8，
?
，则|P
1
P
2
|等于( ) 2．在
极坐标系中，已知点P
1
?
4
??
4
??
A．9
C．14
3π
ππ
解析：∵∠P
1
OP
2
＝－＝，
442
∴△P
1
OP
2
为直角三角形，由勾股定理可得 <
br>222
|P
1
P
2
|＝OP
2
1
＋
OP
2
＝6＋8＝10，故选B.
B．10
D．2
答案：B
π
3，
?
，OA⊥OB，|AB|＝5，若ρ≥0，θ∈[0,2π)，则3
．已知极坐标系中，O为极点，A
?
?
6
?
点B的极坐标为____
____．
ππ
解析：设B(ρ，θ)，由OA⊥OB，得θ－＝±＋2kπ，k∈Z，
62
ππ
即θ＝±＋2kπ，k∈Z，
62
由|AB|＝5，得
π
ρ
2
＋3
2
－2×3×ρcos?2kπ±?＝5，
2
所以ρ
2
＝4
2
?ρ＝4(因为ρ≥0)．
2π5π
又θ∈[0,2π)，得θ＝或，
33
2π5π
4，?
或
?
4，
?
. 所以点B的极坐标为
?
3<
br>??
3
??
2π5π
4，
?
或
?
4
，
?
答案：
?
3
??
3
??
π
3，
?
，在直线OM上与点M的距离为44．已知极坐标系中，极点为O,0≤θ＜2π，M<
br>?
?
3
?
的点的极坐标为________．
解析：如下图所示，
|OM|＝3，∠xOM＝
π
3
，
在直线OM上取点P，Q，
使|OP|＝7，|OQ|＝1，
显然有|PM|＝|OP|－|OM|＝7－3＝4，
|QM|＝|OM|＋|OQ|＝3＋1＝4.
点P，Q都满足条件，且∠xOP＝
π
3
，∠xOQ＝
4π
3
.
答案：
?
?
7，
π
3
?
?
或
?
?
1，
4π
3
?
?
5．设点A
?
?
1，π
3
?
?
，直线l为过极点且垂直于极轴的直线，分别求：
(1)点A关于极轴的对称点；
(2)点A关于直线l的对称点；
(3)点A关于极点的对称点．(限定ρ>0，－π<θ≤π)．
解析：如图所示：
(1)关于极轴的对称点为B
?
?
1，－
π
3
?
?
，
(2)关于直线l的对称点为C
?
?
1，
2π
3
?
?
，
(3)关于极点O的对称点为D
?
?
1，－
2π
3
?
?
.
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．椭圆
?
?
?
x＝acos
θ，
?
?
y＝bsin θ
(θ为参数)，若θ∈[0,2π]，则椭圆上的点(－a,0)对应的θ＝(
A．π
B.
π
2
C．2π D.
3
2
π
解析：∵点(－a,0)中x＝－a，∴－a＝acos θ，∴cos θ＝－1，∴θ＝π.
)
答案：A
?
?
x＝5cos
θ，
2．椭圆
?
(θ为参数)的离心率为( )
?
y＝4sin
θ
?
4
A.
5
3
C.
4
3
B.
5
9
D.
25
x
2
y
2
c3
解析：椭圆方程为＋＝1，可知a＝5，b＝4，∴c＝a
2
－b
2
＝3，∴e＝＝.
2516a5
答案：B
?
?
x＝4＋5cos
φ，
3．椭圆
?
(φ为参数)的焦点坐标为( )
?
y＝3sin φ
?
A．(0,0)，(0，－8)
C．(0,0)，(0,8)
B．(0,0)，(－8,0)
D．(0,0)，(8,0)
解析：椭圆中心(4,0)，a＝5，b＝3，c＝4，故焦点坐标为(0,0)(8,0)，应选D.
答案：D
?
?
x＝2cos t＋1，
π
4．已知椭圆的
参数方程
?
(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝，
3
?
y＝
4sin t
?
点O为原点，则直线OM的倾斜角α为( )
π
A.
3
2π
C.
3
π
B.
6
5π
D.
6
π
解析：M点的坐标为(2,23)，tan α＝3，α＝.
3
答案：A
5．若P(x，y)是椭圆2x
2
＋3y
2<
br>＝12上的一个动点，则x＋
A．26
C.2＋6
B．4
D．22
2
y的最大值为( )
2
π
x
2<
br>y
2
2
θ＋
?
解析：椭圆为＋＝1，设P(6cos
θ，2sin θ)，x＋y＝6cos θ＋2sin
θ＝22sin
?
?
3
?
642
≤22.
答案：D
?
?
x＝－4＋2cos
θ，
6．椭圆
?
(θ为参数)的焦距为________．
?
y＝1＋5sin θ
?
解析：∵a＝5，b＝2，c＝25－4＝21，∴2c＝221 .
∴焦距为221.
答案：221
7．实数x，y满足3x
2
＋4y
2
＝12，则2x＋3y的最大值是________．
解析：因为实数x，y满足3x
2
＋4y
2
＝12，
所以设x＝2cos α，y＝3sin α，则
2x＋3y＝4cos α＋3sin
α＝5sin(α＋φ)，
43
其中sin φ＝，cos φ＝.
55
当sin(α＋φ)＝1时，2x＋3y有最大值为5.
答案：5
?
x＝2cos φ，
?
π
8．已知椭圆的参数方程为
?<
br>(φ为参数)，点M在椭圆上，对应的参数φ＝，
3
?
?
y＝4sin
φ
点O为原点，则直线OM的斜率为________．
π
解析：当φ＝
时，
3
?
?
π
y＝4sin＝2
?
3
π<
br>x＝2cos＝1，
3
3，
故点M的坐标为(1,23)．
所以直线OM的斜率为23.
答案：23
9．椭圆中心在原点，焦点在x轴上，椭圆上的一点到两个焦点的距离之和是6，焦距
是25，求椭圆
的参数方程．
x
2
y
2
解析：由题意，设椭圆的方程为
2
＋
2
＝1，
ab
则a＝3，c＝5，∴b＝2，
?
?
x＝3cos φ，
x
2
y
2
∴椭圆
的普通方程为
2
＋
2
＝1，化为参数方程得
?
(φ为参数)
．
32
?
y＝2sin φ
?
x
2
y
2
10．如图，由椭圆＋＝1上的点M向x轴作垂线，交x轴于点N，
49
设
P是MN的中点，求点P的轨迹方程．
?
?
x＝2cos θ，
x
2
y
2
解析：椭圆＋＝1的参数方程为
?
(θ为参数)，
49
?
y＝3sin θ
?
∴设M(2cos
θ，3sin θ)，P(x，y)，则N(2cos θ，0)．
?
∴
?
3sin
θ
y＝
?
2
，
2cos θ＋2cos θ
x＝＝2cos
θ，
2
x
2
4y
2
消去θ，得＋＝1，即为点P的轨迹方程．
49
[B组 能力提升]
2
??
?
x＝cos
θ－1，
?
x＝3cos t
，
1．两条曲线的参数方程分别是
?
(θ为参数)和
?
(t为参数)
，
2
?
y＝2－sin
θ
?
y＝2sin
t
??
则其交点个数为( )
A．0
C．0或1
?
x＝cos
2
θ－1，
?
解析：由
?
2
?
?
y＝2＋sin
θ，
B．1
D．2
得x＋y－1＝0(－1≤x≤0,1≤y≤2)，
?
?
x＝3cos
t，
x
2
y
2
由
?
得＋＝1.
94
?
y＝2sin t
?
如图所示，可知两曲线交点有1个．
答案：B
xyx
2
y
2
2．直线＋＝1与椭圆＋＝1相交于A，B两点，该椭圆上点P使得△PAB的面积
431
69
等于4，这样的点P共有( )
A．1个
C．3个
解析：如图，|AB|＝5，
18
|AB|·h＝4，h＝.
25
设点P的坐标为(4cos φ，3sin φ)，代入3x＋4y－12＝0中，
|12?sin φ＋cos φ?－12|
8
＝，
55
B．2个
D．4个
?
2sin
?
φ＋
π
?
－1<
br>?
＝
2
，
??
4
??
3
ππ522
φ＋
?
－1＝时，sin
?
φ＋
?
＝当
2sin
?
?
4
??
4
?
6
＞1，此时无
解；
3
ππ
22
φ＋
?
－1＝－时，sin
?<
br>φ＋
?
＝，此时有2解．∴应选B.
当2sin
?
?
4
??
4
?
63
答案：B
??
?
x＝t＋1，
?
x＝asin θ，
??
3．在直角坐标系xOy中，已知曲线C
1
：(t为参数)与曲线C
2<
br>：
?
y＝1－2t
?
y＝3cos θ
??
(θ为参数，a>0)有一个公共点在x轴上，则a＝________.
x
2y
2
解析：曲线C
1
的普通方程为2x＋y＝3，曲线C
2的普通方程为
2
＋＝1，直线2x＋y＝
a9
3
?
xy
33
，0
，故曲线
2
＋＝1也经过这个点，代入解得a＝(舍去－)．
3与x轴的交点坐标为
?
?
2
?
a922
3
答案：
2
?
?
x＝2cos t，
4．已知椭圆的参数方程为
?<
br>(t为参数)，点M、N在椭圆上，对应参数分别
?
y＝4sin
t
?
22
ππ
为，，则直线MN的斜率为________．
36
?
x＝2cos
3
＝1，
π
解析：当t＝时
，
?
3
π
y＝4sin
＝23，
?
3
即M(1,23)，同理N(3，2)．
k
MN
＝
23－2
＝－2.
1－3
π
答案：－2
?
x＝23cos
θ，
5．已知直线l：x－y＋9＝0和椭圆C：
?
(θ为参数)．
?
y＝3sin
θ
(1)求椭圆C的两焦点F
1
，F
2
的坐标；
(2)求
以F
1
，F
2
为焦点且与直线l有公共点M的椭圆中长轴最短的椭圆的方程．
x
2
y
2
解析：(1)由椭圆的参数方程消去参数θ得椭圆的普通方
程为＋＝1，
123
所以a
2
＝12，b
2
＝3，c2
＝a
2
－b
2
＝9.
所以c＝3.
故F
1
(－3,0)，F
2
(3,0)．
(2)因为2a＝|MF
1
|＋|MF
2
|，
所以只需在
直线l：x－y＋9＝0上找到点M使得|MF
1
|＋|MF
2
|最小即可．
点F
1
(－3,0)关于直线l的对称点是F
1
′
(－9,6)，所以M为F
2
F
1
′与直线l的交点，则
|MF<
br>1
|＋|MF
2
|＝|MF
1
′|＋|MF
2
|＝|F
1
′F
2
|
＝
?－9－3?
2
＋?6－0?
2
＝65，故a＝35.
又c＝3，b
2
＝a
2
－c
2
＝36.
x
2
y
2
此时椭圆方程为＋＝1.
453
6
x
2
y
2
6.如图，已知椭圆
2
＋
2<
br>＝1(a>b>0)和定点A(0，b)，B(0，－b)，
ab
C是椭圆上的动点，求
△ABC的垂心H的轨迹．
?
?
x＝acos φ，
x
2
y
2
解析：由椭圆的方程为
2
＋
2
＝1(a>b>0)知，
椭圆的参数方程为
?
(φ为参数)，
ab
?
y＝bsin
φ
?
所以椭圆上的动点C的坐标设为(acos φ，bsin φ)，
所以直线AC的斜率为k
AC
＝
①
bsin
φ＋b
acos
φ
直线BC的斜率为k
BC
＝，BC边上的垂线的方程为y－b＝－x， ②
acos φ
bsin φ＋b
a
2
cos
2
φ<
br>2
a
2
222
由方程①②相乘消去φ可得y－b＝
22
x，即
2
x＋y＝b，又点C不能与A、
b
b?sin
φ－1?<
br>22
bsin φ－b
acos φ
，A
C边上的垂线的方程为y＋b＝－x，
acos φ
bsin
φ－b
B重合，所以y≠±b，
a
2
222
故H点的轨迹方程为<
br>2
x＋y＝b，去掉点(0，b)和点(0，－b)．
b
[课时作业]
[A组 基础巩固]
3π
2，
?
化为直角坐标为( )
1．将极坐标
?
2
??
A．(0,2)
C．(2,0)
B．(0，－2)
D．(－2,0)
3π3π
解析：由题意可知，x＝2cos＝0，y＝2sin＝－2.
22
答案：B
2．把点的直角坐标(3，－4)化为极坐标(ρ，θ)(限定ρ≥0,0≤θ＜2π)，则( )
A．ρ＝3，θ＝4
4
C．ρ＝5，tan θ＝
3
解析：由公式得ρ＝ x
2
＋y
2
＝
B．ρ＝5，θ＝4
4
D．ρ＝5，tan θ＝－
3
3
2
＋?－4?
2
＝5，
y4
tan
θ＝＝－，θ∈[0,2π)．
x3
答案：D
ππ
2，
?
与B
?
2，－
?
之间的距离为( )
3．在极坐标系中，点A
?
6
??
6
??
A．1 B．2
C．3 D．4
ππ
2，
?
与B
?2，－
?
的直角坐标分别为(3，1)与(3，－1)， 解析：方法一
点A
?
6
??
6
??
于是|AB|＝
?3－3?
2
＋?1＋1?
2
＝2.
ππ
2，
?
与B
?
2，－
?
知， 方法二
由点A
?
6
??
6
??
π
|OA|＝|OB|＝2
，∠AOB＝，
3
于是△AOB为等边三角形，所以|AB|＝2.
答案：B
π
4，
?
，则线段AB的中点的极坐标为( ) 4．若A，B两点的极坐
标为A(4,0)，B
?
?
2
?
π
22，
?
A.
?
4
??
π
4，
?
C.
?
?
4
?
π
2，
?
B.
?
4
??
π
2，
?
D.
?
?
4
?
解析：由题易知点A，B的直角坐标分别为(4,0)，(0,4)，则线段A
B的中点的直角坐标
为(2,2)．
由ρ
2
＝x
2
＋y
2
，得ρ＝22.
2
π
因为tan θ＝＝1，且点(2,2)在第一象限，所以θ＝.故线段AB的中
点的极坐标为
24
?
22，
π
?
.
4
??
答案：A
5．在极坐标系中，点A
?
15π
?
A.
?
?
2
，
12
?
C.
?
25π
?
?
2
，
12
?
2
π
??
2
，
2π
?
，则线段
AB中点的极坐标为( )
，
，B
?
26
??
23?
5π
1，
?
B.
?
?
12
?D.
?
2
π
?
?
2
，
3<
br>?
解析：由点A
?
所以|AB|＝
2
π
??
2
，
2π
?
知，∠AOB＝
π
，于是△AOB为等腰直角三
角形，
，
，B
2
?
26
??
23
?2
×2＝1，
2
设线段AB的中点为C，
1
5π
则|OC|＝，极径OC与极轴所成的角为，
212
15π
?
所以线段AB中点C的极坐标为
?
?
2
，
12<
br>?
.
答案：A
6．极坐标系中，直角坐标为(1，－3)的点的极角为________．
解析：直角坐标为(1，－3)的点在第四象限，
π
tan
θ＝－3，所以θ＝2kπ－(k∈Z)．
3
π
答案：2kπ－(k∈Z)
3
7π
6，
?
的直角坐标为________．
7．极坐标系中，点
?
3
??
7π
解析：∵x＝ρcos
θ＝6cos＝3，
3
7π
y＝ρsin θ＝6sin＝33，
3
7π
6，
?
化为直角坐标为(3,33)．
∴点的极坐标
?
3
??
答案：(3,33)
x′＝2x，
?
?
7π
?
8．平面直角坐标系中，若点P
?
?
3
，
2
?
经过伸缩变换
?
y′＝
1
y
?3
?
后的点为Q，则极坐
标系中，极坐标与Q的直角坐标相同的点到极
轴所在直线的距离等于________．
x′＝2x，
?
?
7π
?
6，
7π
?
，
3，
?
经过伸缩变换
?<
br>解析：因为点P
?
后的点为Q则极坐标系中，
1
2
?
6
???
?
?
y′＝
3
y
7π
极坐标与Q
的直角坐标相同的点到极轴所在直线的距离等于6|sin|＝3.
6
答案：3
π
2π
π
3
3，－
?
，B
?
2，－
?
，C
?
，－π
?
，D
?
4，－
?
，求它们9．已知点的极坐标分别为A
?
4
?
3
?
2???
?
2
?
?
的直角坐标．
解析：根据x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，得A
?
D(0，－4)．
10．分别将下列点的直角坐标化为极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)．
(1)(－1,1)；(2)(4，－43)；
3π3π
?
(3)
?
?
2
，
2
?
；(4)(－6，－2)．
解析：(1)∵ρ＝?－1?
2
＋1
2
＝2，
tan
θ＝－1，θ∈[0,2π)，
3π
由于点(－1,1)在第二象限，所以θ＝，
4
3232
?
3
，B(－1，－3)，C
?
－，0
?
，
，－
2
??
2
?
2
?
3π
2，
?
. ∴直角坐标(－1,1)化为极坐标为
?
4
??
(2)∵ρ＝4
2
＋?－43?
2
＝8
，
－43
tan θ＝＝－3，θ∈[0,2π)，
4
由于点(4，－43)在第四象限．
5π
所以θ＝，
3
5π
8，
?
. ∴直角坐标(4，－43)化为极坐标为
?
3
??
(3)∵ρ＝
?
3π
?
2
＋?
3π
?
2
＝
32π
，
?
2
??
2
?
2
3π
2
tan
θ＝＝1，θ∈[0,2π)，
3π
2
3π
3π
?
由于点
?
?
2
，
2
?
在第一象限，
π
所以θ＝，
4
3π
3π
?
32π
π<
br>?
，
化为极坐标为
?
∴直角坐标
?
.
?<
br>22
?
?
2
，
4
?
(4)∵ρ＝?－6?<
br>2
＋?－2?
2
＝22，
－2
3
tan
θ＝＝，θ∈[0,2π)，
－6
3
由于点(－6，－2)在第三象限，
7π
所以θ＝，
6
7π
22，
?
.
∴直角坐标(－6，－2)化为极坐标为
?
6
??
[B组 能力提升] π
7π
3，
?
，B
?
4，
?
，求△A
BO的面积(O为极点)为( )
1．在极坐标系中，若A
?
6
??
3
??
A．2
C．4
B．3
D．6
7π
π5π
解析：由题意可知
，在△ABO中，OA＝3，OB＝4，∠AOB＝－＝，
636
11
5π
11
所以△ABO的面积为S＝|OA|·|OB|·sin∠AOB＝×3×4×sin＝×3×4×
＝3.
22622
答案：B
π
13π
3，
?
和
?
3，
?
，则A和B之间的距离等于( ) 2．已知A，
B的极坐标分别是
?
12
??
4
??
A.
18＋6
2
B.
18－6
2
36＋32
C.
2
36－32
D.
2
解析：A，B两点在极坐标系中的位置，如图．
13π
π
5π
则由图可知∠AOB＝－＝.
1246
在△AOB中，|AO|＝|BO|＝3，
所以由余弦定理得
5
π
3
|AB|
2
＝|OB|
2
＋|OA|
2
－2|OB|·|OA|·cos＝9＋9－2×9×
?
－
?
6
?
2
?
9
＝18＋93＝(1＋3)
2
.
2
所以|AB|＝
答案：C
36＋32
.
2
?
x′＝2x，
3．已知点P的直角坐标按伸缩变换
?
变换为点P′(6，－3
)，限定ρ＞0,0≤θ
?
y′＝3y
＜2π时，则点P的极坐标为________
．
?
6＝2x，
解析：设点P的直角坐标为(x，y)，由题意得
?
?
－3＝3y，
?
x＝3，
解得
?
?
y＝－3.
∵点P的直角坐标为(3，－3)，
∴ρ＝
－3
3
2
＋?－3?
2
＝23，tan θ＝.
3
∵0≤θ＜2π，点P在第四象限，
11π
∴θ＝，
6
11π
23，
?
. ∴点P的
极坐标为
?
6
??
11π
23，
?
答案：
?
6
??
ππ
3，
?
，
?
4，
?
，则△AOB(其中O4．在极坐标系中，已知两点A，B的极坐标分别为
?<
br>?
3
??
6
?
为极点)的面积为________．
πππ
1
解析：如图所示，|OA|＝3，|OB|＝4，∠AOB＝－＝，所以S
△
AOB
＝|OA|·|OB|·sin
∠
3662
11
AOB＝×3×4×＝3.
22
答案：3
ππ
2，－
?
，N(2,0)，P
?
2
3，
?
.判断M，N，P三点是否5．在极坐标系中，已知三点M
?
3
?
6
???
共线？说明理由．
ππ
2，－
?
，
N(2,0)，P
?
23，
?
分别化为直角坐标，得M(1，－3)，解析：
将极坐标M
?
3
?
6
???
N(2,0)，P(3，3)．
方法一 因为k
MN
＝k
PN
＝3，所以M，N，P三点共线．
→→→→
方法二 因为MN＝NP＝(1，3)．所以MN∥NP，所以M，N，P三点共线．
π
4，
?
，极点O′在直角坐标系xOy中的直角坐标为(2,3)，极6．
已知点M的极坐标为
?
?
6
?
轴平行于x轴，极轴的方向与x轴的正
方向相同，两坐标系的长度单位相同，求点M的直
角坐标．
解析：以极点O′为坐标原点，极
轴方向为x′轴正方向，建立新
直角坐标系x′O′y′，设点M的新直角坐标为(x′，y′)，于是
x′
ππ
＝4cos＝23，y′＝4sin＝2，
66
由O′(x′，y′)＝O′(0,0)，
O′(x，y)＝O′(2,3)，
易得O′(x′，y′)与O′(x，y)的关系为
?
?
x＝x′＋2，
?
于是点M(x，y)为
?
y＝y′＋3，
?
?
x＝23＋2，
?
?
y＝2＋3＝5，
所以点M的直角坐标为(23＋2,5)．
[课时作业]
[A组 基础巩固]
2
?
?
x＝4t，
1．若点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线
?
(t为参数
)上，则|PF|等于( )
?
y＝4t
?
A．2
C．4
B．3
D．5
解析：抛物线方程化为普通方程为y
2
＝4x，准线方程为x＝－1，
所以|PF|为P(3，m)到准线x＝－1的距离，即为4.故选C.
答案：C
?
x＝e
t
＋e
t
，
?
2．方程
?
(t为参数)的图形是( )
－
tt
?
?
y＝e－e
－
A．双曲线左支
C．双曲线上支
解析：∵x
2
－y
2
＝e
2t
＋2＋e
∴表示双曲线的右支．
答案：B
－
2t
B．双曲线右支
D．双曲线下支
－(e
2t－2＋e
－
2t
)＝4.且x＝e
t
＋e
t
≥
2e
t
·e
t
＝2.
－－
2
?
?
x＝t，
3．点P(1,0)到曲线
?
(其中，参数t∈R)上的点的最短距离是(
)
?
y＝2t
?
A．0
C.2
B．1
D．2
2
?
?
x＝t，
解析：方程
?
表
示抛物线y
2
＝4x的参数方程，其中p＝2，设点M(x，y)是抛物
?
y
＝2t
?
线上任意一点，则点M(x，y)到点P (1,0)的距离d＝?x－1
?
2
＋y
2
＝x
2
＋2x＋1＝|x＋1|≥1，
所以最短距离为1，选B.
答案：B
?
?
x＝1＋cos
2θ，
4．若曲线C的参数方程为
?
(θ为参数)，则曲线C上的点的轨迹是( )
2
?
y＝sin
θ
?
A．直线x＋2y－2＝0
B．以(2,0)为端点的射线
C．圆(x－1)
2
＋y
2
＝1
D．以(2,0)和(0,1)为端点的线段
解析：将曲线的参数方程化为普通方程得x＋2y－2＝0(0≤x≤2,0≤y≤1)．
答案：D
?
5．已知某条曲线的参数方程为
?
1<
br>?
1
?
y＝
?
2
?
a－
a
?
A．线段
C．双曲线
1
1
a＋
?
，x＝
?
2
?
a
?
(其中a是参数)，则该曲线是(
)
B．圆
D．圆的一部分
解析：将所给参数方程的两式平方后相减，
得x
2
－y
2
＝1.
1
1
a＋
?
≥1，得x≥1或x≤－1，
并且由|x|＝
?
2
?
a
?
从而易知结果．
答案：C
π
θ＋
?
＝0(θ为参数)，则圆心的轨迹方程是6．已
知动圆方程x
2
＋y
2
－xsin
2θ＋22·ysin
?
?
4
?
________．
?<
br>解析：圆心轨迹的参数方程为
?
?
y＝－
1
x＝sin 2θ
，
2
π
θ＋
?
.2sin
?
?
4
?
?
?
x＝sin θcos
θ，
即
?
消去参数得：
?
y＝－?sin θ＋cos
θ?.
?
11
y
2
＝1＋2x(－≤x≤)．
22
11
答案：y
2
＝1＋2x(－≤x≤)
22
2
?
?
x＝8t，
7．已知抛物线C的参数方程为
?
(t
为参数)．若斜率为1的直线经过抛物线C
?
?
y＝8t
的焦点，
且与圆(x－4)
2
＋y
2
＝r
2
(r>0)相切，则r＝
________.
2
?
?
x＝8t，
解析：由
?
得y
2
＝8x，
?
y＝8t
?
抛物线C的焦点坐标为F(2,0)，
直线方程为y＝x－2，即x－y－2＝0.
因为直线y＝x－2与圆(x－4)
2
＋y
2
＝r
2
相切
，
|4－0－2|
由题意得r＝＝2.
2
答案：2
??
?
x＝asec α，
?
x＝atan β，<
br>?
8．曲线(α为参数)与曲线
?
(β为参数)的离心率分别为e
1<
br>和e
2
，
?
y＝btan α
?
y＝bsec
β
??
则e
1
＋e
2
的最小值为________．
?
?
x＝asec
α，
解析：曲线
?
(α为参数)的离心率
?
y＝btan
α
?
a
2
＋b
2
e
1
＝，
a
?
x＝atan β，
?
a
2
＋b
2<
br>曲线
?
(β为参数)的离心率e
2
＝，
b
?
y＝bsec β
?
a
2
＋b2
?a＋b?
22ab
∴e
1
＋e
2
＝≥＝2
2.
abab
当且仅当a＝b时取等号，所以最小值为22.
答案：22
2
?
?
x＝2pt，
9．已知抛物线
?
(t为参数，p＞
0)上的点M，N对应的参数值为t
1
，t
2
，且t
1
?<
br>y＝2pt
?
＋t
2
＝0，t
1
t
2
＝－p
2
，求M，N两点间的距离．
2
解析：由题知M，N两
点的坐标分别为(2pt
1
，2pt
1
)，(2pt
2
2<
br>，2pt
2
)，
所以|MN|＝
＝
222
?2
pt
1
－2pt
2
2
?＋?2pt
1
－2pt2
?
?2pt
1
－2pt
2
?
2
＝2p|t
1
－t
2
|
＝2p?t
1
＋
t
2
?
2
－4t
1
t
2
＝4p
2
.
故M，N两点间的距离为4p
2
.
10.如图所示，O是直角坐标系的原点，A，B是抛物线y
2
＝2px(p＞0)上异于顶点
的两动
点，且OA⊥OB，A，B在什么位置时△AOB的面积最小？最小值是多少？
2解析：根据题意，设点A，B的坐标分别为A(2pt
1
，2pt
1
)，
B(2pt
2
2
，
2pt
2
)(t
1
≠t
2
，且t
1
t
2
≠0)，则
|OA|＝
|OB|＝
222
?2pt
2
1
?＋?2pt
1
?＝2p|t
1
|t
1
＋1，
222
?2pt<
br>2
2
?＋?2pt
2
?＝2p|t
2
|t
2
＋1.
→→
因为OA⊥OB，所以OA·OB＝0，
即2pt
2
2pt
2
2pt
2
＝0，所以t
1
·t
2
＝－1.
1
·
2
＋2pt
1
·
又因△AOB的面积为：
1
S
△
AOB
＝|OA|·|OB|
2
<
br>1
＝·2p|t
1
|t
2
2p|t
2
|t<
br>2
1
＋1·
2
＋1
2
2
＝2p
2
|t
1
t
2
|?t
2
1
＋1??t
2
＋1?
22
＝2p
2
t
1
＋t
2
＋2
＝2p
2
1
2
t
2
＋2＋2＝4p
2
.
2
＋2≥2p
1
t
1
1
当且仅当t
2＝，即t
1
＝1，t
2
＝－1或t
1
＝－1，t
2
＝1时，等号成立．
1
t
2
1
所以A，B的坐标分别
为(2p,2p)，(2p，－2p)或(2p，－2p)，(2p,2p)时，△AOB的面积
最小，
最小值为4p
2
.
[B组 能力提升]
?
?
x＝4sec θ，
1．P为双曲线
?
(θ为参数)上
任意一点，F
1
，F
2
为其两个焦点，则△F
1
PF
2
?
y＝3tan θ
?
重心的轨迹方程是( )
A．9x
2
－16y
2
＝16(y≠0)
B．9x
2
＋16y
2
＝16(y≠0)
C．9x
2
－16y
2
＝1(y≠0)
D．9x
2
＋16y
2
＝1(y≠0)
解析：由题意知a＝4，b＝3，可得c＝5，
故F
1
(－5,0)，F
2
(5,0)，
设P(4sec
θ，3tan θ)，重心M(x，y)，则
－5＋5＋4sec
θ
4
0＋0＋3tan θ
x＝＝sec θ，y＝＝tan θ.
333
从而有9x
2
－16y
2
＝16 (y≠0)．
答案：A
?
2．参数方程
?
1
y＝
?
2
?1＋sin θ?
θθ
cos ＋sin
?
，x＝
?
22
??
(0＜θ＜2π)表示(
)
1
1，
?
A．双曲线的一支，这支过点
?
?
2
?
1
1，
?
B．抛物线的一部分，这部分过点
?
?
2
?
1
－1，
?
C．双曲线的一支，这支过点
?
2
??
1
－1，
?
D．抛物线的一部分，这部分过点
?
2
??
θθ
解析
：∵x
2
＝(cos ＋sin )
2
＝1＋sin θ＝2y，
22
∴方程x
2
＝2y表示抛物线．
θθθπ
cos
＋sin
?
＝2
?
sin
?
＋
??
，
又∵x＝
?
22
????
24
??
且0＜θ＜2π，
∴0≤x≤ 2，故选B.
答案：B
2
?
?
x＝t3．抛物线
?
，关于直线x＋y－2＝0对称的曲线的焦点坐标是________． <
br>?
y＝t
?
2
?
?
x＝t，
解析：抛物线<
br>?
的普通方程为y
2
＝x，是以x轴为对称轴，顶点在原点，开口向
?
y＝t
?
右的抛物线，当关于直线x＋y－2＝0对称时，其顶
点变为(2,2)，对称轴相应变为x＝2，且
17
2，2－
?
，即
?
2，
?
.
开口方向向下，所以焦点变为
?
4
???
4
?
7
2，
?
答案：
?
?
4
?
?
x＝acos φ，
?
4．在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为
?
(φ为参数，a＞b＞0)．在
?
y＝bsin φ
?
极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且
以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)
π
2
θ＋
?
＝m(m为非零
常数)与ρ＝b.若直线l经中，直线l与圆O的极坐标方程分别为ρsin
?
?
4<
br>?
2
过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为________．
解析：先将参数方程与极坐标方程化为普通方程，再根据直线过焦点、直线与圆相切建
立关于椭圆方程
中a，b，c的等式，再结合a
2
＝b
2
＋c
2
求得离心率
．
由已知可得椭圆标准方程为
x
2
y
2
＋＝1(a＞b＞0)．
a
2
b
2
π
2
θ＋
?
＝m可得ρsin θ＋ρcos θ＝m
，即直线的普通方程为x＋y＝m，又圆的普由ρsin
?
?
4
?
2
通方程为x
2
＋y
2
＝b
2
，不妨设直线l经过椭
圆C的右焦点(c,0)，可得c＝m.又因为直线l与圆
|m|c
2
2
22
2
O相切，所以＝b，因此c＝2b，即c＝2(a－c)，整理，得
2
＝，故椭圆C
的离心率
a3
2
为e＝
6
3
.
答案：
6
3
5.如图，自双曲线x
2
－y
2
＝1上一动点Q引直线l：x＋y＝2的垂线，
垂足为N，求线段QN中点P的轨迹方程．
解析：设点Q的坐标为(sec φ，tan φ)，(φ为参数)．
∵QN⊥l，
∴可设直线QN的方程为x－y＝λ.①
将点Q的坐标代入①得：λ＝sec φ－tan
φ.
所以线段QN的方程为x－y＝sec φ－tan φ.②
又直线l的方程为x＋y＝2.③
由②③解得点N的横坐标x
2＋sec
φ－tan φ
N
＝
2
.
设线段QN中点P的坐标为(x，y)，
则x＝
x
N
＋x
Q
2
＝
2＋3sec
φ－tan φ
4
，④
4×④－②得
3x＋y－2＝2sec φ.⑤
4×④－3×②得
x＋3y－2＝2tan φ.⑥
⑤
2
－⑥
2
化简即得所求的轨迹方程为
2x
2
－2y
2
－2x＋2y－1＝0.
x＝
1
?e
t
＋e
－
t
6．已知曲线C的方程为
?
?
2
?cos θ，
?
y＝
1
t
－
t
2
?e－e?sin
θ.
(1)当t是非零常数，θ为参数时，C是什么曲线？
(2)当θ为不等于
kπ
2
(k∈Z)的常数，t为参数时，C是什么曲线？
(3)两曲线有何共同特征？
?
2x
e
t
解析：(1)将
原参数方程记为①，将参数方程①化为
?
e
t
＋
－
＝cos
θ，
?
2y
e
t
－e
－
t
＝sin θ.
x
2
y
2
平方相加消去θ，得
?
e
t＋e
－
t
?
＋
e
t
－e
－
t
＝1.②
?
2
2
?
?
?
2
?<
br>?
2
因为(e
t
＋e
t
)
2
＞(e
t
－e
t
)
2
＞0，
故方程②的曲线为椭圆，即C为椭圆．
－－
?
cos
θ
＝e＋e
(2)将方程①化为
?
2y
?
sin θ
＝e－e
t
t
2x
－
t
，
－
t
.
x
2
y
2
平方相减消去t，得
2<
br>－
2
＝1.③
cos
θ
sin
θ
所以方程③的曲线为双曲线，即C为双曲线． <
br>e＋e
?
2
?
e－e
?
2
(3)在方程②中
?
?
2
?
－
?
2
?
＝1，则c＝
1，
椭圆②的焦点坐标为(－1,0)，(1,0)，因此椭圆和双曲线有共同的焦点．
[课时作业]
[A组 基础巩固]
?
x＝1＋tsin
70°，
?
1．直线
?
(t为参数)的倾斜角为( )
?
?
y＝2＋tcos
70°
t
－
tt
－
t
A．70°
C．160°
解析：将直线参数方程化为标准形式：
B．20°
D．110°
?
，
?
x＝1＋tcos
20°
?
(t为参数)，则倾斜角为20°，故选B.
?
y＝2＋tsin
20°
?
答案：B
?
?
x＝x
0
＋tcos α，
2．直线
?
(t为参数)与二次曲线交于A，B两点，A，B对应的参数值分
?
y＝y
0
＋tsin α
?
别为t
1
，t
2
，则|AB|等于( )
A．|t
1
＋t
2
|
C．|t
1
－t
2
|
B．|t
1
|＋|t
2
|
|t
1
＋t
2
|
D.
2
解析：由参数t
的几何意义可知，|AB|＝|t
1
－t
2
|，故选C.
答案：C
?
3．已知直线l的参数方程为
?
π
y＝2＋t
?
2
A．1
π
C.
2
π
x＝－1－t，
2
(t为参数)，则直线l的斜率为( )
B．－1
π
D．－
2
?
?
x＝x
0
＋at，
解析：直线参数方
程一般式
?
(t为参数)，
?
y＝y
0
＋bt
?
b
表示直线过点M
0
(x
0
，y
0
)，斜率k＝，
a
π
2
故k＝＝－1.故选B.
π
－
2
答案：B
?
x＝－2－4t，
?
4．直线
?
(t为参数)与圆ρ＝2cos θ的位置关系为( )
?
?
y＝1＋3t
A．相离
C．相交
B．相切
D．无法确定
?
?
x＝－2－4t，
解析：直
线
?
(t为参数)的普通方程为3x＋4y＋2＝0，圆ρ＝2cos
θ的普通
?
y＝1＋3t
?
方程为x
2
＋y2
－2x＝0，即(x－1)
2
＋y
2
＝1，圆心到直线3x＋
4y＋2＝0的距离d＝1＝r，所以
直线与圆的位置关系为相切．
答案：B
?
5．直线
?
?
y＝－3
标为( )
1
x＝1＋t，
2
3＋
3
t
2
(t为参数)和圆x
2
＋y
2
＝16交于A，B两点，则AB的中点坐
A．(3，－3)
C．(3，－3)
1
3
1＋t
?
2
＋
?
－33＋t
?
2
＝16， 解析：?
?
2
?
?
2
?
得t
2
－8
t＋12＝0，
t
1
＋t
2
t
1
＋t
2
＝8，＝4.
2
B．(－3，3)
D．(3，－3)
?
x＝1＋
2
×4，
因此中点为
?
3
y＝－33＋×4，<
br>?
2
答案：D
1
?
x＝3，
∴
?
?
y＝－3.
，
?
x＝－2＋tcos 45°
6．已知直线
?
点M(3
2，a)在直线上，则点M到点(－2，1)的
，
?
y＝1＋tsin
45°
距离为________．
解析：令32＝－2＋tcos 45°，
解得t＝8.
由t的几何意义得点M(32，a)到点(－2，1)的距离为8.
答案：8
?
7．直线
?
3
y＝4＋t
?
2
________．
1
x＝－2－t，
2
(t为参数)上与点P(－2,4)距离等于
4的点Q的坐标为
解析：∵直线的参数方程为标准形式，
∴由t的几何意义可知|PQ|＝|t|＝4，∴t＝±4，
?
x＝－4，
当t＝4时，
?
?
y＝4＋23；
?
x＝0，
当t＝－4时，
?
?
y＝4－23.
答案：(－4,4＋23)或(0,4－23)
π
8．直线l经过点M
0
(1,5)，倾斜角为，且交直线x－y－2＝0于M点，则|MM<
br>0
|＝________.
3
?
解析：由题意
可得直线l的参数方程为
?
3
y＝5＋t
?
2
－2＝0，
1
x＝1＋t，
2
(t为参数)，代入直线方程x－y
1
3
得1＋t－
?
5＋t
?
－2＝0，解得t＝－6(3＋
1)，根据t的几何意义可知|MM
0
|＝6(3＋
2
?
2
?
1)．
答案：6(3＋1)
π
9．一直线过P
0
(3
,4)，倾斜角α＝，求此直线与直线3x＋2y＝6的交点M与P
0
之间的
4
距离．
π
解析：∵直线过P
0
(3,4)，倾斜角α＝，
4<
br>?
∴直线参数方程为
?
2
y＝4＋t
?
2
x
＝3＋
2
t，
2
(t为参数)，
3211
代入3x＋2y＝6得9＋t＋8＋2t＝6，t＝－2，
25
11
∴M与P
0
之间的距离为2.
5
??
x＝1＋2t，
10．已知直线的参数方程为
?
(t为参数)，则该直
线被圆x
2
＋y
2
＝9截得的弦
?
?
y＝2＋t<
br>
长是多少？
?
x＝1＋2t，
?
解析：将参数方程
?
(t为参数)转化为直线参数方程的标准形式为
?
y＝2＋t
?
?
?
1
y＝2＋
t′
?
5
x＝1＋
2
t′，
5
(t′为参数)，并代入圆的方程，得(1＋
21
t′)
2
＋(2＋ t′)
2
＝9，
55
整理，得5t′
2
＋8t′－45＝0.
设方程的两根分别为t
1
′、t
2
′，则有
t
1
′＋t
2
′＝－
8
，t
1
′·t
2
′＝－4.
5
所以|t
1
′－t
2
′|＝?t
1
′＋t
2
′?
2
－4t
1
′t
2
′
＝
64125
＋16＝，
55
125
即直线被圆截得的弦长为.
5
[B组 能力提升] <
br>1．过点(1,1)，倾斜角为135°的直线截圆x
2
＋y
2
＝4所
得的弦长为( )
22
A.
5
4232
B.
C．22 D.
55
?
x＝1－
2
2
t，
解
析：直线的参数方程为
?
2
y＝1＋t
?
2
得t
1
＝－2，t
2
＝2.
(t为参数)，代入圆的方程，得t
2
＋2＝4，解
所以所求弦长为|t
1
－t
2
|＝|－2
－2|＝22.
答案：C
??
?
x＝tcos
α，
?
x＝4＋2cos φ，
2．若直线
?
(t为参数)与圆?
(φ为参数)相切，那么直线倾斜
??
y＝tsin αy＝2sin
φ
??
角α为( )
π
A.
6
π
C.
3
π
B.
4
π5π
D.或
66
y
解析：直线化为＝tan
α，即y＝tan α·x，
x
圆方程化为(x－4)
2
＋y
2
＝4，
∴由
|4tan α|1
2
＝2?tan
α＝
，
3
tan
2
α＋1
3
π5π
∴tan
α＝±，又α∈[0，π)，∴α＝或.
366
答案：D
??
?
x＝1－2t，
?
x＝s，
?
3．已知直线l
1
：(t为参
数)，l
2
：
?
(s为参数)，若l
1
∥l
2，则k＝
??
?
y＝2＋kt
?
y＝1－2s
________；若l
1
⊥l
2
，则k＝________.
解析：将l
1
，l
2
的方程化为普通方程，得
l
1
：kx＋2y－4－k＝0，l
2
：2x＋y－1＝0，
k2
4＋k
l
1
∥l
2
?＝≠?k＝4.
211
?
－
k
?
＝－1?k＝－1.
l
1
⊥l
2
?(－2)·
?
2
?
答案：4
－1
?
x＝－1＋3t，
4．直线l：
?
(t为参数)上的点P
(－4，1－3)到l与x轴交点间的距离
?
y＝1＋t
是________．
?
x＝－1＋3t，
解析：在直线l：
?
中，令y＝0，
得t＝－1.
y＝1＋t
?
故l与x轴的交点为Q(－1－3，0)．
所以|PQ|＝
＝
?－1－3＋4?
2
＋?1－3?
2
4?3－1?
2
＝23－2.
答案：23－2
?
x＝1
＋t，
5．(1)求过点P(－1,3)且平行于直线l：
?
(t为参数)的直线的参
数方程；
?
y＝2－3t
?
x＝1＋t，
(2)求过点P(－1,
3)且垂直于直线l：
?
(t为参数)的直线的参数方程．
?
y＝2－3t
解析：(1)由题意，直线l的斜率k＝－3，则倾斜角θ＝120°，
?
t，
?
x＝－1＋cos 120°
?
所
以过点P(－1,3)且平行于直线l的直线的参数方程为即
?
y＝3＋sin
120°t，
?
?
?
3
y＝3＋t
?
2
1
x＝－1－t，
2
(t为参数)．
(2)由(1)知
直线l的斜率k＝－3，则所求直线的斜率为
3
，故所求直线的倾斜角为30°，
3
?
t，
?
x＝－1＋cos 30°
?
所以过点
P(－1,3)且垂直于直线l的直线的参数方程为
?
t，
?
y＝3＋sin
30°
即
?
x＝－1＋
2
3
t，
?1
y＝3＋t
?
2
(t为参数)．
6．在平面直角
坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已
ππ
2，
?，直线l的极坐标方程为ρcos
?
θ－
?
＝a，且点A在直线l上．求
知点A的极坐标为
?
4
???
4
?
a的值及直线l的直角坐
标方程．
ππ
2，
?
在直线ρcos
?
θ－
?<
br>＝a上，解析：由点A
?
可得a＝2.所以直线l的方程可化为ρcos
4
???
4
?
θ＋ρsin θ＝2，
从而直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0.
[课时作业]
[A组
基础巩固]
1．半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( )
A．π
C．12π
B．2π
D．14π
解析：当t＝0时，x＝0且y＝0.即点(0,0)在曲线上．
答案：C
?
?
x＝3φ－3sin φ，
2．已知一个圆的摆线的参数方程是
?
(φ为参数)，则该摆线一个拱的
?
y＝3－3cos φ
?
高度是( )
A．3
C．9
解析：由圆的摆线的参数方程
B．6
D．12
?
?
x＝3?φ－sin
φ?，
?
(φ为参数)知圆的半径r＝3，所以摆线一个拱的高度是3×2＝6.
?
y＝3?1－cos φ?
?
答案：B
?
?
x＝10cos
φ，
3．圆
?
(φ为参数)的渐开线方程是( )
?
y＝10sin φ
?
?
?
x＝5cos
φ＋5φsin φ，
A.
?
(φ为参数)
?
y＝5sin
φ－5φcos φ
?
?
?
x＝5cos φ－5φsin
φ，
B.
?
(φ为参数)
?
?
y＝5sin
φ＋5φcos φ
?
?
x＝10cos φ＋10φsin
φ，
C.
?
(φ为参数)
?
y＝10sin φ－10φcos
φ
?
?
x＝10cos φ－10φsin
φ，
?
D.
?
(φ为参数)
?
y＝10sin
φ＋10φcos φ
?
?
?
x＝10cos φ＋10φsin φ，解析：由圆的参数方程知圆的半径为10，故其渐开线方程为
?
(φ
?
y
＝10sin φ－10φcos φ
?
为参数)．
答案：C
4．有一个半径为8的圆盘沿着直线轨道滚动，在
圆盘上有一点M与圆盘中心的距离为
3，则点M的轨迹方程是( )
?
?
x＝8?φ－sin φ?，
A.
?
?
y＝8?1－cos φ?
?
?
x＝3?φ－sin
φ?，
?
C.
?
?
y＝3?1－cos
φ?
?
?
?
x＝8φ－3sin
φ，
B.
?
?
y＝8－3cos
φ
?
?
x＝3φ－8sin φ，
?
D.
?
?
y＝3－8cos φ
?
解析：易知点M的轨迹是摆线，圆的半径为3.故选C.
答案：C
?
?
x＝6?cos φ＋φsin
φ?
5．当φ＝2π时，圆的渐开线
?
(φ为参数)上的点是( )
?
y＝6?sin φ－φcos φ?
?
A．(6,0)
C．(6，－12π)
解析：当φ＝2π时，
B．(6,6π)
D．(－π，12π)
?
x＝6?cos 2π＋2πsin
2π?＝6，
?
?
故选C.
?
?
y＝6?sin
2π－2π·cos 2π?＝－12π.
答案：C
6．半径为5的圆的摆线的参数方程为________．
?
?
x＝5?φ－sin
φ?，
解析：由圆的摆线的参数方程的概念即可得参数方程为
?
(φ为参数)．
?
y＝5?1－cos φ?
?
?
?
x＝5?φ－sin
φ?，
答案：
?
(φ为参数)
?
y＝5?1－cos
φ?
?
?
x＝cos φ＋φsin φ，
?
7．已知圆的渐开线的
参数方程是
?
(φ为参数)，则此渐开线对应的
?
y＝sin φ－φcos
φ
?
π
基圆的直径是________，当参数φ＝
时对应的曲线上的点的坐标为________．
4
解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径
唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，
故直径为2.
ππ
22π22π
求当φ＝时对应的坐标只需把φ＝代入曲线的参数方程，得x＝＋，y＝－，
442828
由
此可得对应的点的坐标为
?
22π22π
?
.
＋，－
828
??
2
22π22π
?
答案：2
?
＋
，－
828
??
2
8．给出直径为
8的圆，分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程．
解析：以圆的圆心为原点，一条半径所
在的直线为x轴，建立直角坐标系．又圆的直径
为8，所以半径为4，从而圆的渐开线的参数方程是
?
?
x＝4cos φ＋4φsin φ，
?
(φ为参数)．
?
y＝4sin φ－4φcos φ
?
以圆周上的某一定点为原点，以定直线所在的直线为x轴，建立直角坐标系，
?
x＝4φ－4sin
φ，
?
所以摆线的参数方程为
?
(φ为参数)．
?
y＝4－4cos φ
?
?
?
x＝2?t－sin
t?，
9．求摆线
?
(0≤t≤2π)与直线y＝2的交点的直角坐标．
?
y＝2?1－cos t?
?
π3π
解析：当y＝2时，有2(1－cos t)＝2，∴t＝或t＝.
22
π
当t＝时，x＝π－2；
2
3π
当t＝时，x＝3π＋2.
2
∴摆线与直线y＝2的交点为(π－2,2)，(3π＋2,2)．
[B组
能力提升]
?
?
x＝5?cos t＋tsin
t?，
1．t＝π时，圆的渐开线
?
上的点的坐标为( )
?
?
y＝5?sin t－tcos t?
A．(－5,5π)
B．(－5，－5π)
C．(5,5π) D．(5，－5π)
解析：将t＝π代入参数方程易得x＝－5，y＝5π.故选A.
答案：A
?
?
x＝2?φ－sin φ?，
2．已知摆线的参数方程为
?(φ为参数)，该摆线一个拱的宽度与高度
?
y＝2?1－cos
φ?
?
分别是( )
A．2π，2
C．4π，2
B．2π，4
D．4π，4
解析：方法一 由摆线参数方程可知，产生摆线的圆的
半径r＝2，又由摆线的产生过
程可知，摆线一个拱的宽度等于圆的周长为2πr＝4π，摆线的拱高等
于圆的直径为4.
方法二
由于摆线的一个拱的宽度等于摆线与x轴两个相邻交点的距离，令y＝0，即1
－cos φ＝0，解得
φ＝2kπ(k∈Z)，不妨分别取k＝0,1，得φ
1
＝0，φ
2
＝2π，
代入参数方程，
得x
1
＝0，x
2
＝4π，所以摆线与x轴两个相邻
交点的距离为4π，即摆线一个拱的宽度等于4π；
φ
1
＋φ
2
又
因为摆线在每一拱的中点处达到最高点，不妨取(x
1,
0)，(x
2,
0)
的中点，此时φ＝
2
＝π，所以摆线一个拱的高度为|y|＝2(1－cos π)＝4.
答案：D
?
?
x＝6?cos φ＋φsin φ?，
3．渐开线
?
(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸
?
y＝6?sin
φ－φcos φ?
?
长为原来的2倍得到的曲线的两焦点间的距离为________．
解析：根据渐开线方程，
知基圆的半径为6，则其圆的方程为x
2
＋y
2
＝36，把横坐标伸
x
2
2
x
2
y
2
长为原来的2倍，得到的椭圆方程
＋y＝36，即＋＝1，对应的焦点坐标为(63，0)
414436
和(－63，0)，它们
之间的距离为123.
答案：123
?
?
x＝8cos φ＋8φsin
φ，
4．已知圆的渐开线的参数方程是
?
(φ为参数)，则此渐开线对应
?<
br>y＝8sin φ－8φcos φ
?
π
的基圆的直径是_____
___，当参数φ＝时对应的曲线上的点的坐标为________．
4
解析：圆的渐开线的
参数方程由基圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为8，
ππ
故直线为16，求当φ
＝时对应的坐标只需把φ＝代入曲线的参数方程，得x＝42＋2π，
44
y＝42－2π，由
此可得对应的坐标为(42＋2π，42－2π)．
答案：16 (42＋2π，42－2π) 5．已知一个圆的平摆线过一定点(4,0)，请写出当圆的半径最大时圆的渐开线的参数方
程．
解析：令y＝0得r(1－cos φ)＝0，即得cos
φ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)．
2
则x＝r(2kπ－sin
2kπ)＝4，即得r＝(k∈Z)．
kπ
2
又r>0，易知，当k＝1时，r取最大值为.
π
?
圆的渐开线的参数方程是：
?
2
y＝
?
π
?sin
φ－φcos φ?
(φ为参数)．
2
x＝?cos φ＋φsin
φ?，
π
?
?
x＝1＋6cos α，
6．已
知圆C的参数方程是
?
(α为参数)和直线l对应的普通方程是x－y
?
y＝
－2＋6sin α
?
－62＝0.
(1)如果把圆心平移到原点O，请问平移后圆和直线有什么位置关系？
(2)写出平移后圆的渐开线方程．
62
解析：(1)圆C平移后的圆心为O(0,
0)，它到直线x－y－62＝0的距离为d＝＝6，
2
恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相
切的．
?
?
x＝6cos φ＋6φsin φ，
(2)由于圆的半径是6
，所以可得平移后圆的渐开线方程是
?
(φ为
?
y＝6sin
φ－6φcos φ
?
参数)．