人教A版高中数学选修4-5同步练习-反证法与放缩法

第二讲 证明不等式的基本方法
2.3 反证法与放缩法

A级 基础巩固
一、选择题
33
1．用反证法证明命题“如果a＞b，那么a＞b”时，假设的
内容是( )
3333
A.a＝b B. a＜b
33333333
C. a＝b，且a＜b D. a＝b或a＜b
333333
解析：应假设a≤b，即a＝b或a＜b.
答案：D
2．用反证法证明命题“a，b，c全为0”时，其假设为( )
A．a，b，c，全不为0
B．a，b，c至少有一个为0
C．a，b，c至少有一个不为0
D．a，b，c至多有一个不为0
解析：“a，b，c全为0”的否定是“a，b，c至少有一个不为0”．
答案：C
3．对“a，b，c是不全相等的正数”，给出下列判断：
①(a－b)
2
＋(b－c)
2
＋(c－a)
2
≠0；

1

②a＞b与a＜b及a≠c中至少有一个成立；
③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．
其中判断正确的命题个数是( )
A．0
C．2
B．1
D．3
解析：对于①，若(a －b)
2
＋(b－c)
2
＋(c－a)
2
＝0，则a＝b＝ c，与
已知矛盾，故①对；
对于②，当a＞b与a＜b及a≠c都不成立时，有a＝b＝c， 不
符合题意，故②对；对于③，显然不正确．
答案：C
111
4．设x ，y，z都是正实数，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，
yzx
b，c三个数( )
A．至少有一个不大于2 B．都小于2
C．至少有一个不小于2 D．都大于2 111
解析：因为a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥2＋2＋2＝6，当且仅
xyz
当x＝y＝z＝1时等号成立，所以a，b，c三者中至少有一个不小于
2.
答案：C < br>8
5．若a，b，c∈R
＋
，且a＋b＋c＝1，设M＝，N＝(a＋
27－27a
c)·(a＋b)，则( )
A．M≥N
C．M＞N
B．M≤N
D．M＜N
解析：依题设，1－a，1－b，1－c均大于0，
又a＋b＋c＝1，

2

1
所以（1 －a）（1－b）（1－c）≤[(1－a)＋(1－b)＋(1－c)]
3
2
＝，
3
8
所以(1－a)(1－b)(1－c)≤，
27
8
从而≥(1－b)(1－c)＝(a＋c)(a＋b)，
27－27a
1
所以M≥N，当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
3
答案：A
二、填空题
6．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程
归纳为以下三个步骤： ①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内
角和为180°相矛盾，则 ∠A＝∠B＝90°不成立；
②所以一个三角形中不能有两个直角；
③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，
不妨设∠A＝∠B＝90°.
正确顺序的序号排列为________．
解析：由反证法证明的步骤知，先假设即③，再推 出矛盾即①，
最后做出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①②.
答案：③①②
7．lg 9·lg 11与1的大小关系是________．
lg 9＋lg 11
lg 99lg 100
解析：因为lg 9·lg 11＜＝＜＝1，
222
所以lg 9·lg 11＜1.
答案：lg 9·lg 11＜1

3
3

1111
8．设M＝
1 0
＋
10
＋＋…＋
11
，则M与1的大小关
2
2＋ 12
10
＋22－1
系为________．
解析：因为2
10< br>＋1＞2
10
，2
10
＋2＞2
10
，…，2
11
－1＞2
10
，所以
111
M＝
10
＋< br>10
＋＋…＋
2
2＋12
10
＋2
答案：M＜1
三、解答题

1＋x1＋y
9．已知x，y＞0，且x＋y＞2.求证：， 中至少有一个
yx
小于2.
证明：(反证法)设
1＋x1＋y
≥2，≥2，
yx
?
?
1＋x≥2y， ①
则
?

?
?
1＋y≥2x. ②
由①②式可得2＋x＋y≥2(x＋y)，即x＋y≤2，与题设矛盾．
1＋x1＋y
所以，中至少有一个小于2.
yx
10．已知n∈N
*
，求证：1×2＋2×3＋…＋n（n＋1）＜
（n＋1）
2
.
2
n＋n＋12n＋1
证明：由基本不等式，得n（n＋1）＜＝，
22< br>2n＋1
35
所以1×2＋2×3＋…＋n（n＋1）＜＋＋…＋＝
2223＋5＋…＋（2n＋1）n（n＋2）n
2
＋2n（n＋1）
2
＝＝＜ ，故原不等
2222

4

式成立．
B级 能力提升
1．(2018·浙江卷)已知a
1
，a
2
，a
3
，a
4
成等比数列，且a
1
＋a
2
＋
a
3
＋a
4
＝ln(a
1
＋a
2＋a
3
)，若a
1
>1，则( )
A．a
1
3
，a
2
4

C．a
1
3
，a
2
>a
4

B．a
1
>a
3
，a
2
4

D．a
1
>a
3
，a
2
>a
4

解析：构造不等式ln x≤x－1，
则a
1
＋a
2
＋a
3
＋a
4
＝ln(a
1
＋a
2
＋a
3
)≤a
1
＋a
2
＋a
3
－1，
所以 a
4
＝a
1
·q
3
≤－1.由a
1
>1， 得q<0.
若q≤－1，则ln(a
1
＋a
2
＋a
3)＝a
1
＋a
2
＋a
3
＋a
4
＝a< br>1
(1＋q)·(1＋q
2
)
≤0.
又a
1
＋a
2
＋a
3
＝a
1
(1＋q＋q
2
) ≥a
1
>1，
所以ln(a
1
＋a
2
＋a
3
)>0，矛盾．
因此－1所以a
1
－a
3
＝a
1(1－q
2
)>0，a
2
－a
4
＝a
1
q(1－q
2
)<0，
所以a
1
>a
3
，a
2
4
.
答案：B
xz
2．设x，y，z，t满足1≤x≤y≤z≤t≤100，则＋的最小 值为
yt
________．
x
11
zz
解析：因为≥≥，且≥，
yyzt
100
xz
1
z
所以＋≥＋≥2
ytz
100
11
z
·＝，
z
1005
当且仅当x＝1，y＝z＝10，t＝100时，等号成立．
1
答案：
5

5

?
1
?
2
3．已知数列{a
n
}满足a
1
＝2，a< br>n
＋
1
＝2
?
1＋
n
?
·a
n
(n∈N
*
)，
??
(1)求a
2
，a3
并求数列{a
n
}的通项公式；
7
n
(2)设c< br>n
＝，求证：c
1
＋c
2
＋c
3
＋…＋c< br>n
<.
a
n
10
?
1
?
2
(1)解：因为a
1
＝2，a
n
＋
1
＝2
?1＋
n
?
·a
n
(n∈N
*
)，
? ?
?
1
?
2
所以a
2
＝2
?
1＋
1
?
·a
1
＝16，
??
?
1
?
2
a
3
＝2
?
1＋
2
?
·a< br>2
＝72.
??
又因为
a
n
＋
1
a
n
*
＝2·
2
，n∈N，
2
n
（n＋ 1）
?
?
a
n
?
所以
?
n
2?
为等比数列，
?
a
n
a
1
n
－< br>1
所以
2
＝
2
·2＝2
n
，所以a
n
＝n
2
·2
n
.
n1
1
n
(2)证明：c
n
＝＝
n
， < br>a
n
n·2
所以c
1
＋c
2
＋c
3
＋…＋c
n

1111
＝＋
2
＋
3
＋…＋
n

1·22·23·2n·2
1
?
1111
?
11
?
<＋＋＋·
2
4
＋
2
5
＋…＋
2
n
?

28244
??
1
?
?
1
?
n－3
?
?
4
?
1－
??
2
21
?
?
2
?
?
＝＋·
341
1－
2
1
21
2
4
<＋·
341
1－
2

6

2167
＝＋＝
33296
＝
670
96×7
7
<＝，
960
96×10
10
所以不等式得证．



7