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高考数学专题不等式、推理与证明及不等式选讲(选修4-5)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-07 08:42
tags:高中数学选修4-5

高中数学选修2-1大纲-高中数学新课程的基础观

2020年10月7日发(作者:瞿能)


第六章 不等式、推理与证明及不等式选讲(选修4-5)
第一节不等关系与不等式


1.实数大小顺序与运算性质之间的关系
a-b>0?a>b;a-b=0?a=b;a-b<0?a2.不等式的基本性质
性质
对称性
传递性
可加性
性质内容
a>b?ba>b,b>c?a>c
a>b?a+c>b+c
注意
?
?
?
可乘性




a>b
?
?
?ac>bc
c>0
?
a>b
?
?
?acc<0
?
c的符号
同向可加性
同向同正
可乘性
可乘方性
a>b
?
?
?a+c>b+d
c>d
?
a>b>0
?
?
?ac>bd
c>d>0
?
a>b>0?a
n
>b
n
(n∈N,n≥2)
?
?
可开方性

a>b>0?a>b
(n∈N,n≥2)
nn
同正

1.在应用传递性时,注意等号是否传递下去,如a≤b,b2.在乘法法则 中,要特别注意“乘数c的符号”,例如当c≠0时,有a>b?ac
2
>bc
2
若无c≠0这个条件,a>b?ac
2
>bc
2
就是错误结论 (当c=0时,取“=”).
[试一试]
1.(2013·北京高考)设a,b,c∈R,且a>b,则( )

1


A.ac>bc
C.a
2
>b
2

解析:选D 由性质知选D.
2.
1
________3+1(填“>”或“<”).
2-1
=2+1<3+1.
2-1
1
11
B.<
ab
D. a
3
>b
3

解析:
答案:<

1.不等式的倒数性质
11
(1)a>b,ab>0?<;
ab
11
(2)a<0ab
ab
(3)a>b>0,0
cd
111
(4)0bxa
2.不等式的分数性质
(1)真分数的性质:
b
b+m
b
b-m
<;>(b-m>0);
a
a+m
a
a-m
(2)假分数的性质:
a
a+m
a
a-m
>;<(b-m>0).
b
b+m
b
b-m
[练一练]
b+ca+c
若00,则与的大小关系为________.
a+cb+c
b+ca+c
答案:>
a+cb+c


考点一
比较两个数(式)的大小
1.已知a
1
,a
2< br>∈(0,1),记M=a
1
a
2
,N=a
1
+a2
-1,则M与N的大小关系是( )
A.M
B.M>N
2


C.M=N
解析:选B M-N=a
1
a
2
-(a
1
+a
2
-1)
=a
1
a
2
-a
1
-a
2
+1
=a
1
(a
2
-1)-(a
2
-1)=(a
1
-1)(a
2
-1),
又∵a
1
∈(0,1),a
2
∈(0,1),
∴a
1
-1<0,a
2
-1<0.
∴(a
1
-1)(a
2
-1)>0,即M-N>0.
∴M>N.
D.不确定
3
2.若实数a≠1,比较a+2与的大小. < br>1-a
-a
2
-a-1a
2
+a+1
解:a+2-= =
1-a1-aa-1
3
∴当a>1时,a+2>;
1-a
3
3
当a<1时,a+2<.
1-a
[类题通法]
比较大小的常用方法
(1)作差法:
一般步骤是:①作差;②变形;③定号;④结 论.其中关键是变形,常采用配方、因式
分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式 子都为正数时,有时也可以
先平方再作差.
(2)作商法:
一般步骤是:①作商;②变形;③判断商与1的大小;④结论.
(3)特值法:
若 是选择题、填空题可以用特值法比较大小;若是解答题,可先用特值探究思路,再用
作差或作商法判断.
注意:用作商法时要注意商式中分母的正负,否则极易得出相反的结论.
考点二
不等式的性质
[典例] (1)(2014·太原诊断)“a+c>b+d”是“a>b且c>d”的( )
A.充分不必要条件

B.既不充分也不必要条件
3


C.充分必要条件 D.必要不充分条件
ab
(2)若a>0> b>-a,c<d<0,则下列结论:①ad>bc;②+<0;③a-c>b-d;④
dc
a ·(d-c)>b(d-c)中成立的个数是( )
A.1
C.3
B.2
D.4
[解析] (1)由“a+c>b+d”不能得知“a>b且c>d ”,反过来,由“a>b且c>d”可得知
“a+c>b+d”,因此“a+c>b+d”是“a>b且 c>d”的必要不充分条件,选D.
(2)法一:∵a>0>b,c<d<0,∴ad<0,bc>0,
∴ad<bc,故①错误.
∵a>0>b>-a,∴a>-b>0,
∵c<d<0,∴-c>-d>0,
∴a(-c)>(-b)(-d),
ab
ac+bd
∴ac+bd<0,∴+=<0,
dccd
故②正确.
∵c<d,∴-c>-d,
∵a>b,∴a+(-c)>b+(-d),
a-c>b-d,故③正确.
∵a>b,d-c>0,∴a(d-c)>b(d-c),
故④正确,故选C.
法二:取特殊值.
[答案] (1)D (2)C
[类题通法]
判断多 个不等式是否成立,需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理判断需要利
用不等式的性质,常见的 反例构成方式可从以下几个方面思考:
(1)不等式两边都乘以一个代数式时,考察所乘的代数式是正数、负数或0;
(2)不等式左边是正数,右边是负数,当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变;
(3)不等式左边是正数,右边是负数,当两边同时取倒数后不等号方向不变等.
[针对训练]

4


(2014·北京东城区综合练习)若a>b>0,则下列不等式不成立的是( )
11
A.<
ab
C.a+b<2ab
B.|a|>|b|
1
?
a
?
1
?
b< br>D.
?
?
2
?
<
?
2
?

1
?
a
?
1
?
b
11
解析:选C ∵a>b>0,∴<,且|a|>|b|,a+b>2ab,又2
a
>2
b
, ∴
?
?
2
?
<
?
2
?
,选C.
ab
考点三
不等式性质的应用
[典例] 已知函数f(x)=ax
2
+bx,且1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4.求f(-2)的取值范围.
[解] f(-1)=a-b,f(1)=a+b.
f(-2)=4a-2b.
设m(a+b)+n(a-b)=4a-2b.
??
?
m+n=4,
?
m=1,

?
解得
?

??
?
m-n=-2,
?
n=3.
∴f(-2)=(a+b)+3(a-b)=f(1)+ 3f(-1).
∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,
∴5≤f(-2)≤10.
即f(-2)的取值范围为[5,10].
若本例中条件变为:已知函数f(x)=ax
2
+bx,且1
1)≤2,2≤f(1)<4,求f(-2)的取值范围.

解:由本例知f(-2)=f(1)+3f(-1).
又∵1∴5<3f(-1)+f(1)<10,
故5故f(-2)的取值范围为(5,10).
[类题通法]
利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围,但应注意两点:一是必须严格运 用不等
式的性质;二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.解决的途径是先
建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系,最后通过“一次性”不等关系的运算求
解范围.

5


[针对训练]
?
?
-1≤α+β ≤1,
若α,β满足
?
试求α+3β的取值范围.
?
1≤α+2β ≤3,
?

解:设α+3β=x(α+β)+y(α+2β)=(x+y)α+(x+2y)β.
??< br>?
x+y=1,
?
x=-1,

?
解得
?< br>
?
x+2y=3,
?
??
y=2.
∵-1≤-(α +β)≤1,2≤2(α+2β)≤6,
两式相加,得1≤α+3β≤7.
∴α+3β的取值范围为[1,7].

第二节一元二次不等式及其解法


一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
判别式
Δ=b
-4ac
二次函数
y=ax
2
+bx+c
(a>0)的图像
一元二次方程
ax
2
+bx+c=0
(a>0)的根
ax
2
+bx+c>0
(a>0)的解集
ax
2
+bx+c<0
(a>0)的解集


1.二次项系数中含有参数时,则应先考虑二次项是否为零,然后再讨论二次项系数不为
零时的情形, 以便确定解集的形式.

6
2
Δ>0 Δ=0 Δ<0

有两相异实根
x
1
,x
2
(x
1
<x
2
)

有两相等实根
b
x
1
=x
2
=-
2a
b
{x|x≠-}
2a
?

没有实数根
{x|x1
或x>x
2
}
R
{x|x
1
<x<x
2
} ?


2.当Δ< 0时,易混ax
2
+bx+c>0(a>0)的解集为R还是?.
[试一试] 1.(2013·浙江高考)设集合S={x|x>-2},T={x|x
2
+3x-4≤ 0},则(?
R
S)∪T=( )
A.(-2,1]
C.(-∞,1]
B.(-∞,-4]
D.[1,+∞)
解析:选C T= {x|-4≤x≤1},根据补集定义,
?
R
S={x |x≤-2},所以(?
R
S)∪T={x|x≤1},选C.
11
-,
?
,则a+b的值是( ) 2.不等式ax
2
+bx+2>0的解集是
?
?
23
?
A.10
C.14
B.-10
D.-14
11
解析:选D 由题意知-、是ax
2
+bx+2=0的两根.
23
则a=-12,b=-2.a+b=-14.故选D.
3.不等式x
2
+ax+4<0的解集不是空集,则实数a的取值范围是________.
解析:∵不等式x
2
+ax+4<0的解集不是空集,
∴Δ=a
2
-4×4>0,即a
2
>16.
∴a>4或a<-4.
答案:(-∞,-4)∪(4,+∞)

1.由二次函数图像与一元二次不等式的关系得到的两个常用结论
?
a=b=0,< br>?
?
?
a>0,
?
(1)不等式ax+bx+c>0对任意实 数x恒成立?或
?

?
?
?
Δ<0.
?
c >0,
2
?
?
?
a=b=0,
?
a<0,
(2)不等式ax+bx+c<0对任意实数x恒成立?
?

?

?
?
c<0,
?
Δ<0.
?
2




2.分类讨论思想
解含参数的一元二次不等式,可先考虑因式分解,再 对根的大小进行分类讨论;若不能
因式分解,则可对判别式进行分类讨论,分类要不重不漏.
[练一练]
若不等式mx
2
+2mx+1>0的解集为R,则m的取值范围是________.
解析:①当m=0时,1>0显然成立.
②当m≠0时,由条件知

7


?
?
m>0,
?

2
?
Δ=4m
-4m<0.
?
得0由①②知0≤m<1.
答案:[0,1)



考点一
[典例] 解下列不等式:
(1)0<x
2
-x-2≤4;
(2)x
2
-4ax-5a
2
>0(a≠0).
[解] (1)原不等式等价于
22
??
?
x-x-2>0,
?
x -x-2>0,
?
2
?
?

2
??
?x-x-2≤4
?
x-x-6≤0
一元二次不等式的解法

??
?
?x-2??x+1?>0,
?
x>2或x<-1,
?
?
?
?

?
?x-3??x+2?≤0
?
??< br>-2≤x≤3.
借助于数轴,如图所示,

原不等式的解集为
x|-2≤x<-1或2<x≤3
.
(2)由x
2
-4ax-5a
2
>0知(x-5a)(x+a)>0.
由于a≠0故分a>0与a<0讨论.
当a<0时,x<5a或x>-a;
当a>0时,x<-a或x>5a.
综上,a<0时,解集为
x|x<5a或x>- a
;a>0时,解集为
x|x>5a或x<-a
.
[类题通法]
1.解一元二次不等式的一般步骤:
(1)对不等式变形,使一端为0且二次项系数大于0, 即ax
2
+bx+c>0(a>0),ax
2
+bx+

{}
{}{}

8


c<0(a>0);
(2)计算相应的判别式;
(3)当Δ≥0时,求出相应的一元二次方程的根;
(4)根据对应二次函数的图像,写出不等式的解集.
2.解含参数的一元二次不等式,要把 握好分类讨论的层次,一般按下面次序进行讨论:
首先根据二次项系数的符号进行分类,其次根据根是否 存在,即Δ的符号进行分类,最后在
根存在时,根据根的大小进行分类.
[针对训练]
解下列不等式:
(1)-3x
2
-2x+8≥0;
(2)ax
2
-(a+1)x+1<0(a>0).
解:(1)原不等式可化为3x
2
+2x-8≤0,
即(3x-4)(x+2)≤0.
4
解得-2 ≤x≤,
3
?
4
?
-2≤x≤
?
. 所以原不等式的解集为
?
x
?
3
?
??

(2)原不等式变为(ax-1)(x-1)<0,
1
x-
?
(x-1)<0. 因为a>0,所以a
?
?a
?
1
所以当a>1时,解为<x<1;
a
当a=1时,解集为?;
1
当0<a<1时,解为1<x<.
a
?
1
?
1<x<
?
; 综上,当0<a<1时, 不等式的解集为
?
x
?
a
?
??

当a=1时,不等式的解集为?;
?
1
?
<x<1
?
. 当a>1时,不等式的解集为
?
x
?
?
a
??

考点二

一元二次不等式恒成立问题

9

一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系.在解决具体的数学问题
时,要注意三 者之间的相互联系,并在一定条件下相互转换.对于一元二次不等式恒成立问
题,常根据二次函数图像与 x轴的交点情况确定判别式的符号,进而求出参数的取值范围.
归纳起来常见的命题角度有:
?1?形如f?x?≥0?x∈R?确定参数的范围;
?2?形如f?x?≥0?x∈[a,b]?确定参数范围;
?3?形如f?x?≥0?参数m∈[a,b]?确定x的范围.

角度一 形如f(x)≥0(x∈R)确定参数的范围
1.(2013·重庆高考)设0≤α≤π,不等式8x
2
-(8sin α)x+cos 2α≥0对x∈R恒成立,则α
的取值范围为________.
解析:根据题意可得(8sin α)
2
-4×8cos 2α≤0,即2sin
2
α-cos 2α≤0,2sin
2
α-(1-2sin
2

?
?
??
5
?
?
11

?
α)≤0,即-
≤ sin α≤.因为0≤α≤π,故α∈
?
0,
?

??

22
66
????

?
?
答案:
?0,
?

?
?
6
??
6
?
角 度二 形如f(x)≥0(x∈[a,b])确定参数范围
2.对任意x∈[-1,1],函数f(x )=x
2
+(a-4)x+4-2a的值恒大于零,求a的取值范围.
a-44-a
解:函数f(x)=x+(a-4)x+4-2a的对称轴为x=-=.
22
2
?
?
??
5
?
?
4-a
①当<-1,即a>6时,
2
f(x)的值恒大于零等价于f(-1)=1+(a-4)×(-1)+4-2a>0,
解得a<3,故有a∈?;
4-a
②当-1≤≤1,即2≤a≤6时,
2
4-a
?
4-a
??
4-a
?
2
只要f< br>??

??
+(a-4)×
2
+4-2a>0,
?
2
??
2
?
即a
2
<0,故有a∈?;
4-a
③当>1,即a<2时,
2
只要f(1)=1+(a-4)+4-2a>0,

10


即a<1,故有a<1.
综上可知,当a<1时,对任意x∈[-1,1], 函数f(x)=x
2
+(a-4)x+4-2a的值恒大于零.
角度三 形如f(x)≥0(参数m∈[a,b])确定x的范围
3.对任意a∈[-1,1],函数f(x) =x
2
+(a-4)x+4-2a的值恒大于零,求x的取值范围.
解:由f(x) =x
2
+(a-4)x+4-2a=(x-2)a+x
2
-4x+4,
令g(a)=(x-2)a+x
2
-4x+4.
由题意知在[-1,1]上,g(a)的值恒大于零,
2
?
?
g? -1?=?x-2?×?-1?+x-4x+4>0,

?

2
?
?
g?1?=?x-2?+x-4x+4>0,

解得x<1或x>3.
故当x<1或x>3时,对任意的a∈[-1,1],函数f(x)的值恒大于零.
[类题通法]
恒成立问题及二次不等式恒成立的条件
(1)解决恒成立问题一定要 清楚选谁为主元,谁是参数.一般地,知道谁的范围,就选谁
当主元,求谁的范围,谁就是参数. (2)对于二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全
部在x轴 上方;恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方.
考点三
一元二次不等式的应用
[典例] 某小商品2013年的价格为8元件,年销量是a件.现经 销商计划在2014年将
该商品的价格降至5.5元件到7.5元件之间,经调查,顾客的期望价格是4 元件.经测算,
该商品价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比,比例系数为k. 该商
品的成本价为3元件.
(1)写出该商品价格下降后,经销商的年收益y与实际价格x的函数关系式;
(2)设k= 2a,当实际价格最低定为多少时,仍然可以保证经销商2014年的收益比2013
年至少增长20% ?
[解] (1)设该商品价格下降后为x元件,
?
k
+a
?
则由题意可知年销量增加到
??
件,
?
x-4
?
?
k
+a
?
故经销商的年收益 y=
??
(x-3),5.5≤x≤7.5.
?
x-4
?

11


?
2a
+a
?
(2)当k=2a时, 依题意有
??
(x-3)≥(8-3)a×(1+20%),
?
x-4
?
x
2
-11x+30
化简得≥0,
x-4
解得x≥6或4又5.5≤x≤7.5,故6≤x≤7.5, < br>即当实际价格最低定为6元件时,仍然可以保证经销商2014年的收益比2013年至少增
长2 0%.
[类题通法]
构建不等式模型解决实际问题
不等式的应用问题常常以函数 为背景,多是解决实际生活、生产中的最优化问题等,解
题时,要仔细审题,认清题目的条件以及要解决 的问题,理清题目中各量之间的关系,建立
恰当的不等式模型进行求解.
[针对训练] 某商品每件成本价为80元,售价为100元,每天售出100件.若售价降低x成(1成=
810%),售出商品数量就增加x成.要求售价不能低于成本价.
5
(1)设该商店一天 的营业额为y,试求y与x之间的函数关系式y=f(x),并写出定义域;
(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元,求x的取值范围.
x
?
1+
8
x
?
.
1-
?·解:(1)由题意得y=100
?
100
?
10
??
50
?
因为售价不能低于成本价,
x
1-
?
-80≥0. 所以100
?
?
10
?
所以y=f(x)=20(10-x)(50 +8x),定义域为[0,2].
(2)由题意得20(10-x)(50+8x)≥10 260,
化简得8x
2
-30x+13≤0.
113
解得≤x≤.
24
1
?
所以x的取值范围是
?
?
2
,2
?
.

12


第三节绝对值不等式(选修4-5)


1.绝对值三角不等式
(1)定理1:如果a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立.
(2)定理2:如果a,b,c是实数,则|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b) (b-c)≥0时,
等号成立.
2.绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|a的解集
不等式
|x|
|x|>a
a>0
(-a,a)
(-∞,-a)∪(a,+∞)
a=0
?
(-∞,-0)∪(0,+∞)
a<0
?
R
(2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法:
①|ax+b|≤c?-c≤ax+b≤c;
②|ax+b|≥c?ax+b≥c或ax+b≤-c.
(3)|x-a|+|x-b|≥c (c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法有以下几种:
①利用绝对值不等式的几何意义求解的思想;
②利用“零点分段法”求解;
③通过构造函数,利用函数的图象求解.

1.对于绝对值三角不等式,易忽视等号 成立的条件.对|a+b|≥|a|-|b|,当且仅当a>-
b>0时,等号成立,对|a|-|b| ≤|a-b|≤|a|+|b|,如果a<-b<0当且仅当|a|≥|b|且ab≥0时左
边等号成立 ,当且仅当ab≤0时右边等号成立.
2.形如|x-a|+|x-b|≥c(c>0)的不等式解法 在讨论时应注意分类讨论点处的处理及c的
符号判断,若c<0则不等式解集为R.
[试一试]
1.(2013·广东高考)不等式|x
2
-2|<2的解集是( )
A.(-1,1)
C.(-1,0)∪(0,1)
B.(-2,2)
D.(-2,0)∪(0,2)
解析:选D 由|x
2
-2|<2得-22
-2<2,即02
<4,所以-2
13


2.不等式|x-2|-|x-1|>0的解集为( )
3
-∞,
?
A.
?
2
??
3
?
C.
?
?
2
,+∞
?

3
-∞,-
?
B.
?
2
??
3
-,+∞
?
D.
?
?
2
?
解析:选A 原不等式等价于|x-2|>|x-1|,
3
则(x-2)
2
>(x-1)
2
,解得x<.
2

含绝对值不等式的常用解法
1.基本性质法:对a∈R,|x|a?x<-a或x>a.
2.平方法:两边平方去掉绝对值符号.
3.零点分区间法(或叫定义法):含有两个或两个 以上绝对值符号的不等式,可用零点分
区间法脱去绝对值符号,将其转化为与之等价的不含绝对值符号的 不等式(组)求解.
4.几何法:利用绝对值的几何意义,画出数轴,将绝对值转化为数轴上两点的距离求解.
5 .数形结合法:在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象,利用函数图
象求解.
[练一练]
11
1.已知不等式|2x-t|+t-1<0的解集为(-,),则t=( )
22
A.-1
C.1
B.0
D.2

解析:选B |2x-t|<1-t,t-1<2x-t<1-t,
11
2t-1<2x<1,t-22
2.若存在实数x 使|x-a|+|x-1|≤3成立,则实数a的取值范围是________.
解析:利用绝对值不等式的性质求解.
∵|x-a|+|x-1|≥|(x-a)-(x-1)|=|a-1|,
要使|x-a|+|x-1|≤3有解,
可使|a-1|≤3,∴-3≤a-1≤3,∴-2≤a≤4.
答案:[-2,4]



14


考点一
绝对值不等式的解法
11
1.在实数范围内,不等式|x-|+|x+|≤3的解集为____________.
22
解析:法一:分类讨论去绝对值号解不等式.
1311
当x>时,原不 等式转化为2x≤3?x≤;当-≤x≤时,原不等式转化为1≤3,恒成
2222
33
?
13
?
立;当x<-时,原不等式转化为-2x≤3?x≥-.综上知,原不等式 的解集为
?
x|-
2
≤x≤
2
?
.
22
??
法二:利用几何意义求解.
11
11
x-
?

?
x+
?
≤3,其几何意义为数轴上到,-两点的距离之和不 超过3的不等式
?
?
2
??
2
?
22
33 1133
点的集合,数形结合知,当x=或x=-时,到,-两点的距离之和恰好为3,故当-≤x≤< br>222222
33
??
时,满足题意,则原不等式的解集为
?
x|-
2
≤x≤
2
?
.
??
33
??
-≤x≤
?
答案:
?
x< br>?
2
??
?
2
2.(2013·西安质检)若关于x的不等式 |x-a|<1的解集为(1,3),则实数a的值为________.
解析:原不等式可化为a-1答案:2
3.如果关于x的不等式|x-3|-|x-4|________.
解析:法一:令y
1
=|x-3|-|x-4|
1, x>4,
?
?

?
2x-7, 3≤x≤4,
?
?
-1,x<3.
y
2
=a.
如图
要使|x-3|-|x-4|
-1.
法二:注意到||x-3|-|x-4||≤|(x-3)-(x-4)|=1,-1≤|x-3|-|x-4| ≤1.若不等式|x-
3|-|x-4|
15



4|)
min
≥a,a≤-1.因此,由不等式|x-3|-|x-4|是a>-1.
答案:(-1,+∞)
[类题通法]
利用零点分类讨论法解绝对值不等式时,注意分类讨论时要不重不漏.
考点二
绝对值不等式的证明
[典例] (2014·长春联考)已知f(x)=|x+1|+|x-1|,不等式f(x)<4的解集为M.
(1)求M;
(2)当a,b∈M时,证明:2|a+b|<|4+ab|.
-2x,x<-1,
?
?
[解] (1)f(x)=|x+1|+|x-1| =
?
2,-1≤x≤1,
?
?
2x,x>1,
当x<-1时 ,由-2x<4,得-2当-1≤x≤1时,f(x)=2<4,∴-1≤x≤1;
当x>1时,由2x<4,得1(2)证明:a,b∈M即 -22
-(4+ab)
2
=4(a
2
+2ab+b
2
)-(16+8ab
+a
2
b< br>2
)=(a
2
-4)·(4-b
2
)<0,∴4(a+b)< br>2
<(4+ab)
2

∴2|a+b|<|4+ab|.
本例中f(x)若变为“f(x)=|x+1|+|x-1|-a”且f(x)≥0对x

∈R恒成立,求a的取值范围.


解:由f(x)≥0知a≤|x+1|+|x-1|,
又|x+1|+|x-1|≥|(x+1)-(x-1)|=2,∴a≤2.
故a的取值范围为(2,+∞).
[类题通法]
证明绝对值不等式主要有三种方法
(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号,转化为普通不等式再证明;
(2)利用三角不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|进行证明;
(3)转化为函数问题,数形结合进行证明.
[针对训练]

16


(2014·乌鲁木齐高三诊断性测验)设函数f(x)=|x-1|+|x-2|.
(1)求证:f(x)≥1;
(2)若f(x)=
a
2
+2
成立,求x的取值范围.
a
2
+1
解:(1)证明:f(x)=|x-1|+|x-2|≥|(x-1)-(x- 2)|=1.
(2)∵
a
2
+2a
2
+1+1
= =
22
a+1a+1
a
2
+2
2
a
2+1+≥2,
a+1
2
1
∴要使f(x)=成立,需且只需|x-1|+|x-2|≥2,
a+1
???
?
x<1,
?
1≤x<2,
?
x≥2,

?

?

?

???
?
1-x+2-x≥2
?
x-1+2-x≥2
?
x-1+x-2≥ 2,
15
解得x≤或x≥,
22
15
-∞,
?

?
,+∞
?
. 故x的取值范围是
?
2
??
2
??

考点三
绝对值不等式的综合应用

[典例] (2013·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.
(1)当a=-2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;
a1
-,
?
时,f(x)≤g(x),求a的取值范围. (2)设a>-1,且当x∈
?
?
22
?
[解] (1)当a=-2时,不等式f(x)<g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x
-3<0.
设函数y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,则
?
y=
?
- x-2,
1
≤x≤1,
2
?
3x-6,x>1.
<2}.
1
-5x,x<,
2


其图像如图所示.从图像可知,当 且仅当x∈(0,2)时,y<0.所以原不等式的解集是{x|0<x

17


a1
-,
?
时,f(x)=1+a. (2)当x∈
?
?
22
?
不等式f(x)≤g(x)化为1+a≤x+3.
a1
-,
?
都成立. 所以x≥a-2对x∈
?
?
22
?
a4
故-≥a-2,即a≤.
23
4
-1,
?
. 从而a的取值范围是
?
3
??
[类题通法]
1.研究含有绝对值的 函数问题时,根据绝对值的定义,分类讨论去掉绝对值符号,转化
为分段函数,然后数形结合解决是常用 的思维方法.
2.对于求y=|x-a|+|x-b|或y=|x+a|-|x-b|型的最值问题利 用绝对值三角不等式更方
便.形如y=|x-a|+|x-b|的函数只有最小值,形如y=|x-a| -|x-b|的函数既有最大值又有
最小值.
[针对训练]
(2013·辽宁模拟)已知f(x)=|x+a|+|x-2|.
(1)当a=-1时,解关于x的不等式f(x)>5;
(2)已知关于x的不等式f(x)+a<2 014(a是常数)的解集是非空集合,求实数a的取值范围.
解:(1)构造函数g(x)=|x-1|+|x-2|-5,
-2x-2?x≤1?,?
?
则g(x)=
?
-4?1?
?
2x-8?x≥2?.


令g(x)>0,则x<-1或x>4,
∴原不等式的解集为(-∞,-1)∪(4,+∞).
(2)∵f(x)+a=|x+a|+|x-2|+a≥|a+2|+a,
又关于x的不等式f(x)+a<2 014的解集是非空集合,
∴|a+2|+a<2 014,解得a<1 006.
第四节二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题

18




1.二元一次不等式(组)表示的平面区域
不等式
Ax+By+C>0
表示区域
直线Ax+By+C
=0某一侧的所
有点组成的平面
区域
不包括
边界直线
包括
边界直线
Ax+By+C≥0
不等式组
2.线性规划中的基本概念
名称
约束条件
线性约束条件
目标函数
线性目标函数
可行解
可行域
最优解
线性规划问题
各个不等式所表示平面区域的公共部分
意义
由变量x,y组成的不等式(组)
由x,y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)
关于x,y的函数解析式,如z=2x+3y等
关于x,y的一次解析式
满足线性约束条件的解(x,y)
所有可行解组成的集合
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值
问题

1.画出平面区 域.避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式化为ax+by+
c>0(a>0).
2 .线性规划问题中的最优解不一定是唯一的,即可行域内使目标函数取得最值的点不一
定只有一个,也可 能有无数多个,也可能没有.
[试一试]
x-y+1≥0,
?
?
1.(2013·全国卷Ⅱ)设x,y满足约束条件
?
x+y-1≥0,
?
?
x≤3,
则z=2x-3y的最小值是( )
A.-7
C.-5



B.-6
D.-3
19


解析:选B 作出不等式组表示的可行域,如图(阴影部分).

易知直线z=2x-3y过点C时,z取得最小值.
??
?
x= 3,
?
x=3,

?

?
∴z
min=2×3-3×4=-6,故选B.
??
?
x-y+1=0,
?
y=4,
2.如图所示的平面区域(阴影部分)满足不等式________.


答案:x+y-1>0

1.确定二元一次不等式表示平面区域的方法
二元一次不等式所表示的平面区域的确定,一般是取不在直线上的点(x
0
,y
0
)作为测试点
来进行判定,满足不等式的则平面区域在测试点所在的直线的一侧,反之在直 线的另一侧.
2.求二元一次函数z=ax+by(ab≠0)的最值的方法
azz
将函数z=ax+by转化为直线的斜截式:y=-x+,通过求直线的截距的最值间接求
bbb出z的最值.
zz
(1)当b>0时,截距取最大值时,z也取最大值;截距取最小值时,z也取最小值;
bb
zz
(2)当b<0时,截距取最大值时,z取最小值;截距取最小值时,z取最 大值.
bb
[练一练]
(2013·陕西高考)若点(x,y)位于曲线y=|x -1|与y=2所围成的封闭区域,则2x-y的最
小值为________.
解析:由题意知

20


?
?
x-1?x ≥1?,
y=
?
作出曲线y=|x-1|与y=2所围成的封闭区域,如图中阴影部分 所示,
?
1-x?x<1?,
?
即得过点A(-1,2)时,2x-y取最小 值-4.
答案:-4



考点一
二元一次不等式(组)表示平面区域
x≥0,
?
?
1.不等式组< br>?
x+3y≥4,
?
?
3x+y≤4

所表示的平面区域的面积等于( )
3
A.
2
4
C.
3
解析:选C 平面区域如图所示.
2
B.
3
3
D.
4
?
?
x+3y=4,

?
得A(1,1),
?
?
3x+y=4
4
0,
?
, 易得B(0,4),C
?
?
3
?
48
|BC|=4-=.
33
184
∴S

ABC
=××1=.
233< br>x-y≥0,
?
?
2.若满足条件
?
x+y-2≤0,
?
?
y≥a
整数的点,则整数a的值为( )
A.-3
C.-1
B.-2
D.0


的整点(x,y)恰有9个,其中整点是指横、纵坐标都是
解析:选C 不等式组所表示的平面 区域如图中阴影部分,当a
=0时,只有4个整点(1,1),(0,0),(1,0),(2,0); 当a=-1时,正好
增加(-1,-1),(0,-1),(1,-1),(2,-1),(3,-1) 5个整点,
故选C.

21


3.如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为________.

解析:两直线方程分别为x-2y+2=0与x+y-1=0.
由(0,0)点在直线x-2y+2=0右下方可知x-2y+2≥0,
又(0,0)点在直线x+y-1=0左下方可知x+y-1≥0,
?
?
x+y-1≥0,

?
为所表示的可行域.
?
?
x-2y+2≥0
?
x+y-1≥0,
?
答案:
?

?
x-2y+2≥0
?


[类题通法]
二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法:直线定界,测试点定域.
注意不等式中不等 号有无等号,无等号时直线画成虚线,有等号时直线画成实线.测试
点可以选一个,也可以选多个,若直 线不过原点,测试点常选取原点.

考点二

线性规则问题是高考的重点 ,而线性规划问题具有代数和几何的双重形式,多与
函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问 题交叉渗透,自然地融合在一起,
使数学问题的解答变得更加新颖别致.归纳起来常见的命题角度有:
?1?求线性目标函数的最值;
?2?求非线性目标的最值;
?3?求线性规划中的参数.
角度一 求线性目标函数的最值
y≤2x,
?
?
1.(1)(2013·湖南高考)若变量x,y满足约束条件
?
x+y ≤1,
?
?
y≥-1,
5
A.-
2
5
C.
3
B.0
5
D.
2
求目标函数的最值

则x+2y的最大值是( )

22


x-y+1≥0,
?
?
(2)如果函数x、y 满足条件
?
y+1≥0,
?
?
x+y+1≤0,
A.2
C.-2

那么z=2x-y的最大值为( )
B.1
D.-3
解析:(1)选C 不等式组表示的平面区域为图中阴影部分.平行移
12
?
11
动y=-x+z,可知该直线经过y=2x与x+y=1的交点A
?< br>?
3

3
?
时,
22
145
z有最 大值为+=.
333
(2)选B 如图作出可行域,当z经过直线y+1=0与x+y+1= 0的交点(0,-1)时,z
max
=1.


角度二 求非线性目标的最值
2x-y-2≥0,
?
?
2.(1)(2013·山东 高考)在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组
?
x+2y-1≥0,
所表
?
?
3x+y-8≤0
示的区域上一动点,则直线OM斜率的最小值为( )
A.2
1
C.-
3
B.1
1
D.-
2

解析:选C 已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示,
显然当点 M与点A重合时直线OM的斜率最小,由直线方程x+2y
-1=0和3x+y-8=0,解得A(3, -1),故OM斜率的最小值为-
1
.
3

23


?
?
(2)(2014·长春调研)若实数x,y满足
?
y≥-x+ 1,
?
?
y≤x+1,
范围是________.
1
≤x≤1,
2


y+1
的取值
xy+1y-?-1?
解析:由题可知=,即为求不等式所表示的平面区域内
x
x- 0
的点与(0,-1)的连线斜率k的取值范围,由图可知k∈[1,5].
答案:[1,5]
角度三 求线性规划中的参数
x+y-2≥0,
??
3.(1)(2013·浙江高考)设z=kx+y,其中实数x,y满足
?
x -2y+4≥0,
?
?
2x-y-4≤0.
为12,则实数k=______ __.
解析:画出可行域,根据线性规划知识,目标函数取最大值12时,最优解一定为(4,4),
这时12=4k+4,k=2.

若z的最大值

答案:2 x-y+1≥0,
?
?
(2)(2014·江西七校联考)已知实数x,y满足< br>?
x+2y-8≤0,
?
?
x≤3.
最小值的唯一的可行解, 则实数a的取值范围为________.
解析:记z=ax-y,注意到当x=0时,y=-z,即 直线z=ax-y
在y轴上的截距是-z.在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面
1区域,结合图形可知,满足题意的实数a的取值范围为a<-.
2
1
-∞,-
?
答案:
?
2
??
[类题通法]
1.求目标函数的最值的一般步骤为:一画二移三求.其关键是准确作出可行域,理解目

24

5
3,
?
是使ax-y取得若点
?
?
2
?


标函数的意义.
2.常见的目标函数有:
(1)截距型:形如z=ax+by.
az
求这类目标函数的最值常将函数z=ax +by转化为直线的斜截式:y=-x+,通过求
bb
z
直线的截距的最值间接求出z 的最值.
b
(2)距离型:形如z=(x-a)
2
+(y-b)
2
.
y-b
(3)斜率型:形如z=.
x-a
注意:转化的等价性及几何意义.
考点三
线性规划的实际应用
[典例] (2013·湖北高考)某旅行社租用A, B两种型号的客车安排900名客人旅行,A,
B两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为 1 600元辆和2 400元辆,旅行社要
求租车总数不超过21辆,且B型车不多于A型车7辆,则租金最少为( )
A.31 200元
C.36 800元
B.36 000元
D.38 400元
[解析] 设租用A型车x辆,B型车y辆,目标函数为z=1 600x
+2 400y,则约束条件为
?
?
y-x≤7,
?y+x≤21,
?
?
x,y∈N,
800(元).
[答案] C
[类题通法]
36x+60y≥900,


作出可行域,如 图中阴影部分所示,可知目标函数过点(5,12)时,有最小值z
min
=36
求解线性规划应用题的注意点
(1)明确问题中的所有约束条件,并根据题意判断约束条件中是否能够取到等号.
(2)注 意结合实际问题的实际意义,判断所设未知数x,y的取值范围,特别注意分析x,
y是否是整数、非负 数等.
(3)正确地写出目标函数,一般地,目标函数是等式的形式.

25


[针对训练]
某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A原 料1千克、B原料2千
克;生产乙产品1桶需耗A原料2千克,B原料1千克.每桶甲产品的利润是30 0元,每桶
乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗A、B原料都不超
过12千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大
利 润是( )
A.1 800元
C.2 800元
B.2 400元
D.3 100元
解析:选C 设每天分别生产甲产品x桶,乙产品y桶,相应
x+ 2y≤12,
?
?
的利润为z元,则
?
2x+y≤12,
?
?
x≥0,y≥0,

z=300x+400y,在坐标平面内
画出 该不等式组表示的平面区域及直线300x+400y=0,平移该直线,当平移到经过该平面
区域内的 点A(4,4)时,相应直线在y轴上的截距达到最大,此时z=300x+400y取得最大值,
最大 值是z=300×4+400×4=2 800,即该公司可获得的最大利润是2 800元.
第五节基本不等式与柯西不等式(选修4-5)


a+b
1.基本不等式ab≤
2
(1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0.
(2)等号成立的条件:当且仅当a=b时取等号.
2.算术平均数与几何平均数
a+b
设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为,几何平均数为ab,基本不等式可叙述为:
2
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
3.利用基本不等式求最值问题
已知x>0,y>0,则:
(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值是2p.(简记:积定和最小)

26


p
2
(2)如果和x+y是定值p,那么当 且仅当x=y时,xy有最大值是.(简记:和定积最大)
4
4.平均值不等式
a +b+c
3
(1)定理:如果a,b,c为正数,则≥abc,当且仅当a=b=c时,等号成 立.
3
a+b+c
3
我们称为正数a,b,c的算术平均值,abc为正数 a,b,c的几何平均值,定
3
理中的不等式为三个正数的算术—几何平均值不等式,简称为平 均值不等式.
(2)一般形式的算术—几何平均值不等式:如果a
1
,a
2
,…,a
n
为n个正数,则
n
≥a
1
a
2
…a
n
,当且仅当a
1
=a
2
=…=a
n
时,等号成立.
5.柯西不等式
2222
(1)柯西不等式的代数形式: 设a
1
,a
2
,b
1
,b
2
均为实数,则 (a
2
1
+a
2
)(b
1
+b
2
)≥(a
1
b
1
+a
2
b
2
)(当
a
1
+a
2
+…+a
n
n
且仅当a
1< br>b
2
=a
2
b
1
时,等号成立).
(2) 柯西不等式的向量形式:设α,β为平面上的两个向量,则|α||β|

|α·β|. (3)二维形式的三角不等式:设x
1
,y
1
,x
2
, y
2
∈R,那么
?x
1
-x
2
?
2+?y
1
-y
2
?
2
.
2
(4)柯 西不等式的一般形式:设a
1
,a
2
,…,a
n
,b
1
,b
2
,…,b
n
为实数,则(a
2
1
+a
2
+…
2222
+a
2
当且仅当b
i
=0或存在一个数k,使a
i
=kb
i
(i
n
)(b1
+b
2
+…+b
n
)≥(a
1
b
1
+a
2
b
2
+…+a
n
b
n
),
222
x
2
1
+y
1
+x
2
+y
2

=1,2,…,n)时,等号成立.

1.求最值时要注意三点:一是各项为正;二是寻求定值;三是考虑等号成立的条件.
2.多次使用基本不等式时,易忽视取等号的条件的一致性.
3.使用柯西不等式或平均值不等式时易忽视等号成立的条件.
[试一试]
a+b
1.“a>0且b>0”是“≥ab”成立的( )
2
A.充分不必要条件
C.充要条件
答案:A
2.已知01
A.
3
3
C.
4
1
B.
2
2
D.
3
B.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件

27


1193
解析:选B 由00,则x(3-3x)=× 3x(3-3x)≤×=,当且仅当
3344
1
3x=3-3x,即x=时等号成立.
2
3.已知x
2
+y
2
=10,则3x+4y的最大值为( )
A.510
C.310
B.410
D.210
解析:选A ∵(3
2
+4
2
)(x
2
+y
2
)≥(3x+4y)
2

当且仅当3y=4x时等号成立,
∴25×10≥(3x+4y)
2

∴(3x+4y)
max
=510.

1.活用几个重要的不等式
ba
a
2
+b
2
≥2ab(a,b∈R);+≥2(a,b 同号).
ab
a+b
?
2
a+b
?
2
a +b
ab≤
?
(a,b∈R);
?
?
2
??
2
?

2
(a,b∈R).
2.巧用“拆”“拼”“凑” 在运用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足基本不等式中
“正”“定” “等”的条件.
[练一练]
若x>1,则x+
4
的最小值为________.
x-1
22
44
解析:x+=x-1++1≥4+1=5.
x-1x-1
4
当且仅当x-1=,即x=3时等号成立.
x-1
答案:5


考点一
利用基本不等式求最值
a
[典例] (1)(2013·四川高考)已知函数f(x)=4x+
(x>0,a >0)在x=3时取得最小值,则
x

28


a=________.
a
[解析] f(x)=4x+
≥2
x
则由题意知a=4×3
2
=36.
[答案] 36
21
(2)(2014·长春调研)若两个正实数x,y满足+=1 ,并且x+2y>m
2
+2m恒成立,则实
xy
数m的取值范围是_____ ___.
21
?
4yx4yx

=2+++2≥8,当且仅当=, 即x=2y=4时等号
[解析] x+2y=(x+2y)
?
?
xy
?
xyxy
成立.由x+2y>m
2
+2m恒成立,可知m
2
+2m<8,m
2
+2m-8<0,解得-4[答案] (-4,2)
z
(3)(2013·山东高考改编)设正实数x,y,z满足x
2
-3xy +4y
2
-z=0,则的最小值为
xy
________.
[解析] z=x
2
-3xy+4y
2
(x,y,z∈R

), 22
z
x-3xy+4y
x4y
∴==+-3≥2
xyxyyx
aa
4x·=4a(x>0,a>0),当且仅当4x=,即a=4x
2
时取 等号,
xx
x4y
·-3=1.
yx
x4y
当且仅当=,即x=2y=4时“=”成立.
yx
[答案] 1
z
在(3)的条件中,当取最小值时,求x+2y-z的最大值.
xy

z
解:由(3)知当取最小值时x=2y.
xy
∴z=x
2
-3xy+4y
2
=4y
2
-6y
2
+4y
2< br>=2y
2

∴x+2y-z=2y+2y-2y
2
=-2y
2
+4y=-2(y-1)
2
+2.
∴当y=1时,x+2y-z取最大值2.
[类题通法]
两个正数的和与积的转化
基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能,
因此可以 用在一些不等式的证明中,还可以用于求代数式的最值或取值范围.如果条件等式
中,同时含有两个变量 的和与积的形式,就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进
行转化,然后通过解不等式进行求解 .

29


[针对训练]
(1)当x>0时,则f(x)=
2x
的最大值为________.
x+ 1
2
(2)已知log
2
a+log
2
b≥1,则3
a
+9
b
的最小值为________.
(3)已知x>0,y>0,x y=x+2y,若xy≥m-2恒成立,则实数m的最大值是________.
解析:(1)∵x>0,
2x22
∴f(x)=
2
=≤=1,
x+1
x+
12
x
1
当且仅当x=,即x=1时取等号.
x
(2)由log
2
a+log
2
b≥1得log
2
(ab)≥1,
a+2b
即ab≥2,∴3+9=3+3≥2×3(当且仅当3< br>a
=3
2b
,即a=2b时取等号).
2
aba2b
又∵a+2b≥22ab≥4(当且仅当a=2b时取等号),
∴3
a
+9
b
≥2×3
2
=18.
即当a=2b时,3
a
+9
b
有最小值18.
(3)由x >0,y>0,xy=x+2y≥22xy,得xy≥8,于是由m-2≤xy恒成立,得m-2≤8,
即m≤10.故m的最大值为10.
答案:(1)1 (2)18 (3)10
考点二
基本不等式的实际应用
[典例] 某厂家拟在2013年举行促销活动,经调查测算,该产品 的年销售量(即该厂的年
k
产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x=3-(k为常 数),如果不搞促销活动,则
m+1
该产品的年销售量只能是1万件.已知2013年生产该产 品的固定投入为8万元.每生产一万
件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件 产品年平均成本的1.5倍
(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).
(1)将2013年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数;
(2)该厂家2013年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?
[解] (1)由题意知,当m=0时,x=1(万件),
2
∴1=3-k?k=2,∴x=3-,
m+1

30


8+16x
每件产品的销售价格为1.5×(元),
x
8+16x
∴2013年的利润y=1.5x×-8-16x-m
x?
16
+?m+1?
?
=-
??
+29(m≥0).
m+1
??
16
(2)∵m≥0时,+(m+1)≥216=8,
m+1
∴y≤-8+29=21,
16
当且仅当=m+1?m=3(万元)时,y
max
=21(万元).
m+1
故该厂家2013年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大为21万元.
[类题通法]
利用基本不等式求解实际应用题的方法
(1)问题的背景是人们关心 的社会热点问题,如“物价、销售、税收、原材料”等,题目
往往较长,解题时需认真阅读,从中提炼出 有用信息,建立数学模型,转化为数学问题求解.
(2)当运用基本不等式求最值时,若等号成立的自 变量不在定义域内时,就不能使用基本
不等式求解,此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解.
[针对训练]
(2013·湖南省五市十校联合检测)某化工企业2012年底投入100万 元,购入一套污水处理
设备.该设备每年的运转费用是0.5万元,此外每年都要花费一定的维护费,第 一年的维护
费为2万元,由于设备老化,以后每年的维护费都比上一年增加2万元.设该企业使用该设< br>备x年的年平均污水处理费用为y(单位:万元).
(1)用x表示y;
(2)当该 企业的年平均污水处理费用最低时,企业需重新更换新的污水处理设备.则该企
业几年后需要重新更换新 的污水处理设备.
100+0.5x+?2+4+6+…+2x?
解:(1)由题意得,y=,
x
100
即y=x++1.5(x∈N
*
).
x
(2)由基本不等式得:
100
y=x++1.5≥2
x
100
x·+1.5=21.5,
x

31


100
当且仅当x=,即x=10时取等号.
x
故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备.
考点三
柯西不等式及应用
[典例] 已知函数f(x)=m-|x-2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集为[-1,1].
(1)求m的值;
111

(2)若a,b,c∈R,且++=m,求证:a+2b+3c≥9.
a2b3c
[解] (1)因为f(x+2)=m-|x|,f(x+2)≥0等价于|x|≤ m,由|x|≤m有解,得m≥0,且其
解集为{x|-m≤x≤m}.
又f(x+2)≥0的解集为[-1,1],故m=1.
111
(2)证明:由(1 )知++=1,又a,b,c∈R

,由柯西不等式得a+2b+3c=(a+2b
a 2b3c
111
111
?
?
++

a·+2b·+ 3c·
?
2
=9. +3c)
?
?
a2b3c
?< br>?
a2b3c
?
[类题通法]
1.使用柯西不等式证明的关键是恰当 变形,化为符合它的结构形式,当一个式子与柯西
不等式的左边或右边具有一致形式时,就可使用柯西不 等式进行证明.
2.利用柯西不等式求最值的一般结构为:
11
?
22< br>?
1
22
(a
2
要注意右
1
+a
2
+…+a
n
)
a
2

a
2
+…+
a
2
≥(1+1+…+1)=n.在使用柯西不等式时,
??
12n
边为常数且应注意等号成立的条件.
[针对训练]
已知实数a,b,c,d满足a +b+c+d=3,a
2
+2b
2
+3c
2
+6d
2
=5,求证:1≤a≤2.
111
?
++
≥(b+c+d)
2
, 证明:由柯西不等式 得(2b
2
+3c
2
+6d
2
)
?
?236
?
即2b
2
+3c
2
+6d
2
≥(b+c+d)
2

由已知可得2b
2
+3c
2
+6d
2
=5-a
2
,b+c+d=3-a,
∴5-a
2
≥(3-a)
2
,即1≤a≤2.
当且仅当
2b3c6d
==,即2b=3c=6d时等号成立.
111
236

32


第六节合情推理与演绎推理


1.合情推理
(1)归纳推理:
①定义:由某类事物的部分 对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特
征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的 推理.
②特点:是由部分到整体、由个别到一般的推理.
(2)类比推理
①定义 :由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对
象也具有这些特征的推理 .
②特点:类比推理是由特殊到特殊的推理.
2.演绎推理
(1)模式:三段论
①大前提——已知的一般原理;
②小前提——所研究的特殊情况;
③结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断.
(2)特点:演绎推理是由一般到特殊的推理.

演绎推理是由一般到特殊的证明, 它常用来证明和推理数学问题,注意推理过程的严密
性,书写格式的规范性.
[试一试]
1.数列2,5,11,20,x,47,…中的x等于( )
A.28
C.33
B.32
D.27
解析:选B 由5-2=3,11-5=6,20-11=9.
则x-20=12,因此x=32.
1< br>?
x
?
1
?
2.“因为指数函数y=a
x
是 增函数(大前提),而y=
?
是指数函数(小前提),所以y=
?
3
??
3
?
x
是增函数(结论)”,上面推理的错误是( )

33


A.大前提错导致结论错
B.小前提错导致结论错
C.推理形式错导致结论错
D.大前提和小前提都导致结论错
解析:选A y=a
x
是增函数这个大前提是错误的,从而导致结论错误.

归纳推理与类比推理的步骤
(1)归纳推理的一般步骤:
①通过观察个别情况发现某些相同性质;
②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想);
③检验猜想.
实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论
(2)类比推理的一般步骤:
①找出两类事物之间的相似性或一致性;
②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);
③检验猜想.
观察、比较→联想、类推→猜想新结论
[练一练]
在平面上,若两个正三角形的边 长的比为1∶2,则它们的面积比为1∶4.类似地,在空
间中,若两个正四面体的棱长的比为1∶2, 则它们的体积比为________.
1
Sh
V
1
3
11
?
S
1
?
h
1
111
解析:==
?
S
?
·=×=.
V
2
128
2
h2
4
S
2
h
2
3
答案:1∶8

考点一
类比推理
1.给出下面类比推理(其中Q为有理数集,R为实数集,C为复数集):
①“若a,b∈R,则a-b=0?a=b”类比推出“a,c∈C,则a-c=0?a=c”; ②“若a,b,c,d∈R,则复数a+bi=c+di?a=c,b=d”类比推出“a,b,c,d∈Q ,
则a+b2=c+d2?a=c,b=d ”;
③“a,b∈R,则a-b>0?a>b”类比推出“若a,b∈C,则a-b>0?a>b”;

34


④“若x∈R,则|x|<1?-1<x<1”类比推出“若 z∈C,则|z|<1?-1<z<1”.
其中类比结论正确的个数为( )
A.1
C.3
解析:选B 类比结论正确的有①②.
2.在平面几何里,有“若△A BC的三边长分别为a,b,c内切圆半径为r,则三角形面
1
积为S

AB C
=(a+b+c)r”,拓展到空间,类比上述结论,“若四面体 ABCD的四个面的面
2
积分别为S
1
,S
2
,S
3
,S
4
,内切球的半径为r,则四面体的体积为____________”.
解析:三角形的面积类比为 四面体的体积,三角形的边长类比为四面体四个面的面积,
11
内切圆半径类比为内切球的半径 .二维图形中类比为三维图形中的,得V
23
+S
2
+S
3
+S
4
)r.
1
答案:V
四面体
ABCD
=(S
1
+S
2
+S
3
+S
4
)r
3
[类题通法]
类比推理的分类
类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法
(1)类比定义:在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时,可以借助原定义来求
解;
(2)类比性质:从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手,提出类比推理型问题,
求 解时要认真分析两者之间的联系与区别,深入思考两者的转化过程是求解的关键;
(3)类比方法:有 一些处理问题的方法具有类比性,我们可以把这种方法类比应用到其他
问题的求解中,注意知识的迁移.
考点二
归纳推理
1
=(S
四面体
ABCD
3
1
B.2
D.4
[典例] (1)(2013·陕西高考)观察下列等式
1
2
=1
1
2
-2
2
=-3
1
2
-2
2
+3
2
=6
1
2< br>-2
2
+3
2
-4
2
=-10
……
照此规律,第n个等式可为________.
(2)已知函数f(x)=
x
(x>0).如下定义一列函数:f
1
(x)=f(x),f
2
(x)=f (f
1
(x)),f
3
(x)=
x+2
35
< /p>


f(f
2
(x)),…,f
n
(x)=f(f
n

1
(x)),…,n∈N
*
,那么由归纳推理可得函数f
n
(x)的解析式是f
n
(x)=
________.
[解析] (1)观察等式可知,第n个式子为1
2
-2
2
+3
2
-4
2
+…+(-1)
n

1
n
2
=(-1)
n

1
n?n+1?
.
2
(2)依题意得,f< br>1
(x)=
x
f
2
(x)=
xx
==
2

2
x
3x+4?2-1?x+2
+2
x+2
x
f
3
(x)=
xx
==
3
,…,
3
x
+2
7x+8?2-1?x+2
3x+4
3x+4
x+2

x+2
x
x
由此归纳可得f
n
(x)=
n
(x>0).
?2-1?x+2
n
[答案] (1)1
2-2
2
+3
2
-4
2
+…+(-1)
n1n
2
=(-1)
n
++
1
n?n+1?
x (2)
n
(x>0)
2
?2-1?x+2
n
[类题通法]
归纳推理的分类
常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类
(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳,解决 此类问题时,需要细心观察,寻求相邻项及
项与序号之间的关系,同时还要联系相关的知识,如等差数列 、等比数列等;
(2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳.
[针对训练]
下面图形由小正方形组成,请观察图1至图4的规律,并依此规律,写出第n个图形中
小正方形 的个数是________.

解析:由图知第n个图形的小正方形个数为1+2+3+…+n.
n?n+1?
∴总个数为.
2

36


n?n+1?
答案:
2

考点三
演绎推理
n+2
S
n
(n∈N
*
).证明:
n
[典例] 数列{a
n
}的前n项和记为S
n
,已知a< br>1
=1,a
n

1

?
S
n
?
(1)数列
?
n
?
是等比数列;
??
(2)S
n

1
=4a
n
.
n+2
[证明] (1)∵a
n

1
=S
n

1
-S
n
,a
n

1
=S,
n
n
∴(n+2)S
n
=n(S
n

1
-S
n
),即nS
n

1
=2(n+1)S
n.

S
n

1
S
n
=2·,(小前提) < br>n
n+1
??
?
S
n
?

?
n
?
是以2为公比,1为首项的等比数列.(结论)
(大前提是等比数列的定义)
(2)由(1)可知
S
n

1
S
n

1
=4·(n≥2),
n+1n-1
S
n

1
n-1+2
∴S
n

1
= 4(n+1)·=4··S
n

1
=4a
n
(n≥2).( 小前提)
n-1n-1
又∵a
2
=3S
1
=3,S
2
=a
1
+a
2
=1+3=4=4a
1
,(小前 提)
∴对于任意正整数n,都有S
n

1
=4a
n
.(结论)
[类题通法]
演绎推理的结构特点
(1)演绎推理是由一般到特殊 的推理,其最常见的形式是三段论,它是由大前提、小前提、
结论三部分组成的.三段论推理中包含三个 判断:第一个判断称为大前提,它提供了一个一
般的原理;第二个判断叫小前提,它指出了一个特殊情况 .这两个判断联合起来,提示了一
般原理和特殊情况的内在联系,从而产生了第三个判断:结论. (2)演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系,解题时要找准正确的大前提.一般地,
若大前 提不明确时,一般可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.
[针对训练]
如图所示,D ,E,F分别是BC,CA,AB上的点,∠BFD=∠A,且
DE∥BA.求证:ED=AF(要求注 明每一步推理的大前提、小前提和结论,

37


并最终把推理过程用简略的形式表示出来).
证明:(1)同位角相等,两条直线平行,(大前提)
∠BFD与∠A是同位角,且∠BFD=∠A,(小前提)
所以DF∥EA.(结论)
(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形,(大前提)
DE∥BA且DF∥EA,(小前提)
所以四边形AFDE为平行四边形.(结论)
(3)平行四边形的对边相等,(大前提)
ED和AF为平行四边形的对边,(小前提)
所以ED=AF.(结论)
上面的证明可简略地写成:

∠BFD=∠A?DF∥EA
?
?
DE∥BA
?
?四边形AFDE是平行四边形?ED=AF.
?
?

38



第七节直接证明和间接证明


证明不等式的常用方法
1.比较法
(1)求差比较法:
由a>b?a- b>0,a<b?a-b<0,因此要证明a>b,只要证明a-b>0即可,这种方
法称为求差比较法 .
(2)求商比较法:
aa
由a>b>0?>1且a>0,b>0,因此当a>0 ,b>0时要证明a>b,只要证明>1即
bb
可,这种方法称为求商比较法.
2.综合法
利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导 出所
要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.
3.分析法
从要证明的结论出 发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结
为判定一个明显成立的条件(已知条 件、定理、定义、公理等)为止,这种证明方法叫做分析
法.
4.放缩法
在证明不 等式时,有时我们要把所证不等式中的某些部分的值放大或缩小,简化不等式,
从而达到证明的目的.这 种方法称为放缩法.
5.反证法
假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此 说明假设错误,从而证明了
原命题成立,这样的证明方法叫做反证法.

1.用分析 法证明数学问题时,要注意书写格式的规范性,常常用“要证(欲证)…”“即
要证…”“就要证…”等 分析到一个明显成立的结论P,再说明所要证明的数学问题成立.
2.利用反证法证明数学问题时,没有用假设命题推理而推出矛盾结果,其推理过程是错
误的.

39


[试一试]
1.要证明3+7<25,可选择的方法有以下几种,其中最合理的是( )
A.综合法
C.反证法
B.分析法
D.归纳法
解析:选B 要证明3+7<25成立,可采用分析法对不等式两边平方后再证明.
33
2.用反证法证明“如果a>b,那么a>b”假设内容应是( )
33
A.a=b
3333
C.a=b且a33
B.a3333
D.a=b或a3333
解析:选D 假设结论不成立,即a>b的否定为a≤ b.

1.明晰三种证题的一般规律
(1)综合法证题的一般规律:
用综合法证明命题时 ,必须首先找到正确的出发点,也就是能想到从哪里起步,我们一
般的处理方法是广泛地联想已知条件所 具备的各种性质,逐层推进,从而由已知逐步推出结
论.
(2)分析法证题的一般规律: < br>分析法的思路是逆向思维,用分析法证题必须从结论出发,倒着分析,寻找结论成立的
充分条件. 应用分析法证明问题时要严格按分析法的语言表达,下一步是上一步的充分条件.
(3)反证法证题的一般规律:
反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立.反证法的主要依 据是逻辑中的排中律,排
中律的一般形式是:或者是A,或者是非A.即在同一讨论过程中,A和非A有 且仅有一个是
正确的,不能有第三种情况出现.
2.放缩法证明不等式的技巧
(1 )放缩法原理简单,但放缩技巧性强,而且应用广泛,常用的放缩法有增项、减项,利
用分式的性质、函 数的性质、不等式的性质等.其理论依据是不等式的传递性,使用此方法
时要注意把握放大或缩小的度.
(2)常见的放缩技巧有:


111
>
2
>( k≥2,k∈N
*
);
k?k-1?
k
k?k+1?
22 2
>>(k≥2,且k∈N
*
).
k-1+k
2k
k+k+1
[针对训练]

40


在不等边三角形中,a为最大边,要想得到∠A为钝角的结论,三边a,b,c应满足
________.
b
2
+c
2
-a
2
解析:由余弦定理cos A= <0,所以b
2
+c
2
-a
2
<0,即a
2
>b
2
+c
2
.
2bc
答案:a
2
>b
2
+c
2


考点一
综合法
1.(2013·江苏高考节选)设{a
n}是首项为a,公差为d的等差数列(d≠0),S
n
是其前n项的
和.记bn

nS
n
,n∈N
*
,其中 c为实数.若c=0, 且b
1
,b
2
,b
4
成等比数列,证明:S
n k
2
n+c
=n
2
S
k
(k,n∈N
*).
n?n-1?
证明:由题意得,S
n
=na+d.
2< br>n-1
d
S
n
2
a+
?
2
由c=0 ,得b
n
==a+d.又因为b
1
,b
2
,b
4< br>成等比数列,所以b
2
=b
1
b
4
,即
?< br>?
2
?
n2
3
a+d
?
,化简得d
2
-2ad=0.因为d≠0,所以d=2a. =a
?
?
2
?因此,对于所有的m∈N
*
,有S
m
=m
2
a.
从而对于所有的k,n∈N
*
,有S
n k
=(nk)
2< br>a=n
2
k
2
a=n
2
S
k
. < br>11
2.已知函数f(x)=ln(1+x),g(x)=a+bx-x
2
+x
3
,函数y=f(x)与函数y=g(x)的图像
23
在交点(0,0)处有 公共切线.
(1)求a,b;
(2)证明:f(x)≤g(x).
1
解:(1)f′(x)=,
1+x
g′(x)=b-x+x
2

?
?
g?0 ?=f?0?,
由题意得
?
解得a=0,b=1.
?
f′?0?= g′?0?,
?
(2)证明:令h(x)=f(x)-g(x)
11
=ln(x+1)-x
3
+x
2
-x(x>-1).
32

41


h′(x)=-x+x-1=.
x+1x+1
h(x)在(-1,0)上为增函数,在(0,+∞)上为减函数.
h(x)
max
=h(0)=0,h(x)≤h(0)=0,即f(x)≤g(x).
[类题通法]
综合法证题的思路
1
2
-x
3


考点二
分析法
ππ
0,
?
,若x
1
,x
2

?
0,
?
,且x
1
≠x
2
, [典例] 已知函数f(x)=tan x,x∈
?
?
2
??
2
?
x
1
+x
2
?
1
求证:
[f(x
1
)+f(x
2
)]>f
?
2< br>?
2
?
.
?
x
1
+x
2
?
1
[证明] 要证[f(x
1
)+f(x
2
)]>f
??

2
2
??
x
1
+x
2
1
即证明(tan x
1
+tan x
2
)>tan,
22
x
1
+x
2
1
?
sin x
1
sin x
2
?
只需证明
?
cos x

cos x
?
>tan,
22
12
sin? x
1
+x
2
?sin?x
1
+x
2
?只需证明>.
2cos x
1
cos x
2
1+cos?x< br>1
+x
2
?
π
0,
?
,故x
1+x
2
∈(0,π). 由于x
1
,x
2

?
?
2
?
∴cos x
1
cos x
2
>0,sin(x
1
+x
2
)>0,
1+cos(x
1
+x
2
)>0,
故只需证明1+cos(x
1
+x
2
)>2cos x
1
cos x
2


42


即证1+cos x
1
cos x
2
-sin x
1
sin x
2
>2cos x
1
cos x
2

即证:cos(x
1
-x
2
)<1.
π
0,
?
,x
1
≠x
2
知上式显然成立, 由x
1
,x
2

?
?
2
?
?x
1
+x
2
?
1
因此,
[f(x
1< br>)+f(x
2
)]>f
??
.
2
?
2?
若本例中f(x)变为f(x)=3
x
-2x,试证:对于任意的x
1
,x
2


f?x
1
?+f?x
2
?
?
x
1
+x
2
?
R,均有≥f
2?
2
?
.
f?x
1
?+f?x
2
?
?
x
1
+x
2
?
证明:要证明≥f
??< br>,
2
2
??
?3x
1
-2x
1
? +?3x
2
-2x
2
?x
1
+x
2
x1
+x
2
即证明≥3-2·,
222
3x
1
+3x
2
x
1
+x
2
因此只要证明-(x
1
+x
2
)≥3-(x
1
+x
2
),
22
3x
1
+3x
2
x
1
+x
2
即证明≥3 ,
22
3x
1
+3x
2
因此只要证明≥3x
1< br>·3x
2

2
由于x
1
,x
2
∈ R时,3x
1
>0,3x
2
>0,
由基本不等式知
3x
1
+3x
2
≥3x
1
·3x
2
显然成立,
2
故原结论成立.
[类题通法]
分析法证题的技巧
(1)逆向 思考是用分析法证题的主要思想,通过反推,逐步寻找使结论成立的充分条件.正
确把握转化方向是使问 题顺利获解的关键.
(2)证明较复杂的问题时,可以采用两头凑的办法,即通过分析法找出某个与结 论等价(或
充分)的中间结论,然后通过综合法由条件证明这个中间结论,从而使原命题得证.
[针对训练]
△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,A,B,C的对边分别为a,b,c.

43


求证:
113
+=.
a+bb+ca+b+c
13
+=,
a+bb+ca+b+c
1< br>证明:要证
a+b+ca+b+c
ca
即证+=3也就是+=1,
a+bb+ca+bb+c
只需证c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),
需证c
2
+a
2
=ac+b
2

又△ABC三内角A,B,C成等差数列,故B=60°,
由余弦定理,得
b
2
=c
2
+a
2
-2accos 60°,即b
2
=c
2
+a
2
-ac,
故c
2
+a
2
=ac+b
2
成立.
于是原等式成立.
考点三
反证法
5
[典例] 已知f(x)= ax
2
+bx+c,若a+c=0,f(x)在[-1,1]上的最大值为2,最小值为-.< br>2
b
?
求证:a≠0且
?
?
a
?
< 2.
b
?
[证明] 假设a=0或
?
?
a
?
≥2.
(1)当a=0时,由a+c=0,得f(x)=bx,显然b≠0.
由题意得f(x)=bx在[-1,1]上是单调函数,
所以f(x)的最大值为|b|,最小值为-|b|.
51
由已知条件,得|b|+(-|b|)=2-=-,
22
这与|b|+(-|b|)=0相矛盾,所以a≠0.
b
?
b
(2)当
?
≥2时,由二次函数的对称轴为x=-,
?
a
?
2a
知f(x)在[-1,1]上是单调函数,故其最值在区 间的端点处取得.

44


?
?
f?1?=a+b+c=2,
所以
?

5
?
?
f?-1?=a-b+c=-
2

5
?
?
f?1?=a+b+c=-
2


?
?
?
f?-1?=a-b+c=2.
b
?
又a+c=0,则此时 b无解,所以
?
?
a
?
<2.
b
?
由( 1)(2),得a≠0且
?
?
a
?
<2.
[类题通法]
反证法证明问题的一般步骤
(1)反设:假设所要证的结论不成立,而设结论的反面(否定命题)成立;(否定结论)
( 2)归谬:将“反设”作为条件,由此出发经过正确的推理,导出矛盾——与已知条件、
已知的定义、公 理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾;(推导矛盾)
(3)立论:因为推理正确,所以产生矛盾的原 因在于“反设”的谬误.既然原命题结论的
反面不成立,从而肯定了原命题成立.(命题成立)
[针对训练]
实数a,b,c,d满足a+b=c+d=1,ac+bd>1,求证:a,b ,c,d中至少有一个为
负数.
证明:假设a,b,c,d都是非负数,则由a+b=c+d=1,
得1=(a+b)(c+d)=ac+bd+ad+bc≥ac+bd,
即ac+bd≤1,这与ac+bd>1矛盾,
故假设不成立.即a,b,c,d中至少有一个为负数.
考点四
放缩法


[典例] (2014·大连模拟)已知a>0,b>0,c>0,a+b>c.
求证:
abc
+>.
1+a1+b1+c
[证明] ∵a>0,b>0,
aabb
∴>,>.
1+a1+a+b1+b1+a+b
a+b
ab
∴+>.
1+a1+b1+a+b

45


x1
而函数f(x)==1-
1+x1+x
在(0,+∞)上递增,
且a+b>c,∴f(a+b)>f(c),

c
>,
1+a+b1+c
a+b
abc
所以+>,
1+a1+b1+c
故原不等式成立.
[类题通法]
放缩法证明不等式时 ,常见的放缩依据和技巧是不等式的传递性.缩小分母、扩大分子,
分式值增大;缩小分子、扩大分母, 分式值减小;每一次缩小其和变小,但需大于所求;每
一次扩大其和变大,但需小于所求,即不能放缩不 够或放缩过头.
[针对训练]
1111
设n是正整数,求证:≤++…+<1.
2
n+1n+2
2n
111
证明:由2n≥n+k>n(k=1,2 ,…,n),得≤<.
2n
n+k
n
111
当k=1时,≤<;
2n
n+1
n
111
当k=2时,≤<;
2n
n+2
n

111
当k=n时,≤<,
2n
n+n
n
1n111n
∴=≤++…+<=1.
22n
n+1n+2
2nn
第八节数学归纳法



46


数学归纳法
一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:
(1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n
0
(n
0
∈N
*
)时命题成立;
( 2)(归纳递推)假设n=k(k≥n
0
,k∈N
*
)时命题成立,证明当n =k+1时命题也成立.
只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n
0
开始的所有 正整数n都成立.上述证明方
法叫做数学归纳法.

1.数学归纳法证题时,误把第 一个值n
0
认为是1,如证明多边形内角和定理(n-2)π时,
初始值n
0
=3.
2.数学归纳法证题的关键是第二步,证题时应注意:①必须利用归纳假设作基础;② 证
明中可利用综合法、分析法、反证法等方法;③解题时要搞清从n=k到n=k+1增加了哪些
项或减少了哪些项.
[试一试]
1
1.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n-3)条时,第一步检验n等于( )
2
A.1
C.3
答案:C
1111
2.已知f(n)=+++…+
2
,则( )
n
n+1n+2
n
11
A.f(n)中共有n项,当n=2时,f(2)=+
23
111
B.f(n)中共有n+1项,当n=2时,f(2)=++
2 34
11
C.f(n)中共有n
2
-n项,当n=2时,f(2)=+ 23
111
D.f(n)中共有n
2
-n+1项,当n=2时,f(2) =++
234
111
解析:选D 由f(n)可知,共有n
2
-n+1项,且n=2时,f(2)=++.
234

明确数学归纳法的两步证明
数学归纳法是一种只适用于与正整数有 关的命题的证明方法,它们的表述严格而且规范,
两个步骤缺一不可.第一步是递推的基础,第二步是递 推的依据,第二步中,归纳假设起着
“已知条件”的作用,在n=k+1时一定要运用它,否则就不是数 学归纳法.第二步的关键
是“一凑假设,二凑结论”.
B.2
D.0

47


[练一练]
111
用数学归纳法证明:“1+++… +
n
1)”,由n=k(k>1)不等式成立,推证n
23
2-1
=k+1时,左边应增加的项的项数是________.
111
解析:当n=k时,不等式为1+++…+
k
23
2-1
则n=k+1时,左边应为:
111111
1+++… +
k

k

k
+…+
k1

23
2-1
2
2+12

-1
则增加的项数为2
k
1
-1-2
k
+1=2
k
.
答案:2
k


考点一
用数学归纳法证明等式
11111111
1.求证:1-+-+…+-=++…+(n∈N
*
).
2342n
2n-1
2n
n+1n+2
11
证明:(1)当 n=1时,左边=1-=,
22
右边=
1
=.左边=右边.
1+ 1
2
1
11111111
(2)假设n=k时等式成立,即1-+-+…+- =++…+,
2342k
2k-1
2k
k+1k+2
则当n=k+1时,
?
1-
1

1

1
+…+
1

1
??
1

1
?

??
234< br>?

2k-1
2k
?
???
2k+12k+2
?
?
1

1
+…+
1
??
1

1
?

?
2k
?

?
2k+12 k+2
?

?
k+1k+2
???

111
++…++.
k+2k+32k+12k+2
1
即当n=k+1时,等式也成立.
综合(1),(2)可知,对一切n∈N
*
,等式成立.
111
2.设f(n)=1+++…+(n∈N
*
).
23n

48

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