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最新人教版高中数学选修4-4测试题全套及答案

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-07 08:42
tags:高中数学选修4-5

高中数学国外什么水平-徐氏创新思维高中数学老师金

2020年10月7日发(作者:王三运)


最新人教版高中数学选修4-4测试题全套及答案
第一章 测试题
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四小选项中,
只有一项是 符合题目要求的).
1.原点与极点重合,x轴正半轴与极轴重合,则点(-2,-23)的极坐标是( )
π
4,
?
A.
?
?
3
?

-4,-
?
C.
?
3
??

4,
?
B.
?
3
??

4,
?
D.
?
3
??
解析: 由直角坐标与极坐标互化公式:
y
ρ
2
=x
2
+y
2
,tan θ=(x≠0).
x
把点(-2,-23)代入即可得ρ=4,tan θ=3,

因为点(-2,-23)在第三象限,所以θ=.
3
答案: B 2.在极坐标系中有如下三个结论:①点P在曲线C上,则点P的极坐标满足曲线C
π
的极 坐标方程;②tan θ=1与θ=表示同一条曲线;③ρ=3与ρ=-3表示同一条曲线.在
4
这三个结论中正确的是( )
A.①③
C.②③
B.①
D.③
解析: 在直角坐标系内,曲线上每一点的坐标一定适合它的方程,但在极坐标系内,
曲线上一 点的所有坐标不一定都适合方程,故①是错误的;
π5π
tan θ=1不仅表示θ=这条射 线,还表示θ=这条射线,故②亦不对;ρ=3与ρ=-
44
3差别仅在于方向不同,但都表示 一个半径为3的圆,故③正确.
答案: D
x
2
y
2
3 .可以将椭圆+=1变为圆x
2
+y
2
=4的伸缩变换( )
108
?
5x′=2x
A.
?

?
2y′=y
C.
?

?
2x′=5x
B.
?

?
y′=2y
D.
?
?
2x′=x

?
5y′=2x

?
5x′=2x

?
2y′=y


x
2
y
2
2x
2
y
2
解析: 方法一:将椭圆方程+=1化为+=4, < br>10852
?
2x
?
2
?
y
?
2< br>∴
?
=4,
?

?
5
?
?
2
?
2
x′=x,
?
?
5

?
y
y′=,
?
?
2
即x
2
+y
2
=4,

得x′
2
+y′
2
=4,
?
5x′=2x,
∴伸缩变换
?
为所求.
?
2y ′=y
方法二:将x
2
+y
2
=4改写为x′
2
+ y′
2
=4,
?
?
x′=λx?λ>0?,
设满足题意的伸缩变换为
?

?
y′=μy?μ>0?,
?


代入x′
2+y′
2
=4得λ
2
x
2
+μ
2
y< br>2
=4,
λ
2
x
2
μ
2
y
2
即+=1,
44
x
2
y
2
与椭圆+=1比较系数得
108< br>?
?
μ
1
?
4

8

2< br>λ
2
1
=,
410

2
λ=
?
?
5
解得
?
1
μ=
?
?
2

2
x′=x,
?
?
5
∴伸缩变换为
?< br>1
y′=y,
?
?
2
答案: D



?
5x′=2x,

?
.
?
2y′=y

π
4,
?
作曲线C的切线,则切线 4.在极坐标方程中,曲线C的方程是ρ=4sin θ,过点
?
?
6
?
长为( )
A.4
C.22
B.7
D.23
π
4,
?
化为直角坐标为(23,解析: ρ=4sin θ化为普通方程为 x
2
+(y-2)
2
=4,点
?
2),
?
6
?
切线长、圆心到定点的距离及半径构成直角三角形,由勾股定理:切线长为
?23 ?
2
+?2-2?
2
-2
2
=22.


答案: C
5.在极坐标中,与圆ρ=4sin θ相切的一条直线方程为( )
A.ρsin θ=2
C.ρcos θ=4
B.ρcos θ=2
D.ρcos θ=-4
π
2,
?
,半径为r=2, 解析: 圆ρ=4sin θ的圆心为
?
?
2
?
对于选项A,方程ρsin θ=2对应的直线y=2,与圆相交;
对于选项B,方程ρcos θ=2对应的直线x=2,与圆相切;
选项C,D对应的直线与圆相离.
答案: B
6.圆ρ=2(cos θ+sin θ)的圆心坐标是( )
π
1,
?
A.
?
?
4
?
π
2,
?
C.
?
4
??
1
π
?
B.
?
?
2

4
?

π
2,
?
D.
?
?
4
?
解析: 将圆的极坐标方程化成直角坐标方程
?
x-
?
2
?
2
?
2

y-?
2
=1,
2
??
2
?
圆心直角坐标为
?
答案: A
π
22
?
1,
?
. ,故其极坐标为
?

?
4
?
2
??
2
π
1,
?
的最近距离等于( ) 7.极坐标系内曲线ρ=2cosθ上的动点P与定点Q
?
?2
?
A.2-1
C.1
B.5-1
D.2
解析: 将曲线ρ=2cosθ化成直角坐标方程为(x-1)
2
+y
2=1,点Q的直角坐标为(0,1),
则P到Q的最短距离为点Q与圆心的距离减去半径,即2-1 .
答案: A
8.已知点P的坐标为(1,π),则过点P且垂直极轴的直线方程是( )
A.ρ=1
1
C.ρ=-
cos θ
B.ρ=cos θ
1
D.ρ=
cos θ
解析: 由点P的坐标可知,过点P且垂直极轴的直线方程在直角坐标系中为x=-1,
即ρcos θ=-1,故选C.
答案: C
π
θ+
?
(r>0)的公共弦所在直线的方程为( ) 9.圆ρ=r与圆 ρ=-2rsin
?
?
4
?
A.2ρ(sinθ+cosθ)=r


B.2ρ(sinθ+cosθ)=-r
C.2ρ(sinθ+cosθ)=r
D.2ρ(sinθ+cosθ)=-r
解析: 圆ρ=r的直角坐标方程为x
2
+y
2
=r
2

π
θ+
?
圆ρ=-2rsin
?
?
4
?
ππ
sinθcos+cosθsin
?
=-2r(sinθ+cosθ). =-2r
?
44
??
两边同乘以ρ得ρ
2
=-2r(ρsi nθ+ρcosθ),
∵x=ρcosθ,y=ρsinθ,ρ
2
=x
2< br>+y
2

∴x
2
+y
2
+2rx+2ry=0②
①-②整理得2( x+y)=-r,即为两圆公共弦所在直线的普通方程.再将直线2(x+
y)=-r化为极坐标方程为 2ρ(cosθ+sinθ)=-r.
答案: D
π
10.已知曲线C
1
,C
2
的极坐标方程分别为ρcos θ=3,ρ=4cos θ(ρ≥0,0≤θ<),则曲线
2
C
1
与C
2
交点的极坐标为( )
5
23,
π
?

A.
?
6
??

23,
?
C.
?
6
??
?
ρcos θ=3?①?,
?
解析: ∵
?

?
ρ=4cos θ?②?,
?
π
23,
?

B.
?
6
??
11
23,
π
?

D.
?
6
??

3
∴4cos
2
θ=3.∴cos θ=±
.
2
π
3
π
∵0≤θ<,∴cos θ=,∴θ=.
226
π
将θ=代入②,得ρ=23,
6
π
23,
?
. ∴C
1
与C
2
交点的极坐标为
?
6
??
答案: B
二、填空题(每小题5分,共20分.把正确答案填在题中的横线上)
π
2,
?
到直线l的距离为________. 11.在极坐标系中,直线l的方程为ρsin θ=3,则点
?
?
6
?
解析: 直线l的极坐标方程为ρsin θ=3,化为直线方程得y=3;
ππ
2,
?
化为直角坐标即为(3,1) ,于是点
?
2,
?
到直线l的距离为2. 点
?
?
6
??
6
?


答案: 2
π
12.在极坐标系中,由三条直线θ=0,θ=,ρcos θ+ρsin θ=1围成图形的面积是
3
________.
解析: 三条直线在直角坐标系下的方程依次为y=0,y=3x,
x+y=1.如图可知,
1
S

POQ
=×|OQ|×|y
p
|
2
3-3
13
=×1×=.
24
3+1
答案:
3-3

4
π
π
4,
?
绕极点逆时针旋转 得到点B,且|OA|13.已知极坐标系中,极点为O,将点A
?
?
6
?< br>4
=|OB|,则点B的直角坐标________.

4,
?
, 解析: 依题意,点B的极坐标为
?
?
12
?
∵cos
ππ
?

=cos
?
?
4

6
?

12
ππππ
=cos cos -sin sin
4646


sin
2321
×-×
2222
6-2

4
ππ
?

=si n
?
?
4

6
?

12
ππππ
=sin cos +cos sin
4646

6+2
2321
×+×=,
22224
6-2
=6-2,
4
∴x=ρcos θ=4×
y=ρsin θ=4×
6+2
=6+2.
4
∴点B的直角坐标为(6-2,6+2).
答案: (6-2,6+2)
14.从极点作圆ρ=2acos θ的弦,则各条弦中点的轨迹方程为________.
a
?
a
,0
为圆心,为半径的圆.求得方程是ρ=解析: 数形结合 ,易知所求轨迹是以
?
?
2
?
2


ππ
-≤θ≤
?
. acos θ
?
2
??
2
ππ
-≤θ≤
?
答案: ρ=acos θ
?
2
??
2
三、解答题(本大题共4小题,共50 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(12分)设极点O到直线l的距离为d,由 点O向直线l作垂
线,由极轴到垂线OA的角度为α(如图所示).求直线l的极坐标方程.
解析: 在直线l上任取一点M(ρ,θ).
在直角三角形OMA中,
由三角知识得ρcos(α-θ)=d,
d
即ρ=.这就是直线l的极坐标方程.
cos?α-θ?
2
16.(12分)已知⊙C:ρ=cos θ+sin θ,直线 l:ρ=2.求⊙C上点到直线l距离
π
?
cos
?
?
θ+
4
?
的最小值.
解析: ⊙C的直角坐标方程是x
2
+y
2
-x-y=0,
11
1
x-
?
2

?
y-
?
2
=. 即
?
?
2
??
2
?
2
又直线l的极坐标方程 为ρ(cos θ-sin θ)=4,
所以直线l的直角坐标方程为x-y-4=0.
1212
设M
?
+cos θ,+sin θ
?
为⊙C上任意一点,M点到直线l的距离
22
?
22
?
d=
?
1

2
cos θ-
?
12
?
-4
?
+sin θ
?
22
?
22
??
2

π
θ+
?
4-cos
?
?
4
?
=,
2

332
当θ=时,d
min
==.
42< br>2
17.(12分)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线
π
θ-
?
=1,M,N分别为C与x轴,y轴的交点. C的极坐标方程为ρ cos
?
?
3
?
(1)写出C的直角坐标方程,并求M,N的极坐标 ;
(2)设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程.
π
13
θ-
?
=1,得ρ
?
cos θ+sin θ
?
=1. 解析: (1)由ρcos
?
?
3
?
2
?
2
?


13
从而C的直角坐标方程为x+y=1, 即x+3y=2.
22
当θ=0时,ρ=2,得M(2,0);
π
23< br>23
π
?
当θ=时,ρ=,得N
?
.
23
?
3

2
?
23
?
(2)M点的直角坐标为(2, 0),N点的直角坐标为
?
0,
.
3
??
所以P点的直角 坐标为
?
1,
?
3
?

3
?
则P点的极坐标为
?
23
π
?
. < br>?
3

6
?
π
所以直线OP的极坐标方程为θ=,ρ ∈R.
6
1
18.(14分)△ABC底边BC=10,∠A=∠B,以B为极点, BC为极轴,求顶点A的
2
轨迹的极坐标方程.
解析: 如图:令A(ρ,θ),
θ
△ABC内,设∠B=θ,∠A=,
2
又|BC|=10,|AB|=ρ.
于是由正弦定理,

10
=,

θ
?
sin
?
?
π-
2
?
sin
2
ρ
化简,得A点轨迹的极坐标 方程为
ρ=10+20cosθ.

第二章 测试题
一、选择题( 本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的)
?
?
x=-1-t
1.极坐标方程ρ=cosθ和参数方程
?
(t为参数)所表示的图形分别是( )
?
y=2+3t
?

A.圆、直线
C.圆、圆
解析: ∵ρ=cosθ,
∴x
2
+y
2
=x,
?
?
x=-1-t
∴表示一个圆.由
?

?
y=2+3t
?
B.直线、圆
D.直线、直线


得到直线3x+y=-1.
答案: A
?
?
x= -2+t,
2.直线
?
(t为参数)被圆(x-3)
2
+(y+1)
2
=25所截得的弦长为( )
?
y=1-t
?

A.72
C.82
?
?
x=-2+t,
解析:
?

?
y=1-t
?
1
B.40
4
D.93+43

?
x=-2+
2
2
·2t,
?
?
2
y=1-·2t,
?
2
令t′=< br>

?
x=-2+
2
2
t′,
2t,把?
2
y=1-t′
?
2


代入(x-3)
2
+(y+1)
2
=25.
整理,得t′
2
-72t′+4=0,
|t′
1
-t′< br>2
|=?t′
1
+t′
2
?
2
-4t′1
t′
2
=82.
答案: C
?
??
?< br>x=3cosθ
?
?θ是参数,0<θ<π?
?
,3.点集M=
?
?x,y?|
N={(x,y)|y=x+b},若M∩N≠
?
y=3s inθ
?
??

?,则b满足( )
A.-32≤b≤32
C.0≤b≤32
解析: 用数形结合法解.
答案: D
B.-3<b<32
D.-3<b≤32
?
4.参数方程
?1
y=
?
t
1
x=,
t
t
2
-1

(t为参数)所表示的曲线是( )


1
解析: 由y=t
2
-1,得t
2
y2
=t
2
-1,
t
1
把t=代入,得x
2< br>+y
2
=1.由于t
2
-1≥0,
x
得t≥1或t≤-1.
当t≥1时,得0当t≤-1时,得-1≤x<0且y<0.
答案: D
?
?
x=rcos φ,
5.设r>0,那么直线xcos θ+ysin θ=r(θ为参数)与圆
?
(φ是参数)的位置关
?
y=rsin φ
?

系是( )
A.相交
C.相离
解析: 圆心到直线的距离
d=
|0+0-r|
cos
2
θ+sin
2
θ
=|r|=r,故相切.
B.相切
D.由r的大小而定
答案: B
1
?
?
?
x=t+
t
?x=2cosθ
6.参数方程
?
(t为参数)与
?
所表示图形的 公共点有( )
?
y=2sinθ
?
?
?
y=-2


A.0个
C.2个
B.1个
D.以上都不对
?
?
x=2cosθ
解析:
?
表示图形为方程是x
2
+y
2
=4的圆.
?
?
y=2sinθ

1
?
?
x=t+< br>t
?
表示的图形与圆无交点.故选A.
?
?
y=-2
答案: A
?
?
x=r?cosφ +φsinφ?
7.已知圆的渐开线
?
(φ为参数)上有一点的坐标为(3,0),则 渐开线对
?
y=r?sinφ-φcosφ?
?


应的基圆的面积为( )
A.π
C.4π
解析: 把已知点(3,0)代入参数方程得
?
?
3=r?cosφ+φsinφ?, ①
?

?
0=r?sinφ-φcosφ?. ②
?
B.3π
D.9π


①×cosφ+②×sinφ得r=3,所以基圆的面积为9π.
答案: D
?
x=3t,
8.已知直线l:
?
(t为参数),抛物线C的方程y
2
=2x,l与C交于P
1
,P
2

?
y =2-t
则点A(0,2)到P
1
,P
2
两点距离之和是( )
A.4+3
C.4(2+3)
B.2(2+3)
D.8+3

?
x=-
2
3
t′,
解析: 把直线参数方程化为
?
1
y=2+t′
?
2
代入y
2
=2x,
求得t′
1
+t′
2
=-4(2+3),

(t′为参数),
t′
1
t′
2
=16>0,知在l上两 点P
1
,P
2
都在A(0,2)的下方,
则|AP
1|+|AP
2
|=|t′
1
|+|t′
2
|=|t′< br>1
+t′
2
|=4(2+3).
答案: C
?
x =2t,
9.过抛物线
?
(t为参数)的焦点的弦长为2,则弦长所在直线的倾斜角为 ( )
y=3t
?
π
A.
3
π
C.
6
π2π
B.或
33
π5π
D.或
66
2

3
?
3
解析: 将抛物线的参数方程化成 普通方程为y
2
=x,它的焦点为
?
?
8
,0
?< br>.设弦所在直
2
3
x-
?
,由
?
线的方程为 y=k
?
?
8
?
?
?
3
y
2=x,
2
3
x-
?
,y=k
?
?
8< br>?


消去y,得64k
2
x
2
-48(k
2
+2)x+9k
2
=0,
设弦的两端点坐标为(x
1< br>,y
1
),(x
2
,y
2
),
则|x1
-x
2
|=?x
1
+x
2
?
2-4x
1
x
2


k+2
?
2
9
?
3
·
?
4k
2
?

16< br>=2
2
π2π
解得k=±3.故倾斜角为或
33
答案: B


?
?
x=x
0
+tcosα

10.已知直线
?
(t为参数)上的两点A、B所对应的参数分别为t
1
、t
2
,且AP
?
y=y
0
+tsinα
?


=λPB(λ≠-1),则点P所对应的参数为( )
t
1
+t
2
A.
2
t
1
+λt
2
C.
1+λ
答案: C
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上)
?
?
y=sin θ+1,
11.在直角坐标系xOy中,已知曲线C的参数 方程是
?
(θ是参数),若以
?
x=cos θ
?
t
1
+t
2
B.
1+λ
t
2
+λt
1
D.
1+λ

O为极点,x轴的正半轴为极轴,则曲线C的极坐标方程可写为________.
解析: 由题意知,曲线C:
x
2
+(y-1)
2
=1,即x
2< br>+y
2
-2y=0,
所以(ρcos θ)
2
+(ρsin θ)
2
-2ρsin θ=0,
化简得ρ=2sin θ.
答案: ρ=2sin θ
12.如图所示,齿轮的廓线AB为圆的渐开线的一段弧.已知此渐开线的基圆的直径为
225 mm,则此渐开线的参数方程为________.

?
x=
2
?cost+tsint?
答案:
?
2 25
y=
?
2
?sint-tcost?
225

(t为参数)
x
2
y
2
13.点M(x,y)在椭圆+= 1上,则点M到直线x+y-4=0的距离的最大值为
124
________,此时点M的坐 标是________.
?
x=23cos θ,
解析: 椭圆的参数方程为
?
(θ为参数),
?
y=2sin θ
则点M(23cos θ,2sin θ)到直线
x+y-4=0的距离


|23cos θ+2sin θ-4|
d=
2

?
4sin
?
θ+
π
?
-4
?
??
3
??
2
.
π
3
当θ+=
π时,d
m ax
=42,此时M(-3,-1).
32
答案: 42 (-3,-1)
?
?
x=2+2tcosα
cosα
14.若曲线y=4x与直线
?
(t为参数)相切,则=________.
cosβ
?
y=-4+tcosβ
?
2

?
x=2+2tcosα
?
解析: ∵
?

?
y=-4+tcosβ
?


x-2
cosα
=2=2m,
y+4
cosβ
cosα
其中m=,
cosβ
∴x=2+2my+8m,代入y
2
=4x,
得y
2
=4(2+2my+8m),
y
2
-8my-8-32m=0.
∵直线与曲线相切,
∴Δ=( -8m)
2
-4×(-8-32m)=64m
2
+4×8(1+4m)=0,
2m
2
+4m+1=0,
12
∴(m+1)
2
=,m=-1±,
22

cosα2
=-1±.
cosβ2
2
答案: -1±
2
三、解答题(本大题共4题,共50分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(12分)已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ.以极点为平面直角坐标系的原点,极
轴为x轴的非负半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是
?
x=
2
2
t+m
?
2
?
y=
2
t

(t是参数).
(1)将曲线C的极坐标方程和直线l的参数方程转化为普通方程;
(2)若直线l与曲线C相交于A、B两点,且|AB|=14,试求实数m的值.


解析: (1)曲线C的直角坐标方程为x
2
+y
2
-4x=0,
直线l的直角坐标方程为y=x-m
(2)m=1或m=3
36
16.(12分)已知曲线C的极坐标方程为ρ
2
=;
24cos
θ+9sin
2
θ
(1)若以极点为原点,极轴所在的直线为x 轴,求曲线C的直角坐标方程;
(2)若P(x,y)是曲线C上的一个动点,求x+2y的最大值.
解析: (1)曲线的极坐标方程ρ
2

即4ρ
2
cos< br>2
θ+9ρ
2
sin
2
θ=36,
x
2
y
2
∴4x+9y=36,∴+=1.
94
22
36

4cos
θ+9sin
2
θ
2
(2)设P(3cosθ,2sinθ),
则x+2y=3cosθ+4sinθ=5sin(θ+φ),
∵θ∈R,∴当sin(θ+φ)=1时,x+2y的最大值为5.
17.(12分)极坐标 的极点是直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,直线l的参数方
?
x=x+
2t,
程为
?
3
y=
?
2
t
0
1

(t为参数).⊙O的极坐标方程为ρ=2,若直线l与⊙O相切,求实数
x0
的值.
解析: 由直线l的参数方程消参后可得直线l的普通方程为y=3(x-x
0
).
⊙O的直角坐标方程为x
2
+y
2
=4.
∵直线l与⊙O相切,
∴圆心O(0,0)到直线l:3x-y-3x
0
=0的距离为2.

|3x
0
|43
=2,解得x
0
=±.
23
12
18.(14分)已知椭圆C的极坐标方程为ρ
2
=,点F
1
,F
2
为其左,右焦点,
3cos
2
θ+4sin2
θ
?
x=2+
2
2
t,
直线l的参数方程为
?
2
y=
?
2
t

(t为参数,t∈R).
(1)求直线l和曲线C的普通方程;
(2)求点F
1
,F
2
到直线l的距离之和.
解析: (1)直线l的普通方程为y=x-2;


x
2
y
2
曲线C的普通方程为+=1.
43
(2)∵F
1
(-1,0),F
2
(1,0),
∴点F
1
到直线l的距离
|-1-0-2|
32
d
1
==.
2
2
点F
2
到直线l的距离
|1-0-2|
2
d
2
==,
2
2
∴d
1
+d
2
=22.

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