最新人教版高中数学选修4-4测试题全套及答案

最新人教版高中数学选修4-4测试题全套及答案
第一章 测试题
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四小选项中，
只有一项是 符合题目要求的)．
1．原点与极点重合，x轴正半轴与极轴重合，则点(－2，－23)的极坐标是( )
π
4，
?
A．
?
?
3
?
2π
－4，－
?
C．
?
3
??
4π
4，
?
B．
?
3
??
2π
4，
?
D．
?
3
??
解析： 由直角坐标与极坐标互化公式：
y
ρ
2
＝x
2
＋y
2
，tan θ＝(x≠0)．
x
把点(－2，－23)代入即可得ρ＝4，tan θ＝3，
4π
因为点(－2，－23)在第三象限，所以θ＝.
3
答案： B 2．在极坐标系中有如下三个结论：①点P在曲线C上，则点P的极坐标满足曲线C
π
的极 坐标方程；②tan θ＝1与θ＝表示同一条曲线；③ρ＝3与ρ＝－3表示同一条曲线．在
4
这三个结论中正确的是( )
A．①③
C．②③
B．①
D．③
解析： 在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，但在极坐标系内，
曲线上一 点的所有坐标不一定都适合方程，故①是错误的；
π5π
tan θ＝1不仅表示θ＝这条射 线，还表示θ＝这条射线，故②亦不对；ρ＝3与ρ＝－
44
3差别仅在于方向不同，但都表示 一个半径为3的圆，故③正确．
答案： D
x
2
y
2
3 ．可以将椭圆＋＝1变为圆x
2
＋y
2
＝4的伸缩变换( )
108
?
5x′＝2x
A．
?

?
2y′＝y
C．
?

?
2x′＝5x
B．
?

?
y′＝2y
D．
?
?
2x′＝x

?
5y′＝2x

?
5x′＝2x

?
2y′＝y

x
2
y
2
2x
2
y
2
解析： 方法一：将椭圆方程＋＝1化为＋＝4， < br>10852
?
2x
?
2
?
y
?
2< br>∴
?
＝4，
?
＋
?
5
?
?
2
?
2
x′＝x，
?
?
5
令
?
y
y′＝，
?
?
2
即x
2
＋y
2
＝4，

得x′
2
＋y′
2
＝4，
?
5x′＝2x，
∴伸缩变换
?
为所求．
?
2y ′＝y
方法二：将x
2
＋y
2
＝4改写为x′
2
＋ y′
2
＝4，
?
?
x′＝λx?λ>0?，
设满足题意的伸缩变换为
?

?
y′＝μy?μ>0?，
?


代入x′
2＋y′
2
＝4得λ
2
x
2
＋μ
2
y< br>2
＝4，
λ
2
x
2
μ
2
y
2
即＋＝1，
44
x
2
y
2
与椭圆＋＝1比较系数得
108< br>?
?
μ
1
?
4
＝
8
，
2< br>λ
2
1
＝，
410

2
λ＝
，?
?
5
解得
?
1
μ＝
?
?
2
，
2
x′＝x，
?
?
5
∴伸缩变换为
?< br>1
y′＝y，
?
?
2
答案： D



?
5x′＝2x，
即
?
.
?
2y′＝y

π
4，
?
作曲线C的切线，则切线 4．在极坐标方程中，曲线C的方程是ρ＝4sin θ，过点
?
?
6
?
长为( )
A．4
C．22
B．7
D．23
π
4，
?
化为直角坐标为(23，解析： ρ＝4sin θ化为普通方程为 x
2
＋(y－2)
2
＝4，点
?
2)，
?
6
?
切线长、圆心到定点的距离及半径构成直角三角形，由勾股定理：切线长为
?23 ?
2
＋?2－2?
2
－2
2
＝22.

答案： C
5．在极坐标中，与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线方程为( )
A．ρsin θ＝2
C．ρcos θ＝4
B．ρcos θ＝2
D．ρcos θ＝－4
π
2，
?
，半径为r＝2， 解析： 圆ρ＝4sin θ的圆心为
?
?
2
?
对于选项A，方程ρsin θ＝2对应的直线y＝2，与圆相交；
对于选项B，方程ρcos θ＝2对应的直线x＝2，与圆相切；
选项C，D对应的直线与圆相离．
答案： B
6．圆ρ＝2(cos θ＋sin θ)的圆心坐标是( )
π
1，
?
A．
?
?
4
?
π
2，
?
C．
?
4
??
1
π
?
B．
?
?
2
，
4
?

π
2，
?
D．
?
?
4
?
解析： 将圆的极坐标方程化成直角坐标方程
?
x－
?
2
?
2
?
2
＋
y－?
2
＝1，
2
??
2
?
圆心直角坐标为
?
答案： A
π
22
?
1，
?
. ，故其极坐标为
?
，
?
4
?
2
??
2
π
1，
?
的最近距离等于( ) 7．极坐标系内曲线ρ＝2cosθ上的动点P与定点Q
?
?2
?
A．2－1
C．1
B．5－1
D．2
解析： 将曲线ρ＝2cosθ化成直角坐标方程为(x－1)
2
＋y
2＝1，点Q的直角坐标为(0,1)，
则P到Q的最短距离为点Q与圆心的距离减去半径，即2－1 .
答案： A
8．已知点P的坐标为(1，π)，则过点P且垂直极轴的直线方程是( )
A．ρ＝1
1
C．ρ＝－
cos θ
B．ρ＝cos θ
1
D．ρ＝
cos θ
解析： 由点P的坐标可知，过点P且垂直极轴的直线方程在直角坐标系中为x＝－1，
即ρcos θ＝－1，故选C．
答案： C
π
θ＋
?
(r＞0)的公共弦所在直线的方程为( ) 9．圆ρ＝r与圆 ρ＝－2rsin
?
?
4
?
A．2ρ(sinθ＋cosθ)＝r

B．2ρ(sinθ＋cosθ)＝－r
C．2ρ(sinθ＋cosθ)＝r
D．2ρ(sinθ＋cosθ)＝－r
解析： 圆ρ＝r的直角坐标方程为x
2
＋y
2
＝r
2
①
π
θ＋
?
圆ρ＝－2rsin
?
?
4
?
ππ
sinθcos＋cosθsin
?
＝－2r(sinθ＋cosθ)． ＝－2r
?
44
??
两边同乘以ρ得ρ
2
＝－2r(ρsi nθ＋ρcosθ)，
∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ
2
＝x
2< br>＋y
2
，
∴x
2
＋y
2
＋2rx＋2ry＝0②
①－②整理得2( x＋y)＝－r，即为两圆公共弦所在直线的普通方程．再将直线2(x＋
y)＝－r化为极坐标方程为 2ρ(cosθ＋sinθ)＝－r.
答案： D
π
10．已知曲线C
1
，C
2
的极坐标方程分别为ρcos θ＝3，ρ＝4cos θ(ρ≥0,0≤θ<)，则曲线
2
C
1
与C
2
交点的极坐标为( )
5
23，
π
?

A．
?
6
??
7π
23，
?
C．
?
6
??
?
ρcos θ＝3?①?，
?
解析： ∵
?

?
ρ＝4cos θ?②?，
?
π
23，
?

B．
?
6
??
11
23，
π
?

D．
?
6
??

3
∴4cos
2
θ＝3.∴cos θ＝±
.
2
π
3
π
∵0≤θ<，∴cos θ＝，∴θ＝.
226
π
将θ＝代入②，得ρ＝23，
6
π
23，
?
. ∴C
1
与C
2
交点的极坐标为
?
6
??
答案： B
二、填空题(每小题5分，共20分．把正确答案填在题中的横线上)
π
2，
?
到直线l的距离为________． 11．在极坐标系中，直线l的方程为ρsin θ＝3，则点
?
?
6
?
解析： 直线l的极坐标方程为ρsin θ＝3，化为直线方程得y＝3；
ππ
2，
?
化为直角坐标即为(3，1) ，于是点
?
2，
?
到直线l的距离为2. 点
?
?
6
??
6
?

答案： 2
π
12．在极坐标系中，由三条直线θ＝0，θ＝，ρcos θ＋ρsin θ＝1围成图形的面积是
3
________．
解析： 三条直线在直角坐标系下的方程依次为y＝0，y＝3x，
x＋y＝1.如图可知，
1
S
△
POQ
＝×|OQ|×|y
p
|
2
3－3
13
＝×1×＝.
24
3＋1
答案：
3－3

4
π
π
4，
?
绕极点逆时针旋转 得到点B，且|OA|13．已知极坐标系中，极点为O，将点A
?
?
6
?< br>4
＝|OB|，则点B的直角坐标________．
5π
4，
?
， 解析： 依题意，点B的极坐标为
?
?
12
?
∵cos
ππ
?
5π
＝cos
?
?
4
＋
6
?

12
ππππ
＝cos cos －sin sin
4646
＝
＝
sin
2321
×－×
2222
6－2
，
4
ππ
?
5π
＝si n
?
?
4
＋
6
?

12
ππππ
＝sin cos ＋cos sin
4646
＝
6＋2
2321
×＋×＝，
22224
6－2
＝6－2，
4
∴x＝ρcos θ＝4×
y＝ρsin θ＝4×
6＋2
＝6＋2.
4
∴点B的直角坐标为(6－2，6＋2)．
答案： (6－2，6＋2)
14．从极点作圆ρ＝2acos θ的弦，则各条弦中点的轨迹方程为________．
a
?
a
，0
为圆心，为半径的圆．求得方程是ρ＝解析： 数形结合 ，易知所求轨迹是以
?
?
2
?
2

ππ
－≤θ≤
?
. acos θ
?
2
??
2
ππ
－≤θ≤
?
答案： ρ＝acos θ
?
2
??
2
三、解答题(本大题共4小题，共50 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(12分)设极点O到直线l的距离为d，由 点O向直线l作垂
线，由极轴到垂线OA的角度为α(如图所示)．求直线l的极坐标方程．
解析： 在直线l上任取一点M(ρ，θ)．
在直角三角形OMA中，
由三角知识得ρcos(α－θ)＝d，
d
即ρ＝.这就是直线l的极坐标方程．
cos?α－θ?
2
16．(12分)已知⊙C：ρ＝cos θ＋sin θ，直线 l：ρ＝2.求⊙C上点到直线l距离
π
?
cos
?
?
θ＋
4
?
的最小值．
解析： ⊙C的直角坐标方程是x
2
＋y
2
－x－y＝0，
11
1
x－
?
2
＋
?
y－
?
2
＝. 即
?
?
2
??
2
?
2
又直线l的极坐标方程 为ρ(cos θ－sin θ)＝4，
所以直线l的直角坐标方程为x－y－4＝0.
1212
设M
?
＋cos θ，＋sin θ
?
为⊙C上任意一点，M点到直线l的距离
22
?
22
?
d＝
?
1
＋
2
cos θ－
?
12
?
－4
?
＋sin θ
?
22
?
22
??
2

π
θ＋
?
4－cos
?
?
4
?
＝，
2
7π
332
当θ＝时，d
min
＝＝.
42< br>2
17．(12分)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线
π
θ－
?
＝1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点． C的极坐标方程为ρ cos
?
?
3
?
(1)写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标 ；
(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．
π
13
θ－
?
＝1，得ρ
?
cos θ＋sin θ
?
＝1. 解析： (1)由ρcos
?
?
3
?
2
?
2
?

13
从而C的直角坐标方程为x＋y＝1， 即x＋3y＝2.
22
当θ＝0时，ρ＝2，得M(2,0)；
π
23< br>23
π
?
当θ＝时，ρ＝，得N
?
.
23
?
3
，
2
?
23
?
(2)M点的直角坐标为(2, 0)，N点的直角坐标为
?
0，
.
3
??
所以P点的直角 坐标为
?
1，
?
3
?
，
3
?
则P点的极坐标为
?
23
π
?
. < br>?
3
，
6
?
π
所以直线OP的极坐标方程为θ＝，ρ ∈R.
6
1
18．(14分)△ABC底边BC＝10，∠A＝∠B，以B为极点， BC为极轴，求顶点A的
2
轨迹的极坐标方程．
解析： 如图：令A(ρ，θ)，
θ
△ABC内，设∠B＝θ，∠A＝，
2
又|BC|＝10，|AB|＝ρ.
于是由正弦定理，
得
10
＝，
3θ
θ
?
sin
?
?
π－
2
?
sin
2
ρ
化简，得A点轨迹的极坐标 方程为
ρ＝10＋20cosθ.

第二章 测试题
一、选择题( 本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的)
?
?
x＝－1－t
1．极坐标方程ρ＝cosθ和参数方程
?
(t为参数)所表示的图形分别是( )
?
y＝2＋3t
?

A．圆、直线
C．圆、圆
解析： ∵ρ＝cosθ，
∴x
2
＋y
2
＝x，
?
?
x＝－1－t
∴表示一个圆．由
?

?
y＝2＋3t
?
B．直线、圆
D．直线、直线

得到直线3x＋y＝－1.
答案： A
?
?
x＝ －2＋t，
2．直线
?
(t为参数)被圆(x－3)
2
＋(y＋1)
2
＝25所截得的弦长为( )
?
y＝1－t
?

A．72
C.82
?
?
x＝－2＋t，
解析：
?

?
y＝1－t
?
1
B．40
4
D．93＋43

?
x＝－2＋
2
2
·2t，
?
?
2
y＝1－·2t，
?
2
令t′＝< br>

?
x＝－2＋
2
2
t′，
2t，把?
2
y＝1－t′
?
2


代入(x－3)
2
＋(y＋1)
2
＝25.
整理，得t′
2
－72t′＋4＝0，
|t′
1
－t′< br>2
|＝?t′
1
＋t′
2
?
2
－4t′1
t′
2
＝82.
答案： C
?
??
?< br>x＝3cosθ
?
?θ是参数，0＜θ＜π?
?
，3．点集M＝
?
?x，y?|
N＝{(x，y)|y＝x＋b}，若M∩N≠
?
y＝3s inθ
?
??

?，则b满足( )
A．－32≤b≤32
C．0≤b≤32
解析： 用数形结合法解．
答案： D
B．－3＜b＜32
D．－3＜b≤32
?
4．参数方程
?1
y＝
?
t
1
x＝，
t
t
2
－1

(t为参数)所表示的曲线是( )

1
解析： 由y＝t
2
－1，得t
2
y2
＝t
2
－1，
t
1
把t＝代入，得x
2< br>＋y
2
＝1.由于t
2
－1≥0，
x
得t≥1或t≤－1.
当t≥1时，得0当t≤－1时，得－1≤x<0且y<0.
答案： D
?
?
x＝rcos φ，
5．设r>0，那么直线xcos θ＋ysin θ＝r(θ为参数)与圆
?
(φ是参数)的位置关
?
y＝rsin φ
?

系是( )
A．相交
C．相离
解析： 圆心到直线的距离
d＝
|0＋0－r|
cos
2
θ＋sin
2
θ
＝|r|＝r，故相切．
B．相切
D．由r的大小而定
答案： B
1
?
?
?
x＝t＋
t
?x＝2cosθ
6．参数方程
?
(t为参数)与
?
所表示图形的 公共点有( )
?
y＝2sinθ
?
?
?
y＝－2


A．0个
C．2个
B．1个
D．以上都不对
?
?
x＝2cosθ
解析：
?
表示图形为方程是x
2
＋y
2
＝4的圆．
?
?
y＝2sinθ

1
?
?
x＝t＋< br>t
?
表示的图形与圆无交点．故选A.
?
?
y＝－2
答案： A
?
?
x＝r?cosφ ＋φsinφ?
7．已知圆的渐开线
?
(φ为参数)上有一点的坐标为(3,0)，则 渐开线对
?
y＝r?sinφ－φcosφ?
?


应的基圆的面积为( )
A．π
C．4π
解析： 把已知点(3,0)代入参数方程得
?
?
3＝r?cosφ＋φsinφ?， ①
?

?
0＝r?sinφ－φcosφ?. ②
?
B．3π
D．9π

①×cosφ＋②×sinφ得r＝3，所以基圆的面积为9π.
答案： D
?
x＝3t，
8．已知直线l：
?
(t为参数)，抛物线C的方程y
2
＝2x，l与C交于P
1
，P
2
，
?
y ＝2－t
则点A(0,2)到P
1
，P
2
两点距离之和是( )
A．4＋3
C．4(2＋3)
B．2(2＋3)
D．8＋3

?
x＝－
2
3
t′，
解析： 把直线参数方程化为
?
1
y＝2＋t′
?
2
代入y
2
＝2x，
求得t′
1
＋t′
2
＝－4(2＋3)，

(t′为参数)，
t′
1
t′
2
＝16>0，知在l上两 点P
1
，P
2
都在A(0,2)的下方，
则|AP
1|＋|AP
2
|＝|t′
1
|＋|t′
2
|＝|t′< br>1
＋t′
2
|＝4(2＋3)．
答案： C
?
x ＝2t，
9．过抛物线
?
(t为参数)的焦点的弦长为2，则弦长所在直线的倾斜角为 ( )
y＝3t
?
π
A.
3
π
C.
6
π2π
B．或
33
π5π
D．或
66
2

3
?
3
解析： 将抛物线的参数方程化成 普通方程为y
2
＝x，它的焦点为
?
?
8
，0
?< br>.设弦所在直
2
3
x－
?
，由
?
线的方程为 y＝k
?
?
8
?
?
?
3
y
2＝x，
2
3
x－
?
，y＝k
?
?
8< br>?


消去y，得64k
2
x
2
－48(k
2
＋2)x＋9k
2
＝0，
设弦的两端点坐标为(x
1< br>，y
1
)，(x
2
，y
2
)，
则|x1
－x
2
|＝?x
1
＋x
2
?
2－4x
1
x
2

＝
k＋2
?
2
9
?
3
·
?
4k
2
?
－
16< br>＝2
2
π2π
解得k＝±3.故倾斜角为或
33
答案： B

?
?
x＝x
0
＋tcosα
→
10．已知直线
?
(t为参数)上的两点A、B所对应的参数分别为t
1
、t
2
，且AP
?
y＝y
0
＋tsinα
?

→
＝λPB(λ≠－1)，则点P所对应的参数为( )
t
1
＋t
2
A.
2
t
1
＋λt
2
C.
1＋λ
答案： C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
?
?
y＝sin θ＋1，
11．在直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数 方程是
?
(θ是参数)，若以
?
x＝cos θ
?
t
1
＋t
2
B．
1＋λ
t
2
＋λt
1
D．
1＋λ

O为极点，x轴的正半轴为极轴，则曲线C的极坐标方程可写为________．
解析： 由题意知，曲线C：
x
2
＋(y－1)
2
＝1，即x
2< br>＋y
2
－2y＝0，
所以(ρcos θ)
2
＋(ρsin θ)
2
－2ρsin θ＝0，
化简得ρ＝2sin θ.
答案： ρ＝2sin θ
12．如图所示，齿轮的廓线AB为圆的渐开线的一段弧．已知此渐开线的基圆的直径为
225 mm，则此渐开线的参数方程为________．

?
x＝
2
?cost＋tsint?
答案：
?
2 25
y＝
?
2
?sint－tcost?
225

(t为参数)
x
2
y
2
13．点M(x，y)在椭圆＋＝ 1上，则点M到直线x＋y－4＝0的距离的最大值为
124
________，此时点M的坐 标是________．
?
x＝23cos θ，
解析： 椭圆的参数方程为
?
(θ为参数)，
?
y＝2sin θ
则点M(23cos θ，2sin θ)到直线
x＋y－4＝0的距离

|23cos θ＋2sin θ－4|
d＝
2
＝
?
4sin
?
θ＋
π
?
－4
?
??
3
??
2
.
π
3
当θ＋＝
π时，d
m ax
＝42，此时M(－3，－1)．
32
答案： 42 (－3，－1)
?
?
x＝2＋2tcosα
cosα
14．若曲线y＝4x与直线
?
(t为参数)相切，则＝________.
cosβ
?
y＝－4＋tcosβ
?
2

?
x＝2＋2tcosα
?
解析： ∵
?
，
?
y＝－4＋tcosβ
?

∴
x－2
cosα
＝2＝2m，
y＋4
cosβ
cosα
其中m＝，
cosβ
∴x＝2＋2my＋8m，代入y
2
＝4x，
得y
2
＝4(2＋2my＋8m)，
y
2
－8my－8－32m＝0.
∵直线与曲线相切，
∴Δ＝( －8m)
2
－4×(－8－32m)＝64m
2
＋4×8(1＋4m)＝0，
2m
2
＋4m＋1＝0，
12
∴(m＋1)
2
＝，m＝－1±，
22
∴
cosα2
＝－1±.
cosβ2
2
答案： －1±
2
三、解答题(本大题共4题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(12分)已知曲线C的极坐标方程是ρ＝4cosθ.以极点为平面直角坐标系的原点，极
轴为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是
?
x＝
2
2
t＋m
?
2
?
y＝
2
t

(t是参数)．
(1)将曲线C的极坐标方程和直线l的参数方程转化为普通方程；
(2)若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|＝14，试求实数m的值．

解析： (1)曲线C的直角坐标方程为x
2
＋y
2
－4x＝0，
直线l的直角坐标方程为y＝x－m
(2)m＝1或m＝3
36
16．(12分)已知曲线C的极坐标方程为ρ
2
＝；
24cos
θ＋9sin
2
θ
(1)若以极点为原点，极轴所在的直线为x 轴，求曲线C的直角坐标方程；
(2)若P(x，y)是曲线C上的一个动点，求x＋2y的最大值．
解析： (1)曲线的极坐标方程ρ
2
＝
即4ρ
2
cos< br>2
θ＋9ρ
2
sin
2
θ＝36，
x
2
y
2
∴4x＋9y＝36，∴＋＝1.
94
22
36
，
4cos
θ＋9sin
2
θ
2
(2)设P(3cosθ，2sinθ)，
则x＋2y＝3cosθ＋4sinθ＝5sin(θ＋φ)，
∵θ∈R，∴当sin(θ＋φ)＝1时，x＋2y的最大值为5.
17．(12分)极坐标 的极点是直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，直线l的参数方
?
x＝x＋
2t，
程为
?
3
y＝
?
2
t
0
1

(t为参数)．⊙O的极坐标方程为ρ＝2，若直线l与⊙O相切，求实数
x0
的值．
解析： 由直线l的参数方程消参后可得直线l的普通方程为y＝3(x－x
0
)．
⊙O的直角坐标方程为x
2
＋y
2
＝4.
∵直线l与⊙O相切，
∴圆心O(0,0)到直线l：3x－y－3x
0
＝0的距离为2.
即
|3x
0
|43
＝2，解得x
0
＝±.
23
12
18．(14分)已知椭圆C的极坐标方程为ρ
2
＝，点F
1
，F
2
为其左，右焦点，
3cos
2
θ＋4sin2
θ
?
x＝2＋
2
2
t，
直线l的参数方程为
?
2
y＝
?
2
t

(t为参数，t∈R)．
(1)求直线l和曲线C的普通方程；
(2)求点F
1
，F
2
到直线l的距离之和．
解析： (1)直线l的普通方程为y＝x－2；

x
2
y
2
曲线C的普通方程为＋＝1.
43
(2)∵F
1
(－1,0)，F
2
(1,0)，
∴点F
1
到直线l的距离
|－1－0－2|
32
d
1
＝＝.
2
2
点F
2
到直线l的距离
|1－0－2|
2
d
2
＝＝，
2
2
∴d
1
＋d
2
＝22.