高中数学学科小故事-高中数学文科极坐标与参数方程
不等式（较难）
1、定义：分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数，
我们可以把1拆为若干个不同的单位分数之和，
如：，，，依此类推，可得：
，其中，设
，，则的最小值为（ ）
A． B． C．
D．
2、正项等比数列｛a
n
｝中，存在
两项a
m
，a
n
（
m
，
n
最小值为（
）
A．5 B．6 C．7
D．8
）
使得a
m
a
n
=
16a
1
2
，且a
7
=a
6
+2a
5，则+的
3、已知
A．
均为正实数，且
C． D．
，则
的最小值为（
）
B．
4、定义：分子为1且分母为正整数的分数
称为单位分数，我们可以把1拆为若干个不同的单位分数之和，
如：，，，依此类推，可得：
，
其中
，，则的最小值为（ ）
，设
A． B．
C． D．
5、不等式的解集为（
）
共 7 页，第 1 页
A．
B． C． D．
6、已知，函数在区间[1,4]上的最大值是5，则a的取值范围是__________
7、若实数x，y满足x＞y＞0，且＋＝1，则x＋y的最小值为______．
8、设函数
范围是 ．
，则
，若，则实数的取值
9、解关于的不等式（其中）．
10、已知函数
（1）当时，若
，（
，其中且．
无解，求的范围；
），使得时，函数的值域都也为，求的范围．
（2）若存在实数
共 7 页，第 2 页
参考答案
1、D
2、B
3、C
4、D
5、C
6、
7、
8、，．
9、详见解析
10、（1）；（
【解析】
2）．
1、
又
，
，，
时，原式最小为 ，故选：D.
点睛：本题借助于类比的思想，考查了数列的裂项相消求和的解题方法：如果数列的通项可以“分裂成两
项差”的形式，且相邻分裂项分裂后相关联那么常选用裂项相消法求和，常见的裂项形式有：
.
2、∵
∴
，∴，又
，∴
，∴，
，即，
，当且仅当
，即时等号成立，∴的最小值为6，故选B．
3、因为均为正实数，所以
，应选答案C。
4、
又
，
，，
时，原式最小为 ，故选：D.
点睛：本题借助于类比的思想，考查了数列的裂项相消求和的
解题方法：如果数列的通项可以“分裂成两
项差”的形式，且相邻分裂项分裂后相关联那么常选用裂项相
消法求和，常见的裂项形式有：
.
5、试题分析：由题意得，
，故选C．
考点：分式不等式的求解．
，解得或，所以不等式的解集为
6、，分类讨论：
①当时，，
函数的最大值，舍去；
②当
③当
时，
时，
，此时命题成立；
，则：
或，解得：或
综上可得，实数的取值范围是．
【名师点睛】本题利用基本不等式，由，得，通过对解析式中绝对值符号的处理，
进行有效的分类讨论：①；②；③，问题的难点在于对分界点的确认及讨论上
，属
于难题．解题时，应仔细对各种情况逐一进行讨论．
7、由已知
，当且仅当，即
时取等号，所以最小值为．
点睛：本题考查用基本不等式求最值，关键是“1”的代换，创造可用基本不等式的前提条件，
和有最小值．
，这时出现积为定值，则
8、试题分析：∵，∴，∴
；若：
；若：，故实数的取值范围是
．
考点：1．分段函数；2．分类讨论的数学思想．
9、试题分析：首先将不等式化简得
出结果．
，然后对进行分类讨论，即可求
试题解析：解：原不等式可化为，
不等式整理成，
当，即时，解集为
当，即时，解集为
当，即时，解集为
综上所述:当
当时，解集为
时，解集为
；
；
当时，解集为．
考点：分式不等式的求法．
10
、试题分析：（1）分析题意可知，不等式无解等价于
为
恒成立，参变分离后即再进一步等价<
br>，，即可求解；（2）分析函数的单调性，可知其为单调递增函数，换元令
从而可将问题等价转化
为二次方程根的分布，列得关于的不等式即可求解．
试题解析：（1）∵，∴无解，等价于恒成立，即
恒成立，即，求得，∴；
（2）∵
是单调增函数，∴
有两个不相等的解，令
，即，问题等价于关于的方程
在，则问题等价
于关于的二次方程
上有两个不相等的实根，即，即，得．
考点：1．恒成立问题；2．二次方程的根的分布；3．转化的数学思想．