高中数学z上面有横线-高中数学必修一 必修四知识点
旗开得胜
第二讲 证明不等式的基本方法
2.1 比较法
A级 基础巩固
一、选择题
1.若
a
<0,
b
<0,则
p
=
b
2
a
2
ab
+与
q
=
a
+
b
的大小关系为( )
A.
p
<
q
B.
p
≤
q
C.
p
>
q
D.
p
≥
q
解析:因为
p
-
q
=
以
p
≤
q
.
答案:B
2.已知
a
,
b
都是正数,
P
=
的大小关系是( )
A.
P
>
Q
C.
P
≥
Q
B.
P
<
Q
D.
P
≤
Q
- 1 -
b
2
a
2
ab
(
b
-
a
)
2
(
b
+
a
)
+-
a
-
b
=≤0,所
ab
a
+
b
2
,
Q
=
a
+
b
,则
P
,
Q
读万卷书
行万里路
旗开得胜
解析:因为
a
,
b
都是正数,
所以
P
>0,
Q
>0.
?
a
+
b
?
2
-(
a
-
b
)
2
所以P
2
-
Q
2
=
?
≤0.
?
-(
a
+
b
)
2
=
2
2
??所以
P
2
-
Q
2
≤0.所以
P
≤Q
.
答案:D
3.已知
a
,
b
,
c
均大于1,且log
a
c
·log
b
c
=4,则
下列一定正
确的是( )
A.
ac
≥
b
C.
bc
≥
a
B.
ab
≥
c
D.
ab
≤
c
(lg
c
)
2
解析:因为log
a
c
·log
b
c
==4,
lg
a
·lg
b
所以lg
2
c
=4lg
a
·lg
b
≤(lg
a
+lg
b
)
2
=(lg
ab
)
2
.
又
c
>1,
a
>1,
b
>1,
所以lg
c
≤lg
ab
,即
c
≤
ab
.
答案:B
4.在等比数列{
a
n
}和等差数列{
b
n
}中,
a
1
=
b
1
>0,
a
3
=
b
3
>0,
a
1
≠
a
3,则
a
5
与
b
5
的大小关系为( )
A.
a
5
>
b
5
B.
a
5
<
b
5
- 1 -
读万卷书
行万里路
旗开得胜
C.
a
5
=
b
5
D.不确定
解析:
由等比数列的性质知
a
5
=,由等差数列的性质知
b
5
=2
b
3
a
2
3
a
1
-
b
1
.又
a
1
≠
a
3
,
故
a
5
-
b
5
=-2
b
3
+
b
1<
br>=
a
2
3
2
a
2
(
a
3<
br>-
a
1
)
2
3
-2
a
3
a
1
+
a
1
a
1
a
1
=
a
1
>0.
因此,
a
5
>
b
5
.
答案:A
5.已知
a
>0且
a
≠1,
P
=log
a
(
a
3
+1),
Q
=log
a
(
a
2
+1),则
P
,
Q
的大小关系是(
)
A.
P
>
Q
C.
P
=
Q
B.
P
<
Q
D.大小不确定
解析:
P
-
Q
=log
a
(
a
3
+1)-log<
br>a
(
a
2
+1)=log
a
a
3
+
1
2
+1
a
.当0<
a
<
1时,0<
a<
br>3
+1<
a
2
+1,0<
a
3
+1
a
2
+1
<1,
所以log
a
a
3
+1
3
+>0,即
P
-
Q
>0,所以
P
>Q
.当
a
>1时,
a
a
2
+1
1><
br>a
2
+1>0,
a
3
+1
a
2
+1
>1,所以log
a
a
3
+1
2
+1
a<
br>>0,即
P
-
Q
>0,所以
P
- 1 -
读万卷书 行万里路
旗开得胜
>
Q
.故应选A.
答案:A
二、填空题
11
6.若-1<
a
<
b
<0,则,,
a
2
,
b
2
中最小的是________.
ab
111
解析:依题意,有>,
a
2
>
b
2
,故只需
比较与
b
2
的大小.
abb
因为
b
2
>0,<0,
1
b
11
1
所以<
b
2
.所以,,
a
2
,
b
2
中最小的是.
1
babb
答案:
1
b
7.
设
x
=
a
2
b
2
+5,
y
=2
ab
-
a
2
-4
a
,若
x
>y
,则实数
a
,
b
应满足的条件是________.
解析:由
x
>
y
得
a
2
b
2
+
5-2
ab
+
a
2
+4
a
=(
ab
-1)
2
+(
a
+2)
2
1
>0,故
a
=-2,
b
=-不同时成立.
2
1
答案:
a
=-2,
b
=-不同时成立
2
- 1 -
读万卷书 行万里路
旗开得胜
1
?
a
+
b
?
8.若0<
a
<
b<
br><1,
P
=log
??
,
Q
=(log
1<
br>a
+log
1
b
),
M
2
?
2?
222
1
=log
1
(
a
+
b<
br>),则
P
,
Q
,
M
的大小关系是________.
2
解析:因为0<
a
<
b
<1,所以
a
+
b
2
>
ab
,
1
?
a
+
b
?
1
所以log
??
<log
ab
=log<
br>1
(
ab
)=
2
?
2
?
222
1
1
a
+
b
11
(log
a
+l
og
b
),即
P
<
Q
,又<
a
+
b
,
22
22
所以log
1
2
a
+b
2
>log
1
(
a
+
b
),即<
br>P
>
M
,所以
Q
>
P
>
M
.
2
答案:
Q
>
P
>
M
三、解答题
9.已知
a
∈R,求证:3(1+
a
2
+
a
4
)≥(1+
a
+
a
2
)
2
.
证明:3(1+
a
2
+
a
4
)-(
1+
a
+
a
2
)
2
=3(1+
a
2
+
a
4
)-(1+
a
2
+
a
4
+2
a
+2
a
3
+2
a
2
)=2
-2
a
-2
a
3
+2
a
4
=2(1-a
)
2
(1+
a
+
a
2
)≥0,即<
br>3(1+
a
2
+
a
4
)≥(1+
a
+
a
2
)
2
.
- 1 -
读万卷书 行万里路
旗开得胜
a
+
b
+
c
10.已知
a
,
b
,
c
∈R
+
,求证:
a<
br>a
b
b
c
c
≥(
abc
)
3
.
证明:因为
a
,
b
,
c
是正数,不妨设a
≥
b
≥
c
>0,
?
a
?
a
-
b
?
b
?
b
-
c
?
c
?
c
-
a
则
??
3
≥1,
??
3
≥1,
??
3
≥1.
?
b
??
c
??
a
?
因为
a
a
b
b
c<
br>c
(
abc
)
2
a
-
b
-
c
2
b
-
a
-
c
2
c
-
a
-
b
3
=
a
a
+
b
+
c
3
b
3
c
3
?
a
?
a
-
b
?
b
?
b
-
c
?
c
?
=
??
3
??
3
·
??
?
b<
br>??
c
??
a
?
c
-
a
3
≥1,
a
+
b
+
c
所以
a
a
b
b
c
c
≥(
abc
)
3
.
B级
能力提升
1.已知
a
>
b
>0,
c
>
d
>0,
m
=
ac
-
bd
,
n
=
(
a
-
b
)(
c
-
d
),则m
与
n
的大小关系是( )
A.
m
<
n
C.
m
≥
n
B.
m
>
n
D.
m
≤
n
解析:因为
a
>
b
>0,
c
>
d
>0,
所以
ac
>
bd
>0,
所以
m
>0,
n
>0.
- 1 -
ac
>
bd
,
读万卷书 行万里路
旗开得胜
又因为
m
2
=
ac
+<
br>bd
-2
abcd
,
n
2
=
ac
+
bd
-(
ad
+
bc
),
又由
ad
+
bc
>2
abcd
,
所以-2
abcd
>-
ad
-
bc
,
所
以
m
2
>
n
2
,所以
m
>
n.
答案:B
n
-1
n
2.已知
a
>0,对
于大于1的自然数
n
,总有
则
a
的取值范围是________.
nn
+1
n
a
n
<
a
n
+1,
解析:因为0<
a
n
-1
<
a
答案:(0,
1)
,且>,所以0<
a
<1.
n
-1
n
nn
+1
3.(1)设
x
≥1,
y
≥1,证明
x
+
y
+
1
xyxy
11
≤++
xy
;
(2)设1<
a
≤
b
≤
c
,证明log
a
b
+log
b
c
+log
c
a
≤log<
br>b
a
+log
c
b
+
log
a
c<
br>.
证明:(1)由于
x
≥1,
y
≥1,
所以x
+
y
+
111
≤++
xy
?
xy<
br>(
x
+
y
)+1≤
y
+
x
+(xy
)
2
.
xyxy
将上式中的右式减左式,得
y
+
x
+(
xy
)
2
]-
xy
(<
br>x
+
y
)+1]=(
xy
)
2
-1]-xy
(
x
+
y
)-(
x
+
y
)]=(
xy
+1)(
xy
-1)-(
x
+
y)·(
xy
-1)=(
xy
- 1 -
读万卷书 行万里路
旗开得胜
-1)(
xy
-
x
-
y
+1)=(
xy
-1)(
x
-1)(
y
-1).
既然
x
≥1,
y
≥1,所以(
xy
-1)(
x
-1)(
y
-1)≥0.
从而所要证明的不等式成立.
(2
)设log
a
b
=
x
,log
b
c
=y
,
由换底公式得log
c
a
=
111
,l
og
b
a
=,log
a
b
=,log
a
c
=
xy
.
xyxy
于是,所要证明的不等式即为
x
+
y
+
log
a
b
≥1,
y
=log<
br>b
c
≥1.
1
xyx
≤++
xy
,其中<
br>x
=
11
y
故由(1)成立知所要证明的不等式成立.
-
1 -
读万卷书 行万里路