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人教版高中数学选修4-5练习:第二讲2.1比较法 Word版含解析

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-07 08:43
tags:高中数学选修4-5

高中数学z上面有横线-高中数学必修一 必修四知识点

2020年10月7日发(作者:苏源明)


旗开得胜
第二讲 证明不等式的基本方法
2.1 比较法

A级 基础巩固
一、选择题
1.若
a
<0,
b
<0,则
p

b
2
a
2
ab
+与
q

a

b
的大小关系为( )
A.
p

q
B.
p

q
C.
p

q
D.
p

q

解析:因为
p

q


p

q
.
答案:B
2.已知
a

b
都是正数,
P

的大小关系是( )
A.
P

Q

C.
P

Q

B.
P

Q

D.
P

Q

- 1 -
b
2
a
2
ab

b

a

2

b

a

+-
a

b
=≤0,所
ab
a

b
2

Q

a

b
,则
P

Q
读万卷书 行万里路


旗开得胜
解析:因为
a

b
都是正数,
所以
P
>0,
Q
>0.
?
a

b
?
2
-(
a

b

2
所以P
2

Q
2

?
≤0.
?
-(
a

b
)
2

2
2
??所以
P
2

Q
2
≤0.所以
P
Q
.
答案:D
3.已知
a

b

c
均大于1,且log
a
c
·log
b
c
=4,则 下列一定正
确的是( )
A.
ac

b

C.
bc

a

B.
ab

c

D.
ab

c

(lg
c

2
解析:因为log
a
c
·log
b
c
==4,
lg
a
·lg
b
所以lg
2
c
=4lg
a
·lg
b
≤(lg
a
+lg
b
)
2
=(lg
ab
)
2
.

c
>1,
a
>1,
b
>1,
所以lg
c
≤lg
ab
,即
c

ab
.
答案:B
4.在等比数列{
a
n
}和等差数列{
b
n
}中,
a
1

b
1
>0,
a
3

b
3
>0,
a
1

a
3,则
a
5

b
5
的大小关系为( )
A.
a
5

b
5
B.
a
5

b
5

- 1 -
读万卷书 行万里路


旗开得胜
C.
a
5

b
5
D.不确定
解析: 由等比数列的性质知
a
5
=,由等差数列的性质知
b
5
=2
b
3
a
2
3
a
1

b
1
.又
a
1

a
3


a
5

b
5
=-2
b
3

b
1< br>=
a
2
3
2
a
2

a
3< br>-
a
1

2
3
-2
a
3
a
1

a
1
a
1
a
1

a
1
>0.
因此,
a
5

b
5
.
答案:A
5.已知
a
>0且
a
≠1,
P
=log
a
(
a
3
+1),
Q
=log
a
(
a
2
+1),则
P

Q
的大小关系是( )
A.
P

Q

C.
P

Q

B.
P

Q

D.大小不确定
解析:
P

Q
=log
a
(
a
3
+1)-log< br>a
(
a
2
+1)=log
a
a
3
+ 1
2
+1
a
.当0<
a

1时,0<
a< br>3
+1<
a
2
+1,0<
a
3
+1
a
2
+1
<1,
所以log
a
a
3
+1
3
+>0,即
P

Q
>0,所以
P
Q
.当
a
>1时,
a
a
2
+1
1>< br>a
2
+1>0,
a
3
+1
a
2
+1
>1,所以log
a
a
3
+1
2
+1
a< br>>0,即
P

Q
>0,所以
P
- 1 -
读万卷书 行万里路


旗开得胜

Q
.故应选A.
答案:A
二、填空题
11
6.若-1<
a

b
<0,则,,
a
2

b
2
中最小的是________.
ab
111
解析:依题意,有>,
a
2

b
2
,故只需 比较与
b
2
的大小.
abb
因为
b
2
>0,<0,
1
b
11 1
所以<
b
2
.所以,,
a
2

b
2
中最小的是.
1
babb
答案:
1
b
7. 设
x

a
2
b
2
+5,
y
=2
ab

a
2
-4
a
,若
x
y
,则实数
a

b
应满足的条件是________.
解析:由
x

y

a
2
b
2
+ 5-2
ab

a
2
+4
a
=(
ab
-1)
2
+(
a
+2)
2
1
>0,故
a
=-2,
b
=-不同时成立.
2
1
答案:
a
=-2,
b
=-不同时成立
2
- 1 -
读万卷书 行万里路


旗开得胜
1
?
a

b
?
8.若0<
a

b< br><1,
P
=log
??

Q
=(log
1< br>a
+log
1
b
),
M
2
?
2?
222
1
=log
1
(
a

b< br>),则
P

Q

M
的大小关系是________.
2
解析:因为0<
a

b
<1,所以
a

b
2

ab

1
?
a

b
?
1
所以log
??
<log
ab
=log< br>1
(
ab
)=
2
?
2
?
222
1
1
a

b
11
(log
a
+l og
b
),即
P

Q
,又<
a

b

22
22
所以log
1
2
a
b
2
>log
1
(
a

b
),即< br>P

M
,所以
Q

P

M
.
2
答案:
Q

P

M

三、解答题
9.已知
a
∈R,求证:3(1+
a
2

a
4
)≥(1+
a

a
2
)
2
.
证明:3(1+
a
2

a
4
)-( 1+
a

a
2
)
2
=3(1+
a
2

a
4
)-(1+
a
2

a
4
+2
a
+2
a
3
+2
a
2
)=2 -2
a
-2
a
3
+2
a
4
=2(1-a
)
2
(1+
a

a
2
)≥0,即< br>3(1+
a
2

a
4
)≥(1+
a

a
2
)
2
.
- 1 -
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旗开得胜
a

b

c
10.已知
a

b

c
∈R

,求证:
a< br>a
b
b
c
c
≥(
abc
)
3
.
证明:因为
a

b

c
是正数,不妨设a

b

c
>0,
?
a
?
a

b
?
b
?
b

c
?
c
?
c

a

??
3
≥1,
??
3
≥1,
??
3
≥1.
?
b
??
c
??
a
?
因为
a
a
b
b
c< br>c

abc

2
a

b

c
2
b

a

c
2
c

a

b
3

a
a

b

c
3
b
3
c
3
?
a
?
a

b
?
b
?
b

c
?
c
?

??
3
??
3
·
??
?
b< br>??
c
??
a
?
c

a
3
≥1,
a

b

c
所以
a
a
b
b
c
c
≥(
abc
)
3
.
B级 能力提升
1.已知
a

b
>0,
c

d
>0,
m

ac

bd

n


a

b
)(
c

d
),则m

n
的大小关系是( )
A.
m

n

C.
m

n

B.
m

n

D.
m

n

解析:因为
a

b
>0,
c

d
>0,
所以
ac

bd
>0,
所以
m
>0,
n
>0.
- 1 -
ac

bd

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旗开得胜
又因为
m
2

ac
+< br>bd
-2
abcd

n
2

ac

bd
-(
ad

bc
),
又由
ad

bc
>2
abcd

所以-2
abcd
>-
ad

bc

所 以
m
2

n
2
,所以
m

n.
答案:B
n
-1
n
2.已知
a
>0,对 于大于1的自然数
n
,总有

a
的取值范围是________.
nn
+1
n
a
n

a
n
+1
解析:因为0<
a
n
-1

a
答案:(0, 1)
,且>,所以0<
a
<1.
n
-1
n
nn
+1
3.(1)设
x
≥1,
y
≥1,证明
x

y

1
xyxy
11
≤++
xy

(2)设1<
a

b

c
,证明log
a
b
+log
b
c
+log
c
a
≤log< br>b
a
+log
c
b

log
a
c< br>.
证明:(1)由于
x
≥1,
y
≥1,
所以x

y

111
≤++
xy
?
xy< br>(
x

y
)+1≤
y

x
+(xy
)
2
.
xyxy
将上式中的右式减左式,得
y

x
+(
xy
)
2
]-
xy
(< br>x

y
)+1]=(
xy
)
2
-1]-xy
(
x

y
)-(
x

y
)]=(
xy
+1)(
xy
-1)-(
x

y)·(
xy
-1)=(
xy
- 1 -
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旗开得胜
-1)(
xy

x

y
+1)=(
xy
-1)(
x
-1)(
y
-1).
既然
x
≥1,
y
≥1,所以(
xy
-1)(
x
-1)(
y
-1)≥0.
从而所要证明的不等式成立.
(2 )设log
a
b

x
,log
b
c
y

由换底公式得log
c
a

111
,l og
b
a
=,log
a
b
=,log
a
c

xy
.
xyxy
于是,所要证明的不等式即为
x

y

log
a
b
≥1,
y
=log< br>b
c
≥1.
1
xyx
≤++
xy
,其中< br>x

11
y
故由(1)成立知所要证明的不等式成立.
- 1 -
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