高中数学选修1-2及选修4-4试卷

湛江市2013—2014学年度第二学期期末调研考试
高中数学(
选修1-2 、4-4
)试卷















线













号



学







































名



姓封




















级


班




















密





校

学











说明：本卷满分150分．考试用时120分钟．

题号 一 二
三
15 16 17 18 19 20
总分
得分
参考公式：
用最小二乘法求线性回归方程系数公式：
n
____
n
?
i
?x)(y
i
?y)
ii
?nxy
x
?
?
(x
线性回归方程
y
?
?
b
?
a
?
. 其中
b?
i?1
?
xy
=
i?1
，
a
?
?
y
?
b
?
x

?
n
(x
i
?
__
x)
2
i?1
?
n
x
2
i
?nx
2
i?1
一、选择题：本 大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．请 把正确答案的代号填入下面的表格内．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 得分
选项

1．已知集合M=｛2,3,4｝,N=｛0,2,3,5｝,则M
?
N= C

A.

｛3，5｝ B. ｛3,4｝
C. ｛2,3｝ D. ｛0，2｝
?
x?1
2．若x，y
?< br>R，且
?
?
x?2y?3?0
，则z＝x+2y的最小值等于B
?
?
y?x
A．2 B．3 C．5 D．9
3．已知向量a=(1, －2) , b=(1+m , 1－m) , 若a ∥ b，则实数m的值为B
A．3 B．－3 C．2 D．－2 < br>4．若
a
，
b?R
，
i
为虚数单位，且
(a ?i)i?b?i
，则

A．
a?1,b?1
B．
a??1,b?1
C．
a?1,b??1
D．
a??1,b??1

5．下列函数为奇函数的是D
A．x
2
+2
x
B．2cosx+1 C．x
3
sinx D．2
x
－
1
2
x

6．若函数y＝f(x)的定 义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)
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的图象可能是 ( )


答案 B
7．已知集合A＝｛x︱｜x｜
?
4 , x
?
R｝, B＝｛x｜x﹤a｝,则“A
?
B”是 “a﹥5” 的
B
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
x
2
y
2
x
2
y2
3
8．若椭圆
2
+
2
＝1（a﹥b﹥0）的离心率为 ，则双曲线
2
－
2
＝1的渐近线方程
b
a
b
a
2
为A
A. y=
?
1
x B. y=
?
2x C. y=
?
4x
2
D. y=
?
1
x
4
9 ．已知
?
、
?
是两个不同的平面，a、b是两条不同的直线，给出下列四个命 题，其中正
确的是C
A. a∥
?
, b∥
?
, 则a∥b
B. a∥
?
, b∥
?
, a∥b,则
?
∥
?

?
, b
?
?
, a
?
b,则
?
?
?

D. 若a、b在平面
?
内的射影互相垂直，则a
?
b。
C. a
?

10．若S
n
是等差数列｛a
n< br>｝的前n项和，a
2
+ a
10
＝4，则S
11
的值为 C
A．12 B．18 C．22 D．44

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分,其中14－15选做一题．
11．若抛物线的焦点在直线x－2y－4=0上，则抛物线的标准方程是 ．y
2
=16x或x
2
=
－8y

12．按如图的程序计算，若开始输入的值为3，则最后输出的结果是 ．





13．如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在 矩形ABCD内部随机取一个点Q，
则点Q取自△ABE内部的概率等于 ．
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1
·|AB|·|AD|
S△ABE2
[这是一道几何概型的概率问题，点 Q取自△ABE内部的概率为＝
S矩形ABCD|AB|·|AD|
1
＝.
2
14．（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为
?
?
?
x?5cos
?
(0≤
?
＜
?
)
和
?
?
y?sin
?
5
2
?
?< br>x?t
4
(t?R)
，它们的交点坐标为 ． ?
?
?
y?t
?
x?1
?
2
?
25
x
4
y?
?y
2
?1(x?0)
y
2
?x
?
5
，∴交
5
5
【答案】化为普通方程分别 为，，联立解得
?
25
点（1，
5
）．
CD，AB＝4， CD＝2，E、F分
15
（几何证明选讲选做题）如图4，在梯形ABCD中，AB∥
别为AD、BC上点，且EF＝3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为
．
【答案】∵AB∥CD，AB＝4，CD＝2， EF＝3，EF∥AB，∴2EF=AB+CD， < br>S
梯形ABEF
∴EF是梯形ABCD的中位线，设梯形ABCD的高为
2h< br>，则
S
梯形EFCD
(4+3)h
7
2
==． (3?2)h
5
2
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明 、证明过程或演算步骤．
π
16．（本小题满分12分）已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<
2
，x∈R)的图象的一
部分如下图所示．

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(1)求函数f(x)的解析式；
2
(2)当x∈[－6，－
3
]时，求函数y＝f(x)＋f(x＋2)的最大值与最小 值及相应的x的值．
解 (1)由图象知A＝2，
2ππ
∵T＝
ω
＝8，∴ω＝
4
.??????????????????????????(2分)
π
又图象经过点(－1,0)，∴2sin(－
4
＋φ)＝0.
ππ
∵|φ|<
2
，∴φ＝
4
.
ππ
∴ f(x)＝2sin(
4
x＋
4
)．?????????????????? ?????????(5分)
(2)y＝f(x)＋f(x＋2)
πππππ
＝2 sin(
4
x＋
4
)＋2sin(
4
x＋
2
＋
4
)
πππ
＝22sin(
4
x＋
2
)＝22cos
4
x.???????????????????????(8分)
2
3πππ
∵x∈[－6，－
3
]，∴－
2
≤
4
x≤－
6
.
ππ
2
∴当
4
x＝－
6
，即x＝－
3
时，y＝f(x)＋f(x＋2)取得最大值6；
π当
4
x＝－π，即x＝－4时，y＝f(x)＋f(x＋2)取得最小值－22.???? ?????(12分)


17．（本小题满分13分）
一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球．
(1)共有多少个基本事件？
(2)摸出的2只球都是白球的概率是多少？
解 (1)分 别记白球为1、2、3号，黑球为4、5号，从中摸出2只球，有如下基本事件(摸到
1、2号球用(1 ,2)表示)：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，( 3,4)，(3,5)，(4,5)．
因此，共有10个基本事件． (2)上述10个基本事件发 生的可能性相同，且只有3个基本事
件是摸到两只白球(记为事件A)，即(1,2)、(1,3)、( 2,3)，故P(A)＝310. 故共有10个基本事
件，摸出2只球都是白球的概率为310


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18．（本题满分13分）

如下图，在正方体
A BCD
?
A
1
B
1
C
1
D
1中，
N
、
C
1
D
1
M
、
P< br>分别是
C
1
C
、
B
1
C
1
、
的中点，
求证：平面
M
N
P
∥
平面
A
1
B
D
.
证明：连结
B
1
D
1
，
P
、
N
分别是
D
1
C
1
、
B
1
C
1
的中点，
?
P
N
∥
B
1
D
1
.又
B
1
D
1
∥
B
D
，
D
A
B
C
M
?P
N
∥
B
D
.又
P
N
不在平面
A
1
B
D
上，
?
P
N
∥
平面
A
1
B
D
.
?
平面
PM
N∥
平面
A
1
B
D
.
同理，
M
N
∥
平面
A
1
B
D
.又
P
N< br>M
N
=
N
，
D
1
P
C
1

A
1
B
1
N














1 9．（本小题满分14分）中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F
1
，
F
2
，且︱F
1
F
2
︱＝2
13
，椭圆的长半轴与双曲线的实半轴之差为4，离心率之比为3：7.
（1）求这两曲线方程；
（2）若P为这两曲线的一个交点，求cos
?
F
1
PF
2
的值。
解：（1）由已知：c＝< br>13
，设椭圆长、短半轴分别为a、b，双曲线实半轴、虚半轴长分别
为m、n，
?
a?m?4
?
则
?
1313
，
?3
?
7
m
?
a
解得a=7 ,m=3, b=6, n=2
x
2
y
2
x
2
y
2
?1
，双曲线方程为
??1

?
椭圆方程为
?493694
（2）不妨设F
1
、
F
2
分别为左、右焦 点，P是第一象限的一个交点，则︱P F
︳
︳+︱PF
2
｜=14,
︱P F
︳
︳－︱PF
2
｜=6,
?
︱P F
︳
︳＝10，︱PF
2
｜=4
又︱F
1
F
2
︱＝2
13

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PF
1
?PF
2
? F
1
F
2
10
2
?4
2
?(213)2
4
??

?
cos
?
F
1
PF
2
=
2PF
1
?PF
2
2?10?45

20．（本题满分14分）
已知数列
?
a
n
?
的 前
n
项和
S
n
?2
n?1
?n?2
（n?N
*
）．
（1）求
a
1
，
a
2
，
a
3
的值；
（2）求数列
?
a
n
?
的通项公式；
（3）求证：








21. （本题满分14分）设函数f(x)＝
ax?3x,a?R
,且x＝2是y= f(x)的极值点。
（1）求函数a的值，并求函数的单调区间；
x
（2）求函数g(x)=e f(x)的单调区间。
解：（1）
f
?
(x)=3ax
2
－6x = 3x(ax－2),因为x＝2是函数y= f(x)的极值点 ,所以
f
?
(2)=0，
即6（2a－2）=0,因此a＝1.
经检验，当a＝1时，x＝2是函数y= f(x)的极值点。
2
所以
f
?
(x)＝3x－6x＝ 3x(x－2)。
所以函数y= f(x)的单调递增区间是（－
?
，0），（2， +
?
），单调递减区间是（0，2）。
（2）g(x)= e
x
(
x?3x
)，
32
222
a
a
1
a< br>2
n
??
?
?
n
?
．
a
2
a
3
a
n?1
2
32
g
?
（x ）= e
x
(x
3
－3x
2
+3x
2
－6x) = e
x
(x
3
－6x) = x(x+
6
)(x－
6
) e
x
,
因为e
x
﹥0，所以y= g(x)的单调增区间是（－
6
，0） ，（
6
，+
?
）；单调减区间是
（－
?
，－6
），（0，
6
）。
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高中数学选修1-2及选修4-4试题 参考答案及评分意见



一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
题号
选项
1
C
2
B
3
B
4
C
5
D
6
B
7
B
8
A
9
C
10
C

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分．
2 2
11. y=16x或x=－8y 12.
231

25
1
13.

14. （1，
5
） 15.
2
7
5

三、解答题：本大题共6小题，共80分．

16．解 (1)由图象知A＝2，
2ππ
∵T＝
ω
＝8，∴ω＝
4
.??????????? ???????????????(2分)
π
又图象经过点(－1,0)，∴2sin(－
4
＋φ)＝0.
ππ
∵|φ|<
2
，∴φ＝
4
.
ππ
∴ f(x)＝2sin(
4
x＋
4
)．?????????????????? ?????????(5分)
(2)y＝f(x)＋f(x＋2)
πππππ
＝2 sin(
4
x＋
4
)＋2sin(
4
x＋
2
＋
4
)
πππ
＝22sin(
4
x＋
2
)＝22cos
4
x.???????????????????????(8分)
2
3πππ
∵x∈[－6，－
3
]，∴－
2
≤
4
x≤－
6
.
ππ
2
∴当
4
x＝－
6
，即x＝－
3
时，y＝f(x)＋f(x＋2)取得最大值6；
π当
4
x＝－π，即x＝－4时，y＝f(x)＋f(x＋2)取得最小值－22.???? ?????(12分)

17．解 (1)分别记白球为1、2、3号，黑球为4、5号，从 中摸出2只球，有如下基本事件(摸
到1、2号球用(1,2)表示)：(1,2)，(1,3)，(1 ,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)．
因此，共有10个基本事件．?????????????????????????(6分)
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(2)上述10个基本事件发生的可能性相同，且只有3个基本事件是摸到两只白球(记为事件

A)，即(1,2)、(1,3)、(2,3)，故P(A)＝.
3
故共有10个基本事件，摸出2只球都是白球的
10
概率为
3
???????????????????????????????(13分)
10
18．
证明：连结
B
1
D
1
，
P
、< br>N
分别是
D
1
C
1
、
B
1
C
1
的中
A
点，
?
P
N
∥
B< br>1
D
1
.又
B
1
D
1
∥
B
D
，
D
B
C
M
?
P
N
∥
B
D
.又
P
N
不在平面
A
1
B
D
上，
?
P
N
∥
平面
A
1B
D
.
M
N
=
N
，
A
1
D
1
同理，
M
N
∥
平面
A
1B
D
.又
P
N
P
B
1
N
?< br>平面
PM
C
1
N
∥
平面
A
1
B
D
.

19．解：（1）由已知：c＝
13
，设椭圆 长、短半轴分别为a、b，双曲线实半轴、虚半轴长
分别为m、n，
?
a?m?4
?
则
?
1313
，
?3
?
7
m
?
a
解得a=7 ,m=3, b=6, n=2
x
2
y
2
x
2
y
2
?1
，双曲线方程为
??1

?
椭圆方程为
?493694
（2）不妨设F
1
、
F
2
分别为左、右焦 点，P是第一象限的一个交点，则︱P F
︳
︳+︱PF
2
｜=14,
︱P F
︳
︳－︱PF
2
｜=6,
?
︱P F
︳
︳＝10，︱PF
2
｜=4
又︱F
1
F
2
︱＝2
13

222PF
1
?PF
2
?F
1
F
2
102
?4
2
?(213)
2
4
??

?
cos
?
F
1
PF
2
=
2PF
1
?PF
2
2?10?45
20．解：（1）
a1
?S
1
?2
2
?2?1?1
，

a
2
?S
2
?a
1
?2?2?2?1?3
，

a
3
?S
3
?a
2
?a
1
?2?3?2?3?1?7
．????????????3分
（2）当
n?1
时，
a
n
?S
n
?S
n?1
?2?n?2?2?(n?1)?2?2?1
．???6分

1
当
n?1
时，
a
1
?2?1? 1?S
1
，??????????????????8分
∴
a
n
?2?1
（
n?N
）．????????????????? ????9分
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n
*
3
4
n?1nn

a
k
2
k
?1
（3）∵
??
a
k?1
2
k?1
?1
2< br>k
?11
?
．????????????????12分
1
2
2(2
k
?)
2
a
aa
111n
∴
1
?
2
?
?
?
n
???
???
．????????????14分
a
2
a
3
a
n?1
2222
21. 解：（1）
f
?
(x)=3ax
2
－6x = 3x(ax－2),因为x＝2是函数y= f(x)的极值点 ,所以
f
?
(2)=0，
即6（2a－2）=0,因此a＝1.
经检验，当a＝1时，x＝2是函数y= f(x)的极值点。
所以
f
?
(x)＝3x
2
－6x＝ 3x(x－2)。
所以函数y= f(x)的单调递增区间是（－
?
，0），（2， +
?
），单调递减区间是（0，2）。
（2）g(x)= e
x
(
x
3
?3x
2
)，
g
?
（x）= e
x
(x
3
－3x
2
+3x
2
－6x) = e
x
(x
3
－6x) = x(x+
6
)(x－
6
) e
x
,
因为e
x
﹥0，所以y= g(x)的单调增区间是（－
6
，0） ，（
6
，+
?
）；单调减区间是
（－
?
，－
6
），（0，
6
）。

注：以上各题若有其它解法，请评卷老师酌情给分．


湛江市2013—2014学年度第二学期期末调研考试 高中数学选修1-2及4-4试卷 第 9 页 （共 9 页）