高中数学3.1.1柯西不等式(1)同步练习(答案不全)新人教版选修4-5

选修4-5练习 §3.1.1柯西不等式(1)
1.若a,b?R,且a
2
?b
2
?10,则a?b的取值范围是( )

?
5,25
?
?


A.
?
-2

B.
?
?2
?
已 知x?y?1,那么2x
2
?3y
2
的最小值是( )

562536

A. B. C. D.

653625
3.函数y?21?x?2x?1的最大值为______

2.
10,210
?
?

C.
?
?
?
10,

D.
?
?10
?
??
5,5
?
?
.
4,设实数x,y满足3x
2
?2y
2
?6,则P?2x?y的 最大值是______

5.
11
若a?b?1,则(a?)
2?(b?)
2
的最小值是______

ab
6、 求函数
y?3x?1?10?2x
的最大值？；





7、已知
3x?2y?1
，求
x
2
?y
2
的最小值.







8、若
x,y?R
?
，
x?y?2
，求证：






9、已知
x,y,a,b?R
?
，且





10、若
a
>
b
>
c
，求证 ：
11
??2
.
xy
ab
??1
，则
x?y
的最小值.
xy
114
??
.
a?bb?ca?c

11、 已知点
?
0
?
x
0
,y
0
?
及直线
l:

?x??y?C?0

?
?
2
??
2
?0
?

用柯西不等式推导点到直线的距离公式








12、已知
a1?b
2
?b1?a
2
?1,
求证：
a?b?1
。








13、解方程
x
2
?
1
?
x
2












参考答案:
例1
例2
22
?
x?1
?
2
?
1
?
x?1
?
2
?2?
1

x
?
x?1
?

例3
解:由柯西不等式(4 x
2
?9y
2
)(1
2
?1
2
)?(2x ?3y)
2
?1,
1
?4x
2
?9y
2
? .
2
例4
当且仅当2x?1?3y?1,即2x?3y时取等号.

1
?
x?
x?3y
得
?
4
由
2< br>1
2x?3y?1
?
y?
?
6
?
111?4x
2
?9y
2
的最小值为,最小值点为(,)
246
?
练习
1．A 2、B 3．3 4．
11
5．
25

2
6．分析：如何变形？ → 构造柯西不等式的形式 → 板演
→ 变式：
y?3x?1?10?2x

→ 推广：
y?abx?c?de?fx,(a,b,c,d,e,f?R
?
)

1
2
11
(x?y
2
)(3
2
?2
2
)?(3x?2y)
2
?
.
131313
8．分析：如何变形后利用柯西不等式？ （注意对比 → 构造）
7．（凑配法）
x
2
?y
2
?
要点：
11111111
2
??(x?y)(?)?[(x)
2
?(y)
2
][()
2
?()]?
…
xy2xy2
xy
a b
9．要点：
x?y?(?)(x?y)?
…. → 其它证法
xy
10、要点：
(a?c)(
1111
?)?[(a?b)?(b?c) ](?)?(1?1)
2
?4

a?bb?ca?bb?c
1 1、设点
?
1
?
x
1
,y
1
?
是 直线
l
上的任意一点， 则
?x
1
??x
1
?C?0
（1）
点
P
0
,P
1
两点间的距离:
p
0
p
1
?
?
x
0
?x
1
?
?
?
y
0
?y
1
?
22
（2）

p
0
p
1
的最小值就是点
p
0
到直线
l
的距离，
∵
???
22?
x
0
?x
1
?
?
?
y
0< br>?y
1
?
22
??
?
x
0
?x1
?
??
?
y
0
?y
1
?


??x
0< br>??y
0
?C?
?
?x
1
??y
1
?C
?

由（1）（2）得：
< br>???gp
1
p
2
??x
0
??y
0
?C
即
p
1
p
2
?
当且仅当
?
y
0
?y
1
?
:
?
x
0
?x
1
?
?
22
?x
0
? ?y
0
?C
???
22
（3）
?

?

p
1
p
2
?l
（3）式取等号 即点到直线的距离公式即
p
1
p
2
?
?x
0
??y
0
?C
???
22

12. 证 明：由柯西不等式，得
a1?b
2
?b1?a
2
?a
2?1?a
2
b
2
?1?b
2
?1

?
??
??
??
?
1?b
2
?
当且仅当时，上式取等号，
2
a
1?a
b

?ab?1?a
2
?1?b
2
,

ab?1?a
13.解：
?
22
?
2??
1?b
?
,
于是
a
2
2
?b
2
?1
。
x
2< br>?
1
?
x
2
?
x?1
?
2
?
x
2
?
1
?
x?1
?
2
=
x?
2
1
?
x
2
2
1
?x?1
?
2
?
?
x?1
?

2
由柯西不等式知
1
?
2
x
1
?x?1
?
2
?
?
x?1
?

?
x
2
?
xx?1
?
x?1x
即
111
2
??(x?1)?2?,
22
x(x?1)

x(x?1)
?x
2
?

11
2
?(x?1)?
x
2
(x?1)
2
?2?
1
x(x ?1)

当上式取等号时有
x(x?1)?
1
成立，即
x(x?1)
x
2
?x?1?0
（无实根） 或
x
2
?x?1?0
，即
x?

?1?5?1?5
，经检验，原方程的根为
x?

22