选修4-5《不等式的基本性质和证明的基本方法》

山东省新人教B版2012届高三单元测试24
选修4-5《不等式的基本性质和证明的基本方法》

（时间120分钟 满分150分）

一、选择题。（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给 出的四个选项中，有
一项是符合题目要求的。）
1．已知集合
M?xx?4,N?xx?2x?3?0
，则集合M∩N等于
?
2
??
2
?
（ ）
A．
xx??2
B．
xx?3
C．
x?1?x?2
D．
x2?x?3

2．若
??
??
????
11ba
??0
，则不等式①
a+b②
a?b;
③
a?b;
④
??2
中正确的有（ ）
abab
B．2个 C．3个 D．4个 A． 1个
3．设
ab?0
，下列4个不等式：①
a?b?a
；②
a?b?b
；③
a?b?a?b
；
④
a?b?a?b
，其中正确的是 （ ）
A．①和② B．①和③ C．①和④ D．②和④
4．已知a、b、c∈R，下列命题正确的是
A．
a?b?ac?bc

C．
a?b,ab?0?a
33?1
22

?1
（ ）
B．
a?b,a?b?0?a
D．
a?b,ab?0?a

22?1
22
?b
?1

?b
?1

?b
?1

（ ） 5．不等式
1?x?1?3
的解集为
A．（0，2） B．（—2，0）∪（2，4）
C．（—4，0） D．（—4，-2）∪（0，2）
6．在下列函数中，当x取正数时，最小值为2的是
A．
y?x?
（ ）
4

x
B．
y?lgx?
1

lgx
C．
y? x
2
?1?
1
x
2
?1
D．
y?x?2x?3

2
2
7．不等式
x?2x?3?3x?1
的解集是 （ ）
A．
xx?1
B．
xx?4

????
C．
xx?1或x?4
D．
x1?x?4

??
??
- 1 -

8．若
0?a?1
，则不等式
(a?x)(x?)?0
的解集是
A．
?
x
1
a
（ ）
?1?
?x?a
?

?
a
?
1?
?

a
?
2 22
B．
?
xa?x?
?
?
1?
?

a
?
C．
?
xx?a,或x?
?
?
D．< br>?
xx?
?
?
1?
,或x?a
?

a
?
（ ） 9．设a，b，c，d∈R，且
a?b?1
，< br>c?d?1
，则abcd的最大值等于
A．
2
1

4
B．
?
1

4
C．
1

2
D．
?

1

2
（ ） 10．若x∈R，则
x?2
是
x?1?1
的什么条件
A．必要不充分条件
C．充要条件
B．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
22
11．已知不等式< br>ax?bx?2?0
的解集为
x?1?x?2
，则不等式
2x?bx? a?0
的解集
??
为
A．
?
x?1?x?

B．
?
xx??1,或x?
（ ）
?
?
1?
?

2
?
?
?
1?
?

2
?
C．
x?2?x?1

??
D．
xx??2,或x?1

??
12．设
M ?(?1)(?1)(?1)且a?b?c?1
（a，b，c∈R
+
），则M的取值范 围是（ ）
A．
[0,)

1
a
1
b
1
c
1
8
B．
[,1)

1
8
C．
?
1,8
?
D．
?
8,??
?

二、填空题。（本大题共4小题，每小题4分，满分16分，把正确答案写在题中横线上。）
13．以下四个不等式①
a?0?b,
②
b?a?0,
③
b?0?a ,
④
0?b?a,
其中使
充分条件有 ．
1 4．设
f(x)?2x?1?x?3
11
?
成立的
ab
2)
= ，
)?5
，，则
f(?
若
f(x
则x的取值范围是 ．
ab
15．设a，b∈R，且a+2b=3，则
2?4
的最小值是 ．
16．若关于x的不等式
x?2?x?1?a
的解集为
?
，则a 的取值范围为 ．
三、解答题。本大题共6小题，共74分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤。
17． (12分)解不等式
?1?x?2x?1?2
．



- 2 -
2

18．（12分）解下列不等式
2
（1）
x?11x?21?x;

（2）
3x
?1
；
2
x?4
2
（3）
x?4?x?3?5
．







19．(12分）已知a,b是正实数，求证：






20．(12分) 求下列各式的最值：
ab
??a?b.

ba
x
2
?y
2
（1）已知x>y>0且xy=1，求的最小值及此时x、y的值；
x?y
（2）已知x>0 ，y>0,且3x+4y=12，求
lgx?lgy
的最大值及此时x、y的值．






21．(12分) 设
x?0,y?0,且x?y,
求证：
(x?y)?(x?y).




- 3 -
3
1
3
3
2
1
2
2

22．(14分) 已知
f(x)?x
2
?2ax?2
，当
x?
?
?1,??
?
时，
f(x)?a
恒成立，求a的取值范
围。











参考答案

一、1．C 2．B 3．C 4．C 5．D 6．D 7．D 8．B 9．A 10．A 11．A 12．D
二、13．①②④ 14． 6
?
?1,1
?
15．
42
16．
a?3

2
?
?
x?2x?1?2
,
三、17．解：原不等式等价 于
?
2
?
?
x?2x?1??1
即 x
2
+2x-3≤0 ①
x
2
+2x>0 ②
解①
(x?3)(x?1)?0,??3?x?1,

解②
x(x?2)?0,?x??2或x?0,

??3?x??2或0?x?1,

?
原不等式的解集为
?x?3?x??2或0?x?1
?
.

18．解：（1）原不等式
?
x?11x?21?x
或
x?11x?21??x?3?x?7

或
x?6?15或x?6?15,

- 4 -
22

?
原不等式的解集为
(??,6?15)∪
(3,7)
∪
(6?15,??)
．
（2）
3x3x
2
222

?1?()?1
?9x?(x?4)(x??2)

22
x?4x? 4
?x
4
?17x
2
?16?0

?x
2
?1或x
2
?16

??1?x?1或x??4或x?4.

?
原不等式的解集为
?xx?4或?1?x?1或x??4
?
.

（3）用零点分段法求解
x
2
?4
的零点为-2和2，
x?3
的零点为-3， ?
原不等式
?
?
?
x??3
?
x?4?(x? 3)?5
2
或
?
?
?3?x??2
?
x?4?(x ?3)?5
2

?
?2?x?2
或
?

2
?
?(x?4)?x?3?5
?
x?2
或
?
2?x??3或?1?x?2或x?2.

x?4x?x?3?5
?
?原不等式的解集为
(??,?3)
∪（-1，2）∪
(2,??)
．
19．证明：
ab
??(a?b)

ba
(a)
3
?(b)
3
?(a?b)ab

?
ab
?
(a?b)(a?2ab?b)

ab
(a?b)(a?b)
2
，
?
ab
a?b?0,ab?0,(a?b)
2
?0
，
?
ab
??(a?b)?0
，
ba
ab
??a?b.

ba
?
- 5 -

20．解：（1）
x?y?0,?x?y??1(定值),

x
2
?y
2
(x?y)
2
?2xy2
?? ?(x?y)??22.

x?yx?yx?y
?
?
6?2
?
x?y?0,
x?,
?
?
??
2
解方程组
?
xy?1,

得
?
??
y?
6?2
.
2
?
x?y?
?
?2
x?y
?
?
6?26?2x
2
?y
2
取得最小值
22
．
?当x?,y?时,
22x?y
（2）
x?0,y?0,3x?4y?12,

2
11
?
3 x?4y
?
?xy??3x?4y?
??
?3.

1212
?
2
?
?lgx?lgy?lg(xy)?lg3.

?< br>x?0,y?0,
?
x?2,
??
由
?
3x?4y? 12,解得
?
3

y?.
?
3x?4y,
?
?2
?
3
?当x?2,y?时,lgx?lgy
取得最大值
lg3 .

2
21．证明：
3
x?0,y?0,且x?y,
1
3
3
2
1
2
2
?(x?y)?(x?y)? (x
3
?y
3
)
2
?(x
2
?y
2
)
3

?2x
3
y
3
?3x
2
y
2
(x
2
?y
2
)?2xy?3(x
2
?y
2
)?2xy?x
2
?y
2
.

x?y
，
?
最后一个不等式显然成立．
?
原不等式成立．
22．解：方法一：
f(x)?(x?a)?2?a,
此二次函数图象的对称轴为x= a，
①当
a?(??,?1)
时，结合图象知，f(x)在
?
?1 ,??
?
上单调递增，
22
f(x)
min
?f(?1)?2a?3,

要使f(x)?a
恒成立，只需
f(x)
min
?a,

即
2a?3?a
，解得
a??3
，又
a??1,??3?a??1;< br>
- 6 -

②当
a?
?
?1, ??
?
时，
f(x)
min
?f(a)?2?a
2
，
由
2?a?a
，解得
?2?a?1
，又
a??1,?? 1?a?1.

综上所述，所求a的取值范围为
?3?a?1
．
方 法二：由已知得
x?2ax?2?a?0
在
?
?1,??
?
上恒成立，
2
2
?
??0
?
即
??4a
2
?4(2?a)?0
或
?
a??1,
解得
?3?a?1< br>．

?
?
f(?1)?0
- 7 -