高中数学人教A版选修4-5教学案：第四讲本讲知识归纳与达标验收(1)

每览昔人兴感之由，若合一契，未尝不临文嗟悼，不能喻之于怀。固知一死生为虚诞，齐彭殇为妄 作。后之视今，亦犹今之视昔。悲夫！故列叙时人，录其所述，虽世殊事异，所以兴怀，其致一也。后之览者，亦 将有感于斯文。






高中数学人教A版选修4-5教学案：第四讲本讲知识归
纳与达标验收(1)



通过分析近三年的高考试题可以看出，不但考查用数学归纳法去
证明现成 的结论，还考查用数学归纳法证明新发现的结论的正确
性．数学归纳法的应用主要出现在数列解答题中， 一般是先根据递推
公式写出数列的前几项，通过观察项与项数的关系，猜想出数列的通
项公式， 再用数学归纳法进行证明，初步形成“观察—归纳—猜想—
证明”的思维模式；利用数学归纳法证明不等 式时，要注意放缩法的
应用，放缩的方向应朝着结论的方向进行，可通过变化分子或分母，
通过 裂项相消等方法达到证明的目的．

1．(安徽高考)数列{xn}满足x1＝0，xn＋1＝－x＋xn＋c(n∈N*)．

(1)证明：{xn}是递减数列的充分必要条件是c＜0；

(2)求c的取值范围，使{xn}是递增数列．

解：(1)先证充分性，若c＜0 ，由于xn＋1＝－x＋xn＋c≤xn＋c
＜xn，故{xn}是递减数列；

再证必要性，若{xn}是递减数列，则由x2＜x1，可得c＜0.

(2)(i) 假设{xn}是递增数列．由x1＝0，得x2＝c，x3＝－c2＋
2c.

由x1＜x2＜x3，得0＜c＜1.

由xn＜xn＋1＝－x＋xn＋c知，

世有伯乐，然后有千里马。千里马常有，而 伯乐不常有。故虽有名马，祇辱于奴隶人之手，骈死于槽枥之间，不以千里称也。策之不以其道，食之不能尽其材 ，鸣之而不能通其意，执策而临之，曰：天下无马！呜呼！其真无马邪？其真不知马也！

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每览昔人兴感之由，若合一契，未尝不临文嗟悼，不能喻之于怀。固知一死生为虚 诞，齐彭殇为妄作。后之视今，亦犹今之视昔。悲夫！故列叙时人，录其所述，虽世殊事异，所以兴怀，其致一也 。后之览者，亦将有感于斯文。

对任意n≥1都有xn＜，①

注意到

c
－xn＋1＝x－xn－c＋＝(1－－xn)(－xn)，②

由①式和②式可得1－－xn＞0，即xn＜1－.

由②式和xn≥0还可得，对任意n≥1都有

c
－xn＋1≤(1－)(－xn)．③

反复运用③式，得

c
－xn≤(1－)n－1(－x1)＜(1－)n－1.

xn＜1－和－xn＜(1－)n－1两式相加，

知2－1＜(1－)n－1对任意n≥1成立．

根据指数函数y＝(1－)n的性质，得2－1≤0，

c≤，故0＜c≤.

(ii)若0＜c≤，要证数列{xn}为递增数列，

即xn＋1－xn＝－x＋c＞0.

即证xn＜对任意n≥1成立．

下面用数学归纳法证明当0＜c≤时，xn＜对任意n≥1成立．

(1)当n＝1时，x1＝0＜≤，结论成立．

(2)假设当n＝k(k∈N*)时 结论成立，即：xk＜.因为函数f(x)
＝－x2＋x＋c在区间内单调递增，所以xk＋1＝f(x k)＜f()＝，这就
是说当n＝k＋1时，结论也成立．

故xn＜对任意n≥1成立．

因此，xn＋1＝xn－x＋c＞xn，即{xn}是递增数列．

由(i)(ii)知，使得数列{xn}单调递增的c的范围是.

2．(江苏高考) 已知函数f0(x)＝(x>0)，设fn(x)为fn－1(x)的
导数，n∈N*.


世有伯乐，然后有千里马。千里马常有，而伯乐不常有。故虽有名马，祇辱于奴隶人之手，骈 死于槽枥之间，不以千里称也。策之不以其道，食之不能尽其材，鸣之而不能通其意，执策而临之，曰：天下无马 ！呜呼！其真无马邪？其真不知马也！
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