高中数学选修4-4综合模块测试(整理推荐)

高中数学选修《4-4》综合模块测试
时间:120分钟,满分:150分
一、选择题(每小题5分,共60分)
?
?
1
?
x?x,
1.将正弦曲线y＝sinx作如下变换
?
2
得到的曲线方程为（ ）
?
?
y
?
?3y,
1
1
A.
y
?
?3sinx
?
B.
y
?
?sin2x
?

2
3
1
C.
y
?
?sin2x
?
D.y′＝3sin2x′
2
2.将点P的直角坐标
(3?3,3?3)
化为极坐标是（ ）
A.
(26,?
?
1212
5
?
5
?
C.
(26,)
D.
(6,)

1212
3.方程ρ＝2sinθ表示的图形是（ ）
A.圆 B.直线 C.椭圆 D.射线
4.设点M的柱坐标为
(2,
)
B.
(6,
?
)

?
6
,7)
,则M的直角坐标是（ ）
A.
(1,3,7)
B.
(3,1,7)

C.
(1,7,3)
D.
(3,7,1)

1
?
x?1?,
?
5.曲线的参数方程为
?
t
(t为参数,t≠0),它的普通方程是（ ）
?
y?1?t
2
?
A.(x－1)
2
(y－1)＝1 B.
y?
x(x?2)

2
(1?x)
C.
y?
1
x
?1
y??1
D.
(1?x)
2
1?x
2
?
x?3cos
?,
6.已知过曲线
?
(θ为参数,0≤θ≤π)上一点P与原点O的直线
y?4sin
?
?
PO,倾斜角为
?
,则点P的极坐标为 （ ）
4

32
?
?
,)
A.
(3,)
B.
(
24
4
C.
(?
122
?
12
?
,)

,)
D.
(
54
54
7.过点P(4,3),且斜率为
2
的直线的参数方程为（ ）
3
?
x?4?
?
?
A.
?
?y?3?
?
?
?
x?4?
?
?
C.< br>?
?
y?3?
?
?
3
?
t,x?3?
?
13
?
(t为参数) B.
?
2
?
y ?4?t
?
13
?
2
?
t,x?3?
?
1 3
?
(t为参数) D.
?
3
?
y?4?t
?
13
?
3
t,
13
(t为参数)
2
t
13
2
t,
13
(t为参数)
3
t
13
?
x?a?rcos
?
,
8.直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限,则圆
?
(θ为参数)的
y?b?rsi n
?
?
圆心位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
9.设a,b∈R,a
2
＋2b
2
＝6,则a＋b的最小值是（ ）
A.
?22
B.
?
53

3
C.－3 D.
?
7

2
?
x?t
2
?1,
10.曲线
?
(t为参数)的焦点坐标是（ ）
y?2t?1
?
A.(0,1) B.(1,0)
C.(1,2) D.(0,2)
?
x?1?2cos
?
,
11.将参数方程
?
(θ为参数)化为普通方程为（ ）
y?2sin
?
?
A.(x－2)
2
＋y
2
＝4 B.(x－1)
2
＋y
2
＝4
C.(y－2)
2
＋x
2
＝4 D.(y－1)
2
＋x
2
＝4

?
x??2?tan
?
,
?
12.双曲线
?
1
（θ为参数）的渐近线方程为（ ）
y?1?2
?
cos
?
?
11
A.
y?1??(x?2)
B.
y??x

22
C.y－1＝±2(x＋2) D.y＋1＝±2(x－2)
二、填空题(每小题4分,共16分)
13. 在极坐标系中,若过点A(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cosθ于
A、B两点,则|AB |＝_________.
?
x?3cos
?
,
?
1 4.O为坐标原点，P为椭圆
?
（φ为参数）上一点，对应的参数
?
?
，
6
?
y?2sin
?
那么直线OP的倾斜角的正切值是____ ______.
15.抛物线y
2
＝2px(p＞0)的一条过焦点的弦被分 成m，n长的两段，则
11
??
_______.
mn
16 .在极坐标系中,点
P(2,?)
到直线
l:
?
sin(
?
?)?1
的距离是________.
66
三、解答题(共74分)
17.(12分)函数y＝2
x
的图象经过图象变换得到函数y＝4
x－3< br>＋1的图象,求该
坐标变换.




?
x?m?2cos
?
,
18. (12分)已知椭圆
C< br>1
:
?
(φ为参数)及抛物线
y?3sin
?
??
?
3
C
2
:y
2
?6(x?)
.当 C
1
∩C
2
≠
2




时,求m的取值范围.

?
x??1?3t,
19.( 12分)已知直线的参数方程为
?
（t为参数），它与曲线(y－2)
2
?< br>y?2?4t
－x
2
＝1交于A、B两点.
（1）求|AB|的长；
（2）求点P（－1，2）到线段AB中点C的距离.



19. (12分)已知⊙C:ρ＝cosθ＋sinθ,直线
l:
??
22
cos(
?
?
?
4
.求⊙C上点到)
直线l距离的最小值.




?
x?1?cos
?
,
20. (12分)在曲线
C
1
:
?
(θ为参数)上求一点,使它到直线
y?sin
?
?
1
?
x??22?t,
?
?
2
C
2:
?
(t为参数)的距离最小,并求出该点坐标和最小距离.
?
y?1?
1
t
?
2
?


?
?)?6?0
,求： 22.(14分)已知某圆的极坐标方程为
?
2
?42
?
cos(
4
（1）圆的普通方程和参数方程；
（2）圆上所有点(x,y)中x·y的最大值和最小值.




?

参考答案
1 答案：D
2 解析：∵
x?3?3
,
y?3?3
,∴< br>?
?x
2
?y
2
?(3?3)
2
?(3?3 )
2
?26
,
3
y3?3
3
?tan(
?
?
?
)?tan
5
?
,∴
?
?
5
?
.
tan
?
???
x
3?3
461 2
12
3
1?
3
1?
答案：C
3 解析：ρ＝2sinθ可化为x
2
＋y
2
－2y＝0,表示以(0,1)为圆 心,以1为半径
的圆.
答案：A
4 解析：
x?2cos
答案：B
1x(x?2)
11
?
5 解析：
x?1?
,∴t?
,
y?1?t
2
?1?
.
(1?x)
2
(1?x)
2
t1?x
?
6
?3
,
y?2 sin
?
6
?1
,z＝7.
答案：B
x
2
y
2
?1
(y≥0)，与直线PO:y＝x联立可 6 解析：将曲线化成普通方程为
?
916
得P点坐标为
(
答案：D
1212
,)
.利用直角坐标与极坐标转化公式即可得到P点的极坐标.
55
7 解析：∵倾斜角α满足
tan
?
?
23
2
,∴
sin
?
?
,
cos
??
,∴所求参数
3
13
13
?
x?4?
??
方程为
?
?
y?3?
?
?
答案：A
3
t,
13
(t为参数)
2
t.
13
8 解析：∵y＝ax＋b通过第一、二、四象限,∴a＜0,b＞0.

∴圆心(a,b)位于第二象限.
答案：B
9 解析：不妨设
?
?
a?6cos
?
,
?
?
?
b?3sin
?
(α为参数),则
a?b?6cos
?
?3sin
??3sin(
?
?
?
)
,其中
tan
?
?2
,∴a＋b的最小值为－3.
答案：C
10 解析：将参 数方程化为普通方程为(y－1)
2
＝4(x＋1),该曲线为抛物线y
2
＝ 4x向左、向上各平移一个单位得到的,∴焦点为(0,1).
答案：A
?
x?1?2cos
?
,
x?1
2
y
x?1y
11 解析：∵
?
,∴
cos
?
?
,
sin?
?
,∴
()?()
2
?1
,
22
2 2
?
y?2sin
?
,
即(x－1)
2
＋y
2
＝4.
答案：B
12 解析：根据三角函数的性质把参数方 程化为普通方程，得
(y?1)
2
?(x?2)
2
?1
，可 知这是中心在(－2,1)的双曲线，利用平移知识，结合
4
双曲线的渐近线的概念即可.
答案：C
13 解析：∵ρ＝4cosθ,
∴ρ
2
＝4pcosθ,
即x
2
＋y
2
＝4x,
∴(x－2)
2
＋y
2
＝4为ρ＝4cosθ的直角坐标方程.
当x＝3时,
y??3
,
∴直线x＝3与ρ＝4cosθ的交点坐标为
(3,3)
、
(3,?3)
,
∴
|AB|?23
.
答案：
23

14 解析：当
?
?
?
6
时，P 点坐标为
(
33
123
,1)
，所以
tan
??
,即为
?
2
9
33
2
所求. 答案：
23

9
p
15 解析：利用参数方程,结合参数的 几何意义,设过焦点
(,0)
的直线方程
2
p
?
?
x??tcos
?
,
为
?
(t为参数),代入抛物线的方程得(ts inθ)
2
＝p
2
＋2ptcosθ,即
2
?
?< br>y?tsin
?
t
2
sin
2
θ－2ptcosθ－ p
2
＝0,设此方程的两个实根分别为t
1
、t
2
，则根据 根与系数
p
2
2pcos
?
的关系，可得
t
1?t
2
?
，
t
1
t
2
??
2
，而根据参数的几何意义可得
sin
?
sin
2
?
11m?nt
1
?t
2
???||
，代入化简即得答案.
mnmnt
1
t
2
答案：
2

p
16 解析：点
P(2,?)
的直角坐标为
(3,?1)
,将直线
l:
?
sin(
?
?)?1
化为直
66
角坐标方程为:
?
sin
?
cos
即
x?3y?2?0
.
∴
d?
|3?3?2|
?3?1
.
2
?
?
?
6
?
?
cos
?
sin
?
6
?
3x
y??1
.
22
答案：
3?1

17 解:因为y＝4
x－3
＋1＝2
2x－6
＋1,所以 只需把y＝2
x
的图象经过下列变换就
可以得到y＝4
x－3
＋1的 图象.
先把纵坐标不变，横坐标向右平移6个单位，得到函数y＝2
x－6
的图象；
再把横坐标缩短为原来的
1
,纵坐标不变,得到函数y＝2
2x－6
的图象；
2
再把所得函数图象的横坐标不变,纵坐标向上平移1个单位即得函数y＝4
x－3

＋1的图象.
x?6
?
,
?
x?2 x
?
?6,
?
x
?
?
∴
?
则
?
2

?
y?y
?
?1.
?
?
y
?
?y?1.
3
18 解:将椭圆 C
1
的参数方程代入
C
2
:y
2
?6(x?),整理得3sin
2
φ＝6(m＋
2
3
2cosφ－),
2
∴1－cos
2
φ＝2m＋4cosφ－3,
即(cosφ＋2)
2
＝8－2m.
∵1≤(cosφ＋2)
2
≤9,
∴1≤8－2m≤9.
解之,得
?
17
?m?
.
22
17
时,
m?[?,]
.
22
∴当C
1
∩C
2
≠
19 解：（1）把直线的参数方程对应 的坐标代入曲线的方程并化简得7t
2
＋6t
62
－2＝0,设A、B对应的 参数分别为t
1
，t
2
，则
t
1
?t
2< br>??
，
t
1
?t
2
??
.所以，线
77
10
段AB的长度
|AB|?3
2
?(?4)
2
?|t
1
?t
2
|?5(t
1
?t
2
)
2
?4t
1
t
2
?23
.
7
t?t3
（2）根据中点坐标的性质可得AB的中点C对应的参数为
12
??
，所以，
27
由t的几何意义可得点P(－1,2)到线段AB中 点C的距离为
315
3
2
?(?4)
2
?|?|?
.
77
20 解:⊙O的直角坐标方程是x
2
＋y
2
－x－y＝0,
111
即
(x?)
2
?(y?)
2
?
.
222
又直线l的极坐标方程为ρ(cosθ－sinθ)＝4,
所以直线l的直角坐标方程为x－y－4＝0.
1212
cos
?
,?si n
?
)
为⊙C上任意一点,M点到直线l的距离 设
M(?
2222
1212
?cos
?
?(?sin
?
)?4|2222

d?

2
|

4?cos(
?
?
?

?
2
)
4
.
当
?
?
7
?
332
时,
d
min
?
.
?
4
2
2
21 解:直线C
2
化成普通方程为
x?y?22?1?0
.
设所求的点为P(1＋cosθ,sinθ),则P到直线C
2
的距离为
< br>d?
|1?cos
?
?sin
?
?22?1|
??|sin(
?
?)?2|
.
4
2
当
?
?
?
4
?
3
?
5
?
?2k< br>?
,k∈Z时,即
?
??2k
?
,k∈Z时,d取最小值1.
24
22
,?)
.
22
此时,点P的坐标是
(1?
22 解：(1)原方程可化为
?
2?42
?
(cos
?
cos
－4ρcosθ－4ρsinθ＋6 ＝0.①
?
?sin
?
sin)?6?0
，即ρ
44?
2
因为ρ
2
＝x
2
＋y
2
,x＝ρcosθ,y＝ρsinθ,所以①可化为x
2
＋y
2
－4x－4y ＋6
＝0，即(x－2)
2
＋(y－2)
2
＝2,即为所求圆的普通 方程.
?
2(x?2)2(y?2)
?
x?2?2cos
?
,
设
cos
?
?
,
sin
?
?
,所以参数方程为
?
(θ
22
?
?
y?2?2si n
?
为参数).
(2)由(1)可知
xy?(2?2cos
?< br>)?(2?2sin
?
)?4?22(cos
?
?sin
?< br>)?2cos
?
?sin
?
?3?22
(cos
?< br>?sin
?
)?(cos
?
?sin
?
)
2
.②
设t＝cosθ＋sinθ,则
t?2sin(
?
? )
,
t?[?2,2]
.所以
4
xy?3?22t?t
2< br>?(t?2)
2
?1
.
?
当
t??2
时xy有最小值为1；当
t?2
时,xy有最大值为9.