高中数学 选修4-4参数方程讲义

——基础梳理——
1．椭圆的参数方程
xy
(1)中心在原点，焦 点在x轴上的椭圆
2
＋
2
＝1(a＞b＞0)的参数方程是________ __．规定参数φ的取值范围为
ab
__________．
(2)中心在(h，k)的椭圆的普通方程为
2．双曲线的参数方程
x2y2
(1)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的参数方程是__________．规 定参数φ的取值范围
a2b2
为__________．
y2x2
(2)中 心在原点，焦点在y轴上的双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的参数方程是__________．
a2b2
3．抛物线的参数方程
(1)抛物线y2＝2px(p＞0)的参数方程为 __________，t∈__________.
(2)参数t的几何意义是__________．
[答案]
?
x＝ac osφ
?
1．(1)
?
?
?
y＝bsinφ
22< br>－
a2
＋
－
b2
＝1，则其参数方程为__________ ．


(φ为参数) [0,2π)
?
?
x＝h＋ac osφ
(2)
?
?
?
y＝k＋bsinφ
?
?x＝asecφ
2．(1)
?
?
?
y＝btanφ
?< br>?
x＝btanφ
(2)
?
?
y＝asecφ
?
(φ为参数)
π3π
(φ为参数) [0,2π)，且φ≠，φ≠
22
?
?
x＝2pt2
3．(1)
?
?
y＝2pt
?


(φ为参数)
(t为参数) (－∞，＋∞)
(2)抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数

自主演练
1．已知方程x2＋my2＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则()
A．m＜1 B．－1＜m＜1
C．m＞1 D．0＜m＜1
y21
[解析]方程化为x 2＋＝1，若要表示焦点在y轴上的椭圆，需要＞1，解得0＜m＜1.故应选D.
1m
m< /p>

2．已知90°＜θ＜180°，方程x＋ycosθ＝1表示的曲线是( )
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
22
[解析]当90°＜θ＜180°时，－1＜cosθ＜0，方程x＋ycosθ＝1表示的曲线是双曲线．故 应选C.
[答案]C
?
?
x＝a＋rcosθ，
3．直线y＝ ax＋b经过第一、二、四象限，则圆
?
(θ为参数)的圆心位于第几象限()
?
y＝b＋rsinθ
?
22

A．一 B．二 C．三 D．四
[解析]直线y＝ax＋b经过第一、二、四象限，则a＜0，b＞0，而 圆心坐标为(a，b)，所以位于第二象限．
[答案]B

?
?
x＝acos θ，
4．椭圆
?
(θ为参数)，若θ∈ [0,2π]，则椭圆上的点(－a,0)对应的θ为( )
?
y＝bsin θ
?

π3
A．π B. C．2π D.π
22
[解析]由已知acosθ＝－a，∴cosθ＝－1，又θ∈[0,2π]，∴ θ＝π.故选A.
[答案]A

?
?
x＝5cosθ，
5．二次曲线
?
?
y＝3sinθ
?

(θ是参数)的左焦点的坐标为__________．
x2y2
[解析]原方程消 去参数θ，得普通方程为＋＝1.它是焦点在x轴上的椭圆，a2＝25，b2＝9，c2＝a2－b2＝16，
259
c＝4，所以左焦点坐标是(－4,0)．
?
?
x＝4se cθ，
6．圆锥曲线
?
?
y＝3tanθ
?

(θ是参数)的渐近线方程是________________，实轴长是__________．
x
?
?
4
＝secθ，
[解析]原方程可化为
?< br>y
?
?
3
＝tanθ，

x2y2
因为se c2θ－tan2θ＝1，所以－＝1.它是焦点在x轴上的双曲线，∴
169
3
a2 ＝16.∴双曲线的渐近线为y＝±x，且实轴长为8.
4
3
[答案]y＝±x 8
4



——题型探究——
题型一 椭圆的参数方程及应用

xy
【例1】已知A，B分别是椭圆＋＝1的右顶点和 上顶点，动点C在该椭圆上运动，求△ABC的重心G的轨迹方程．
369
【分析】△ABC 的重心G取决于△ABC的三个顶点的坐标，为此需要把动点C的坐标表示出来，可考虑用参数方程的
形 式．
【解析】由题意知A(6,0)，B(0,3)，由于动点C在椭圆上运动，故可设动点C的坐标 为(6cosθ，3sinθ)，点G的
6＋0＋6cosθ
x＝
?
?
3
坐标设为(x，y)，由三角形重心的坐标公式可得
?
0＋3＋3sinθ
y＝
?
?
3
2
22

?
?
x＝ 2＋2cosθ
，即
?
?
y＝1＋sinθ
?

，消去参数θ得到
－
2
＋(y－1)＝1.
4
【评析】 本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性，运用参数方程显得很简单，运算更简便．
变式训练
x2y2
在椭圆＋＝1中有一内接矩形，问内接矩形的最大面积是多少？
2516
?
?
x＝5cost，
[解析]椭圆的参数方程为
?
?
y＝4sint
?

(t为参数)，设第一象限内椭圆上任一点 M(x，y)，由椭圆的对称性，知内
接矩形的面积为S＝4xy＝4?5cost?4sint＝40 sin2t.
ππ5π
当t＝时，面积S取得最大值40，此时，x＝5cos ＝2，y＝4sin ＝22，因此，矩形在第一象限的顶点
4424
为
?
?
5
2，22
?
，此时内接矩形的面积最大，且最大面积为40.
?
?
2
?
题型二 双曲线的参数方程及应用
【例2】求 点M0(0,2)到双曲线x2－y2＝1的最小距离(即双曲线上任一点M与点M0距离的最小值)．
【分析】化双曲线方程为参数方程，对
|
MM0
|
建立三角函数求最值．
?
x＝sec θ，
?
【解析】把双曲线方程化为参数方程
?
?
?
y＝tan θ.


设双曲线上动点M(sec θ，tan θ)，
则
|
M0M
|
2＝sec2θ＋(tan θ－2)2＝(tan2θ＋1)＋(tan2θ－4tan θ＋4)＝2tan2θ－4tan θ＋5＝2(tan θ－1)2
π
＋3，当tan θ－1＝0即θ＝时，
|
M0M
|
2取最小值3，此时有
|
M0M
|
＝3，即M0 点到双曲线的最小距离为3.
4
【评析】在求解一些最值问题时，用参数方程来表示曲线的坐 标，将问题转化为三角函数求最值，能简化运算过程．



变式训练 < br>设P为等轴双曲线x2－y2＝1上的一点，F1，F2为两个焦点，证明：
|
F1P< br>|
?
|
F2P
|
＝
|
OP
|
2.

?
x＝sec θ，
?
[解析]如图所示 ，设双曲线上的动点为P(x，y)，焦点F1(－2，0)，F2(2，0)，双曲线的参数方程为
?
?
?
y＝tan θ，


得(
|
F1P
|
?
|
F2P
|
)2＝[(sec θ＋2)2＋tan2θ]?[(sec θ－2)2＋tan2θ]＝(sec2θ＋22sec θ＋2＋
tan2θ)?(sec2θ－22sec θ＋2＋tan2θ)＝(2sec2θ＋1)2－(22sec θ)2
＝4sec4θ－4sec2θ＋1＝(2sec2θ－1)2，
又
|
OP
|
2＝sec2θ＋tan2θ＝2sec2θ－1， < br>由此得
|
F1P
|
?
|
F2P
|
＝
|
OP
|
2.

题型三 抛物线的参数方程及应用 < br>【例3】如图，O是直角坐标原点，A，B是抛物线y2＝2px(p＞0)上异于顶点的两动点，且OA ⊥OB，点A，B在什么
位置时，△AOB的面积最小？最小值是多少？

【分析】利用抛物线的参数方程，将△AOB面积用其参数表示，再利用均值不等式求最值．
【解析】根据题意，设点A，B的坐标分别为(2pt21，2pt1)，(2pt22，2pt2)(t1≠t 2，且t1?t2≠0)，则
|
OA
|
＝
|
OB
|
＝

12
2
＋
＋
→→
＝2p
|
t1
|
t21＋1，
＝2p
|
t2
|
t22＋1.
因为OA⊥OB，所以OA?OB＝0，即
2pt21?2pt2＋2pt1?2pt2＝0，所以t1?t2＝－1.

△AOB的面积为
1
S△AOB＝
|
OA
|
?
|
OB
|

2
1
＝?2p
|
t1
|
t21＋1?2p
|
t2
|
t22＋1
2
＝2p2
|
t1t2
|

＝2p2t21＋t22＋2
＝2p2
1
t21＋＋2
t21
21＋2＋
≥2p22＋2＝4p2.
1
当且仅当t21＝，即t1＝1，t2＝－1时，等号成立．
t21
所以 点A，B的坐标分别为(2p,2p)，(2p，－2p)时，△AOB的面积最小，最小值为4p2.

变式训练
已知抛物线y2＝2px，过顶点两弦OA⊥OB，求以OA、OB为直 径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程．
[解析]设A(2pt21，2pt1)，B(2pt22，2pt2)，
则以OA为直径的圆的方程为x2＋y2－2pt21x－2pt1y＝0，
以OB为直径的圆的方程为x2＋y2－2pt22x－2pt2y＝0，
即t1，t2为方程2pxt2＋2pty－x2－y2＝0的两根，
－
∴t1t2＝
＋
2px
.
又OA⊥OB，∴t1t2＝－1，
∴x2＋y2－2px＝0(x≠0)，
∴另一交点Q的轨迹是以(p,0)为圆心，p为半径的圆(除去(0,0)点)．

题型四 圆锥曲线参数方程的综合应用
x2y2
【例4】已知双曲线－＝1(a＞ 0，b＞0)的动弦BC平行于虚轴，M、N是双曲线的左、右顶点．
a2b2
(1)求直线MB、CN的交点P的轨迹方程；
(2)若P(x1，y1)，B(x2，y2)，求证：a是x1，x2的比例中项．
【分析】将双曲线方程化为参数方程．
(1)利用交轨法求解；(2)即x1x2＝a2
【解析】(1)由题意可设点B(asec θ，btan θ)，则点C(asec θ，－btan θ)，又M(－a,0)，N(a,0)，∴直线MB
btan θbtan θ
的方程为y＝(x＋a)，直线CN的方程为y＝(x－a)．
asec θ＋aa－asec θ

x2y2
将以上两式相乘消去参数θ，得点P的轨迹方程为＋＝1.
a2b2
a
(2)证明：因为点P既在MB上，又在CN上，由两直线方程消去y1得x1＝ ，而x2＝asec θ，所以有x1x2＝
sec θ
a2，即a是x1，x2的比例中项．

【评析】利用圆锥曲线的参数方程解决圆锥曲线综合问题时要根据条件使用不同方法，如方程 的思想、函数思想、
数形结合思想等．

变式训练
抛物线y2＝4x的内接三角形的一个顶点在原点，其重心恰是抛物线的焦点，求内接三角形的周长．
[解析]如图，y2＝4x焦点F(1,0)，设A点坐标为(4t2,4t)，t为参数，且t＞0， 则B点坐标为(4t2，－4t)．
AF斜率为kAF＝

4t
，
4t2－1

∴AF：y＝
4t
(x－1)．
4t2－1
而OB的中点(2t2，－2t)应在直线AF上，
4t
∴－2t＝(2t2－1)，
4t2－1

2
∵t≠0，∴－1＝(2t2－1)，
4t2－1
36
?
3
?
∴t2＝，t＝，∴A点坐标为
?
，6
?
，
84
?
2
?
则
|
AB
|
＝26，
|
OA
|
＝
?
3
?
2＋
?
2< br>?
??
6＝
33
.
2
∴△OAB的周长为
|
AB
|
＋2
|
OA
|
＝26＋33.

课内巩固

?
?
x＝4＋5cosφ
1．椭圆
?
?
y＝3sinφ
?

(φ为参数)的焦点坐标为( )




B．(0,0)，(－8,0)

－
25
D．(0,0)，(8,0)
y2
＝1，c2＝16，c＝ 4，中心(4,0)，焦点在x轴上，∴焦点为(0,0)，
9
A．(0,0)，(0，－8)
C．(0,0)，(0,8)

[解析]利用平方关系化为普通方程＋
(8,0)．也可以直接画出椭圆的示意图，排除A，B，C.故应选D.

?
x ＝t，
2．与参数方程为
?
?
y＝21－t
y2
A．x2＋ ＝1
4
y2
B．x2＋＝1(0≤x≤1)
4
y2
C．x2＋＝1(0≤y≤2)
4

(t为参数)等价的普通方程为( )
y2
D．x2＋＝1(0≤x≤1,0≤y≤2)
4

y2y2< br>[解析]x2＝t，＝1－t＝1－x2，x2＋＝1，而t≥0,0≤1－t≤1，得0≤t≤1，即0 ≤x≤1,0≤y≤2.
44

?
?
x＝et－e－t，
3．参数方程
?
?
y＝et＋e－t
?

(t为参数)表示的曲线是( )
B．双曲线的下支 A．双曲线
C．双曲线的上支

D．圆
y2x2
[解析]由已知得 x＋y＝2et，y－x＝2e－t，两式相乘得y2－x2＝4.又y＝et＋e－t≥2.∴方程表示双曲线 －＝
44
1上支．

?
x＝3＋17cos θ，
?
4．椭圆
?
?
?
y＝8sin θ－2

(θ为参数)的中心坐标为______．

[解析]将椭圆的参数方程化为普通方 程得
－
172
＋
＋
82
＝1，∴椭圆的中心为(3，－2) ．

?
?
x＝2pt
5．若曲线
?
?
y＝2pt2
?

(t为参数)上异于原点的不同两点M1，M2所对应 的参数分别是t1，t2，则弦M1M2所在直线
的斜率是__________．

[解析]设M1(2pt1,2pt21)，M2(2pt2,2pt22)，
2pt21－2pt22t21－t22
∴k＝＝＝t1＋t2.
2pt1－2pt2t1－t2

[答案]t1＋t2

6．求点 M0(2,0)到双曲线y2－x2＝1的最小距离(即双曲线上任一点M与点M0距离的最小值)．
?
x＝tanθ，
?
[解析]把双曲线方程化为参数方程
?
?
?
y＝sec θ.


设双曲线上动点M(tan θ，sec θ)，
则
|
M0M
|
2＝sec2θ＋(tan θ－2)2
＝(tan2θ＋1)＋(tan2θ－4tan θ＋4)
＝2tan2θ－4tan θ＋5＝2(tan θ－1)2＋3，
π
当tan θ－1＝0即θ＝时，
|M0M
|
2取最小值3，此时有
|
M0M
|
＝3，即M 0点到双曲线的最小距离为3.
4