高中数学笔记手抄报-高中数学中英文单词
精品资料
4.3 平面坐标系中几种常见变换
4．3.1平面直角坐标系中的平移变换
课标解读
1.理解平移的意义，深刻认识一个平移就对应一个向量．
2.掌握平移公式，并能熟练运用平移公式简化函数的解析式.
1．平移
在平面内，将图形F上所有点按照同一个方向，移动同样长度，称为图形F的平移，
若以向量a表示移
动的方向和长度，也称图形F按向量a平移．
2．平移变换公式
设P(x，y)，向量a＝
(h，k)，平移后的对应点P′(x′，y′)，则(x，y)＋(h，k)＝(x′，
?
?
x＋h＝x′，
y′)或
?
?
y＋k＝y′.
?
1．求平移后曲线的方程的步骤是什么？
【提示】 步骤：(1)设平移前曲线上一点P的坐
标为(x，y)，平移后的曲线上对应点P′
的坐标为(x′，y′)；
??
?
x′＝x＋h，
?
x＝x′－h，
?
(2)写出变换公式
并转化为
?
?
y′＝y＋k，
?
??
y＝y′－k；
(3)利用上述公式将原方程中的x，y代换；
(4)按习惯，将所得方程中的x′，y′分别替换为x，y，即得所求曲线的方程．
2．在图形平移过程中，每一点都是按照同一方向移动同样的长度，你是如何理解的？
【提示】 其一，平移所遵循的“长度”和“方向”正是向量的两个本质特征，因此，
从向量的
角度看，一个平移就是一个向量．
其二，由于图形可以看成点的集合，故认识图形的平移，就其本质来
讲，就是要分析
图形上点的平移.
平移变换公式的应用
点M(8，－10)按a平移后的对应点M′的坐标为(－7,4)，求a.
?
?
－7＝8＋h，
【自主解答】 由平移公式得
?
?
?
4＝－10＋k，
?
?
h＝－15，
解得
?
即a＝(－15,14)．
?
k＝14，
?
把点A(－2,1)按a＝(3,2)平移，求对应点A′的坐标(x′，y′)．
【解】 由平移公式得
?
?
x′＝－2＋3＝1，
?
即对应点A′的坐标(1,3)．
?
y′＝1＋2＝3，
?
平移变换公式在圆锥曲线中的应用
求双曲线4x
2
－9y
2
－16x＋54y－29＝0的中心坐标、顶点坐标、焦点坐
标与对称轴方程、准线
方程和渐近线方程．
【思路探究】 把双曲线方程化为标准方程求解．
【自主解答】
将方程按x，y分别配方成4(x－2)
2
－9(y－3)
2
＝－36，
?y－3?
2
?x－2?
2
即－＝1.
49
?<
br>?
x′＝x－2，
y′
2
x′
2
令
?
方程可化为－＝1.
49
?
y′＝y－3，
?
y′<
br>2
x′
2
双曲线－＝1的中心坐标为(0,0)，顶点坐标为(0,2)和(0
，－2)，焦点坐标为(0，
49
4
13)和(0，－13)，对称轴方程为x′＝0
，y′＝0，准线方程为y′＝±13，渐近线方程
13
y′x′
为±＝0.
23
?
x＝x′＋2，
?
根据公式
?
可得所求双曲线的中
心坐标为(2,3)，顶点坐标为(2,5)和(2,1)，
?
?
y＝y′＋3
413
焦点坐标为(2,3＋13)和(2,3－13)，对称轴方程为x＝2，y＝3，
准线方程为y＝3±，
13
y－3x－2
渐近线方程为±＝0，即2x＋3y－13＝
0和2x－3y＋5＝0.
23
几何量a，b，c，e，p决定了圆锥
曲线的几何形状，它们的值与圆锥曲线的位置无关，
我们将其称为位置不变量．
已知抛物线y＝x
2
＋4x＋7.
(1)求抛物线顶点的坐标；
(2)求将这条抛物线平移到顶点与坐标原点重合时的函数解析式．
4
【解】
(1)设抛物线y＝x
2
＋4x＋7的顶点O′的坐标为(h，k)，那么
h＝－＝－2，k
2
4×7－4
2
＝＝3，
4
即这条抛物线的顶点O′的坐标为(－2,3)．
(2)将抛物线y＝x
2
＋4x＋7平移，
→
使点O′(－2,3
)与点O(0,0)重合，这种图形的变换可以看做是将其按向量O′O平移得
→
到的，设O′O的坐标为(m，n)，那么
?
m＝0－?－2?＝2，
?
?
所以抛物线按(2，－3)平移，平移后的方程为y＝x
2
.
?
?
n＝0－3＝－3.
(教材第40页习题4.3第3题)写
出抛物线y
2
＝8x按向量(2,1)
平移后的抛物线方程和准线方程．
(2013·无锡质检)将函数y＝2x的图象l按a＝(0,3)平移到l′，
求l′的函数解析式．
【命题意图】 本题主要考查平面直角坐标系中平移公式的运用．
【解】
设P(x，y)为l的任意一点，它在l′上的对应点P′(x′，y′)
由平移公式得
?
?
?
x′＝x＋0，
?
x＝x′，
?
?
?
?
y′＝y＋3
?
??
y＝y′－3.
将它们代入y＝2x中得到y′－3＝2x′，
即函数的解析式为y＝2x＋3.
1．将点P(7,0)按向量a平移，得到对应点A′(11,5)，则a＝________.
【答案】 (4,5)
2．直线l：3x－2y＋12＝0按向量a＝(2，－3)平移后的方程是________．
【答案】 3x－2y＝0
3．曲线x
2
－y
2<
br>－2x－2y－1＝0的中心坐标是________．
【解析】
配方，得(x－1)
2
－(y＋1)
2
＝1.
【答案】
(1，－1)
4．开口向上，顶点是(3,2)，焦点到顶点距离是1的抛物线方程是________．
【解析】 开口向上，焦点到顶点距离是1的抛物线的标准方程是x
2
＝4y，所以所
求抛
物线的方程是(x－3)
2
＝4(y－2)．
【答案】
(x－3)
2
＝4(y－2)
1．已知函数y＝x
2
图象F按平移向量a＝(－2,3)平移到F′的位置，求图象F′的函数
表达式．
【解】 在曲线F上任取一点P(x，y)，设F′上的对应点为P′(x′，y′)，则x
′＝x
－2，y′＝y＋3，
∴x＝x′＋2，y＝y′－3.
将上式代入方程y＝x
2
，
得：y′－3＝(x′＋2)
2
，
∴y′＝(x′＋2)
2
＋3，即图象F′的函数表达式为y＝(x＋2)
2
＋3.
2．求椭圆4x
2
＋9y
2
＋24x－18y＋9＝0的中心坐标、焦点坐标、长轴长、短轴长、离
心
率及准线方程．
?x＋3?
2
?y－1?
2
【解】 因
椭圆方程可化为＋＝1，其中心为(－3,1)，焦点坐标为(－3±5，
94
1)，长轴长为
6，短轴长为4，离心率为
595
，准线方程为x＝－3±.
35
3．圆x
2
＋y
2
＝25按向量a平移后的方程是x
2
＋y
2
－2x＋4y－20＝0，求过点(3,4)的圆x
2
＋y
2
＝2
5的切线按向量a平移后的方程．
【解】 由题意可知a＝(1，－2)，因为平移前过点(3,4)
的圆x
2
＋y
2
＝25的切线方程为
3x＋4y＝25，所以平移后
的切线方程为3(x－1)＋4(y＋2)＝25，即3x＋4y－20＝0.
4．已知两个点P(1,2)、P′(2,10)和向量a＝(－3,12)．回答下列问题：
(1)把点P按向量a平移，求对应点的坐标；
(2)把某一点按向量a平移得到对应点P′，求这个点的坐标；
(3)点P按某一向量平移，得到的对应点是P′，求这个向量的坐标．
?
?
x′＝x－3，
【解】 (1)平移公式为
?
由x＝1
，y＝2，解得x′＝－2，y′＝14，即所
?
y′＝y＋12.
?
求的对应点的坐标为(－2,14)．
?
?
x′＝x－3，
(2)
平移公式为
?
由x′＝2，y′＝10，解得x＝5，y＝－2，即所求点的坐
?y′＝y＋12.
?
标为(5，－2)．
?
?<
br>x′＝x＋h，
(3)平移公式为
?
由x＝1，y＝2，x′＝2，y′＝10
，解得h＝1，k＝8，所
?
y′＝y＋k.
?
以所求的向量的坐标为(1,
8)．
5．将二次函数y＝x
2
的图象按向量a平移后得到的图象与一次函数y＝2
x－5的图象只
有一个公共点(3,1)，求向量a的坐标．
【解】 设a＝(h，k)，所
以y＝x
2
平移后的解析式为y－k＝(x－h)
2
，即y＝x
2<
br>－2hx＋h
2
＋k与直线y＝2x－5只有一个公共点，则直线为抛物线在(3,1)
处的切线，由导数知识，知y
＝x
2
－2hx＋h
2
＋k在(3,1
)处切线的斜率为6－2h，从而6－2h＝2，h＝2.又点(3,1)在
y－k＝(x－h)
2
上，解得k＝0，所以向量a的坐标为(2,0)．
6．抛物线y＝x
2
－4x＋7按向量a平移后，得到抛物线的方程是y＝x
2
.求向量a及平移
前抛物线的焦点坐标．
【解】 抛物线方程可化为y－3＝(x－2)<
br>2
，平移后的抛物线方程为y＝x
2
，所以a＝(－
11
2，
－3)，因为y＝x
2
的焦点坐标为(0，)，所以平移前抛物线的焦点坐标为(0＋2，＋3
)，
44
13
即(2，)．
4
7．已知双曲线的渐近线方程为4x
＋3y＋9＝0与4x－3y＋15＝0，一条准线的方程为y
11
＝－，求此双曲线的方程．
5
?
4x＋3y＋9＝0，
?
【解】 两渐近线的交点即双曲线中心
，故由
?
解得交点为(－3,1)，
?
4x－3y＋15＝0，
?<
br>
11
即中心为(－3,1)．又一条准线方程为y＝－，说明焦点所在的对称轴平行于
y轴，所以可
5
?y－1?
2
?x＋3?
2
y－1x＋3<
br>设双曲线方程为－＝1，它的渐近线方程可写成±＝0①，准线方程为
22
ababa
2
y－1＝±②，而已知渐近线方程为4x＋3y＋9＝0，即4(x＋3)＋3(y－
1)＝0，另一条渐近线
c
y－1x＋3
a4
方程为4x－3
y＋15＝0，即4(x＋3)－3(y－1)＝0，合并即为±＝0.对照①，得＝③.
43b31116a
2
16
而已知准线方程y＝－，即y－1＝－.对照②，得＝④.由③
④，解得a＝4，b＝3，c
55c5
?y－1?
2
?x＋3?
2<
br>＝5.故所求双曲线方程为－＝1.
169
教师备选
8．已知抛物线y＝x
2
－4x－8，
(1)求将这条抛物线的顶点平移到点(3，－2)时的抛物线方程；
(2)将此抛物线按怎样的向量a平移，能使平移后的方程是y＝x
2?
【解】
(1)将抛物线y＝x
2
－4x－8配方，得y＝(x－2)
2
－12， <
br>故抛物线顶点的坐标为P(2，－12)，将点(2，－12)移到(3，－2)时，其平移向量a＝(1
,10)，
?
x′＝x＋1，
?
x＝x′－1，
??
于是平
移公式为
?
即
?
??
?
y′＝y＋10，
?
y＝y′－10.
因为点(x，y)在抛物线y＝x
2
－4x－8上，所以y′－10＝(x′－1)
2
－4(x′－1)－8，
即y′＝x′
2
－6x′＋7.
所以平移后的方程为y＝x
2
－6x＋7.
(2)法一
设平移向量a＝(h，k)，则平移公式为
?
?
x＝x′－h，
?
?
y＝y′－k.
?
将其代入y＝x
2
－4x－8，得
y′－k＝(x′－h)
2
－4(x′－h)－8，
化简整理，得
y′＝x′
2
－(2h＋4)x′＋h
2
＋4h＋k－8.
?
?
2h＋4＝0，
令
?
2
?
h＋4h＋k－8＝0，
?
?
?
h＝－2，
解得
?
此时y′＝x′
2
.
?
k＝12，
?
所以当图象按向量a＝(－2,12)平移时，可使函数的解析式化为y＝x
2
.
法二 将抛物线y＝x
2
－4x－8，即y＋12＝(x－2)
2
平
移到y＝x
2
.
只需要作变换
?
x′＝x－2，
?
?
?
?
y′＝y＋12.
所以平移对应的向量坐标为(－2,12)．
4．3.2平面直角坐标系中的伸缩变换
课标解读
1.了解平面直角坐标系中的伸缩变换，能运用伸缩变化进行简单的变换．
2.体会平面直角坐标系中的伸缩变换给图形带来的变化.
1．横坐标的伸缩变换
?
?
kx＝x′，
一般地，由
?
(k＞0)所确定的伸缩变
换，是按伸缩系数为k向着y轴的伸缩变
?
y＝y′
?
换(当k＞
1时，表示伸长；当0＜k＜1时，表示压缩)，即曲线上所有点的纵坐标不变，横
坐标变为原来的k倍
(这里(x，y)是变换前的点，(x′，y′)是变换后的点)．
2．纵坐标的伸缩变换
?
?
x＝x′，
一般地，由
?
(k＞0)所确定的伸缩变换，是按伸
缩系数为k向着x轴的伸缩变
?
ky＝y′
?
换(当k＞1时，表
示伸长；当0＜k＜1时，表示压缩)，即曲线上所有点的横坐标不变，纵
坐标变为原来的k倍(这里(
x，y)是变换前的点，(x′，y′)是变换后的点)．
3．伸缩变换
?
x′＝
λx?λ＞0?，
?
一般地，设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：<
br>?
的
?
?
y′＝μy?μ＞0?
作用下，点P(x
，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简
称为伸缩变换．
1
1．如果x轴的单位长度保持不变，y轴的单位长度缩小为原来的
，圆x
2
＋y
2
＝4的图
2
形变为什么图形？伸缩变换可以
改变图形的形状吗？那平移变换呢？
x
2
2
【提示】
x＋y＝4的图形变为椭圆：＋y＝1.
4
22
伸缩变换可以改变图形的形状，但平移变换仅改变位置，不改变它的形状．
2．如何理解平面直角坐标系中的伸缩变换？
【提示】 在平面直角坐标系中进行伸缩变换，
即改变x轴或y轴的单位长度，将会对
图形产生影响．其特点是坐标系和图形发生了改变，而图形对应的
方程不发生变化．如在下
列平面直角坐标系中，分别作出f(x，y)＝0的图形：(1)x轴与y轴具
有相同的单位长度；(2)x
轴上的单位长度为y轴上单位长度的k倍；
1
(3)x
轴上的单位长度为y轴上单位长度的.第(1)种坐标系中的意思是x轴与y轴上的单
k
位长度
一样，f(x，y)＝0的图形就是我们以前学过的平面直角坐标系中的f(x，y)＝0的图形；
第(
2)种坐标系中的意思是如果x轴上的单位长度保持不变，y轴上的单位长度缩小为原来的
1
，
此时f(x，y)＝0表示的图形与第(1)种坐标系中的图形是不同的；第(3)种坐标系中的意思
k
1
是如果y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的，此时f(x，y)＝0
表示
k
的图形与第(1)种坐标系中的图形是不同的．
伸缩变换
?
?
kx＝x′，
对下列曲线进行伸缩变换
?
(k≠0，且k≠1)．
?
ky＝y′
?
(1)y＝kx＋b；
(2)(x－a)
2
＋(y－b)
2
＝r
2
.
【自主解答】 设P(x，y)是变换前的点，P′(x′，y′)是变换后的点，由题意，得
?
kx＝x′，
?
?
即
?
?
ky＝
y′，
?
?
1
?
y＝
k
y′.
1
x＝x′，
k
11
(1)由y′＝k(x′)＋b，
y′＝kx′＋kb，得直线y＝kx＋b经过伸缩变换后的方程为y
kk
＝kx＋kb，仍然
是一条直线．
当b＝0时，该直线和原直线重合；当b≠0时，该直线和原直线平行．
11
(2)由(x′－a)
2
＋(y′－b)
2
＝r
2
，(x′－ka)
2
＋(y′－kb)
2
＝(kr)
2
，得
圆(x－a)
2
＋(y－b)
2
kk
＝r
2
经过伸
缩变换后的方程为(x－ka)
2
＋(y－kb)
2
＝(kr)
2<
br>，它是一个圆心为(ka，kb)，半径为|kr|
的圆．
在同一平面直角
坐标系中，将直线x－2y＝2变成直线2x′－y′＝4，求满足图象变换
的伸缩变换．
?
?
x′＝λx，λ＞0
【解】 设变换为
?
，
?
y′＝μy，μ＞0
?
代入直线方程2x′－y′＝4
μ
得：2λx－μy＝4，即λx－y＝2，
2
比较系数得：
λ＝1，μ＝4，
即直线x－2y＝2图象上所有点的横坐标不变，纵坐标扩大到原来的4倍
可得到直线2x′
－y′＝4.
伸缩变换的应用
曲线y＝2sin
3x变换成曲线y＝3sin 2x，求它的一个伸缩变换．
?
?
x′＝λx?λ＞0?，
【思路探究】
设
?
代入y′＝3sin 2x′，所得式再与y＝2sin
3x比较
?
y′＝μy?μ＞0?
?
即可求λ、μ.
【自主解答】 将变换后的曲线y＝3sin 2x改成y′＝3sin 2x′.
?
?
x′＝λx?λ＞0?，
设伸缩变换
?
代入y′＝3sin 2x′；
?
y′＝μy?μ＞0?，
?
得μy＝3sin(2λx)
3
即y＝sin(2λx)，与y＝2sin 3x比较系数，
μ
<
br>?
得
?
3
?
?
μ
＝2，
?
2λ＝3，
?
即
?
3
μ＝
?
2
，
3
λ＝
，
2
?
所以伸缩
变换为
?
3
y′＝
?
2
y.
3
x′＝x，
2
确定一个伸缩变换，实际上
就是求其变换方法，将新旧坐标分清，代入对应的曲线方程，
然后比较系数即可．
x
2
y
2
(1)圆x＋y＝a经过什么样的伸缩变换，可以使方程变为
2
＋
2
＝1(0＜b＜a)?
ab
222
(2)分析圆x
2
＋y
2
＝a
2
的一条弦所在直线和经过该弦中点的直径所在直线经
过上述伸缩
变换后的位置关系．
22
x
2
y
2
2
ay
【解】 (1)椭圆
2
＋
2
＝1可以化为x＋
2
＝a
2
， <
br>abb
x＝x′，x＝x′，
??
??
设
?
a
即
?
b
??
?
y＝
b
y′，
?
a
y＝y′.
bx
2
所以圆x＋y＝a经过向着x轴方向上的伸缩
变换，伸缩系数k＝，可以使方程变为
2
aa
222
y
2
＋
2
＝1.
b
(2)若圆x
2＋y
2
＝a
2
的一条弦所在直线的斜率存在且不为0，设其方程为y＝k
x＋m，根据
1
垂径定理，经过该弦中点的直径所在直线的方程为y＝－x.
kabkbbk
由y′＝kx′＋m，得y′＝x′＋m.所以直线y＝kx＋m经过变换，方程可变
为y＝
baaa
b
x＋m.
a
a1b1b
由y′＝－x′
，得y′＝－x′，所以直线y＝－x经过变换，方程可变为y＝－x.
bkkakka
b<
br>2
此时，两条直线的斜率乘积是定值－
2
.
a
若圆x
2
＋y
2
＝a
2
的弦所在直线的方程为x＝n，则经过其中点的直
径所在直线的方程为y
＝0，伸缩变换后其方程分别变为x＝n，y＝0.此时两直线依然垂直．
若圆x
2
＋y
2
＝a
2
的弦所在直线的
方程为y＝n，则经过其中点的直径所在直线的方程为x
b
＝0，伸缩变换后其方程分别变为y
＝n，x＝0.此时两直线依然垂直．
a
(教材第41页习题4.3第8题)对下列曲线向着x轴进行伸缩变
换，伸缩系数k＝2：
(
1)x
2
－4y
2
＝16；(2)x
2
＋y
2－4x＋2y＋1＝0.
(2013·南京模拟)求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线x<
br>2
x′
2
y′
2
＋y＝1变成曲线＋＝1.
94
2
【命题意图】 本题主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换．
??
x′＝λx，λ＞0，
x′
2
y′
2
λ
2<
br>x
2
μ
2
y
2
【解】 设变换为
?
代入方程＋＝1，得＋＝1.与x
2
＋
9494
?
y′＝μy，μ＞
0，
?
λ
2
2
μ
2
2
y＝1比
较，将其变形为x＋y＝1，比较系数得λ＝3，μ＝2.
94
2
?
x′＝
3x，
?
∴
?
即将圆x
2
＋y
2
＝1上所
有点横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的2
?
?
y′＝2y，
x′
2
y′
2
倍，可得椭圆＋＝1.
94
1
1．直线x＋4y－6＝0按伸缩系数向着x轴的伸缩变换后，直线的方程是________．
2
【答案】 x＋8y－6＝0
2．直线2x－3y＝0按伸缩系数3向着y轴的伸缩变换后，直线的方程是________．
【答案】 2x－9y＝0
3．曲线x
2
＋y
2
＝4按伸
缩系数2向着y轴的伸缩变换后，曲线的方程是________．
x
2
y
2
【答案】 ＋＝1
164
?
?
x′＝2x，
4．y＝cos
x经过伸缩变换
?
后，曲线方程变为______．
?
?
y′＝3y
?
x′＝2x
?
【解析】
由
?
，得
?
?
y′＝3y
?
?
1
?
y＝
3
y′
1
x＝x′
2
，代入y＝cos x，
11
得y′＝cos x′，
32
1
即y′＝3cos x′.
2
x
【答案】
y＝3cos
2
?
?
x′＝2x，
1．在平面直角坐
标系中，求下列方程经过伸缩变换
?
后的方程．
?
y′＝3y
?
(1)2x＋3y＝0；(2)x
2
＋y
2
＝1.
?
?
x′＝2x，
【解】
由伸缩变换
?
?
?
y′＝3y
?
x＝
2
x′，
得到
?
1
y＝
?
3
y′.
1
①
(1)将①代入2x＋3y＝0，得到经过伸缩变换后的方程为x′＋y′＝0，
?
?
x′＝2x
所以，经过伸缩变换
?
后，直线2x＋3y＝0变成直线x＋y
＝0.
?
y′＝3y
?
?
?
x′＝2x
x′2
y′
2
(2)将①代入x＋y＝1，得＋＝1.所以，经过伸缩变换
?
后，方程x
2
＋
49
?
?
y′＝3y
22
x
2
y
2
y＝1变成＋＝1.
49
2
2
?
?
x′＝x，
2
y′
2．伸缩变换
的坐标表达式为
?
曲线C在此变换下变为椭圆x′＋＝1.求
16
?
y′＝4y.
?
曲线C的方程．
2
?
?
x′＝x，
2
y′
【解】
把
?
代入x′＋＝1，
16
?
y′＝4y，
?
得x
2
＋y
2
＝1，
即曲线C的方程为x
2
＋y
2
＝1.
?
?
3x＝x′，
3．设F：(x－1)＋(y－1)＝1在
?
的伸缩变换下变为图形F
′，求F′的方
?
y＝y′
?
22
程．
?
?
?
x＝x′，
?
3x＝x′，
【解】
由
?
得
?
3
?
y＝y′，
?
?
1
?
y＝y′.
1
所以(x－1)
2
＋
(y－1)
2
＝1变换为(x′－1)
2
＋
3
?x′－3?
2
?x－3?
2
2
(y′－1)＝1，即＋(y′－1)＝1，所以
F′的方程是＋(y－1)
2
＝1.
99
2
x
2
y
2
4．双曲线－＝1经过伸缩变换能化为等轴双曲线x
2
－y
2<
br>＝1吗？
169
x
2
y
2
xy
【解】 双
曲线方程－＝1可以化为()
2
－()
2
＝1.令
16943
y
＝y′，
3
?
?
?
x
＝x′，
4
则x′
2
－y′
2
＝
x
2
y
2
1.所以双曲线－＝1可以通过伸缩变换化为等轴双曲线x
2
－y
2＝1，具体步骤是：按伸缩
169
11
系数向着y轴进行伸缩变换，再将曲线按伸
缩系数向着x轴进行伸缩变换．
43
5．已知G是△ABC的重心，经过伸缩系数k向着x轴
(或y轴)的伸缩变换后，得到G′
和△A′B′C′.试判断G′是否为△A′B′C′的重心．
x
1
＋x
2
＋x
3
【解】 设△ABC的三个顶点
的坐标分别为A(x
1
，y
1
)、B(x
2
，y
2
)、C(x
3
，y
3
)，则G(，
3
y
1
＋y
2
＋y
3
)．经过伸缩系数k向着x轴的伸缩变换后，得到△A
′B′C′的三个顶点及点G′
3
x
1
＋x
2
＋x
3
y
1
＋y
2
＋y
3
的坐标分别为A′(x
1
，ky
1
)、B′(x
2
，ky
2
)，C′(
x
3
，ky
3
)，G′(，k)．由
33
x
1＋x
2
＋x
3
ky
1
＋ky
2
＋ky
3
于△A′B′C′的重心坐标为(，)，所以G′仍然是△A′B′C′的
33重心．同理可证，若伸缩变换向着y轴方向，G′同样也是△A′B′C′的重心．
?
?
kx＝x′，
6．已知：△ABC经过伸缩变换
?
(k≠0，且k≠1)后，
得到△A′B′C′.求
?
ky＝y′
?
证：△A′B′C′和△ABC相似，且面积比为k
2
.
【证明】 设A(
x
1
，y
1
)、B(x
2
，y
2
)，则
A′(kx
1
，ky
1
)、B′(kx
2
，ky<
br>2
)．
所以A′B′＝?kx
1
－kx
2
?
2
＋?ky
1
－ky
2
?
2
＝|k|
?x
1
－x
2
?
2
＋?y
1
－y
2
?
2
＝|k|AB.
同理可得A′C′＝|k|AC，B′C′＝|k|BC，
所以△A′B′C′∽△ABC，所以∠A＝∠A′，
1
S
△
A<
br>′
B
′
C
′
＝(|k|AB)·(|k|AC)sin A′
2
1
＝k
2
[(AB·AC)sin
A]＝k
2
S
△
ABC
.
2
7．设P
1
、P
2
是直线l上的两点，点P是l上不同于P
1
、P
2<
br>的任意一点，则存在一个实
→
数λ，使P
1
P＝λPP
2，称λ为点P分有向线段P
1
P
2
所成比．设P
1
(x
1
，y
1
)、P
2
(x
2
，y
2
)，点P
分有向线段P
1
P
2
所成比为λ，经过伸缩变换后
，点P
1
、P
2
和P分别变为P
1
′、P
2
′和P′.
求证：P
1
′、P
2
′和P′三点依然共线，且P′分
有向线段P
1
′P
2
′所成比等于λ.
→→
【证明】 设
P(x
0
，y
0
)，由P
1
P＝λPP
2
，得(x
0
－x
1
，y
0
－y
1
)＝λ(
x
2
－x
0
，y
2
－y
0
)，
?
?
所以
?
y＋λy
y＝
?
?
1＋λ.
x
0
＝
0
12
x
1
＋λx
2
，
1＋λ
?
?
k
1
x＝x
′，
设给定伸缩变换为
?
则有
?
k
2
y＝y′，
?
P
1
′(
k
1
x
1
，k
2
y
1
)、P
2<
br>′(k
1
x
2
，k
2
y
2
)、 <
br>x
1
＋λx
2
y
1
＋λy
2
P′(
k
1
，k
2
)．
1＋λ1＋λ
x
1
＋λ
x
2
y
1
＋λy
2
k
1
?x
2<
br>－x
1
?k
2
?y
2
－y
1
?→
P
1
′P′＝(k
1
－k
1
x
1<
br>，k
2
－k
2
y
1
)＝λ(，)，
1＋λ
1＋λ1＋λ1＋λ
x
1
＋λx
2
y
1
＋λy2
k
1
?x
2
－x
1
?k
2
?y
2
－y
1
?
→
P′P
2
′＝(k1
x
2
－k
1
，k
2
y
2
－
k
2
)＝(，)，
1＋λ1＋λ1＋λ1＋λ
→→
所以P
1
′P′＝λP′P
2
′.
所以P
1
′、P
2<
br>′和P′三点依然共线，且P′分有向线段P
1
′P
2
′所成比等于λ
.
教师备选
x
2
y
2
8．在下列平面直角坐标系中，分
别作出双曲线－＝1的图形：
169
(1)x轴与y轴具有相同的单位长度；
(2)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍；
1
(3)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的倍．
2
x
2
y
2
【解】 (1)建立平面直角坐标系，使x轴与
y轴具有相同的单位长度，双曲线－＝
169
1的图形如下：
1x
2
y
2
(2)如果x轴上的单位长度保持不变，y轴上的单位长度缩
小为原来的，双曲线－＝
2169
1的图形如下：
1x
2
y
2
(3)如果y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的，双曲线－＝<
br>2
1的图形如下：
169
选修4－4
阶段归纳提升
坐标系错误!))
极坐标与直角坐标的互化
ρ
＝x＋y，
?
?
?
?
x＝ρcos
θ，
极坐标与直角坐标互化的公式
?
或
?
当不能直接使用公式y
?
y＝ρsin θ
tan
θ＝，
?
?
x
?
222
时，可通过适当变换，化成能使用的形式．
把下列极坐标化为直角坐标：
535
π
(1)M(5，
π)；(2)N(2，π)；(3)P(2，π)；(4)Q(2，
－
)．
6246
5353515
【解】 (1)由题意知x＝5cos
π＝5×(－
)＝－，y＝5sin
π＝5×
＝.
622622
535
所以M点的直角坐标为(－，)．
22
3
(2)x＝2cos
π＝2×0＝0，
2
3
y＝2sin
π＝2×(－1)＝－2.
2
所以N点的直角坐标为(0，－2)．
52
(3)x＝2cos
π＝2×(－
)＝－2，
42
52
y＝2sin
π＝2×(－
)＝－2.
42
所以P点的直角坐标为(－2，－2)．
π
3
(2)x＝2cos(－)＝2×＝3，
62
π
1
y＝2sin(－)＝2×(－)＝－1.
62
所以Q点的直角坐标为Q(3，－1).
极坐标的应用
主要应用极坐标与直角坐标的互化公式解决问题，注意极坐标系中的ρ和θ的含义．
(2012·陕西高考)直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos
θ相交的弦长为
________．
1
【解析】 直线2ρcos
θ＝1可化为2x＝1，即x＝；圆ρ＝2cos θ两边同乘ρ得ρ
2
＝2ρcos
2
θ，化为直角坐标方程是x
2
＋y
2
＝2x.
13
将x＝代入x
2
＋y
2
＝2x得y
2
＝，
24
3
∴y＝±.
2
∴弦长为2×
【答案】
3
＝3.
2
3
伸缩变换
?
?x′＝λx?λ＞0?，
变换公式
?
其中P(x，y)为变换前的点，P′(x′
，y′)为变换后的点．
?
y′＝μy?μ＞0?，
?
?
3x′＝x，
?
将圆锥曲线C按伸缩变换公式
?
变换后得到双曲线x′
2
－
?
?
2y′＝y
y′
2
＝1，求曲线C的方程．
【解】 设曲线C上任意一点P(x，y)，通过伸缩变换后的对应点为P′(x′，y′)，
?
?
3x′＝x，
由
?
?
2y′＝y
?
?
得
?
1
y′
＝
?
2
y，
1
x′＝x，
3
代入x′
2
－y′
2
＝1
x
2
y
2
x
2
y
2
得()－()＝1，即－＝1为所求．
3294
综合检测(一)
(时间90分钟，满分120分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上)
9π11π4π6ππ
1．极坐标为M(8，－)，N(8，)，P(－8，)，Q(－8，)
的四点中，与点A(8，)
55555
表示同一点的有________个．
【答案】 3
2．已知点P的直角坐标为(－3，3)，其极坐标为________．
【答案】 (23，
2π
)
3
3．曲线的极坐标方程ρ＝－4sin θ化成直角坐标方程为________．
【答案】 x
2
＋(y＋2)
2
＝4
4．在极坐标系中，曲线ρ＝－4sin θ和ρcos
θ＝1相交于点A、B，则AB＝________.
【解析】
平面直角坐标系中，曲线ρ＝－4sin θ和ρcos θ＝1分别表示圆x
2
＋(y＋2)
2
＝4和直线x＝1，作图易知AB＝23.
【答案】 23
16
5．极坐标方程ρ＝表示的曲线是______．
2－cos
θ
【答案】 椭圆
6．以(1，π)为圆心，且过极点的圆的极坐标方程是________．
【答案】
ρ＝－2cos θ
π
2，
?
到直线ρsin
θ＝2的距离等于________． 7．(2013·北京高考)在极坐标系中，点
?
?<
br>6
?
π
2，
?
对应的直角坐标为(3，1)．极坐标系中直线
ρsin θ＝2【解析】 极坐标系中点
?
?
6
?
对应直角坐标系
中直线y＝2.故所求距离为1.
【答案】 1
2π2π2π
8．已知点M的柱坐
标为(，，)，则点M的直角坐标为________，球坐标为________．
333
【解析】
设点M的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(ρ，θ，z)，球坐标为(r，φ，θ)，
x＝ρcos θ，
?
?
由
?
y＝ρsin
θ，
?
?
z＝z
?
?
2π2π
3
得
?
y＝sin＝
π
，
333
2π
?
z＝
?
3
，
2π2ππ<
br>x＝cos＝－，
333
222
r＝x＋y＋z，
?
?
由
?
z
?
?
cos φ＝
r
?
r＝
2
3
2π
，
得
?
2
cos φ＝，
?
2
?
r＝
2
3
2π
，
即
?
π
φ＝
?
4
.
π
3π
2π
所以点M的直角坐标为(－，，)，
333
22π
π2π
球坐标为(，，)．
343
π
3222
π
2
【答案】 (－，
π，π)
(π，
，
π)
333343
9．在极坐标系中，曲线ρ＝2cos
θ和ρcos θ＝2的位置关系是________．
【答案】 相切
10．极坐标方程sin θ＝－
【答案】 两条直线
11．(2013·天津高考)已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos
θ，圆心为C，点P的极坐标为
3
表示的曲线是______．
2
?
4，
π
?
，则|CP|＝________.
?
3
?
【解析】 由ρ＝4cos θ可得x
2
＋y
2
＝4x，即(x－2)
2
＋y
2
＝4，因此圆心C的直角坐标为
(2,0)．又点P的直角坐标为(2,23)，
因此|CP|＝23.
【答案】
23
12．(2012·湖南高考)在极坐标系中，曲线C
1
：ρ(2cos
θ＋sin θ)＝1与曲线C
2
：ρ＝a(a>0)
的一个交点在极轴上，则a＝_
_______.
【解析】 ρ(2cos θ＋sin θ)＝1，即2ρcos θ＋ρsin
θ＝1对应的普通方程为2x＋y－1
＝0，ρ＝a(a>0)对应的普通方程为x
2
＋y
2
＝a
2
.在2x＋y－1＝0中，令y＝0，得x＝
0)代入
x
2
＋y
2
＝a
2
得a＝
【答案】
2
2
?
x′＝5x，
?
?
?
y
′＝3y
22
.将(，
22
2
.
2
13．在同一
平面直角坐标系中经过伸缩变换
?
8y′
2
＝1，则曲线C的方程为____
____．
后曲线C变为曲线2x′
2
＋
??
x′＝5x
【解析】
将
?
代入2x′
2
＋8y′
2
＝1，得：
?
y′＝3y
?
2·(5x)
2
＋8·(3y)
2
＝1，即50x
2
＋72y
2
＝1.
【答案】
50x
2
＋72y
2
＝1
14．已知圆的极坐标方程ρ＝2cos
θ，直线的极坐标方程为ρcos θ－2ρsin
θ＋7＝0，则圆
心到直线的距离为________．
【解析】 将ρ＝2cos
θ化为ρ
2
＝2ρcos θ，即有
x
2
＋y
2
－2x＝0，亦即(x－1)
2
＋y
2
＝1.
将ρcos
θ－2ρsin θ＋7＝0化为x－2y＋7＝0，
故圆心到直线的距离d＝
85
5
85
＝.
5
1
2
＋?－2?
2
|1＋7|
【答案】
二、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
π<
br>15．(本小题满分12分)在极坐标系中，点M坐标是(2，)，曲线C的方程为ρ＝22sin(θ<
br>3
π
＋)；以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l经过点
M和极
4
点．
(1)写出直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)直线l和曲线C相交于两点A、B，求线段AB的长．
π
【解】
(1)∵直线l过点M(2，)和极点，
3
π
∴直线l的极坐标方程是θ＝(ρ∈R)．
3
π
ρ＝22sin(θ＋
)即ρ＝2(sin θ＋cos θ)，
4
两边同乘以ρ得ρ
2
＝2(ρsin θ＋ρcos θ)，
∴曲线C的直角坐标方程为x
2
＋y
2
－2x－2y＝0.
(2)点M的直角坐标为(1，3)，直线l过点M和原点，
∴直线l的直角坐标方程为y＝3x.
曲线C的圆心坐标为(1,1)，半径r＝2，圆心到直线l的距离为d＝
＋2.
?
?
x′＝2x，
16．(本小题满分12分)在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换
?
后，曲线
?
y′＝2y
?
3－1
，∴AB＝3<
br>2
C变为曲线(x′－5)
2
＋(y′＋6)
2
＝
1，求曲线C的方程，并判断其形状．
?
?
x′＝2x，
【解】
将
?
代入(x′－5)
2
＋(y′＋6)
2
＝1，
?
y′＝2y
?
得(2x－5)
2
＋(2y＋6)
2
＝1.
51
化简，得(x－)
2
＋(y＋3)
2
＝.
24
51
该曲线是以(，－3)为圆心，半径为的圆．
22
17．
(本小题满分13分)过抛物线y
2
＝2px(p>0)的顶点O，作两垂直的弦OA、OB，
求△
AOB的面积的最小值．
【解】 取O为极点，Ox轴为极轴，建立极坐标系，将抛物线
方程化成极坐标方程，
π
有ρ
2
sin
2
θ＝2pρcos
θ，设点B的极坐标为(ρ
1
，θ)，因为OA⊥OB，所以A的极坐标为(ρ
2，＋
2
θ)．
π
2pcos?＋θ?
2
2pcos
θ
所以ρ
1
＝，ρ
2
＝.
2
sin
θ<
br>2
π
sin?＋θ?
2
1
所以S
△
AOB<
br>＝OA·OB
2
π
2pcos?＋θ?
2
1
2pcos
θ
·
2
＝
2
sin
θ
2
π
si
n?＋θ?
2
?
?
?
?
?
?
2p
2
4p
2
＝＝≥4p
2
，
|sin θcos
θ||sin
2θ|
π
当θ＝时取到等号，因此△AOB的面积的最小值为4p
2
. 4
2
18．(本小题满分13分)过曲线ρ＝的右焦点作一倾斜角为60°的直线l，求l
1－3cos θ
被曲线截得的弦长．
【解】
设直线与曲线的两个交点分别为A，B.
设A(ρ
1
，θ)，则B(ρ
2
，π＋θ)．
22
弦长AB＝|ρ
1
＋ρ
2
|＝|＋|
1－3cos θ1－3cos?π＋θ?
224
＝|＋|＝||
1－3cos θ1＋3cos
θ1－9cos
2
θ
416
＝||＝.
2
1－9cos60°
5