[精品文档]高中数学选修4-4历年高考题全国卷含答案

1.（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ23）已知曲线C
1
的参数 方程为
?
x?4?5cost,
（
t
为参数），以坐标原点为极点 ，
x
轴的正半轴为极轴
?
?
y?5?5sint,
建立极坐 标系，曲线C
2
的极坐标方程为
?
?2sin
?
.
（Ⅰ）把C
1
的参数方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）求C
1
与C
2
交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）。 < br>【解析】将
?
?
x?4?5cost
消去参数
t
，化 为普通方程
(x?4)
2
?(y?5)
2
?25
,
?
y?5?5sint
即
C
1
：
x
2
? y
2
?8x?10y?16?0
.
将
?
?
x?< br>?
cos
?
代入
x
2
?y
2
?8x ?10y?16?0
得
?
y?
?
sin
?
?2
?8
?
cos
?
?10
?
sin
?
?16?0
.
（Ⅱ）
C
2
的普通方程为
x
2
?y
2
?2y?0
.
22
?
?
x? 1
?
x?0
?
x?y?8x?10y?16?0
由
?
22
，解得
?
或
?
.
?
?
y?1?
y?2
?
x?y?2y?0
所以
C
1
与C
2
交点的极坐标分别为
(2,)
，
(2,)

42
?
?
2.（2013·新课标全国Ⅱ高考理科·Ｔ23）已知动点P，Q都在曲 线
?
x?2cost
C：
?

?
t为参数
?
上，对应参数分别为t=α
y?2sint
?
与
t
=2α（0＜α＜2π）,M为PQ的中点.

（1）求M的轨迹的参数方程.
（2）将M到坐标原点的距离d表 示为
?
的函数，并判断M的轨迹是
否过坐标原点.
【解题指南】(1)借助 中点坐标公式，用参数
?
表示出点M的坐标，
可得参数方程.
(2)利用距离公式表示出点M到原点的距离d,判断d能否为0,可得M
的轨迹是否过原点.
【解析】（1）依题意有
P
?
2cos
?
,2sin
?
?
,Q
?
2cos2
?
,2sin2
?
?
,
因此
M
?
cos
?
?cos2
?
,sin
?
?sin2
?
?
.
?
x? cos
?
?cos2
?
?
为参数，0?
?
?2?
?

?
?
y?sin
?
?sin2
?
M的轨迹的参数方程为
?
（2）M点到坐标原点的距离
d?x
2
?y
2
?2?2cos
?
,
?
0?
??2
?
?
.
当
?
?
?
时，
d?0
，故M的轨迹过坐标原点.
11.（2012·新课标全国高考文科·Ｔ23）与（2012·新课标全国高
考理科·
Ｔ23）相同
?
x?2cos
?
(
?
为参数)< br>?
y?3sin
?
C
x
轴已知曲线
1
的参数 方程是
?
，以坐标原点为极点，

的正半轴为极轴建立坐标系 ，曲线
C
2
的极坐标方程是
?
?2
，正方形
ABC D
的顶点都在
C
2
上，且
A,B,C,D
依逆时针次序排列 ，点
A
的极坐
(2,)
标为
3
.
?
（1）求点
A,B,C,D
的直角坐标.
（2）设
P< br>为
C
1
上任意一点，求
PA?PB?PC?PD
的取值范围.
【解题指南】（1）利用极坐标的定义求得A，B，C，D的坐标.
（2）由
C
1
方程的参数式表示出|PA|
2
+ |PB|
2
+ |PC|
2
+ |PD|
2
关于
?
的
函数式，利用函数的知识求取值范围.
【解析】（1）由已知可得
??
?
?
??
??
? ?
??
?
?
A
?
2cos,2sin
?
, B
?
2cos
?
?
?
,2sin
?
??
?
33
?
?
??
32
??
32?
?
，
?
?
?
??
?
?
? ?
?
?
3
?
C
?
2cos
?
?< br>?
?
,2sin
?
?
?
?
?
,D< br>?
2cos
?
?
?
3
??
3
???
?
32
?
A1,3,B?3,1,C?1,?3,D
222 2
??
?
3
?
?
?
,2sin
??
?
?
?
??
32
?
?
，
即
?????
令
??
3,?1
2
?
.
22
(2)设
P
?
2cos
?
,3sin
?
?
,
S?PA?PB?PC?PD
2
，则
S?16cos
2
?
?36sin
2
?
?16

?32?20sin
2
?
.
2
0?sin
??1,
所以
S
的取值范围是
?
32,52
?
. 因为
12.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ23）在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
1
的参数方程为

?
x ?2cos
?
，
（
?
为参数），M是C
1
上的动点 ，P点满足
OP?2OM
,P点的轨迹为曲线
?
?
y?2?2sin
?
C
2
.
(Ⅰ)求
C
2
的方程.
(Ⅱ)在以
O
为极点，
x
轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线< br>?
?
点为
A
，与
C
2
的异于极点的交点为< br>B
，求
AB
.
?
3
与
C
1
的异于极点的交
【思路点拨】第（Ⅰ）问，
OP?2OM
意味着
Ｍ
为
O,P
的中点，设出点
P
的坐标，可由
点
M
的参 数方程（曲线
C
1
的方程）求得点
P
的参数方程；
第（Ⅱ ）问，先求曲线
C
1
和
C
2
的极坐标方程，然后通过极坐标 方程，求得射线
?
＝
的交点
A
的极径
?
1
，求得射线
?
＝
?
3
与
C
1
?
3
与
C
2
的交点
B
的极径
?
2
，最 后只需求
｜AB｜
＝
｜
?
2
?
?
1
|
即可.
【精讲精析】（I）设P(x,y),则由条件知M(
xy
,< br>).由于M点在C
1
上，所以
22
?
x
?2cos
?
,
?
?
x?4cos
?
,
?
2
即
?
?
?
y?4?4sin
?< br>,
?
y
?2?2sin
?
?
?2
从而
C
2
的参数方程为
?
x?4cos
?
，
（
?
为参数）.
?
y?4?4sin
?
?
（Ⅱ）曲线
C
1
的极坐标方 程为
?
?4sin
?
，曲线
C
2
的极坐标方程为< br>?
?8sin
?
.

射线
?
?
?
3
与
C
1
的交点
A
的极径为
?
1
?4sin
?
3
，
射线
?
??
3
与
C
2
的交点
B
的极径为
?2
?8sin
?
3
.
所以.
11.(2014·新课标全国卷Ⅱ高考文科数学·T23) (2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数 学·T23)(本
小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中, 以坐标原点为极点,x轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为ρ
=2cosθ,θ∈
?
0,
?
.
?
2
?
(1)求C的参数方程. (2)设点D在C上,C在D处的切线与直线l:y=
3
x+2垂直,根据(1)中你得到 的参数方程,确定D
的坐标.
【解题提示】(1)先求出C的普通方程,然后再化为参数方程.
(2)利用C的参数方程设 出点D的坐标,利用切线与直线l垂直,可得直线GD与直线l的斜率相
同,求得点D的坐标.
【解析】（1）C的普通方程为
?
x?1
?
?y?1
(0≤y≤1).
2
2
?
?
?
可得C的参数方程为
?
?
x?1?cost
(t为参数，0≤t≤π).
?
y?sint
（2）设D（1+cos t,sin t），由（1）知C是以G（ 1，0）为圆心，1为半径的上半圆.因为C
在点D处的切线与l垂直，所以直线GD与l的斜率相同， tan t=
3
,t=
?
.
3
故D的直角坐标为
?
1?cos
?
?
?
3
,sin
?
?3
?
?
,即
?
?
33
?
?
2
,
2
?
?
.
??

10.选修4-4:坐标系与参数方程(2015·新课标全国卷Ⅱ理科·T23)
在直角坐 标系xOy中,曲线
C
1
:
?
?
x?tcos
?< br>,
(t为参数,且t≠0),其中0≤α<π,在以O为极
?
y?tsin?
,

cos θ. 点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C
2
:ρ=2sin θ,C
3
: ρ=2
(1)求C
2
与C
3
交点的直角坐标.
(2)若C
1
与C
2
相交于点A,C
1
与C
3
相交于 点B,求|AB|的最大值.
【解析】(1)曲线C
2
的直角坐标方程为x
2
+y
2
-2y=0,曲线C
3
的直角坐标方程为x
2+y
2
-2x=0.
?
x?
?
?
?
x??
?
x?y??y??
?
联立
?
，解得
?，或
?
??
?
?
y??
?
y?
?x?y???x??
?
?
??
?
?
.
??
C
2
与
C
3
交点的直角坐标为
(?,?)< br>和
(
??
,).

??
(2)曲线C
1
的极坐标方程为θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤α<π.
因此A的极坐标为(2sin α,α),B的极坐标为(2cos α,α).
所以|AB|=|2sin α-2cos α|=4|sin(α-)|.
当α=时,|AB|取得最大值,最大值为4.