高中数学5-5运用不等式求最大小值5-5-1运用算术-几何平均不等式求最大小值自我小测苏教版选修4_5

凡读书......须要读得字字响亮，不可误一字，不可少一字，不可多一字，不可倒一字，不 可牵强暗记，只是要多诵数遍，自然上口，久远不忘。古人云，读书百遍，其义自见。谓读得熟，则不待解说，自 晓其义也。余尝谓，读书有三到，谓心到，眼到，口到。

高中数学5-5运用不等式求最大小 值5-5-1运用算术－几何
平均不等式求最大小值自我小测苏教版选修4_5



自我小测

1若x＞0，则4x＋的最小值是________．

2若正数x，y满足xy2＝4，则x＋2y的最小值为________．

3函数 y＝4sin2x·cosx的最大值为________，最小值为
________．

4函数y＝(x＜0)的值域是________．

5已知lgx＋lgy＝2，则＋的最小值为________．

6已知圆柱的体积 V是定值，问圆柱的底半径r和高h各是多少
时，圆柱的全面积S最小？并求S的最小值．

7已知x＋2y＋3z＝6，则2x＋4y＋8z的最小值为________．

8 如下图所示，已知圆锥的底面半径为R，高为H，在其中有一
个高为x，下底面半径与上底面半径之比为 λ(0＜λ＜1)的内接圆
台．试问：当x为何值时，圆台的体积最大？并求出这个最大的体积．

参考答案

1．3解析：∵x＞0，∴4x＋＝2x＋2x＋≥3，当且仅当2x ＝，即
x＝时等号成立．

2．3解析：∵xy2＝4，x＞0，y＞0，

∴x＝，∴x＋2y＝＋2y＝＋y＋y≥3＝3.

当且仅当x＝y＝时等号成立，此时x＋2y的最小值为3.

3．－解析：∵y2＝16sin2x·sin2x·cos2x

＝8(sin2x·sin2x·2cos2x)

邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。 师曰：童子何泣？原曰：孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心 伤感，故泣耳。师恻然曰：欲书可耳原曰：无钱资。师曰：童子苟有志吾徒相教不求资也。

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凡读书......须要读得字字响亮，不可误一字，不可少一字，不可多一字，不 可倒一字，不可牵强暗记，只是要多诵数遍，自然上口，久远不忘。古人云，读书百遍，其义自见。谓读得熟，则 不待解说，自晓其义也。余尝谓，读书有三到，谓心到，眼到，口到。

≤83＝8×＝，

∴y2≤，当且仅当sin2x＝2cos2x，即tanx＝±时取“＝”号．

∴ymax＝，ymin＝－.

4．[－3，＋∞) 解析：∵y＝＝≥＝－3，当且仅当x＝－1时
取等号．

∴函数的值域为[－3，＋∞)．

5．解析：∵lgx＋lgy＝2，∴lg(xy )＝2，xy＝102，∴＋＝≥＝
＝.

当且仅当x＝y＝10时取等号．

6．解：πr2h＝V，S＝2πr2＋2πrh＝2π≥2π·3＝6π·＝3，

当且仅当r2＝rh，即h＝2r时取“＝”．

即r＝，h＝2时，Smin＝3.

7．12 解析：∵2x＞0,4y＞0,8z＞0.

∴2x＋4y＋8z＝2x＋22y＋23z≥3 ＝3＝3×4＝12，当且仅当2x
＝22y＝23z，即x＝2，y＝1，z＝时，取等号．

8．解：设内接圆台的上底面半径为r，则下底面半径为λr，由
相似三角形的性质，得r＝R (1－)，从而圆台的体积V＝πx(r2＋
r×λr＋λ2r2)

＝πR2x2×(1＋λ＋λ2)

＝πR2H(1＋λ＋λ2)×.

由0＜＜1，得1－＞0.

又＋＋＝2为定值，∴V≤πR2H(1＋λ＋λ2)× 3＝πR2H(1＋λ
＋λ2)．

当＝1－，即x＝时，等号成立．故当x＝时，圆 台的体积最大，
最大为πR2H(1＋λ＋λ2)．


邴原少孤，数岁时， 过书舍而泣。师曰：童子何泣？原曰：孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡 其得学，中心伤感，故泣耳。师恻然曰：欲书可耳原曰：无钱资。师曰：童子苟有志吾徒相教不求资也。
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