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北师大版高中数学选修4-5课时训练平均值不等式

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-07 08:53
tags:高中数学选修4-5

2018高中数学新教材电子版-高中数学各种教学方法

2020年10月7日发(作者:黎原)



课堂练习(四)
(建议用时:45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1.下列不等式恒成立的是( )
1
A.
x
+≥2
x
1
B.sin
x
+≥2
sin
x
1
x
D.e+
x
≥2
e
C.+≥2
[解析] 根据
立.
[答案] D
ab
ba
a

b
2

ab
知,条件需
a
>0,
b>0.∴A,B,C均不成立,D中,∵e>0,∴成
x
2.
a

b
为非零实数,那么不等式恒成立的是( )
A.|
a

b
|>|
a

b
| B.
a

b
2

ab

?
a

b
?

ab
C.
??
?
2
?
2
D.+≥2
ba
ab
[解析]
a

b
为非零实数时,A,B,D均不一定成立.
?
a< br>+
b
?

ab

?
a

b
?
≥0恒成立. 而
???
2
?
?
2
???
22
[答案] C
3.设
a
>0,
b
>0,且
a

b< br>≤4,则有( )
11
A.≥
ab
2
C.
ab
≥2
[解析] 4≥
a

b
≥2
ab
,∴
ab
≤2.

11111
≥,+≥2·≥1.
ab
2
ab
ab
11
B.+≥1
ab
D.
11

a
2

b
2
4
[答案] B
4.设0<
a
<
b

a

b
=1,则下列不等式正确 的是( )
A.2<2
ab
<
a

b
<
a

b

B.2
ab
<
b
<
a

b
<
a

b

C.2
ab<
a

b
<
b
<
a

b
D.2
ab
<
a

b
<
a

b
<
b

2222
2222
2222
2222



[解析] ∵0<
a
<
b
,且
a

b
=1,
∴0<
a
<
b
<1,

a

b
>2
ab

b
>
a

b
,且a

b
>
b
.
故2
ab
<
a

b
<
b
<
a

b
.
[答案] C
5.小王从甲地到乙地往返的时速分别为
a

b(
a

b
),其全程的平均时速为
v
,则( )
A.
a

v

ab

C.
ab< br><
v

B.
v

ab

D.v

2222
222222
a

b
2
a

b
2

[解析] 设甲、乙两地之间的距离为
s
.

a

b
,∴< br>v

2
sab
2
ab
2
ab
==< =
ab
.
ss
?
a

b
?
sa

b
2
ab

222
2
s
ab< br>2
abab

aa

a

v
a
=-
a
=>=0,∴
v

a
.
a

ba

ba

b
[答案] A
二、填空题
?
abc
??
bca
?
6.已知a

b
都是正数,则
?
++
??
++
?
≥________.
?
bca
??
abc
?
[解析] ∵
a

b
都是正数,
∴++≥3,
且++≥3. abc
bca
bca
abc
?
abc
??
bc a
?

?
++
??
++
?
≥9.
?
bca
??
abc
?
[答案] 9
1127.设
A
=+,
B
=(
a
>0,
b
> 0且
a

b
),则
A

B
的大小关系是_ _______.
2
a
2
ba

b
?
a

b
?
[解析] 法一(比较法):
A

B
=>0(
a
>0,
b
>0且
a

b
), 则
A
>
B
.
2
ab
?
a
b
?
法二:
A

1
2
ab

B

1
ab
,故
A

B
.
[答案]
A

B

8.已知不相等的三个正数
a

b

c

abc
=1,则
a

b

c
与3的大小关系是________.
[解析] ∵
a

b

c
是不相等的三个正数,且
abc
=1 ,
333



3
333333

a

b

c
>3
abc
=3.
[答案]
a

b

c
>3
三、解答题
111< br>9.设
a
>0,
b
>0,
a

b
= 1,求证:++≥8.
333
abab
[证明] ∵
a
>0,
b
>0,
a

b
=1,
∴2
ab

a

b
.
11
因此
ab
≤,≥4.
2
ab
111
?
11
?
1
则++=(
a

b
)
?

?
+≥2
ab
·2
1
abab
?ab
?
abab
+4=8.
10.已知
a

b

c
大于0,求证:
(
a

b

c
)
?
?
1

1

1
?

9
.
?
?
a

bb

ca

c
?
2
[证 明] ∵
a

b

c
大于0,
∴(
a< br>+
b
)+(
b

c
)+(
c
a
)
3
≥3?
a

b
??
b

c
??
c

a
?>0,
3
111111
++≥3··>0,
a

bb

ca

ca

bb

ca

c< br>∴(
a

b

c
)
?
?
1

1

1
?

9
.
?
?
a

bb

ca

c
?
2[能力提升练]
当且仅当
a

b

c
时,等号成立.
1 .设
a

b

c
为正数,则“
abc
=1 ”是“
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要的条件
[解析] 当
a

b
c
=2时,有
111
1
1
a

1
b< br>+
1
c

a

b

c
”的 ( )
a

1
b

1
c

a

b

c
,但
abc
≠1,所以必要性不成立;< br>当
abc
=1时,
a

b

c
=< br>bc

ac

ab

bc

ac< br>+
ab

a

b

c

a bc
?
a

b
?+?
b

c
?+ ?
a

c
?111

ab

bc

ac
,所以充分性成立,故“
abc
=1”是“++
2
a bc




a

b

c
”的充分不必要条件.
[答案] A
2.当
a

b
为两个不相等的正实数时,下列各式中最小的是( )
A.
C.
a

b
2


22
B.
ab

a
2

b
22
a
-1

b
-1
?
-1
?
D.
??

?
2
?

ab

a< br>+
b
≥2
ab
,且
a

b

2
ab

ab

2
[解析] 由
a

b
2

a
2

b
22
∴A,B,C中,
ab
最小.
a
-1

b
-1
?
-1
2
ab
?

??
=< br>a

b
.
?
2
?

a

b
时,
a

b
>2
ab
>0,
∴(
a

b
)
ab
>2
ab
>0,
2
ab

ab
.
a

b
a
- 1

b
-1
?
-1
?
综上可知,
??最小,应选D.
?
2
?
[答案] D
3.若
a>0,
b
>0,
a

b
=2,则下列不等式对一切满足 条件的
a

b
恒成立的是________(写
出所有正确命题的编 号).
11
2233

ab
≤1;②
a

b
≤2;③
a

b
≥2;④
a

b≥3;⑤+≥2.
ab
[解析] 利用特殊值
a

b
=1排除②④.
?
a

b
?

?
2
?
=1,∴①正确. 由平均值不等式
ab

????
?
2
??
2
?
22
a

b

a
+(2-
a
)=2a
-4
a
+4=2[(
a
-1)+1]≥2,∴③正确. 111
?
11
?
由+=
?

?
(a

b
)
ab
2
?
ab
?
1
?
ba
?
1

?
2++
?
≥( 2+2)=2,
ab
?
22
?
∴⑤正确.
[答案] ①③⑤
111
4.设正数
a

b

c
满 足
a

b

c
=1,求++的最小值.
3
a
+23
b
+23
c
+2
[解] 因为
a

b

c
均为正数,且
a

b

c
=1,所以(3
a
+2)+(3
b
+2)+( 3
c
+2)=9.
222222




3< br>2)]≥3

?
1

1

1
??
3
a
+23
b
+23
c
+2
???
[(3
a
+2)+(3
b
+2)+(3
c

11
3
·3?3
a
+2??3
b
+2??3c
+2?=9,当且仅当
a

b

c
=时,等
?3
a
+2??3
b
+2??3
c
+2?3
111111
号成立,即++≥1,故++的最小值为1.
3
a
+23< br>b
+23
c
+23
a
+23
b
+23
c
+2



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