高中数学人教A版选修4-5习题：第一讲1.2-1.2.1绝对值三角不等式 Word版含答案

第一讲 不等式和绝对值不等
1.2 绝对值不等式
1.2.1 绝对值三角不等式

A级 基础巩固
一、选择题
1．若|
x
－
m
|＜
ε
，|
y
－
m
|＜
ε
，则下列不等式中一定成立的是( )
A．|
x
－
y
|＜
ε
B．|
x
－
y
|＜2
ε

C．|
x
－
y
|＞2
ε
D．|
x
－
y
|＞
ε

解析：|
x
－
y
|＝|
x
－
m
－(
y
－
m
)|≤|
x
－
m
|＋|
y
－
m
| ＜2
ε
.
答案：B
2．如果
a
，
b
都是非零实数，则下列不等式中不成立的是( )
A．|
a
＋
b
|＞
a
－
b
B．2
ab
≤|
a
＋
b
|(
ab
＞0)
C．|
a
＋
b
|≤|
a
|＋|
b
| D.
?
?
ba
?
a
＋
b
?
?
?
≥2
解析：令
a
＝1，
b
＝－1，则A不成立．
答案：A < br>3．若
a
，
b
∈R，则使|
a
|＋|
b|＞1成立的充分不必要条件可以是( )
A．|
a
|≥
11
2
且|
b
|≥
2
B．|
a
＋
b
|≥1
C．|
a
|≥1 D．
b
＜－1
解析：当
b
＜－1时，|
b
|＞1，
所以|
a
|＋|
b
|＞1，
但|
a
|＋ |
b
|＞1?
b
＜－1(如
a
＝2，
b
＝ 0)，
所以“
b
＜－1”是“|
a
|＋|
b
|＞ 1”的充分不必要条件．
答案：D
4．函数
y
＝|
x
－ 4|＋|
x
－6|的最小值为( )
A．2 B.2
C．4 D．6
解析：
y
＝|
x
－4|＋|
x
－6|≥|
x
－4－(
x
－6)|＝2.
故最小值为2.
答案：A
5．设|
a
|＜1，|
b
|＜1，则|
a
＋
b
|＋|
a
－
b
|与2的大小关系是( )
- 1 -

A．|
a
＋
b
|＋|
a< br>－
b
|＞2
C．|
a
＋
b
|＋|a
－
b
|＝2
解析：当(
a
＋
b
)(
a
－
b
)≥0时，
B．|
a
＋
b
|＋|
a
－
b
|＜2
D．不可能比较大小
|< br>a
＋
b
|＋|
a
－
b
|＝|(
a< br>＋
b
)＋(
a
－
b
)|＝2|
a
| ＜2；
当(
a
＋
b
)(
a
－
b
)＜0时，
|
a
＋
b
|＋|
a
－
b|＝|(
a
＋
b
)－(
a
－
b
)|＝ 2|
b
|＜2.
答案：B
二、填空题
6．已知四个命题：①< br>a
＞
b
?|
a
|＞
b
；②
a
＞
b
?
a
＞
b
；③|
a
|＞
b
?
a
＞
b
；④
a
＞|
b
|?a
＞
22
b
.其中正确的命题是________．
解析：当
a
＞
b
时，|
a
|≥
a
＞
b，①正确．显然②③不正确．
又当
a
＞|
b
|时，有
a
＞|
b
|≥
b
，④正确．
答案：①④
7．若 不等式|
x
－4|－|
x
－3|≤
a
对一切
x∈R恒成立，则实数
a
的取值范围是________．
解析：设
f< br>(
x
)＝|
x
－4|＋|
x
－3|，则
f< br>(
x
)≤
a
对一切
x
∈R恒成立的充要条件是
a
≥
f
(
x
)
的最大值．
因为|
x< br>－4|－|
x
－3|≤|(
x
－4)－(
x
－3)| ＝1，
即
f
(
x
)
max
＝1，所以
a
≥1.
答案：[1，＋∞)
8．已知
α
，
β
是实数，给出三个论断：
①|
α
＋
β
|＝|
α
|＋|
β
|；
②|
α
＋
β
|＞5；
③|
α
|＞22，|
β
|＞22.
以其中的两个论断为条 件，另一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题是
________．
解析：①，③成 立时，则|
α
＋
β
|＝|
α
|＋|
β
|＞ 42＞5.
答案：①③?②
三、解答题
?
1
?
9．( 2014·课标全国Ⅱ卷)设函数
f
(
x
)＝
?
x
＋
?
＋|
x
－
a
|(
a
＞0)，证明：< br>f
(
x
)≥2.
a
??
证明：由
a
＞0，有
f
(
x)＝
?
x
＋
?
＋|
x
－
a
| ≥
?
x
＋－（
x
－
a
）
?
＝＋< br>a
≥2.
?
a
??
a
?
a
所以< br>f
(
x
)≥2.
?
1
??
1
?
1
- 1 -

10．求函数
f
(
x
)＝|
x< br>－5|－|
x
＋3|的最大值，并求出取最大值时
x
的范围．
解：
f
(
x
)＝|
x
－5|－|
x
＋3 |≤|(
x
－5)－(
x
＋3)|＝8，
当且仅当(
x< br>－5)(
x
＋3)≤0，即－3≤
x
≤5时等号成立，
所以 当－3≤
x
≤5时，
f
(
x
)＝|
x
－5 |－|
x
＋3|取得最大值为8.
B级 能力提升
1．对任意
x
，
y
∈R，|
x
－1|＋|
x
|＋|
y< br>－1|＋|
y
＋1|的最小值为( )
A．1
C．3
B．2
D．4
解析：因为
x
，
y
∈R，所以|
x
－1|＋|
x
|≥|(
x
－1)－
x
| ＝1，
|
y
－1|＋|
y
＋1|≥|(
y
－1) －(
y
＋1)|＝2，
所以|
x
－1|＋|
x
| ＋|
y
－1|＋|
y
＋1|≥3.
所以|
x
－1 |＋|
x
|＋|
y
－1|＋|
y
＋1|的最小值为3.
答案：C
2．以下三个命题：
(1)若|
a
－
b
|＜1，则|
a
|＜|
b
|＋1；
(2)若
a
，
b
∈R，则|
a
＋
b
|－2|
a
|≤|
a
－
b
|；
?
x
?
2
(3)若 |
x
|＜2，|
y
|＞3，则
??
＜.
?
y
?
3
其中正确的有________个．
解析：(1 )因为|
a
|－|
b
|≤|
a
－
b
|＜1 ，所以|
a
|＜|
b
|＋1，所以(1)正确．(2)因为|
a＋
b
|
－2|
a
|≤|
a
＋
b
－2
a
|＝|
b
－
a
|＝|
a
－
b
|，所以(2)正确．(3)因为|
x
|＜2，|
y
|＞3，所 以
??
＜
2
，所以(3)正确．
3
答案：3
3 ．若
f
(
x
)＝
x
－
x
＋
c(为常数)，且|
x
－
a
|＜1，求证：|
f
(
x
)－
f
(
a
)|＜2(|
a
|＋1)．
证明：|
f
(
x
)－
f
(
a
)|
＝|(
x
－
x
＋
c
)－(
a
－
a
＋
c
)|
＝|
x
－
x
－
a
＋
a
|
＝|(
x
－
a
)(
x
＋
a
－1)|
＝|
x
－
a
|·|
x
＋
a
－1|
＜|
x
＋
a
－1|
＝|(
x
－
a
)＋(2
a
－1)|
≤|
x
－
a
|＋|2
a
－1|.
又|
x
－
a
|＜1，
- 1 -
22
22
2
?
x
?
?
y
?

所以|
f
(
x
)－
f
(
a
)|≤ |
x
－
a
|＋|2
a
－1|≤|
x
－a
|＋|2
a
|＋1＜1＋2|
a
|＋1＝2(|
a< br>|＋1)．


- 1 -