推荐高中数学5.5运用不等式求最大小值5.5.1运用算术-几何平均不等式求最大小值自我小测苏教版选修4_5

最新中小学教案、试题、试卷
5.5.1 运用算术－几何平均不等式求最大（小）值
自我小测
9
1若
x
＞0，则4
x
＋
2< br>的最小值是________．
x
2若正数
x
，
y
满足
xy
＝4，则
x
＋2
y
的最小值为________．
3函数
y
＝4sin
x
·cos
x
的最大值为__ ______，最小值为________．
4函数
y
＝
3
x(
x
＜0)的值域是________．
x
＋
x
＋1
2
2
2
11
5已知lg
x
＋lg
y
＝2，则＋的最小值为________．
xy
6已知圆柱的体积
V
是定 值，问圆柱的底半径
r
和高
h
各是多少时，圆柱的全面积
S
最小？并
求
S
的最小值．
7已知
x
＋2
y
＋3z＝6，则2＋4＋8的最小值为________．
8如下图所示，已知圆锥的底面半径为< br>R
，高为
H
，在其中有一个高为
x
，下底面半径与上底面半径之比为λ(0＜λ＜1)的内接圆台．试问：当
x
为何值时，圆台的体积最大？并求出 这个最大的
体积．
xy
z


参考答案
999 1
333
1．336解析：∵
x
＞0，∴4
x
＋
2
＝2
x
＋2
x
＋
2
≥336，当且仅当2
x
＝
2
，即
x
＝36时等号
xxx
2
成立 ．
3
2
2．34解析：∵
xy
＝4，
x
＞0，< br>y
＞0，
∴
x
＝
2
，∴
x
＋2< br>y
＝
2
＋2
y
＝
2
＋
y
＋
y
≥3
444
3
4
3
×
y
×y
＝34.
yyyy
2
33
当且仅当
x
＝< br>y
＝4时等号成立，此时
x
＋2
y
的最小值为34.
8383
2222
3．－解析：∵
y
＝16sin
x
·s in
x
·cos
x

99
＝8(sin
x
·sin
x
·2cos
x
)
教案、试题、试卷中小学
1
222

最新中小学教案、试题、试卷
?
sin
x< br>＋sin
x
＋2cos
x
?
3
＝8×
8＝
64
， ≤8
??
3
2727
??
64222
∴
y
≤，当且仅当sin
x
＝2cos
x
，即tan
x
＝±2时取“＝”号．
27
8383
∴
y
max
＝，
y
min
＝－.
99
4．[－3，＋∞) 解析：∵
y
＝
3
x
＝< br>x
＋
x
＋1
2
222
3
1
≥
x
＋1＋
x
3
＝－3，当且仅当
x
＝－1时取等号．
－2＋1
∴函数的值域为[－3，＋∞)．
111
x
＋
y
2
xy
2101
2
5．解析：∵lg
x
＋lgy
＝2，∴lg(
xy
)＝2，
xy
＝10，∴＋＝≥＝
2
＝.
5
xyxyxy
105
当且仅当
x
＝< br>y
＝10时取等号．
3
1
3
V
2
11?
2
?
42
6．解：π
rh
＝
V
，< br>S
＝2π
r
＋2π
rh
＝2π
?
r
＋
rh
＋
rh
?
≥2π·3
rh
＝6π·
2
＝
22
?
44π
?
22
2
3
2
32π
V
，
1
2
当且仅当
r
＝
rh
，即
h
＝2
r
时取“＝”．
2
3
即
r
＝
V
2π
3
，
h
＝2
x
V
2π
y
3
2
时，
S
min
＝32π< br>V
.
z
7．12 解析：∵2＞0,4＞0,8＞0.
3
x
2
y
3
z
3
x
＋2
y
＋3zxyzx
2
y
3
zx
2
y
3
z∴2＋4＋8＝2＋2＋2≥32·2·2＝32＝3×4＝12，当且仅当2＝2＝2，即
x2
＝2，
y
＝1，
z
＝时，取等号．
3
8． 解：设内接圆台的上底面半径为
r
，则下底面半径为λ
r
，由相似三角形的性 质，得
r
＝
R
(1
x
1
222
－)，从而 圆台的体积
V
＝π
x
(
r
＋
r
×λ
r
＋λ
r
)
H
3
1
2
?
x< br>?
22
＝π
Rx
?
1－
?
×(1＋λ＋λ)
3
?
H
?
1
2
2
x
?
x
??
x
?
2
＝π
RH
(1＋λ＋λ)×
?
1－
??
1－
?
.
6
H
?
H< br>??
H
?
由0＜＜1，得1－＞0.
x
H
x
H
?
2
x
＋1－
x
＋1－
x
?
42
x
?
x
??
x
?
1
22
HH
?
3
＝π
R
2
H
(1又＋
?
1－
?
＋
?
1－
?
＝2为定值，∴
V
≤πRH
(1＋λ＋λ)×
?
H
??
81
H
?H
??
H
?
6
3
??
教案、试题、试卷中小学
2