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旗开得胜
第一讲 不等式和绝对值不等
1.2 绝对值不等式
1.2.1 绝对值三角不等式
A级 基础巩固
一、选择题
1.若|
x
-
m
|<
ε
,|
y
-
m
|<
ε
,则下列不等式中一定成立的是( )
A.|
x
-
y
|<
ε
B.|
x
-
y
|<2
ε
C.|
x
-
y
|>2
ε
D.|
x
-
y
|>
ε
解析:|
x
-
y
|=|
x
-
m
-(
y
-
m
)|≤|
x
-
m
|+|
y
-
m
|
<2
ε
.
答案:B
2.如果
a
,
b
都是非零实数,则下列不等式中不成立的是( )
A.|
a
+
b
|>
a
-
b
C.|
a
+
b
|≤|
a
|+|
b
|
B.2
ab
≤|
a
+
b
|(
ab
>0)
?
ba
?
D.
?
+
?
≥2
?<
br>ab
?
解析:令
a
=1,
b
=-1,则A不成立.
- 1 -
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旗开得胜
答案:A <
br>3.已知
h
>0,
a
,
b
∈R,命题甲:|
a
-
b
|<2
h
;命题乙:|
a
-1|
<
h
,且|
b
-1|<
h
,则甲是乙的( )
A.充分不必要条件
C.充要条件
B.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
解析:显然
a
与
b
的距离可以
很近,满足|
a
-
b
|<2
h
,但此时
a
,
b
与1的距离也可以最大,因此甲不能推出乙;若|
a
-1|<
h
,|
b
-1|
<
h
,则|
a
-
b
|=|
a
-1+1-
b
|≤|
a
-1|+|
b
-1|<2
h
,乙可以推出甲.
因此甲是乙的必要不充分条件.
答案:B
4.函数
y
=|
x
-4|+|
x
-6|的最小值为( )
A.2
C.4
B.2
D.6
解析:
y
=|
x
-4|+|
x
-6|≥|
x
-4-(
x
-6)|=2.
故最小值为2.
答案:A
5.若|
a
-
c
|<
b
,则下列不等式不成立的是(
)
A.|
a
|<|
b
|+|
c
|
B.|
c
|<|
a
|+|
b
|
- 1 -
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C.
b
>||
c
|-|
a
||
D.
b
<|
a
|-|
c
|
解析:由|
a
-
c
|<
b
知
b
>0,所以
b
=
|
b
|.
因为|
a
|-|
c
|≤|
a<
br>-
c
|,
所以|
a
|-|
c
|<
b
,即|
a
|<
b
+|
c
|=|
b
|+|
c
|,故A成立.
同理由|
c
|-|
a
|≤|
a
-
c
|,得|
c
|-|
a
|<<
br>b
.
所以|
c
|<|
a
|+
b
=
|
a
|+|
b
|,故B成立.
而由A成立得|
c
|-|
a
|>-|
b
|, 由B成立得|
c
|-|
a
|<|
b
|,所以-|
b
|<|
c
|-|
a
|<|
b
|,
即
||
c
|-|
a
||<|
b
|=
b
,故C
成立.
故由A成立知D不成立.
答案:D
二、填空题
6.若不等式|
x
-4|+|
x
-3|>
a
对一切实数
x
恒成立,则实数
a
的取值范围是________.
解析:由|
x
-4|+|
x
-3|≥|(
x
-4)-(
x
-3)|=1,
得(|
x
-4|+|
x
-3|)
min
=1,
故
a
的取值范围是(-∞,1).
答案:(-∞,1)
7.若不
等式|
x
-4|-|
x
-3|≤
a
对一切
x
∈R恒成立,则实数
a
的
- 1 -
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