高中数学人教A版选修4-5教学案：第三讲一二维形式的柯西不等式(1)

每览昔人兴感之由，若合一契，未尝不临文嗟悼，不能喻之于怀。固知一死生为虚诞，齐彭殇为妄 作。后之视今，亦犹今之视昔。悲夫！故列叙时人，录其所述，虽世殊事异，所以兴怀，其致一也。后之览者，亦 将有感于斯文。

高中数学人教A版选修4-5教学案：第三讲一二维形式
的柯西不等式(1)



对应学生用
书P29

1．二维形式的柯西不等式

(1)定理1： 若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac
＋bd)2，当且仅当ad＝b c时，等号成立．

(2)二维形式的柯西不等式的推论：

(a＋b)(c＋d)≥(＋)2(a，b，c，d为非负实数)；

a2＋b2
·≥|ac＋bd|(a，b，c，d∈R)；

a2＋b2
·≥|ac|＋|bd|(a，b，c，d∈R)．

2．柯西不等式的向量形式

定理2：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α|· |β|，当
且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．

[注意] 柯西不等式的向量形式中α·β≤|α||β|，取等号
“＝”的条件是β＝0或存在实数k，使α＝k β.

3．二维形式的三角不等式

(1)定理3：＋≥(x1，y1，x2，y2∈R)．

当且仅当三点P1，P2与O共线，并且P1，P2点在原点O异侧时，
等号成立．

(2)推论：对于任意的x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R，有

错误!
＋
错误!
≥.

事实上，在平面直角坐标系中，设 点P1，P2，P3的坐标分别为
世有伯乐，然后有千里马。千里马常有，而伯乐不常有。故虽有名马， 祇辱于奴隶人之手，骈死于槽枥之间，不以千里称也。策之不以其道，食之不能尽其材，鸣之而不能通其意，执策 而临之，曰：天下无马！呜呼！其真无马邪？其真不知马也！

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每览昔人兴感之由，若合一契，未尝不临文嗟悼，不能喻之于怀。固知一死生为虚诞，齐彭殇为妄作。后之视 今，亦犹今之视昔。悲夫！故列叙时人，录其所述，虽世殊事异，所以兴怀，其致一也。后之览者，亦将有感于斯 文。

(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，根据△P1P2P3的边长关系有 |P1P3|
＋|P2P3|≥|P1P2|，当且仅当三点P1，P2，P3共线，并且点P1，P2
在P3点的异侧时，等号成立．

对应学生用书
P29


利用柯西不等式证明不等式
[例1] 已知θ为锐角，a，b∈R＋，求证：＋≥(a＋b)2.

[思路点拨] 可结合柯西不等式 ，将左侧构造成乘积形式，利用
“1＝sin2θ＋cos2θ.”然后用柯西不等式证明．

[证明] ∵＋
sin2θ
b2

＝(cos2θ＋sin2θ)

≥2

＝(a＋b)2，

∴(a＋b)2≤＋.

利用柯西不等式证明不等式的关键在于利用已知条件和所证不
等式，把已知条件利用添项、拆项、分解、组合、配方、变量代换等，
将条件构造柯西不等式的 基本形式，从而利用柯西不等式证明，但应
注意等号成立的条件．

1．已知a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，求证：|ax＋by|≤1.

证明：由柯西不等式得

(ax＋by)2≤(a2＋b2)(x2＋y2)＝1，

∴|ax＋by|≤1.

2．已知a1，a2，b1，b2为正实数．

求证：(a1b1＋a2b2)≥(a1＋a2)2.

证明：(a1b1＋a2b2)＝[()2＋()2]≥

世有伯乐，然后有千里马。 千里马常有，而伯乐不常有。故虽有名马，祇辱于奴隶人之手，骈死于槽枥之间，不以千里称也。策之不以其道， 食之不能尽其材，鸣之而不能通其意，执策而临之，曰：天下无马！呜呼！其真无马邪？其真不知马也！

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