2018高考数学选修4系列

数 学

N单元 选修4系列

N1 选修4-1 几何证明选讲
21．A.N1[2016·江苏卷] 选修4-1：几何证明选讲 < br>如图1-7，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，D为垂足，E是BC的中点，求证：
∠EDC＝∠ABD.
图1-7

21．A.证明：在△ADB和△ABC中，
因为∠ABC＝90°，BD⊥AC，∠A为公共角，
所以△ADB∽△ABC，于是∠ABD＝∠C.
在Rt△BDC中，因为E是BC的中点，
所以ED＝EC，从而∠EDC＝∠C，
所以∠EDC＝∠ABD.
22．N1[2016·全国卷Ⅰ] 选修4-1：几何证明选讲

1
如图 1-6所示，△OAB是等腰三角形，∠AOB＝120°.以O为圆心，OA为半径作圆．
2
(1)证明：直线AB与⊙O相切；
(2)点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD.

图1-6
22．证明：(1)设E是AB的中点，连接OE.
因为OA＝OB，∠AOB＝120°，
所以OE⊥AB，∠AOE＝60°.
1
在Rt△AOE中，OE＝AO，即O到直线AB的距离等于⊙O的半径，所以直线AB与
2< br>⊙O相切．

(2)因为OA＝2OD，所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心 ．设O′是A，B，C，
D四点所在圆的圆心，作直线OO′.
由已知得O在线段AB的垂直平分线上，又O′在线段AB的垂直平分线上，所以OO′⊥AB.
同理可证，OO′⊥CD，所以AB∥CD.

22．N1[2016·全国卷Ⅲ] 选修4-1：几何证明选讲

如图1-6，⊙O中AB的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．
(1)若∠PFB＝2∠PCD，求∠PCD的大小；
(2)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD.
图1-6 < br>22．解：(1)连接PB，BC，则∠BFD＝∠PBA＋∠BPD，∠PCD＝∠PCB＋∠BCD.
因为AP＝BP，所以∠PBA＝∠PCB，又∠BPD＝∠BCD，所以∠BFD＝∠PCD. 又∠PFB＋∠BFD＝180°，∠PFB＝2∠PCD，所以3∠PCD＝180°，因此∠PCD＝6 0°.
(2)证明：因为∠PCD＝∠BFD，所以∠PCD＋∠EFD＝180°，由此知C，D， F，E四
点共圆，其圆心既在CE的垂直平分线上，又在DF的垂直平分线上，故G就是过C，D，F，E四点的圆的圆心，所以G在CD的垂直平分线上，又O也在CD的垂直平分线上，因
此OG⊥ CD.


22．N1[2016·全国卷Ⅱ] 选修4-1：几何证明选讲 如图1-5，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上(不与端点重合)，且DE＝DG，
过D点作DF⊥CE，垂足为F.
(1)证明：B，C，G，F四点共圆；
(2)若AB＝1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积．


图1-5
22．解：(1)证明：因为DF⊥EC，所以△DEF∽△CDF，则有∠GDF ＝∠DEF＝∠FCB，
DFDEDG
＝＝，
CFCDCB
所以△DGF∽△CBF，由此可得∠DGF＝∠CBF，
因此∠CGF＋∠CBF＝180°，所以B，C，G，F四点共圆．
(2)由B，C，G，F四点共圆，CG⊥CB知FG⊥FB，连接GB.
由G为Rt△DF C斜边CD的中点，知GF＝GC，故Rt△BCG≌Rt△BFG，因此，四边
111
形BC GF的面积S是△GCB面积S
△
GCB
的2倍，即S＝2S
△
GC B
＝2×××1＝.
222

N2 选修4-2 矩阵
21．B．N2[2016·江苏卷] 选修4-2：矩阵与变换
?
1 －
1
?
1 2
?
2
已知矩阵A＝
??
，矩阵B的逆矩阵B
－
1
＝
?
?
?< br>0 －2
?
?


a b
??
21．B．解：设B＝
??
，则B
－
1
B＝
?
c d
?
?
1 －
1
?
a b
?
＝
?
1 0
?
，
?
2
?
?
???
??
?
?
c d
??
0 1
?
?
0 2
?
?
a－
1
c b－
1
d
?
1 0
?
，
2
?
＝
?
即
?
2
?
??
?
0 1
?
?
?
2c 2d
?
?
?
，求矩阵AB.
?
0 2
?
?
11
，1
?
b－
1
d＝0，?
?
b＝
4
?
4
?
故
?
2< br>解得
?
所以B＝
?
.
1
?
c＝0，
0
??
2
2c＝0，
1< br>??
?
2d＝1，
?
d＝
2
，
?
?
1 2
?
因此，AB＝
??
?
0 －2
?
?


N3 选修4-4 参数与参数方程
16．N3[2016·上海卷] 下列极坐标方程中，对应的曲线为图1-3的是( )
5
?
?
?
1
＝
?
4
?
.
?
??
1
?
0 －1
?
0
?
2
?
1
1
4
1
a－c＝1，
2
a＝1，

图1-3
A．ρ＝6＋5cos θ B．ρ＝6＋5sin θ
C．ρ＝6－5cos θ D．ρ＝6－5sin θ

π3π
16．D [解析] 依次取θ＝0，，π，，结合图形可知只有ρ＝6－5sin θ满足题意．
22

11．N3[2016·北京卷] 在极坐标系中，直线ρcos θ－3ρsin θ－1＝0与圆ρ＝2cos θ
交于A，B两点，则|AB|＝________．
11．2 [解析] 将极坐标方程转化为直角坐标方程进行运算．由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
得直线的直角坐标方程为x－3y－1＝0，因为ρ＝2cos θ，ρ
2
(sin
2
θ＋cos
2
θ)＝2ρcos θ，
所以圆的直角坐标方程为x
2
＋y
2
＝2x，即(x－1)
2
＋y
2
＝1，圆心(1，0)在直线上，因此AB为
圆的直径，所以|AB |＝2.
21．C．N3[2016·江苏卷] 选修4-4：坐标系与参数方程
1
x＝1＋t，
2
在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，椭圆C 的
3
y＝t
2
?
?
x＝cos θ，
参数方程为< br>?
(θ为参数)．设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长．
?
y＝2sin θ
?

2
2
y
21．C．解：椭圆C的普通方程为x＋＝1.
4
1
3
2
x＝1＋t，
t
2
2
y1
2
2
2
将直线l的参数方程代入x＋＝1，得1＋t＋＝1，即7t
2
＋16 t＝0，
424
3
y＝t
2
16
解得t
1
＝0，t
2
＝－.
7
16
所以AB＝|t
1
－t
2
|＝.
7
23．N3[2016·全国卷Ⅰ] 选修4-4：坐标系与参数方程
?
?
?
?
?
?
?
?
x＝acos t，
在直角坐标系xOy中，曲线C
1
的参数方程为
?
(t为参数， a>0)．在以坐标原
?
y＝1＋asin t
?
点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C
2
：ρ＝4cos θ.
(1)说明C
1
是哪一种曲线，并将C
1
的方程化为极坐标方程；
(2)直线C
3
的极坐标方程为θ＝α
0
，其中α
0
满足tan α
0
＝2，若曲线C
1
与C
2
的公共点都在C
3
上，求a.
23．解：(1)消去参数t得到C
1
的 普通方程x
2
＋(y－1)
2
＝a
2
.C
1
是以(0，1)为圆心，a为半
径的圆．
将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C< br>1
的普通方程中，得到C
1
的极坐标方程为ρ
2
－2ρsin θ
＋1－a
2
＝0.
(2)曲线C
1
，C
2
的公共点的极坐标满足方程组
22
?
?
ρ－2ρsin θ＋1－a＝0，
?

?
ρ＝4cos θ.
?
若ρ≠0，由方程组得16cos
2
θ－8sin θcos θ＋1－a
2
＝0，由已知得tan θ＝2，可得
16cos
2
θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a
2
＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1.
当a＝1时，极点也 为C
1
，C
2
的公共点，在C
3
上，
所以a＝1.
23．N3[2016·全国卷Ⅲ] 选修4-4：坐标系与参数方程

?
x＝3cos α，
在直角坐标系xOy中，曲线C
1的参数方程为
?
(α为参数)．以坐标原点为
y＝sin α
?
π
极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C
2
的极坐标方程为ρsinθ ＋＝22.
4
(1)写出C
1
的普通方程和C
2
的直角坐标方程； < br>(2)设点P在C
1
上，点Q在C
2
上，求|PQ|的最小值及此时P 的直角坐标．
x
2
2
23．解：(1)C
1
的普通方程为 ＋y＝1，C
2
的直角坐标方程为x＋y－4＝0.
3
(2)由题意，可设点P的直角坐标为(3cos α，sin α)．因为C
2
是直线，所以|PQ|的最
|3cos α＋sin α－4|
π
小值即为P到C
2
的距离d(α)的最小值，d(α)＝＝2
?
sin(α＋)－2
?
，
3
??
2
π
当且仅当α ＝2kπ＋(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为2，此时P的直角坐标为
6
31(，).
22
23．N3[2016·全国卷Ⅱ] 选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)
2
＋y
2
＝25.
(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
?
?
x＝tcos α，
(2)直线l的参数方程是
?
(t 为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝10，求
?
?
y＝tsin α
l的斜率．
23．解：(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得圆C的极坐标方程为ρ
2
＋12ρcos θ＋11＝
0.
(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．
设A，B所 对应的极径分别为ρ
1
，ρ
2
，将l的极坐标方程代入圆C的极坐标方程得ρ
2
＋
12ρcos α＋11＝0，
于是ρ
1
＋ρ
2
＝－12cos α，ρ
1
ρ
2
＝11，
所以|AB|＝|ρ
1
－ ρ
2
|＝（ρ
1
＋ρ
2
）
2
－4ρ
1
ρ
2
＝144cos
2
α－44.
315
由|AB|＝10得cos
2
α＝，则tan α＝±，
83
所以l的斜率为


N4 选修4-5 不等式选讲
21．D．N4[2016·江苏卷] 选修4-5：不等式选讲
aa
设a>0，|x－1|<，|y－2|<，求证：|2x＋y－4|33

aa
21．D．证明：因为|x－1|<，|y－2|<，
33
aa
所以|2x＋y－4|＝|2(x－1)＋(y－2)|≤2|x－1|＋|y－2| <2×＋＝a.
33
24．N4[2016·全国卷Ⅰ] 选修4-5：不等式选讲
已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.
(1)在图1-7中画出y＝f(x)的图像；
1515
或－.
33

(2)求不等式|f(x)|>1的解集．

图1-7
?
?
3x－2，－13
，
2
24．解：( 1)f(x)＝
?
3
?
－x＋4，x>，
?
2
则y ＝f(x)的图像如图所示．
x－4，x≤－1，

(2)由f(x)的表达式及图像得，当f(x)＝1时，x＝1或x＝3；
1
当f(x)＝－1时，x＝或x＝5.
3
1
??
?
.
x<
或x>5故f(x)>1的解 集为{x|1?
x
?
?
3??
1
x<
或15}. 所以|f(x)|>1的解集为{x?
?
3
24．N4[2016·全国卷Ⅲ] 选修4-5：不等式选讲
已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；
(2)设函数g(x)＝|2x－1|，当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．
24．解：(1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2.
解不等式|2x－2|＋2≤6，得－1≤x≤3.
因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}．
(2)当x∈R时，f(x)＋g(x) ＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a，
1
当x＝时等号成立，
2
所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.①
当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解．
当a>1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.
所以a的取值范围是[2，＋∞)．

24．N4[2016·全国卷Ⅱ] 选修4-5：不等式选讲
1 1
x－
?
＋
?
x＋
?
，M为不等式f(x)<2的 解集． 已知函数f(x)＝
?
?
2
??
2
?
(1)求M；
(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|<|1＋ab|.
?
?
1124．解：(1)f(x)＝
?
1，－
2
＜x＜
2
，< br>
1
?
2x，x≥
?
2
.
1
当x≤ －时，由f(x)＜2得－2x＜2，解得x＞－1；
2
11
当－＜x＜时，f(x)＜2；
22
1
当x≥时，由f(x)＜2得2x＜2，解得x＜1.
2
所以f(x)＜2的解集M＝{x|－1＜x＜1}．
(2)证明：由(1)知， 当a，b∈M时，－1＜a＜1，－1＜b＜1，从而(a＋b)
2
－(1＋ab)
2
＝
a
2
＋b
2
－a
2
b
2
－1＝(a
2
－1)(1－b
2
)＜0，
因此|a＋b|＜|1＋ab|.

N5 选修4-7 优选法与试验设计

1
－2x，x≤－，
2