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高中数学选修4-4参数方程本章整合及题型归纳
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要点归纳
1.直线的参数方程
直线的参数方程可以
从它的普通方程转化而来,设直线的点斜式方程为y-y
0
=k(x-
x
0<
br>).其中k=tan α.α为直线的倾斜角,代入上式得,
x-x
0
y-y
0
sin
α
π
y-y
0
=(x-x
0
),α≠,即=.
cos α2cos αsin
α
?
?
x=x
0
+tcos
α,
记上式的比值为t,整理后得
?
?
y=y
0
+tsin α.
?
2.圆的参数方程
?
?
x=x
0
+rcos θ
若圆心在点M
0(x
0
,y
0
),半径为r,则圆的参数方程为
?
,0
≤θ≤2π.
?
y=y
0
+rsin
θ
?
3.椭圆的参数方程
?x-x
0
?
2
?y-
y
0
?
2
若椭圆的中心不在原点,而在点M
0
(x
0
,y
0
),相应的椭圆+=1的参数方
a
2
b
2
?
?
x=x
0
+acos t
程为
?
,
?
y=y
0
+bsin t
?
0≤t<2π.
?
?
x=asec θ,
x
2
y
2
4.双
曲线
2
-
2
=1的参数方程是
?
ab
?
y=btan θ,
?
<
br>?
x=2pt
2
,
?
5.抛物线y
2
=2p
x的参数方程是
?
?
y=2pt.
?
专题一 参数方程化为普通方程的考查
参数方程是用第三个变量(即参数),分别表示曲线上
任一点M的坐标x、y的另一种曲
线方程的形式,它体现了x、y之间的一种关系,这种关系借助于中间
桥梁——参数.有些
参数具有物理或几何意义,在解决问题时,要注意参数的取值范围.
在参
数方程与普通方程的互化中,要注意参数方程与普通方程应是等价的,即它们所表
示的应是同一条曲线.
【例1】 (1)(2012·广东高考)在平面直角坐标系xOy中,曲线C
1
和C
2
的参数方程分别为
?
x=2cos θ
?
x=t
(t为参数)和
?
(θ为参数),则曲线C
1
与C
2
的交点坐标为________.
?
y=t
?
?
y=2sin θ
?<
br>(2)将参数方程
?
1
y=t+
?
t
2
1<
br>x=t+,
t
2
(t为参数),化为普通方程为________.
解析 (1)把C
2
的方程化成普通方程为x
2
+y
2=2,∴t
2
+(t)
2
=2,∴t=1或t=-2(舍),
∴
两曲线的交点坐标为(1,1).
1111
(2)由x=t+
得,x
2=t
2
+
2
+2,又y=t
2
+
2
,
∴x
2
=y+2.∵t
2
+
2
≥2,∴y≥2.
tttt
2
答案 (1)(1,1) (2)x-y=2(y≥2)
专题二
圆的参数方程及其应用
?
?
x=x
0
+rcos θ,
圆
的参数方程
?
(θ为参数)表示中心在(x0,y0),半径为r的圆的参数方
??
y=y
0
+rsin θ
程,是近几年高考的热点和重点.
π
θ-
?
+6=0. 【例2】 (2013·福建五校联考)已知圆的极坐
标方程为ρ
2
-42ρcos
?
?
4
?
(1)将极
坐标方程化为普通方程,并选择恰当的参数写出它的参数方程;
(2)若点P(x,y)在该圆上,求x+y的最大值和最小值.
π
θ-
?
+6=0得, 解 (1)由ρ
2
-42ρcos
?
?
4
?
2
ρ
-4ρcos θ-4ρsin
θ+6=0,
即x
2
+y
2
-4x-4y+6=0为所求,
由圆的标准方程(x-2)
2
+(y-2)
2
=2,
令x-2=2cos α,y-2=2sin α,
?
x=2+2cos
α,
得圆的参数方程为
?
(α为参数).
?
y=2+2sin
α
(2)由上述可知,
π
α+
?
,故x+y的最大值为6,最小值为2. x+y=4+2(cos
α+sin α)=4+2sin
?
?
4
?
专题三
关于直线参数方程的应用
?
?
x=x
0
+tcos
α,
1.利用直线的参数方程
?
(α为参数)中参数的几何意义,在解决直线
y=y
+tsin
α
?
0
?
与曲线交点问题时,可以方便地求出相应的距离.
2.直
线的参数方程有不同的形式,可以允许参数t没有明显的几何意义,在直线与圆
锥曲线的问题中,利用参
数方程有时可以简化计算.
4
【例3】 已知直线l过点P(2,0),斜率为,直线l和抛
物线y
2
=2x相交于A、B两点,
3
设线段AB的中点为M,求:
(1)P、M两点间的距离|PM|;
(2)线段AB的长|AB|.
4
解 (1)∵直线l过点P(2,0),斜率为,
3
443
设直线的倾斜角为α,tan α=,sin α=,cos α=,
355
3
x=2+t,
5
∴直线l的参数方程为(t为参数)(*)
4
y=t
5
?
?
?
∵直线l和抛物线相交,将直线
的参数方程代入抛物线方程y
2
=2x中,整理得
8t
2
-15t
-50=0,Δ=(-15)
2
-4×8×(-50)>0.
设这个二次方程的两个根分别为t
1
、t
2
,
1525<
br>由根与系数的关系,得t
1
+t
2
=,t
1
t
2
=-,
84
由M为线段AB的中点,根据t的几何意义,得
t
1
+t
2
?
15
|PM|=
?
?
2?
=
16
.
5
(2)|AB|=|t
2
-t
1
|=?t
1
+t
2
?
2
-4t
1
t
2
=73.
8
专题四 圆锥曲线的参数方程及其应用
?
?
x=acos φ,
x
2
y
2(1)椭圆
2
+
2
=1(a>b>0)的一个参数方程为
?(φ为参数);
ab
y=bsin
φ
?
?
a
?
x=
,
?
xy
cos
φ
(2)双曲线
2
-
2
=1的参数方程为
?
(φ为
参数);
ab
?
?
y=btan φ
22
<
br>?
x=2pt
2
,
?
(3)抛物线y
2
=2
px的参数方程为
?
(t为参数).
?
?
y=2pt
【例4】 设P是椭圆4x
2
+9y
2
=36上的一个动点,求x+2y的最大值和最小值.
解 法一
令x+2y=t,且x,y满足4x
2
+9y
2
=36,
22?
?
4x+9y=36
故点(x,y)是方程组
?
的公共解.
?
x+2y=t
?
消去x得,25y
2
-16ty+4t<
br>2
-36=0,
由Δ=(-16t)
2
-4×25×(4t
2
-36)≥0,即t
2
≤25,
解得-5≤t≤5,
∴x+2y的最大值为5,最小值为-5.
x
2
y
2
22
法二
由椭圆方程4x+9y=36,得+=1,
94
设x=3cos θ,y=2sin
θ,代入x+2y得
x+2y=3cos θ+4sin θ=5sin(θ+φ),
3
其中,tan φ=,φ角的终边过点(4,3).
4
由于-1≤sin(θ+φ)≤1,
所以-5≤5sin(θ+φ)≤5.
43
当sin θ=,cos θ=时,(x+2y)
max
=5;
55
43
当sin θ=-,cos
θ=-时,(x+2y)
min
=-5.
55
∴x+2y的最大值为5,最小值为-5.
专题五
极坐标、参数方程与普通方程的综合应用
纵观历年来高考试题,极坐标、参数方程与普通方程的综合试
题是高考热点与重点,掌
握好极坐标方程与普通方程、参数方程与普通方程的互化是解题的关键点.
【例5】 (2012·湖北高考)在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴?
x=t+1,
?
π
建立极坐标系.已知射线θ=与曲线
?2
(t为参数)相交于A,B两点,则线段AB
4
?
?
y=?t
-1?
的中点的直角坐标为________.
?
?
x=t+1,
π
2
解析 曲线
?
可化
为y=(x-2),射线θ=可化为y=x(x>0),联立这两个
2
4
?
y
=?t-1?
?
方程得:x
2
-5x+4=0,点A,B的横坐标就是此方程
的根,线段AB的中点的直角坐标为
?
5
,
5
?
.
?
22
?
55
?
答案
?
?
2
,
2
?
?
x=-1+
2
2
t
【例6】
已知直线l的参数方程为
?
2
y=
?
2
t
(t为参数),曲线C的极坐标方程是
sin θ
ρ=
,以极点为原点,极轴
为x轴正方向建立直角坐标系,点M(-1,0),直线l与曲
1-sin
2
θ
线C交于A、B两点.
(1)写出直线l的极坐标方程与曲线C的普通方程;
(2)线段MA,MB长度分别记为|MA|,|MB|,求|MA|·|MB|的值.
π
θ+
?
=-1, 解 (1)直线l的极坐标方程2ρcos
?<
br>?
4
?
2
曲线C普通方程y=x.
?
x=-1+<
br>2
2
t
(2)将
?
2
y=
?
2t
代入y=x
2
得t
2
-32t+2=0,
|MA|·|MB|=|t
1
t
2
|=2.