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人教版高数选修4-5第3讲:数学归纳法证明不等式(学生版)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-07 08:59
tags:高中数学选修4-5

高中数学教师年度研修目标-山东省高中数学竞赛分数线

2020年10月7日发(作者:匡斌)


数学归纳法证明不等式
____________________________ __________________________________________________ ____
_________________________________________ _________________________________________
教学重点: 掌握数学归纳法的概念、应用
教学难点: 理解数学归纳法的应用
1、 对于含有
n(n?N)
的不等式,当
n
取第一个值时不等式成 立,如果使不等式在
n?k(n?N)

成立的假设下,还能证明不等式在
_ __________
时也成立,那么肯定这个不等式对
n
取第一个值
以后的 自然数都能成立.
2、 数学归纳法的基本形式
设P(n)是关于自然数n的命题,若
(1)P(n
0
)成立(奠基)
(2)假设P(k)成立(k≥n
0
),可以推出P(k+1)成立(归纳),则P(n)对一切大于等于n
0
的___ ___数n都
成立
类型一: 用数学归纳法证明不等式问题
?
a, b?R
例1.已知
:,
n?N

n?1

求证
a
n
?b
n
?a
n?1
b?ab
n ?1

练习1. 设
f
?
x
?
是定义在正整数集上 的函数,且
f
?
x
?
满足:“当
f
?
k< br>?
?k
2
2
成立时,总可推出
f
?
k?1< br>?
?
?
k?1
?
成立”.那么,下列命题总成立的是( )
A.若
f
?
1
?
?1
成立,则
f
?
10
?
?100

B.若
f
?
2
?
?4
成立,则
f
?
1
?
?1
成立 < br>C.若
f
?
3
?
?9
成立,则当
k?1时,均有
f
?
k
?
?k
成立
2
2

D.若
f
?
4
?
?25< br>成立,则当
k?4
时,均有
f
?
k
?
?k< br>成立
2
练习2. 用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时,x
n
+ y
n
能被x+y整除”,在第二步时,正确的证法
是 ( )
A.假设n=k(k∈N

),证明n=k+1命题成立
B.假设n=k(k是正奇数),证明n=k+1命题成立
C.假设n=2k+1(k∈N

),证明n=k+1命题成立
D.假设n=k(k是正奇数),证明n=k+2命题成立
类型二: 用归纳法证明数列不等式、整除问题
例2. 设
f(n)?
1111
(n∈ N*),那么
f(n?1)?f(n)
等于( )
???......?
n?1n?2n?32n
第1页共4页


A.
1

2n?1
B.
1

2n?2
C.
11

?
2n?12n?2
D.
11

?
2n?12n?2
1
练习3. 观察不等式:1>,1++
>1, 1+
++…+
>
,1+++…+
>2,1+
++…+
223 2372231523
15
>
,…,由此猜测第n个不等式为________(n∈ N
*
).
312
例3. 试证:当n∈N
*
时,f(n) =3
2
n

2
-8n-9能被64整除.
练习4. 下列代数式(其中k∈N
*
)能被9整除的是( )
A.6+6?7
k
B.2+7
k

1
C.2(2+7
k+1
) D.3(2+7
k

1. 设f(x )是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:“当f(k)≥k
2
成立时,总可推出f(k +1)≥(k+1)
2

立”.那么,下列命题总成立的是( )
A.若f(1)<1成立,则f(10)<100成立
B.若f(2)<4成立,则f(1)≥1成立
C.若f(3)≥9成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k
2
成立
D.若f(4)≥25成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k
2
成立
2. 用数学归纳法证明不等式
11113
++…+
<(n≥2,n∈N
*
)的过程中,由n=k递推
2n14
n+1n+2
到n=k+1时不等式左边 ( )
1
A.增加了一项
2?k+1?
11
B.增加了两项


2k+12k+2
1
C.增加了B中两项但减少了一项

k+1
D.以上各种情况均不对
3. 若f(n)=1
2
+22
+3
2
+…+(2n)
2
,则f(k+1)与f(k)的递推 关系式是_____.
4. 已知整数对的序列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),
(1,4), (2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),…,则第60个数对是________.
5. 如下图,在杨辉三角形中,从上往下数共有n(n∈N
*
)行,在这些数中非1的数字之和是
________________.
1
1
1 3
1 4
1

2

6
1
1
3 1
4 1
__________________________________ _______________________________________________ ________________________________________________ _________________________________
基础巩固
1. 如果命题P(n)对n=k成立,则它对n=k+1也成立,现已知P(n)对n=4不成立,则下列结论
第2页共4页


正确的是( )
A.P(n)对n∈N*成立 B.P(n)对n>4且n∈N*成立
C.P(n)对n<4且n∈N*成立 D.P(n)对n≤4且n∈N*不成立
2. 已知f(n)=(2n+7)·3
n
+9,存在自然数m,使得对任意n∈N,都能使m整除f(n),则最大的m的
值为( )
A.30 B.26 C.36 D.6
111
3. 用数学归纳法证明“ 1+
++…+
n
*
,n>1)”时,由n=
23
2
-1
k(k>1)不等式成立,推证n=k+1时,左边应增加的项数是 ( )
A.2
k

1

下:
(1)当n=1时,1
2
+1<1+1,不等式成立.
(2)假设当n=k (k∈N
*
)时,不等式成立,即k
2
+k2
+?k+1?=
k
2
+3k+22
+3k+2?+?k+2?=?k+2?
2
=(k+1)+1,
∴当n=k+1时,不等式成立,则上述证法 ( )
A.过程全部正确
B.n=1验得不正确
C.归纳假设不正确
D.从n=k到n=k+1的推理不正确
5. 用数学归纳法证明“n
2
+ (n+1)
3
+(n+2)
3
(n∈N
*
)能被9整除”, 要利用归纳假设证n=k
+1时的情况,只需展开 ( )
A.(k+3)
3
B.(k+2)
3
C.(k+1)
3
D.(k+1)
3
+(k+2)
3

6. 若把正整数按图所示的规律排序,则从2019到2019年的箭头方向依次为( )
B.2
k
-1 C.2
k
D.2
k
+1
4. 对于不等式n
2
+n*
),某同学用数学归 纳法的证明过程如

A. B. C. D.
7. 从1=1,1﹣4=﹣( 1+2),1﹣4+9=1+2+3,1﹣4+9﹣16=﹣(1+2+3+4),…,推广到第n个等式

___________.
8. 已知
2
2+
=2
3
2

3
3
3+=3
8
3

8< br>4
4+=4
15
4
,…,若
15
a
6+=6
t
a
,(a,t均为
t
正实数),类比以上等式,可推测a,t的值 ,则a+t=________.
9. 用数学归纳法证明:
1?
1113n
(n∈N
*
)
?????
222
23n2n?1
10. 用数学归纳法证明:
11 11
?????
2
>1(n∈N
*
,n>1).
nn?1 n?2n
1
11.已知数列{a
n
}的各项都是正数,且满足:a
0
=1,a
n

1
=a
n
·(4-a
n)(n∈N).证明:a
n
n

1
<2(n∈2
N).
第3页共4页


12. 已知数列{b
n}是等差数列,b
1
=1,b
1
+b
2
+…+b
10
=145
(1)求数列{b
n
}的通项公式b
n

(2)设数列{ a
n
}的通项a
n
=log
a
(1+
1
1
)(其中a>0且a≠1)记S
n
是数列{a
n
}的前n项和,试比 较S
n

b
n
3
log
a
b
n+ 1
的大小,并证明你的结论
13. 用数学归纳法证明4
2n
?
1
+3
n
+2
能被13整除,其中n∈N
*

14. 是否存在a、b、c使得等式1·2
2
+2·3
2
+…+n (n+1)
2
=
能力提升
15. 设实数q满足|q|<1,数列{a
n
}满足 a
1
=2,a
2< br>≠0,a
n
·a
n+1
=-q
n
,求a
n< br>表达式,又如果
lim
S
2n
n??
n(n?1)
( an
2
+bn+c)
12
<3,求q的取值范围
16. 在 数列{a
n
},{b
n
}中,a
1
=2,b
1=4,且a
n
,b
n
,a
n

1
成等 差数列,b
n
,a
n

1
,b
n

1
成等比列(n∈
N
*
),求a
2
,a
3
,a
4
与b
2
,b
3
,b
4
的值,由猜 测{a
n
},{b
n
}的通项公式,并证明你的结论.
S
n
a
n
n,
?
都在函数f(x)=x+的图象上.
17. 设数列{a
n
}的前n项和为S
n
,对一切n∈N
*
,点< br>?
?
n
?
2x
(1)求a
1
,a
2
,a
3
的值,猜想a
n
的表达式,并用数学归纳法证明;
(2)将数列{a
n
}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为(a
1
), (a
2
,a
3
),(a
4
,a
5
,a6
),(a
7
,a
8
,a
9

a10
);(a
11
),(a
12
,a
13
), (a
14
,a
15
,a
16
),(a
17
,a
18
,a
19
,a
20
);(a
21
),…,分别计算各个括号内各数之
和,设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b
n
},求b
5
+b
100
的值.
第4页共4页

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