人教版高数选修4-5第3讲：数学归纳法证明不等式(学生版)

数学归纳法证明不等式
____________________________ __________________________________________________ ____
_________________________________________ _________________________________________
教学重点： 掌握数学归纳法的概念、应用
教学难点： 理解数学归纳法的应用
1、 对于含有
n(n?N)
的不等式，当
n
取第一个值时不等式成 立，如果使不等式在
n?k(n?N)
时
成立的假设下，还能证明不等式在
_ __________
时也成立，那么肯定这个不等式对
n
取第一个值
以后的 自然数都能成立.
2、 数学归纳法的基本形式
设P(n)是关于自然数n的命题，若
（1）P(n
0
)成立(奠基)
（2）假设P(k)成立(k≥n
0
)，可以推出P(k+1)成立(归纳)，则P(n)对一切大于等于n
0
的___ ___数n都
成立
类型一： 用数学归纳法证明不等式问题
?
a, b?R
例1.已知
：，
n?N
，
n?1
，
求证：
a
n
?b
n
?a
n?1
b?ab
n ?1

练习1. 设
f
?
x
?
是定义在正整数集上 的函数，且
f
?
x
?
满足：“当
f
?
k< br>?
?k
2
2
成立时，总可推出
f
?
k?1< br>?
?
?
k?1
?
成立”．那么，下列命题总成立的是（ ）
A.若
f
?
1
?
?1
成立，则
f
?
10
?
?100

B.若
f
?
2
?
?4
成立，则
f
?
1
?
?1
成立 < br>C.若
f
?
3
?
?9
成立，则当
k?1时，均有
f
?
k
?
?k
成立
2
2

D.若
f
?
4
?
?25< br>成立，则当
k?4
时，均有
f
?
k
?
?k< br>成立
2
练习2. 用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，x
n
＋ y
n
能被x＋y整除”，在第二步时，正确的证法
是 ( )
A．假设n＝k(k∈N
＋
)，证明n＝k＋1命题成立
B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1命题成立
C．假设n＝2k＋1(k∈N
＋
)，证明n＝k＋1命题成立
D．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2命题成立
类型二： 用归纳法证明数列不等式、整除问题
例2. 设
f(n)?
1111
（n∈ N*），那么
f(n?1)?f(n)
等于（ ）
???......?
n?1n?2n?32n
第1页共4页

A．
1

2n?1
B.
1

2n?2
C.
11

?
2n?12n?2
D.
11

?
2n?12n?2
1
练习3. 观察不等式：1>，1＋＋
>1， 1＋
＋＋…＋
>
，1＋＋＋…＋
>2，1＋
＋＋…＋
223 2372231523
15
>
，…，由此猜测第n个不等式为________(n∈ N
*
)．
312
例3. 试证：当n∈N
*
时，f(n) ＝3
2
n
＋
2
－8n－9能被64整除．
练习4. 下列代数式（其中k∈N
*
）能被9整除的是（ ）
A．6+6?7
k
B.2+7
k
﹣
1
C.2（2+7
k+1
） D.3（2+7
k
）
1. 设f(x )是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k
2
成立时，总可推出f(k ＋1)≥(k＋1)
2
成
立”．那么，下列命题总成立的是( )
A．若f(1)<1成立，则f(10)<100成立
B．若f(2)<4成立，则f(1)≥1成立
C．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k
2
成立
D．若f(4)≥25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k
2
成立
2. 用数学归纳法证明不等式
11113
＋＋…＋
<(n≥2，n∈N
*
)的过程中，由n＝k递推
2n14
n＋1n＋2
到n＝k＋1时不等式左边 ( )
1
A．增加了一项
2?k＋1?
11
B．增加了两项
、

2k＋12k＋2
1
C．增加了B中两项但减少了一项

k＋1
D．以上各种情况均不对
3. 若f(n)＝1
2
＋22
＋3
2
＋…＋(2n)
2
，则f(k＋1)与f(k)的递推 关系式是_____．
4. 已知整数对的序列如下：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，
(1，4)， (2，3)，(3，2)，(4，1)，(1，5)，(2，4)，…，则第60个数对是________．
5. 如下图，在杨辉三角形中，从上往下数共有n(n∈N
*
)行，在这些数中非1的数字之和是
________________．
1
1
1 3
1 4
1

2

6
1
1
3 1
4 1
__________________________________ _______________________________________________ ________________________________________________ _________________________________
基础巩固
1. 如果命题P（n）对n=k成立，则它对n=k+1也成立，现已知P（n）对n=4不成立，则下列结论
第2页共4页

正确的是（ ）
A．P（n）对n∈N*成立 B.P（n）对n＞4且n∈N*成立
C.P（n）对n＜4且n∈N*成立 D.P（n）对n≤4且n∈N*不成立
2. 已知f(n)=(2n+7)·3
n
+9，存在自然数m，使得对任意n∈N，都能使m整除f(n)，则最大的m的
值为( )
A.30 B.26 C.36 D.6
111
3. 用数学归纳法证明“ 1＋
＋＋…＋
n
*
，n>1)”时，由n＝
23
2
－1
k(k>1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是 ( )
A．2
k
－
1

下：
(1)当n＝1时，1
2
＋1<1＋1，不等式成立．
(2)假设当n＝k (k∈N
*
)时，不等式成立，即k
2
＋k2
＋?k＋1?＝
k
2
＋3k＋22
＋3k＋2?＋?k＋2?＝?k＋2?
2
＝(k＋1)＋1，
∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法 ( )
A．过程全部正确
B．n＝1验得不正确
C．归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
5. 用数学归纳法证明“n
2
＋ (n＋1)
3
＋(n＋2)
3
(n∈N
*
)能被9整除”， 要利用归纳假设证n＝k
＋1时的情况，只需展开 ( )
A．(k＋3)
3
B．(k＋2)
3
C．(k＋1)
3
D．(k＋1)
3
＋(k＋2)
3

6. 若把正整数按图所示的规律排序，则从2019到2019年的箭头方向依次为（ ）
B．2
k
－1 C．2
k
D．2
k
＋1
4. 对于不等式n
2
＋n*
)，某同学用数学归 纳法的证明过程如

A. B. C. D.
7. 从1=1，1﹣4=﹣（ 1+2），1﹣4+9=1+2+3，1﹣4+9﹣16=﹣（1+2+3+4），…，推广到第n个等式
为
___________．
8. 已知
2
2＋
＝2
3
2
，
3
3
3＋＝3
8
3
，
8< br>4
4＋＝4
15
4
，…，若
15
a
6＋＝6
t
a
，(a，t均为
t
正实数)，类比以上等式，可推测a，t的值 ，则a＋t＝________.
9. 用数学归纳法证明：
1?
1113n
(n∈N
*
)
?????
222
23n2n?1
10. 用数学归纳法证明：
11 11
?????
2
＞1(n∈N
*
，n＞1).
nn?1 n?2n
1
11.已知数列{a
n
}的各项都是正数，且满足：a
0
＝1，a
n
＋
1
＝a
n
·(4－a
n)(n∈N)．证明：a
n
n
＋
1
<2(n∈2
N)．
第3页共4页

12. 已知数列{b
n}是等差数列，b
1
=1，b
1
+b
2
+…+b
10
=145
(1)求数列{b
n
}的通项公式b
n
；
(2)设数列{ a
n
}的通项a
n
=log
a
(1+
1
1
)(其中a＞0且a≠1)记S
n
是数列{a
n
}的前n项和，试比 较S
n
与
b
n
3
log
a
b
n+ 1
的大小，并证明你的结论
13. 用数学归纳法证明4
2n
?
1
+3
n
+2
能被13整除，其中n∈N
*

14. 是否存在a、b、c使得等式1·2
2
+2·3
2
+…+n (n+1)
2
=
能力提升
15. 设实数q满足|q|＜1，数列{a
n
}满足 a
1
=2，a
2< br>≠0，a
n
·a
n+1
=－q
n
，求a
n< br>表达式，又如果
lim
S
2n
n??
n(n?1)
( an
2
+bn+c)
12
＜3，求q的取值范围
16. 在 数列{a
n
}，{b
n
}中，a
1
＝2，b
1＝4，且a
n
，b
n
，a
n
＋
1
成等 差数列，b
n
，a
n
＋
1
，b
n
＋
1
成等比列(n∈
N
*
)，求a
2
，a
3
，a
4
与b
2
，b
3
，b
4
的值，由猜 测{a
n
}，{b
n
}的通项公式，并证明你的结论．
S
n
a
n
n，
?
都在函数f(x)＝x＋的图象上．
17. 设数列{a
n
}的前n项和为S
n
，对一切n∈N
*
，点< br>?
?
n
?
2x
(1)求a
1
，a
2
，a
3
的值，猜想a
n
的表达式，并用数学归纳法证明；
(2)将数列{a
n
}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为(a
1
)， (a
2
，a
3
)，(a
4
，a
5
，a6
)，(a
7
，a
8
，a
9
，
a10
)；(a
11
)，(a
12
，a
13
)， (a
14
，a
15
，a
16
)，(a
17
，a
18
，a
19
，a
20
)；(a
21
)，…，分别计算各个括号内各数之
和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b
n
}，求b
5
＋b
100
的值．
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