高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.1不等式1.1.1不等式例题与探究新人教A版选修4_5

邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：“童子何泣？”原曰：“孤者易伤，贫者易感。夫书者， 凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。”师恻然曰：“欲书可耳!”原曰：“无 钱资。”师曰：“童子苟有志吾徒相教不求资也。”于是遂就书。一冬之间，诵《孝经》《论语》。
1. 1.1 不等式
典题精讲
【例1】若a,b,c∈R,a>b,则下列不等式成立的是（ ）
11
?
B.a
2
>b
2

ab
ab
C.
2
D.a|c|>b|c|
?
2< br>c?1c?1
A.
思路解析：本题只提供了“a,b,c∈R,a>b”这个条件，而不 等式的基本性质中，几乎都有类
似的前提条件，但结论会根据不同的要求有所不同，因而这需要根据本题 的四个选择项来进
行判断.选项A，还需有ab>0这个前提条件；选项B，当a,b都为负数或一正一 负时都有可
能不成立，如2>-3，但2>(-3)不正确；选项C，
22
1
>0，因而正确；选项D，当c=0时
2
c?1
不正确.
答案：C
绿色通道：考查不等式的基本性质的选择题，解答时，一是利用不等式的相关性质，其中，
特别要注意不等号变号的影响因素，如数乘、取倒数、开方、平方等；二是对所含字母取特
殊值，结合排 除法去选正确的选项，这种方法一般要注意选取的值应具有某个方面的代表性，
如选取0、正数、负数等 .
【变式训练1】 如果a,b,c满足c>acB.c(b-a)>0
22
<(a-c)<0
思路解析：由条件c0,c<0，但b的正负情况不确定.
方法一：取a=1,b=0,c=-1分别代入A、B、C、D中验证可知C不成立.
方法二 ：由题意，知c<0，a>0，则A一定正确；又c<0,b-a<0,所以c(b-a)>0，所以B一定正确；ac<0,a-c>0，所以ac(a-c)<0，所以D一定正确.故选C（当b=0时，不成立） .
答案：C
【变式训练2】 已知a<0,b<-1，则下列不等式成立的是（ ）
aaa
2
>abB.
2
>>a
bbb
aaaa
C.>
2
>aD.>a>
2
bbbb
A.a>
11
、
2
、
bb
aa11< br>1的大小关系，再比较、
2
、a的大小，又因为a<0，所以又可认为是在比较
?
、
?
2
、
bbbb
11
-1的大小.因为b<- 1，所以1>
2
>.也可以令a=-1,b=-2，分别代入A,B,C,D中，知A、B、< br>bb
思路解析：本题中的四个选项，实际是在比较三个数的大小，可以认为是先比较
D均 错.
答案：C
【例2】 设a>0且a≠1,0a(1-x)|和|log
a
(1+x)|的大小.
思路分析：由于所要比较的两 个数带有绝对值号，结合对数函数的知识，可知对a应分为
a>1和0解：（1）当a>1时，

邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：“童子何泣 ？”原曰：“孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣 耳。”师恻然曰：“欲书可耳!”原曰：“无钱资。”师曰：“童子苟有志吾徒相教不求资也。”于是遂就书。一 冬之间，诵《孝经》《论语》。
∵0∴-1<-x<0,0<1-x<1,1+x>1.
∴log
a
(1-x)<0,log
a
(1+x)>0.
∴|log
a
(1-x)|-|log
a
(1+x)|
=-log
α
(1-x)-log
a
(1+x)
=-［log
a
(1-x)+log
a
(1+x)］
=-log
a
(1-x)(1+x)
2
=-log
a
(1-x).
∵0222
∴022
即log< br>a
(1-x)<0,-log
a
(1-x)>0.
∴|log
a
(1-x)|>|log
a
(1+x)|.
（2）当0a
(1-x)>0,log
a
(1+x)<0 ,
∴|log
a
(1-x)|-|log
a
(1+x)|=log
a
(1-x)+log
a
(1+x)
2
=log
a
(1-x)>0.
∴|log
a
(1-x)|>|log
a
(1+x)|.
综合①②,可知|log
a
(1-x)|>|log
a
(1+x)|.
绿色通道：比较实数大小，常用作差或作商法，作差法中差式最后的形式可以有多种，如
常 数、平方数（式）、因式相乘等，这些结果形式在某些条件下是非常容易得到差式符号的，
但在作差变形 中，也存在一定的变化技巧，如平方相减、配方等.
如果要比较的项较多，可恰当选取“分界量”，如 先找出正数、负数，在正数中找比1大的
数，比1小的数等.
【变式训练1】 比较（
n
6
+1）-(
3
n
6
-1)与2的大小（n≠0）.
3
思路分析：本题中
大小.
解：设a=
n
6
为一 个整体，因而可以用换元法将第一个式子化简变形，再与2比较
n
6
3
,则
（
n
6
3
+1）-(
2
n
6
-1 )=(a+1)-(a-1)
32
333
=(a+3a+3a+1)-(a-3a+3a-1)
22
=6a+2=n+2.
∴(
n
6
+1)-(
2
3
n
6
-1)-2=n.
32
∵n≠0,∴n>0.
∴(
n
6
+1)-(
3
n
6
-1)>2.
3