高中数学选修4-4-极坐标与参数方程-知识点与题型

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选做题部分 极坐标系与参数方程

一、极坐标系
1．极坐标系与点的极坐标
(1)极坐标系：如图4－4－1所示 ，在平面内取一个定
点
O
，叫做极点，自极点
O
引一条射线
Ox
，叫做极轴；再选
定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通
常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
(2)极坐标：平面上任一点
M
的 位置可以由线段
OM
的长度
ρ
和从
Ox
到
OM的角度
θ
来刻画，这两个数组成的有序数对(
ρ
，
θ
) 称为点
M
的极坐标．其中
ρ
称为点
M
的极径，
θ< br>称为点
M
的极角．
2．极坐标与直角坐标的互化
点
M

互化
公式


直角坐标(
x
，
y
) 极坐标(
ρ
，
θ
)
题型一 极坐标与直角坐标的互化
?
1、已知点
P
的极坐标为
(2,)
，则点
P
的直角 坐标为 （ ）
4
A.（1，1） B.（1，-1） C.（-1，1） D.（-1，-1）


2、设点
P
的直角坐标为
(?3,3)
，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系
(0?
?
?2
?
)
，则点
P
的极坐标为（ ）
A．
(32,


3．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴
建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．


4．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( )
A．ρ＝cos θ B．ρ＝sin θ C．ρcos θ＝1 D．ρsin θ＝1
3
?
5
?
5
?
3
?
)
B．
(?32,)
C．
(3,)
D．
(?3,)

4444


5．曲线
C
的直角坐标方程为
x
2
＋
y
2
－2
x
＝ 0，以原点为极点，
x
轴的正半轴为极
1

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轴建立极坐标系，则曲线
C
的极坐标方程为________．


π
6. 在极坐标系中，求圆
ρ
＝2cos
θ
与直线
θ
＝(
ρ
>0)所表示的图形的交点的极坐标．
4


题型二 极坐标方程的应用
由极坐标方程求曲线交点、距离 等几何问题时，如果不能直接用极坐标解
决，可先转化为直角坐标方程，然后求解．
π
?
π3
?
??
1.在极坐标系中，已知圆C经过点P(2，
4)，圆心为直线ρsin
?
θ－
3
?
＝－
2
与 极
轴的交点，求圆C的直角坐标方程．



?
π
?
?
2.圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C，点P的极坐标为
?
?
4，
3
?
，则
|CP|＝________.



π
??
?
3.在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为ρsin
?
?
θ＋
4
?
＝1，圆C的圆心的极坐标
?
π
?
?
是C
?
?
1，
4
?
，圆的半径为1.
(i)则圆C的极坐标方程是________； (ii)直线l被圆C所截得的弦长等于________．



π
??
?
4.在极坐标系中，已知圆C：ρ＝4cos θ被直线l：ρsi n
?
?
θ－
6
?
＝a截得的弦长为
2

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23，则实数a的值是________．







二、参数方程

1．参数方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一 般地，可以通过消去参数而
从参数方程得到普通方程．
(2)如果知道变数
x
，
y
中的一个与参数
t
的关系，例如
x
＝
f(
t
)，把它代入普通方程，
?
?
x
＝
ft< br>，
求出另一个变数与参数的关系
y
＝
g
(
t
)，那么，
?
就是曲线的参数方程．
?
y
＝
gt
?

2．常见曲线的参数方程和普通方程
点的轨迹
直线
圆
椭圆
普通方程 参数方程
?
?
x
＝
x
0
＋
t
cos
α

?
?
y
＝
y
0
＋
t
sin
α

?
?
x
＝
r
cos
θ
?
?
?
?
y
＝
r
sin
θ
?
?
x
＝
a
cos
φ
?
?
y
＝
b
sin
φ
?
y
－
y
0
＝tan
α
(
x
－
x
0
)
x
＋
y
＝
r

x
2
y
2
＋＝1(
a
>
b
>0)
a
2
b
2
222

(
t
为参数)


(
θ
为参数)
(
φ
为参数)

题型一 参数方程与普通方程的互化
【例1】把下列参数方程化为普通方程：
?
x
＝3＋cos
θ
，
(1)
?
?
y
＝2－sin
θ
；






3


1
?
?
x
＝1 ＋
2
t
，
(2)
?
3
y
＝5＋
t
.
?
2
?

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题型二 直线与圆的参数方程的应用
1、已知直线
l
?
?
x
＝2cos
θ
＋2，
?
?
y
＝2sin
θ
?
?
?
x
＝1＋
t
，
的参数方程为
?
?< br>?
y
＝4－2
t

(参数
t
∈R)，圆
C
的参数方程为

(参数θ
∈[0,2π])，求直线
l
被圆
C
所截得的弦长．










2、曲线C的极坐标方程为：ρ=acosθ（a＞0），直线l的参数方程为：

（1）求曲线C与直线l的普通方程；（2）若直线l与曲线C相切，求a值．









3、在直角坐标系xoy 中，曲线C
1
的参数方程为，（α为参数），以原点O
为极点，x轴正半轴为极轴，建 立极坐标系，曲线C
2
的极坐标方程为
．
（Ⅰ）求曲线C
1
的普通方程与曲线C
2
的直角坐标方程；
（Ⅱ）设P为曲线C
1
上的动点，求点P到C
2
上点的距离最小值．








4

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综合应用
1、曲线
?
?
x??2?5t
(t为参数)
与坐标轴的交点是（ ）
y?1? 2t
?
1
2
1
5
1
2
5
9
A
(0,)、
(8,0)
D
(0,)、(,0)
B
(0,)、(,0)
C
(0,?4)、
(8,0)

2
?
?
x?2?sin
?
3、参数方程
?
（
?
为参数）化为普通方程为（ ）
2
?
?
y? sin
?
2
5
A．
y?x?2
B．
y?x?2

C．
y?x?2(2?x?3)
D．
y?x?2(0?y?1)

3．判断下列结论的正误．
(1)平面直 角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一
一对应关系( )
π
(2)若点P的直角坐标为(1，－3)，则点P的一个极坐标是（2，－
3
）( )
(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的( )
(4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线( )
1
?
?
x?t?
4.参数方程为
?
t
(t为参数)
表示的曲线是（ ）
?
?
y?2
5

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A．一条直线 B．两条直线 C．一条射线 D．两条射线
?
?
x?t
(t为参数)
等价的普通方程为（ ） 5．与参 数方程为
?
?
?
y?21?t
y
2
y
2< br>2
?1
B．
x??1(0?x?1)
A．
x?
44
2
y
2
y
2
2
?1 (0?y?2)
D．
x??1(0?x?1,0?y?2)
C．
x?
44
2
15.参数方程
?

?
x?2
?
?
为参数
?
所表示的曲线是 （ ）
y?tan
?
?cot
?
?
B．两条射线 C．线段
2
A．直线 D．圆
16.下列参数方程（t是参数）与普通方程
y?x
表示同一曲线的方程是： ( )

1?cos2t
?
?
?
x?t
?
x ?sin
2
t
?
x?t
?
x?
A．
? B．
?
C．
?
D．
?
1?cos2t

2
y?ty?sint
y?t?
??
?
?
?
y?tant

?
x? 2
?
sec
2
?
?1
?
?
??
?
??0?
?
给出曲线在直角坐标系下的方程3.由参数方程
?
??
为参数，
22
??
?
y?2tan
?
是 。
4
?
x?3?t
?
?
5
4.若直线
l
的参数方程是
?
（t是参数），则过点（4，－1）且与l平行
?
y??2?
3
t
?
5
?
的直线在y轴上的截距是 。
?
x?5?tsin50?
5.方程
?
（t是参数）表示的是过点 ，倾斜角为 直线。
y??3?tcos50?
?
8.在极坐标系有 点M(3,
?
3
)，若规定极径＜0, 极角[0,2]，则M的极坐标为 ；
若规定极径＜0，极角(-,)，则M的极坐标为 .
9.
?OP
1
P
2
的一个顶点在极点O，其它两个顶点 分别为
P
1
?
?5，
?
，P
2
?
4，
?
，则
?OP
1
P
2
的面积为
6
。
?
?
3
?
?
4
?
??
?
?
12
?

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π
??
2，
?
到直线
ρ
sin
θ
＝2的距离等于6．(2013·北京高考)在极坐标系中，点
?
6
??
________．














?
x?2cos
?
?2
(
?
?
y?sin
?
7、平面直角 坐标系中,将曲线
?
为参数)上的每一点横坐标不变,纵坐
标变为原来的
2< br>倍得到曲线
标系中,曲线
(Ⅰ)求








8、已知曲线
C
的极坐标方程是
?
?2cos
?
?2sin
?
?0
，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为
x
轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线
l
的参数方程是
?
12
x??t
（t
?
?
22
?
?
y?
2
t
?
2
?
C
1
,以坐标 原点为极点,
x
轴的非负半轴为极轴,建立的极坐
C
2
的方程为?
?4sin
?

C
1
和
C
2
的普通方程:(Ⅱ)求
C
1
和
C
2
公共弦的垂直平分线的 极坐标方程.
为参数）.
（1）求曲线
C
的直角坐标方程和直线
l
的普通方程；
（ 2）若直线
l
与曲线
C
交于
A,B
两点，求
AB< br>的值.
7

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?
x
＝1＋cos
θ
，
7、已知圆
C
：
?
?
y
＝sin
θ

?
x
＝2＋
t
cos
α
，
(
θ
为参数)和直线
l
：
?
?
y
＝3＋
tsin
α

(其中
t
为参数，
α
为直线
l
的倾斜角)．
2π
(1)当
α
＝时，求圆上的点到直线
l
距离的最小值；
3
(2)当直线
l
与圆
C
有公共点时，求
α
的取值范围．







?x?cos
?
(sin
?
?cos
?
)
28． 参数方程
?
(
?
为参数)
表示什么曲线
y?sin
?
(sin
?
?cos
?
)
?








x
2
y
2
??1
上，求点
P
到直线
3x?4y?24
的最大距离和最 小距离。 21．点
P
在椭圆
169







22．已知直线
l
经过点
P(1,1),倾斜角
?
?
（1）写出直线
l
的参数方程。
?
6
，
8

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（ 2）设
l
与圆
x?y?4
相交与两点
A,B
，求点
P
到
A,B
两点的距离之积


22
9