高中数学5.3不等式的证明5.3.4放缩法自我小测苏教版选修4_5

邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：“童子何泣？”原曰：“孤者易伤，贫者易感。夫书者， 凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。”师恻然曰：“欲书可耳!”原曰：“无 钱资。”师曰：“童子苟有志吾徒相教不求资也。”于是遂就书。一冬之间，诵《孝经》《论语》。
5. 3.4 放缩法
自我小测
1111
1设
M
＝
10
＋
10
＋
10
＋…＋
11
，则
M
___ ___1.
22＋12＋22－1
33
2用反证法证明“如果
A
＞
b
，那么
a
＞
b
”的假设内容应是________． < br>3设|
a
|＜1，则
P
＝|
a
＋
b
|－|
a
－
b
|与2的大小关系是____________．
4lg9lg11与1的大小关系是________．
5某同学准备用反证法证明如下一个 问题：函数
f
(
x
)在[0,1]上有意义，且
f
(0)＝
f
(1)，
1
如果对于不同的
x
1
，
x< br>2
∈[0,1]，都有|
f
(
x
1
)－
f< br>(
x
2
)|＜|
x
1
－
x
2
|，求证：|
f
(
x
1
)－
f
(
x2
)|＜.
2
那么它的假设应该是________．
6设
a
、
b
∈R,0≤
x
，
y
≤1，求证：对于任意实数
a
、
b
必存在满足条件的
x
，
y
，使|< br>xy
1
－
ax
－
by
|≥成立．
3
x
＋
yxy
7设
x
＞0，
y
＞0，
A< br>＝，
B
＝＋，则
A
与
B
的大小关系为_______ _．
1＋
x
＋
y
1＋
x
1＋
y
8设
a
、
b
、
c
均为正数，
P
＝
a
＋
b
－
c
，
Q
＝
b
＋
c
－
a
，
R
＝
c
＋
a
－
b
，则“
PQR
＞0”是“
P
、
Q
、
R< br>同时大于零”的________条件．
9
A
＝1＋
1
2< br>＋
11
＋…＋与
n
(
n
∈N
＋
)的 大小关系是________．
3
n
10若|
a
|＜1，|
b
|＜1，求证：
?
?
a
＋
b
?
＜1.
?
?
1＋
ab
?
1111
11求证：1＋＋＋＋… ＋＜3.
11×21×2×31×2×3×…×
n

参考答案
1
1010
1．＜ 解析：分母全换成2，共2个
10
.
2
3333
2．假设
a
＝
b
或
a
＜
b

3．
P
＜2 解析：
P
＝|
a
＋< br>b
|－|
a
－
b
|≤|(
a
＋
b< br>)－(
b
－
a
)|＝2|
a
|＜2.
lg9＋lg11lg99lg100
4．lg9 lg11＜1 解析：lg9lg11＜＝＜＝1，
222
∴lg9 lg11＜1.
1
5．假设|
f
(
x
1
)－
f
(
x
2
)|≥
2

邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：“童子何泣？” 原曰：“孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。 ”师恻然曰：“欲书可耳!”原曰：“无钱资。”师曰：“童子苟有志吾徒相教不求资也。”于是遂就书。一冬之 间，诵《孝经》《论语》。
1
6．证明：假设对一切0≤
x
，
y≤1，结论不成立，则有|
xy
－
ax
－
by
|＜，令
x
＝0，
y
3
111
＝1，有|
b
|＜； 令
x
＝1，
y
＝0，有|
a
|＜；令
x
＝
y
＝1，得|1－
a
－
b
|＜.又|1－
a
－
b
|≥1
333
1111
－|
a
|－|
b
|＞1－－＝，与|1－
a
－
b
|＜相矛盾，∴假设不成立，原 不等式成立．
3333
7．
A
＜
B
解析：
A＝＋＜＋＝
B
.
1＋
x
＋
y
1＋
x
＋
y
1＋
x
1＋
y
8．充要 解析：必要性是显然 成立的；当
PQR
＞0时，若
P
，
Q
，
R
不同时大于0，则其
中两个为负，一个为正，不妨设
P
＞0，
Q
＜0 ，
R
＜0，则
Q
＋
R
＝2
c
＜0，这与< br>c
＞0矛盾，即
充分性也成立．
9．
A
≥
n
解析：
A
＝
1
1
＋
1
2
＋
1< br>3
＋…＋
xyxy
111
???
nnn
n项
?
n
1
＝＝
n
.
n
n
10．证明：假设
?
22
?
a
＋
b
?
≥1，则|
a
＋
b
|≥|1＋
ab
|，
?
?
1＋ab
?
22
∴
a
＋
b
＋2
ab
≥1＋2
ab
＋
ab
，
即
a
＋
b
－
ab
－1≥0，
∴
a
－1－
b
(
a
－1)≥0，
即(
a
－1)(1－
b
)≥0，
?
?
a
－1≥0，
∴
?
2
?
1－
b
≥0，
?
?
?
a
≥1，
∴
?
2
?
b< br>≤1，
?
2
2
22
222
2222

?
?
a
－1≤0，
或
?
2
?
1－
b
≤0，
?
2
2



?
?< br>a
≤1，
或
?
2
?
b
≥1.
?
与已知矛盾．
∴
?
?
a
＋
b
?
＜1.
??
1＋
ab
?
111
11．证明：由＜＝
k
－ 1
(
k
是大于2的自然数)．
1×2×3×…×
k
1×2 ×2×…×22
11111111
得1＋＋＋＋…＋＜1＋1＋＋
2
＋
3
＋…＋
n
－1
＝1＋
11×21×2×31×2×3×…×n
2222
1
1－
n
2
1
＝3－
n< br>－1
＜3.
12
1－
2
∴原不等式成立．