极坐标在高中数学那本书上-高中数学研究性报告800字
高中数学学习材料
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模块综合测试
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,每小题给出的四个选
项中,只
有一项是符合题目要求的)
1.下列有关坐标系的说法,错误的是( )
A.在直角坐标系中,通过伸缩变换圆可以变成椭圆
B.在直角坐标系中,平移变换不会改变图形的形状和大小
C.任何一个参数方程都可以转化为直角坐标方程和极坐标方程
D.同一条曲线可以有不同的参数方程
解析: 直角坐标系是最基本的坐标系,在直角坐标系
中,伸缩变形可以改变图形的形
状,但是必须是相近的图形可以进行伸缩变化得到,例如圆可以变成椭圆
;而平移变换不改
变图形和大小而只改变图形的位置;对于参数方程,有些比较复杂的是不能化成普通方
程的,
同一条曲线根据参数选取的不同可以有不同的参数方程.
答案: C
11<
br>2.把函数y=sin2x的图象经过________变化,可以得到函数y=sinx的图象.(
)
24
1
A.横坐标缩短为原来的倍,纵坐标伸长为原来的2倍
2
B.横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标伸长为原来的2倍
11
C.横坐标缩短为原来的倍,纵坐标缩短为原来的倍
22
1
D.横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标缩短为原来的
2
解析: 本题主要考查直角坐标系的伸缩变换,根据变换的方法和步骤可知,把函数y
11
=sin2x的图象的横坐标伸长为原来的2倍可得y=sinx的图象,再把纵坐标缩短为原来
的
22
11
,得到y=sinx的图象.
24
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答案: D
3.极坐标方程ρ
2
-ρ(2+sinθ)+2sinθ=0表示的图形是( )
A.一个圆与一条直线
C.两个圆
B.一个圆
D.两条直线
解析: 所给方程可以化为(ρ-2)(ρ-sinθ)=0,即ρ=2或ρ=sinθ.化成直角坐标
方程
分别为x
2
+y
2
=4和x
2
+y
2
-y=0,可知分别表示两个圆.
答案: C
4.在极坐标系中,如果一个圆方程
是ρ=4cosθ+6sinθ,那么过圆心且与极轴平行的直
线方程是( )
A.ρsinθ=3
C.ρcosθ=2
答案: A
2
?
?
x=2+sin
θ
5.将参数方程
?
(θ为参数)化为普
通方程为( )
2
?
?
y=sin
θ
B.ρsinθ=-3
D.ρcosθ=-2
A.y=x-2
C.y=x-2(2≤x≤3)
B.y=x+2
D.y=x+2(0≤y≤1)
2
?
?
x=2+sin
θ
解析:
由
?
知x=2+y(2≤x≤3)
2
?
y=sin
θ
?
所以y=x-2
(2≤x≤3).
答案: C
π
6.经过点M(1,5)且倾斜角为的直线,以定
点M到动点P的位移t为参数的参数方程
3
是( )
?
A.
?<
br>3
y=5-t
?
2
?
C.
?
3
y=
5-t
?
2
1
x=1-t
2
1
x=1+t
2
?
B.
?
3
y=5+t
?
2
1
x=1+t
2
1
x=1-t
2
?
D.
?
3
y=5+t
?
2
π
c
os
?
x=1+t·
3
解析: 根据直线参数方程的定义,易得
?<
br>π
y=5+t·sin
?
3
,
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?
即
?<
br>3
y=5+t
?
2
答案: D
22
1
x=1+t
2
.
?
?
x′=2x
7.x+y=1经过伸缩变换
?
,后所得图形的焦距( )
?
y′=3x
?
A.4
C.25
x
2
y
2
解析: 变换后方程变为:+=1,
49
故c
2
=a
2
-b
2
=9-4=5,c=5,
所以焦距为25.
答案: C
B.213
D.6
?
x=2-tsin30°
?
8.已知直线
?
(t为参数)与圆x
2<
br>+y
2
=8相交于B、C两点,则|BC|的值
?
?
y=-1
+tsin30°
为( )
A.27
C.72
?
x=2-tsin30°
?
解析:
?
?
?
y=-1+tsin30°
?
B.30
D.
30
2
2
t=2-t′
?
x=2-
1
22
?
12
y=-1+t=-1+t
?
22
(t′为参数).
代入x
2
+y
2
=8
,得t′
2
-32t′-3=0,
∴|BC|=|t′
1
-t′<
br>2
|=?t′
1
+t′
2
?
2
-4t′1
t′
2
=?32?
2
+4×3=30,故选B.
答案: B
πππ
2,,1
?
,点Q的球面坐标为
?1,,
?
,根据空间坐标系中9.已知P点的柱坐标是
?
?
4<
br>??
24
?
两点A(x
1
,y
1
,z
1
),B(x
2
,y
2
,z
2
)之间的距离公式
|AB|=?x
1
-x
2
?
2
+?y
1
-
y
2
?
2
+?z
1
-z
2
?
2<
br>,可
知P、Q之间的距离为( )
A.3 B.2
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C.5 D.
2
2
解析: 首先根据柱坐标和空间直角坐标之间的关系,把P点的柱坐标转化为空间直
角坐标(2,2,1),再根据球面坐标与空间直角坐标之间的关系把Q点的球坐标转化为空
间直角坐标
?
22
?
,,0
,代入两点之间的距离公式即可得到距离为2.
2
?
2
?
答案: B
1
10.如果直线ρ=与直线l关于极轴对称,则直线l的极坐标方程是( )
cosθ-2sinθ
1
A.ρ=
cosθ+2sinθ
1
C.ρ=
2cosθ+sinθ
1
B.ρ=
2sinθ-conθ
1
D.ρ=
2cosθ-sinθ
1
解析: 由ρ=知ρcosθ+2ρsinθ=1,
cosθ+2sinθ
∴x+2y=1.
答案: C
11.圆心在原点,半径为2的圆的渐开线的参数方程是( )
?
?
x=
2?cosφ+4sinφ?,
A.
?
(φ为参数)
?
y=2?s
inφ-4cosφ?.
?
?
?
x=4?cosθ+θsinθ?,
B.
?
(θ为参数)
?
y=4?sinθ-θcosθ?.
??
?
x=2?φ-sinφ?,
C.
?
(φ为参数)
?
?
y=2?1-cosφ?.
?
?
x=4?θ-sinθ?,D.
?
(θ为参数)
?
y=4?1-cosθ?.
?
解析: 圆心在原点,半径为2的圆的渐开线的参数方程为
?
?
x=2?cosφ+φsinφ?,
?
?
y=2?sinφ-φcosφ?.?φ为参数?.
?
答案:
A
12.如图,在平面直角坐标系中,Ω是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于
点
C、D的定圆所围成的区域(含边界),A、B、C、D是该圆的四等分点.若点P(x,y)、点
P′
(x′,y′)满足x≤x′,且y≥y′,则称P优于P′.如果Ω中的点Q满足:不存在Ω
中的其他
点优于Q,那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧( )
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A.AB
C.CD
解析:
∵x≤x′且y≥y′,
∴点P(x,y)在点P′(x′,y′)的左上方.
∵Ω中不存在优于Q的点,
∴点Q组成的集合是劣弧AD,故选D.
答案: D
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把正确答案填在题中横线上)
π
2
θ+
?
=,则极点到该直线的距离是________
13.已知直线的极坐标方程为ρsin
?
?
4
?
2
解析:
对于求一点到一条直线的距离问题,我们联想到的是直角坐标系中的距离公式,
因此应首选把极坐标平面
内的问题化为直角坐标问题的解决方法,这需把极点、直线的方程
π
θ+
?
=
化为直角坐标系内的点的坐标、直线的方程.极点的直角坐标为O(0,0),ρsin
?
?<
br>4
?
ρ
?
2
22
?
sinθ+cosθ=
2
,
2
?
2
?
∴ρsinθ+ρcosθ
=1,化为直角坐标方程为x+y-1=0.
∴点O(0,0)到直线x+y-1=0的距离为d=<
br>π
22
θ+
?
=的距离为.
即极点到直线ρsin
?
?
4
?
22
答案:
2
2
12
=,
2
2
B.BC
D.DA
??
?
x=tcosα,
?
x=4+2cosφ
,
?
14.直线(t为参数)与圆
?
(φ为参数)相切,则此直线的倾斜?
y=tsinα
?
y=2sinφ
??
角α=________.
21
解析: 直线:y=x·tanα,圆:(x-4)
2
+y
2
=4,如图,sinα==,
42
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π
5
∴α=或
π.
66
π
5
答案: 或
π.
66
?
?x=t,
15.已知直线l的参数方程
?
(t为参数),若以原点O为极点,x轴
的正半轴为
?
y=1+2t
?
π
θ+
?
.则圆的直角坐标方程为极轴,建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=22sin
?
?
4
?
__________,直线l和圆C的位置关系为__________(填相交、相
切、相离).
π
θ+
?
即ρ=2(sinθ解析: (1)消去参数t,得
直线l的普通方程为y=2x+1.ρ=22sin
?
?
4
?
+co
sθ),两边同乘以ρ得ρ
2
=2(ρsinθ+ρcosθ),消去参数θ,得⊙C的直角坐
标方程为(x-
1)
2
+(y-1)
2
=2.
|2-1+1|
25
(2)圆心C到直线l的距离d=
22
=<2,
5
2+1
所以直线l和⊙C相交.
答案:
(x-1)
2
+(y-1)
2
=2;相交
?
?
x
=t+3,
16.在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为
?
(参数t∈R)
,圆C的
?
y=3-t
?
?
?
x=2cosθ
参数
方程为
?
(参数θ∈[0,2π]),则圆C的圆心坐标为______,圆心到直线l的距<
br>?
y=2sinθ+2
?
离为______.
解析: 直线和圆的方程分别是x+y-6=0,x
2
+(y-2)
2
=2
2
,所以圆心为(0,2),其到
|0+2-6|
直线的距离为d==
22.
1+1
答案: (0,2) 22
三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(12分)(1)化ρ=cosθ-2sinθ.为直角坐标形式并说明曲线的形状;
(2)化曲线F的直角坐标方程:x
2
+y
2
-5x
2
+y
2
-5x=0为极坐标方程.
解析:
(1)ρ=cosθ-2sinθ两边同乘以ρ得
ρ
2
=ρcosθ-2ρsinθ
∴x
2
+y
2
=x-2y
即x
2
+y
2
-x+2y=0
1
5
x-
?
2
+(y+1)
2
=
??
2
即
?
?
2
?
?
2
?
1
5
,-1<
br>?
为圆心,半径为的圆.
表示的是以
?
?
2
?
2
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(2)由x=ρcosθ,y=ρsinθ得
x
2
+y2
-5x
2
+y
2
-5x=0的极坐标方程为:
ρ
2
-5ρ-5ρcosθ=0.
π
3,
?
,半
径为1.Q点在圆周上运动,O18.(12分)在极坐标系中,已知圆C的圆心C
?
?
9
?
为极点.
(1)求圆C的极坐标方程;
OQ2
(2)若P在直线OQ上运动,且满足=,求动点P的轨迹方程.
QP3
解析: (1)设M(ρ,θ)为圆C上任意一点,
π
θ-
?
, 如图,在△OCM中,|OC|=3,|OM|=ρ,|CM|
=1,∠COM=
?
?
6
?
根据余弦定理,
π
θ-
?
,化简整理,得ρ
2
-6·得1=ρ
2
+9
-2·ρ·3·cos
?
?
6
?
π
θ-
?
+8=0为圆C的轨迹方程. <
br>ρcos
?
?
6
?
(2)设Q(ρ
1
,θ<
br>1
),
π
??
θ
-
则有ρ
2
-6
·ρcos
11
?
1
6
?
+8=0①
设P(ρ,θ),则OQ∶QP=ρ
1
∶(ρ-ρ
1
)
2
=2∶3?ρ
1
=
ρ,
5
2
?
?
ρ
1
=
5
ρ,
又θ
1
=θ,即
?
?
?
θ
1
=θ,
42
π
代
入①得
ρ
2
-6·
ρcos(θ-
)+8=0,
2556
5π
θ-
?
+50=0为P点的轨迹方程. 整理得ρ2
-15ρcos
?
6
??
12
19.(12分)已知
椭圆C的极坐标方程为ρ
2
=,点F
1
,F
2
为其左,右焦
点,
3cos
2
θ+4sin
2
θ
?
x
=2+
2
2
t,
直线l的参数方程为
?
2
y=?
2
t
(t为参数,t∈R).
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(1)求直线l和曲线C的普通方程;
(2)求点F
1
,F
2
到直线l的距离之和.
解析:
(1)直线l的普通方程为y=x-2;
x
2
y
2
曲线C的普通方程为+=1.
43
(2)∵F
1
(-1,0),F
2
(1,0), ∴点F
1
到直线l的距离d
1
=
|-1-0-2|
32
=.
2
2
|1-0-2|
2
点F
2
到直
线l的距离d
2
==,
2
2
∴d
1
+d
2
=22.
4
20.(12分)已知直线l过点P(2,0),斜率为,直线l与抛物线y
2
=2x相交于A
,B两点,
3
设线段AB的中点为M.
(1)求P、M两点间的距离;
(2)求M点的坐标;
(3)求线段AB的长|AB|.
4
解析:
(1)∵直线l过点P(2,0),斜率为,
3
434
设倾斜角为α,tanα=,cosα=,sinα=,
355<
br>?
∴直线l的参数方程为
?
4
y=
?
5
t<
br>3
x=2+t
5
(t为参数),
∵直线l与抛物线相交,
把直线l的参数方程代入抛物线方程y
2
=2x,整理得8t
2
-15t1525
-50=0,设这个方程的两个根为t
1
、t
2
,则t
1
+t
2
=,t
1
·t
2
=-.
84
由M为线段AB的中点,根据t的几何意义,
得|PM|=
?
t
1
+t
2
?
15
?
2
?
=16
.
15
(2)由(1)知,中点M所对参数为t
M
=,
16
?
代入直线的参数方程,M点的坐标为
?
4153
y=
?
5
×
16
=
4
413
?
即M<
br>?
?
16
,
4
?
.
31541
x=2+×=
51616
,
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(3)由参数t的几何意义,
5
|AB|=|t
2
-t
1
|=?t
2
+t
1?
2
-4t
1
t
2
=73.
8
21
.(12分)如图,自双曲线x
2
-y
2
=1上一动点Q引直线l:x+y=
2的垂线,垂足为N,
求线段QN中点P的轨迹方程.
解析:
设点Q的坐标为(secφ,tanφ),(φ为参数).
∵QN⊥l,
∴可设直线QN的方程为x-y=λ
将点Q的坐标代入①得:λ=secφ-tanφ
所以线段QN的方程为x-y=secφ-tnaφ
又直线l的方程为x+y=2.
②
③
①
2+secφ-tanφ
由②③解得点N的横坐标x
N
=
2
设线段QN中点P的坐标为(x,y),
x
N
+x
Q
2+3secφ-tanφ
则x==,
24
4×④-②得
3x+y-2=2secφ.
4×④-3×②得
x+3y-2=2tanφ.
⑤
2
-⑥
2
化简即得所求的轨迹方程为
2x
2
-2y
2
-2x+2y-1=0.
22.(14分
)已知椭圆的中心在原点,焦点在y轴上且长轴长为4,短轴长为2,直线l
?
?
x=
t,
的参数方程为
?
(t为参数).当m为何值时,直线l被椭圆截得的弦长为6?
?
y=m+2t
?
?
x=t,
?
y
22
解析: 椭圆方程为+x=1,化直线参数方程
?
4
?
y=m+2t
?
④
⑤
⑥
?
x=
5
5
t′
为
?
25y=m+t′
?
5
代入椭圆方程得
(t′为参数). 25
5
(m+t′)
2
+4
?
t′
?
2
=4?8t′
2
+45mt′+5m
2
-20=0
5<
br>?
5
?
当Δ=80m
2
-160m
2
+64
0=640-80m
2
>0,
即-22
方程有两不等实根t′
1
,t′
2
,
64
0-80m
2
则弦长为|t′
1
-t′
2
|=?t′
1
+t′
2
?-4t′
1
t′
2
=
8
2
640-80m
2
依题意知==6,
8
45
解得m=±.
5
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